In dieser Dissertationsschrift werden Amplituden in QFTs und CFTs studiert. Zunächst wird mittels der »double copy«-Methode gezeigt, inwiefern Integranden von Gravitationsamplituden aus Integranden von Eichtheorien gewonnen werden können. Um diese Methode anzuwenden, bedarf es einer konkreten Darstellung der Eichtheorieintegranden, sodass die kinematischen Faktoren des Integranden die gleichen algebraischen Relationen erfüllen wie die Strukturkonstanten der Eichtheorie. Mithilfe dieser Methode werden Vierpunktsamplituden in N = 0 Supergravitation gekoppelt mit Yang-Mills in erster Ordnung der Störungsreihe berechnet, welche als asymptotische Zustände Gravitonen oder Gluonen positiver Helizität enthalten. Das Analogon der Amplituden in konform invarianten Theorien, genannt Mellinamplituden, wird anschließend im zweiten Teil diskutiert. Nicht nur durch ihre Beschreibung als Funktionen »lorentzinvarianter« Variablen, welche durch eine Art »LSZ-Reduktion« gewonnen werden, weisen Mellinamplituden eine formal heuristische Ähnlichkeit zu Amplituden auf, sondern auch können alle physikalischen Größen einer CFT aus ihnen berechnet werden. D.h., ebenso wie Amplituden einen Streuprozess vollständig charakterisieren, ist eine CFT eindeutig über ihre Mellinamplituden festgelegt. Fermionische Mellinamplituden wurden zum ersten Mal, in der Veröffentlichung worauf diese Dissertationsschrift basiert, studiert. Jede Komponente der fermionischen Mellinamplituden ist einer bestimmen Tensorstruktur zugeordnet, deren Polstruktur im einzelnen diskutiert wird. Es werden die analytische Eigenschaften der fermionischen Mellinamplituden der gemischten Vierpunktskorrelationsfunktion von zwei Fermionen und Skalaren, sowie von vier Fermionen studiert und darauffolgend werden diese Resultate durch störungstheoretische Rechnungen bei schwacher und starker Kopplung bestätigt. / In this thesis, amplitudes in QFT and CFT are studied. In the first chapter a modern technique to obtain integrands for gravity theories from gauge theory integrands is discussed. This formalism is called the doubly copy method and it can be applied if the gauge theory integrand is given in a specific representation where the kinematic numerator factors obey the same algebraic relations as the colour factors, e.g. the Jacobi identity. This method is applied to obtain the positive helicity sector of amplitudes in N = 0 supergravity coupled to Yang-Mills with external gravitons and gluons at one loop. Only the special case of four external particles is studied. Partial results are also obtained for pure Einstein-Yang-Mills amplitudes, where the axion and dilaton as virtual particles have been removed. In the second chapter, the natural analogue of amplitudes in CFTs is studied. These mathematical objects are called Mellin amplitudes. Mellin amplitudes can be understood as the CFT analogue of QFT amplitudes, because they are functions of “Lorentz invariant” quantities of their “momenta”. In addition all the CFT data is encoded in the Mellin amplitudes as all the data of a scattering process is included in usual amplitudes. The study of fermionic Mellin amplitudes has been carried out for the first time in the associated publication. These Mellin amplitudes have several components each associated to a certain tensor structure. The analytic properties of fermionic Mellin amplitudes corresponding to mixed four fermion-scalar conformal correlators and four fermion conformal correlators are deduced and finally these general results are confirmed by explicit perturbative calculations at weak and strong coupling.

Das Standardmodell der Teilchenphysik kann als die Niedrigenergielimit einer allgemeineren effektiven Feldtheorie des Standardmodells (SMEFT) betrachtet werden, die die Dynamik möglicher ultraviolette Vervollständigung in Form von höherdimensionalen Operatoren erfasst. Der zugehörige Parameterbereich ist groß und beinhaltet komplexe Mischungsmuster unter dem Renormierungsgruppenfluss (RG fluss). Dies erfordert eine gute Kontrolle über die Theorie und die Entwicklung effizienter Rechenwerkzeuge. In dieser Arbeit untersuchen wir allgemeiner effektive Feldtheorien. Wir haben dieses Vorhaben in zwei zentrale Themen unterteilt. Im ersten Teil untersuchen wir die Renormierung skalarer effektiver Feldtheorien auf Mehrschleifenordnung und bis zu hohen Massendimensionen. Neben der Generierung vieler neuer perturbativen Daten analysieren wir die wiederkehrenden Muster in der RG-Mischung und den Operatorenbasen, die diese aufzeigen. Die von uns entwickelten Werkzeuge und getroffenen Schlussfolgerungen lassen sich auch auf andere Theorien, wie die SMEFT, übertragen. Im zweiten Teil untersuchen wir die Erweiterung des Doppelkopierens (\emph{double copy}) auf effektive Feldtheorien auf Baum-Niveau. Das Doppelkopieren ist ursprünglich eine Beziehung zwischen den Amplituden der Yang--Mills-Theorie und der Gravitation und beruht auf einer nicht-trivialen Eigenschaft von Yang--Mills-Amplituden namens Farb-Kinematik-Dualität (\emph{color-kinematics duality}). Wir bewerten ihre Einschränkungen für höherdimensionale Operatoren und nutzen sie für die effiziente Erzeugung von Amplituden. Eines unserer Hauptergebnisse ist eine Reihe von Amplitudenrelationen, die höherdimensionale Korrekturen zur Yang--Mills-Theorie in Form von Bausteinen niedrigster Ordnung effizient codieren. / The Standard Model of particle physics can be seen as the low energy limit of a more general Standard Model effective field theory (SMEFT), which captures the dynamics of possible ultraviolet completions in terms of higher-dimensional operators. The associated parameter space is large and involves intricate mixing patterns under the renormalization group (RG) flow. This demands good control over the theory and the development of efficient computational tools. In this thesis we study effective field theories more generally. We have split this endeavor into two central themes. In Part I, we study the renormalization of scalar effective field theories at multi-loop order and up to high mass dimensions. Besides generating a lot of new perturbative data, we analyze the reoccurring patterns in the RG mixing and the operator bases that expose these. The tools we develop and conclusions we make extend to other theories, such as the SMEFT. In Part II, we study the extension of the double copy to effective field theories at tree level. The double copy is originally a relation between the amplitudes of Yang--Mills theory and gravity, and it relies on a non-trivial property of Yang--Mills amplitudes called the color-kinematics duality. We assess its restrictiveness for higher-dimensional operators, and we employ it for efficient amplitude generation. One of our main results is a set of amplitude relations which efficiently encode higher-derivative corrections to Yang--Mills theory in terms of lowest-order building blocks.

Diese Arbeit befasst sich mit der sogenannten Doppelkopie, welche erstmals im Rahmen von Streuamaplituden formuliert wurde und eine Beziehung zwischen Yang-Mills-Theorie und der Gravitation herstellt. Yang-Mills-Streuamplituden tragen sowohl kinematische Informationen als auch Informationen, die mit einer Eigenschaft namens Farbe verbunden sind. Die Doppelkopie besagt, dass die Ersetzung der Farbinformation in Yang-Mills-Amplituden durch eine andere Kopie ihrer kinematischen Information zu Gravitationsamplituden führt, sofern bestimmte algebraische Bedingungen erfüllt sind. Die algebraischen Bedingungen, die für die Doppelkopie erforderlich sind, deuten auf die Existenz einer Algebra hin, die der Kinematik der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegt und die kinematische Algebra genannt wird. In den letzten fünfzehn Jahren hat die Doppelkopie die Art und Weise, wie Streuungsberechnungen in der Gravitation durchgeführt werden, revolutioniert, und dennoch bleibt ein grundsätzliches Verständnis der Doppelkopie und der kinematischen Algebra schwer zu fassen. In dieser Arbeit verlassen wir den Rahmen der Streuamplituden und behandeln dieses Problem mit Hilfe von Homotopie-Algebren, den mathematischen Strukturen, die perturbativen Feldtheorien, einschließlich ihrer Off-Shell Struktur, zugrunde liegen. Insbesondere die der Yang-Mills-Theorie zugrunde liegende Algebra lässt sich in algebraische Strukturen für Farbe und Kinematik faktorisieren. Unter Verwendung dieser Faktorisierung konstruieren wir explizit eine kinematische Algebra für die Yang-Mills Theorie bis zur quartischen Ordnung in der Störungstheorie. Dann ersetzen wir die Farbalgebra durch eine zweite Kopie der kinematischen Algebra und erhalten eine Gravitationstheorie bis hinzu und einschließlich der quartischen Wechselwirkungen. Außerdem erklären wir, inwiefern die kinematische Algebra die Struktur ist, die für die Konsistenz der resultierenden Gravitationstheorie verantwortlich ist. Unsere algebraische Herangehensweise an die Doppelkopie ist vollständig Off-Shell, eichunabhängig und lokal und bietet eine neue Perspektive auf die algebraischen Grundlagen und Ursprünge der Doppelkopie. / This thesis deals with a relation between Yang-Mills theory and gravity called the double copy, which was first formulated in the framework of scattering amplitudes. Yang-Mills scattering amplitudes carry kinematic information as well as information associated with a property called color. The double copy states that, provided that certain algebraic conditions are met, replacing the color information of Yang-Mills amplitudes with another copy of their kinematic information yields gravitational amplitudes. The algebraic conditions required by the double copy hint at the existence of an algebra underlying the kinematics of Yang-Mills called the kinematic algebra. In the last fifteen years, the double copy has revolutionized the way that scattering computations are performed in gravity, and, yet, a first principle understanding of the double copy and the kinematic algebra remains elusive. In this thesis we divert from scattering amplitudes and address this problem in the framework of homotopy algebras, which are the mathematical structures underlying perturbative field theories, including their off-shell structure. In particular, the algebra underlying Yang-Mills theory factorizes into color and kinematic algebraic structures. Using this factorization, we construct explicitly a kinematic algebra for Yang-Mills theory to quartic order in perturbation theory. Then, following the double copy, we replace the color algebra with a second copy of the kinematic algebra and we obtain gravity up to and including quartic interactions. Moreover, we explain how the kinematic algebra is responsible for the consistency of the resulting gravity theory. Our algebraic approach to the double copy is completely off-shell, gauge independent and local, and provides a novel perspective on the algebraic foundations and origins of the double copy.

Die Doppelkopie-Relation besagt, dass Observable in einer Gravitationstheorie durch "Quadrieren" entsprechender Größen in einer Eichtheorie abgeleitet werden können. Es ermöglicht die Verwendung moderner Techniken der Eichtheorien, um Probleme wie die Streuung von Schwarzen Löchern in der Gravitation anzugehen. Wir betrachten zunächst die massive skalare Quantenchromodynamik und führen die Doppelkopie für deren Streuamplituden durch. Aus den resultierenden Amplituden rekonstruieren wir die effektive Lagrange-Funktion. Diese besteht aus einer Graviationstheorie gekoppelt an massive Skalare, ein Axion und ein Dilaton. Der entstehende Lagrangian wird explizit bis zur sechsten Ordnung von Skalarfeldern konstruiert, und es wird eine Form aller Ordnungen postuliert. Es folgt die Erforschung der Doppelkopie massiver Punktteilchen. Die Quellen werden durch Weltlinien-Quantenfeldtheorien formuliert, die mit Yang-Mills, biadjungiertem Skalar und Zwei-Form-Dilaton-Gravitation gekoppelt sind. Wir schlagen eine Doppelkopievorschrift für die eikonalen Phase vor, und explizit bis zur nächstführenden Ordnung zu überprüfen. Wir untersuchen ferner die nicht-perturbative Doppelkopie klassischer Lösungen. Insbesondere erweitern wir die Kerr-Schild-Abbildung auf den Fall eines Probeteilchens, das sich im Kerr-Schild-Hintergrund bewegt. Wir finden darüberhinaus eine neue Doppelkopie zwischen den erhaltenen Ladungen auf der Eichtheorie und den Gravitationsseiten. Schließich untersuchen wir die Post-Minkowski'sche (PM) und Post-Newton'sche Entwicklungen des gravitativen effektiven Drei-Körper-Potentials. Wir liefern auf 2PM Ebene ein formelles nicht-lokales Ergebnis und entwickeln es in der Geschwindigkeit. / This thesis focuses on the double copy relation between gauge theories and gravity and its application in the classical scattering of massive compact objects. The double copy relation states that observables in a gravitational theory can be derived from “squaring” corresponding quantities in a gauge theory. It allows using modern techniques of gauge theories to tackle problems such as black hole scattering in gravity. We first consider massive scalar quantum chromodynamics and perform the double copy procedure for the scattering amplitudes. We reconstruct the effective Lagrangian from the resulting amplitudes. It yields a gravitational theory of massive scalars coupled to gravity, axion, and dilaton. The emerging Lagrangian is constructed explicitly up to the sixth order of scalar fields, and an all-order form is conjectured. It is followed by exploring the double copy of classical massive point particles. The source objects are formulated by worldline quantum field theories coupled to Yang-Mills, bi-adjoint scalar, and two-form-dilaton-gravity. We propose a double copy prescription for the eikonal phases, and check it explicitly up to next-to-leading order. We also investigate the non-perturbative double copy of classical solutions. Specifically, we extend the Kerr-Schild mapping, which allows obtaining solutions of the Einstein equation from that of gauge theory, to the case of a probe particle moving in the Kerr-Schild background. We find a new double copy between the conserved charges on the gauge theory and the gravity sides, which works naturally for both bound and unbound states. Additionally, we study the Post-Minkowskian (PM) and Post-Newtonian expansions of the gravitational three-body effective potential. We provide a formal non-local result at 2PM and expand it in the slow-motion limit.