Syftet med studien är att tillföra kunskap om hur dynamiska matematikprogram kan användas av lärare i lågstadiet (årskurs 2) för att utveckla elevers förståelse för fyrhörningar. Vi ämnade också ta reda på vilka faktorer som är viktiga att ta hänsyn till vid utformningen av en undervisningsaktivitet likt denna. För att besvara studiens syfte har vi valt en kvalitativ designbaserad forskningsansats, med tre interventioner som planerats, analyserats och reviderats. 17 elever deltog i studien.Resultaten visar att GeoGebra i samband med undervisningen före aktiviteten har utvecklat elevernas förståelse för fyrhörningar. Eleverna fick möjlighet att manipulera de olika formerna på ett sätt de inte tidigare testat vilket i samband med diskussionerna ledde till att de utvecklade en förståelse för namn, begrepp samt egenskaper hos fyrhörningarna. Vad som kunde konstateras var att formernas inbördes relationer fortfarande efter aktiviteten var svåra att förstå. Viktiga faktorer vid utformningen visade sig vara hur frågorna är formulerade samt att undervisningen före aktiviteten uppmärksammar kritiska drag hos lärandeobjektet för att eleverna ska ges möjlighet att urskilja dessa. / The aim of this study is to add knowledge about how dynamic mathematics software can be used by teachers in primary school (grade 2) to develop students' understanding of quadrilaterals. We also intended to find out which factors are important to consider when designing a teaching activity like this. To answer the purpose of the study, we have chosen a qualitative design-based research approach, with three interventions that were planned, analyzed and revised. 17 students participated in the study.The results show that GeoGebra together with the teaching before the activity has developed the students' understanding of quadrilaterals. The students were given the opportunity to manipulate the different shapes in a way they had not previously tested, which in connection with the discussions led to them developing an understanding of the names, concepts and properties of the quadrilaterals. What could be ascertained was that the mutual relations of the forms were still difficult to understand after the activity. Important factors in the design turn out to be how the questions are formulated and that the teaching priorto the activity draws attention to critical features of the learning object so that the students are given the opportunity to distinguish these.

The overall problem that formed the basis for this thesis is that students get limited opportunity to develop their mathematical reasoning ability while, at the same time, there are dynamic mathematics software available which can be used to foster this ability. The aim of this thesis is to contribute to knowledge in this area by focusing on task design in a dynamic software environment and by studying the reasoning that emerges when students work on tasks in such an environment. To analyze students’ mathematical reasoning, a new analytical tool was developed in the form of an expanded version of Toulmin’s model. Results from one of the studies in this thesis show that exploratory tasks in a dynamic software environment can promote mathematical reasoning in which claims are formulated, examined and refined in a cyclic process. However, this reasoning often displayed a lack of the more conceptual, analytic and explanatory reasoning normally associated with mathematics. This result was partly confirmed by another of the studies. Hence, one key question in the thesis has been how to design tasks that promote conceptual and explanatory reasoning. Two articles in the thesis deal with task design. One of them suggests a model for task design with a focus on exploration, explanation, and generalization. This model aims, first, to promote semantic proof production and then, after the proof has been constructed, to encourage further generalizations. The other article dealing with task design concerns the design of prediction tasks to foster student reasoning about exponential functions. The research process pinpointed key didactical variables that proved crucial in designing these tasks. / Baksidestext Det övergripande problem som legat till grund för denna avhandling är att elever får begränsad möjlighet att utveckla sin resonemangsförmåga samtidigt som det finns dynamiska matematikprogram som kan utnyttjas för att stimulera denna förmåga. Syftet med avhandlingen är att bidra till den samlade kunskapen inom detta problemområde, dels genom att fokusera på design av uppgifter i en lärandemiljö med dynamiska matematikprogram och dels genom att studera och karakterisera de resonemang som utvecklas när elever jobbar med olika uppgifter i denna miljö. För att analysera elevernas resonemang utvecklades ett nytt analysverktyg i form av en utökad version av Toulmins modell. Resultat från en av studierna i avhandlingen visar att dynamiska matematikprogram i kombination med utforskande uppgifter kan stimulera till matematiska resonemang där hypoteser formuleras, undersöks och förfinas i en cyklisk process. Samtidigt visar samma studie att de resonemang som utvecklas i stor utsträckning saknar matematiskt grundade förklaringar. Detta resultat bekräftas till viss del av ytterligare en studie.  Frågan hur uppgifter bör designas för att främja matematiskt grundade resonemang har därför varit central i avhandlingen. Två av artiklarna behandlar uppgiftsdesign, men utifrån olika utgångspunkter.

I denna studie analyserades potentialen av ett dynamiskt matematikprogram när elever arbetar med translation av funktionsgrafer och använder ett undersökande arbetssätt. I studien användes det dynamiska matematikprogrammet GeoGebra. Åtta elever i åldern 16–17 år arbetade parvis med en sextio minuter lång workshop, innehållande uppgifter som behandlade translation av funktioner på formen 𝑓(𝑥+𝑑)+𝑐, där konstanterna 𝑑 och 𝑐 varierades med GeoGebra. Skärm- och ljudinspelning gjordes på elevernas datorer och samlades in för analys. Därtill samlades också elevernas skriftliga svar på uppgifterna i workshopen in. Ett urval av data gjordes: tre av de fyra inspelningarna valdes ut att analyseras och därtill begränsades transkribering till 5 av 9 uppgifter i workshopen. Analysen gjordes inom det teoretiska ramverket semiotisk mediering (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008). Genom systematisk kodning skapades 90 koder som sedan genom axial kodning arbetades fram till 4 centrala teman: eleverna uttrycker att 𝑐 är detsamma som 𝑚-värde; eleverna refererar till att 𝑐 och 𝑑 flyttar grafen, utan att specificera riktning; eleverna anger riktning grafen flyttar för positiva 𝑐 och 𝑑 och eleverna talar om att 𝑑 gör så att det blir nya 𝑥-värden. Resultatet av studien visar att det finns en potential med dynamiska matematikprogram att ge en ingång för elever att tolka innebörden av translation, men en utmaning eleverna möter i arbetet är att förstå den bakomliggande matematiken. Resultatet visar även att eleverna gjorde beskrivningar av translation men inte förklaringar och att det speciellt var svårt att försöka förklara varför olika värden konstanten 𝑑 påverkar grafen som den gör. Det identifierades också att två grupper tolkade konstanten 𝑐 som 𝑚-värde (det vill säga hänvisar till 𝑦=𝑘𝑥+𝑚) vilket hävdas visa ett möjligt utvecklingsbehov av teorin om semiotisk mediering. / In this study the potential that resides in a dynamic mathematics software to support students’ work with translation of function graphs when they work exploratory was analysed. In the study the dynamic mathematics software GeoGebra was used. Eight students in the age 16-17 worked in pairs in a sixty-minute-long workshop that was comprised of tasks that deals with the translation of functions of the form 𝑓(𝑥+𝑑)+𝑐, where the constants 𝑑 and 𝑐 were varied using GeoGebra. Data was collected in the form of screen and audio recordings made using the computers of the students. The students written answers were also collected. A selection of the collected data was made and analysed: three of the four recordings were chosen for analysis and these were furthermore limited to be only transcribed for 5 of the 9 tasks in the workshop. The analysis was made using the theory of semiotic mediation (Bartolini Bussi & Mariotti, 2008). Systematic coding resulted in 90 codes which then through axial coding produced 4 central themes: the students express that 𝑐 is the same as 𝑚 (as in 𝑦=𝑘𝑥+𝑚); the students refer to 𝑐 and 𝑑 as moving the graph, without specifying direction; the students specify the direction the graph moves for positive 𝑐 and 𝑑 and the students talk about 𝑑 making new 𝑥-values. The result of the study shows that there is a potential with dynamic mathematics software to promote students’ creation of meaning of translation, but a challenge students encounter is to understand the underlying mathematics. The results also show that students made descriptions of translation but did not provide explanations, and that they especially had difficulties to explain why varying values of the constant 𝑑 affects the graph the way it does. In addition, the study also identified that two groups interpreted the constant 𝑐 as the same as 𝑚 in the linear equation 𝑦=𝑘𝑥+𝑚, which here claims to show a possible need to elaborate the theory of semiotic mediation.)

Digitala verktyg har numera en betydande roll i matematikundervisningen på gymnasiet, där dynamiska matematikprogram är ett tänkbart verktyg. I denna litteraturstudie sammanställs kvantitativ forskning för att ta reda på om undervisning med dynamiska matematikprogram leder till bättre elevprestationer i matematik, och i så fall inom vilka matematikområden detta gäller. Vetenskapliga artiklar insamlades genom litteratursökning i ERIC och UniSearch för att kvalitetsvärderas och analyseras innan de sammanställdes till ett resultat. Resultatet bygger på 14 kvasiexperimentella studier och visar att undervisning med dynamiska matematikprogram leder till bättre elevprestationer i matematik. Ytterligare faktorer kopplat till elevprestationer framkom också i resultatet, exempelvis att undervisning med dynamiska matematikprogram leder till att eleverna minns stoffet bättre och att de lättare kan förstå nya matematiska koncept. Dynamiska matematikprogram användes framgångsrikt i matematikområdena: Aritmetik, algebra och funktioner; Logik och geometri; Trigonometri; Problemlösning, verktyg och tillämpningar. Resultatet implicerar att matematiklärare på gymnasiet har vetenskapligt stöd för att använda dynamiska matematikprogram i sin undervisning inom flera matematikområden. Detta gäller särskilt GeoGebra som var programmet som användes i 13 av 14 artiklar. / Today, digital tools play a significant role in mathematics education in upper secondary school, where dynamic mathematics programs are one possible tool. In this literature review, quantitative research is compiled to find out if education with dynamic mathematics programs leads to improved student performance in mathematics, and if so, which areas of mathematics this applies to. Articles from academic journals were gathered through literature search in ERIC and UniSearch to be valued in quality and analyzed before they were compiled to the result. The result is based on 14 quasi-experimental studies and shows that education with dynamic mathematics programs leads to improved student performance in mathematics. Additional factors related to student performance also appeared in the result, for example that education with dynamic mathematics programs leads to students remembering the teaching content better, and that they can more easily understand new mathematical concepts. Dynamic mathematics programs were used successfully within the following areas of mathematics: Arithmetic, Algebra and Functions; Logic and Geometry; Trigonometry; Problem Solving, Tools and Applications. The result implies that mathematics teachers in upper secondary school have scientific support to use dynamic mathematics programs in their teaching within several areas of mathematics. This is especially true for GeoGebra, which was the program that was used in 13 of 14 articles.