En aquesta tesi es realitza l'estudi de les propietats de dues equacions diferencials estocàstiques: una en derivades parcials per processos hiparamètrics que convertim en una equació integral estocàstica en el pla, i una difusió amb condició inicial anticipativa. Sobre la primera s'estudia el suport topòlogic de la llei de la solució, s'estableix un principi de grans desviacions quan considerem petites pertorbacions del soroll que governa l'equaciói es demostra l'existència i regulantat de la llei de la solució. L'estudi de l'equació anticipativa es centra en l'existencia i regularitat de la llei de la solució sota hipòtesis de diferents graus de degeneració. Finalment també s'estudia el cas en que l'equació anticipativa està governada per un moviment brownià de dimensió infinita.El primer capítol està dedicat a estudiar l'equació diferencial estocàstica en derivades parcials (1). Aquesta equació ja va ser estudiada per Farré i Nualart, que van donar sentit a la solució dins la classe de les semimartingales representables. Utilitzant aquesta representació van demostrar l'existència de densitat.En aquest capítol es presenta una nova visió de la solució de l'equació. Com en altres casos estudiats a la literatura sobre equacions diferencials estocàstiques parabòliques i el.líptiques, ens plantejem la solució a partir del mètode de Riemann per l'equació determinista anàloga a (1). Es considera I'operador diferencial de segon ordre "L" i s'indica la funció de Green associada a aquest operador (2). Es defineix aleshores la solució de l'equació(1), com el procés continu i adaptat que satisfa l'equació integral (3). Es demostra l'existència i unicitat de la solució de l'equació integral (3). Es comprova que aquesta solució es la solució feble de (1), en el sentit de distribucions, i que coincideix amb la solució proposada per Farré i Nualart.Utilitzant la representació (3) es demostren diverses propietats del proces solució. Aquests resultats estan basats en un estudi en profunditat de la funció de Green. Aquesta funció no la podem obtenir de manera explícita, però sí a partir d'una série. Es demostren així diverses propietats de la funció de Green, com l'afitació o la derivabilitat respecte "u", "v", "s", "r".S'estableix pnmer un resultat d'aproximacions de la solució. A partir d'aquest resultat d'aproximacions, utilitzant un mètode desenvolupat per Millet i Sanz basat en l'utilització d'esquelets, obtenim un teorema del suport pel procés solució.Posteriorment, s'apliquen les eines del calcul de Malliavin per deduir I'existència i regularitat de la llei de X(n), si s-r = 0. Aquest resultat s'obté tant per condicions equivalents a la condició de Hormander restringida com per condicions equivalents a la condició de Hormander no restringida. Finalment s'estableix un principi de grans desviacions per la familia {X(n), epsilon més gran que 0} de solucions de (3) obtingudes per pertorbacions del soroll blanc. El mètode utilitzat està basat en el principi de quasi-continuitat desenvolupat per Azencott. En el segon capítol es determinen condicions suficients per l'existència de densitat regular per la llei de probabilitat de la solució de l'equació diferencial estocàstica anticipativa en un instant de temps epsilon > 0 fixat. L'existència i regulantat de la densitat sota condicions semblants ja han estat estudiades anteriorment. A més, en el segon capitol s'estén aquest últim resultat en les direccions següents. Per unabanda, s'elimina la hipotesi d'afitació sobre la condició inicial. Després s'obté un resultat anàleg amb condicions de Hormander no restringides. Finalment, s'estudien les condicions necessàries per un cas degenerat, sota el punt de vista presentat per Bell i Mohammed, que permet que la hipotesi de Hormander no es satisfaci. de manera controlada, en una col.lecció de superfícies.Les condicions de Hormander que s'utilitzen es presenten amb una formulació alternativa a la clàssica, fent apareixer la condició inicial "X(n)". S'utilitzen les eines del càlcul de Malliavin, de manera que cal desenvolupar versions del lema de Norris adients, tant pel cas restringit com pel cas no restringit.El tercer capitol està dedicat a estudiar l'equació anticipativa governada per un moviment brownià de dimensió infinita (4). En aquest capitol es demostra l'existència i regulantat de la densitat a un instant de temps "t" fixat.El cas no anticipatiu ja va ser estudiat per Minh Duc, Nualart i Sanz. Es demostra pnmer que podem obtenir una solució de l'equació composant el flux associat a (4) amb la condició inicial "X(n)". Després s'estudia la regulantat de la densitat per aquesta solució. El mètode emprat es basa en transferir el resultat conegut per l'equació governada per un moviment brownià de dimensió finit per mitjà d'una convergència apropiada. / In Chapter 1, we study the hyperbolic stochastical partial differential equation (1). We analyze (1) using a new approach, inspired bv Riemann's method for solving the deterministic analogue of (1). using a Green function. The result is expressed as a (2).We have proved existence and uniqueness of solution to the stochastic equation (2), and we state the equivalence between our approach and the approach presented by Farre and Nualart. We have established a result on approximation of this solution and a suport theorem in Hölder norm for the solution to (1). We apply the tools of Malliavin calculus to deduce the existence and smoothness of density. We also establish a large deviations principle for the family of solutions to (2) obtained by a penurbation of the noise.In Chapter 2, we obtain sufficient conditions for the existence of a smooth density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation at a fixed time t > 0 , where X(o) is an arbitrary random variable. We extend the results of Caballero, Fernandez and Nualart. We remove the boundedness assumption on "X(n)" and we deal with restricted and unrestricted Hörmander's tvpe conditions.We also study, using the point of view introduced by Bell and Mohammed, a degenerate case where Hörmander's condition is not satisfied.Finally, in Chapter 3, we obtain sufficient conditions for the smoothness of the density for the probability law of the solution to the anticipating stochastic differential equation driven by an infinite dimensional brownian.

El teorema de Kolmogorov-Arnold-Moser no asegura la estabilidad cerca de los toros m-dimensionales que se conservan para hamiltonianos casi integrables con "m" grados de libertad. Puede aparecer una difusión de trayectorias llamada difusión de Arnold que es posible detectar a través del mecanismo de las cadenas de transición. En esta memoria se demuestra que la existencia de cadenas de transición genérica dentro de la categoría de sistemas hamiltonianos infinitamente derivables sobre una variedad compacta. La demostración es constructiva, introduciéndose una forma normal casi resonante cerca de puntos elípticos de cuyo estudio resulta la existencia de dichas cadenas de transicion al considerar tecnicas de conservacion de variedades normalmente hiperbolicas junto con la integral DE Melnikov asociada.

This dissertation is devoted to the study of some aspects of the theory of stochastic partial differential equations. More precisely, we mainly focus on the study of a stochastic wave equation perturbed by some random noise. The contents of the thesis may be split in two parts: firstly, we deal with a stochastic wave equation in spatial dimension three with a random perturbation given by a Gaussian noise. In this case, the main objective is to study the existence and smoothness properties of the density of the solution of the equation. Secondly, we handle a one-dimensional stochastic wave equation controlled by the so called space-time white noise. The main aim here corresponds to discretise the equation with respect to space and then study the convergence of the discretised process to the real solution.In the very first part of the dissertation, we introduce the subject of study, give the main mathematical motivations and summarise the goals that we have been able to attain. For this, as a preliminary part, we give the main definitions and state the main results concerning the theory of stochastic partial differential equations driven by Gaussian noises. We give also the main definitions and state the main criteria concerning the stochastic calculus of variations or Malliavin calculus. After a summary of their contents, the main results of the dissertation are included in several appendices. Indeed, the first work is devoted to the existence of density for the solution to a three-dimensional stochastic wave equation driven by a spatially homogeneous Gaussian noise. The main techniques used to prove this result are given by the Malliavin calculus' theory. Moreover, in order to give sense to the evolution equations satisfied by the Malliavin derivatives, we extend the theory of integration with respect to martingale measures to a Hilbert-valued setting. On the other hand, the main difficulty with respect to the studied cases, where the space dimension is one or two, is the fact that in the three-dimensional case the fundamental solution of the wave equation is no more a function but a distribution.The second work extends the results of the first one in the sense that we prove that the density of the solution at any fixed point not only exists but also is a smooth function. For this, again the techniques of the Malliavin calculus are applied, but with much more effort.In the framework of existence and smoothness of densities of solutions to stochastic partial differential equations, we have also devoted a small part of the thesis in extending some of the known results for the stochastic heat equation to general equations of parabolic type.We jump now to the third and last work that forms the body of the dissertation. Namely, we consider discretisation schemes of a stochastic Dirichlet problem given by a stochastic wave equation in spatial dimension one and driven by the space-time white noise. More precisely, the equation is discretised by means of a finite difference method in space and the random perturbation is formally discretised using an Euler scheme. Then, the main idea is to find out an evolution equation satisfied by the approximation process so as to be able to deal with mean and almost sure convergence to the real solution. Furthermore, we get suitable bounds for the rate of convergence that are tested numerically to be optimal.Eventually, the dissertation concludes with a summary of the contents in Catalan and the bibliography.

DE LA TESI DOCTORAL:Aquesta memòria estudia bàsicament el comportament asimptòtic de la densitat de diferents famílies de vectors aleatoris. Al començament es dóna una introducció on es comenten diversos treballs anteriors que tracten sobre estudis asimptòtics de densitats, es pot observar el gran lligam que hi ha entre les estimacions de Varadhan i l'anomenat desenvolupament de Taylor de la densitat. Les estimacions són un primer pas cap a un estudi més extens del comportament asimptòtic.Un cop feta l'introducció general (Capítol 1), el Capítol 2 de la memòria està dedicat a l'estudi de les anomenades estimacions de Varadhan. Al tercer Capítol realitzarem un estudi més acurat i exhaustiu del comportament asimptòtic de la densitat. Al Capítol 4, sota les mateixes condicions que s'utilitzen per demostrar l'existència i regularitat d'una densitat "pe(y)", nosaltres trobarem el desenvolupament asimptòtic amb d = 1, on ara els coeficients "c-1" dependran de les derivades del procés solució de l'equació estocàstica pertorbada avaluades en e >> 0; a més a més, aquestes derivades satisfarán equacions d'evolució que seran descrites. Finalment, al Capítol 5, estudiarem el comportament densitat que al Capítol 4, però per a tot "y" pertanyent a R.Els Capítols 2, 3, 4 i 5 contenen una introducció on s'explica la metodologia que nosaltres hem seguit en aquell capítol, donant les idees més importants. Les Seccions d'aquests Capítols constaran quasi sempre de tres parts. Una primera, anomenada Objectiu, està dedicada a explicar el propòsit de la Secció. Una segona, dita Preliminars, on es donaran els prerequisits necessaris, quan s'escaigui, per poder portar a terme la demostració dels Objectius. A l'última es provaran els resultats.

En aquesta memòria presentem tres treballs dedicats a l'estudi d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Bromnià fraccionari.La primera equació diferencial estocàstica que estudiarem és una equació amb retard i amb restriccions de positivitat. Com que el retard (R) és en aquest cas un valor positiu, hem de donar com a condició inicial la solució de l'equació a l'interval [-r; 0], que serà X(t) = ni(t), on la funció "mi" serà una funció determinista no negativa. El terme Y és el que ens permetrà assegurar que la solució de l'equació sigui sempre positiva.La metodologia utilitzada per provar els resultats per a aquesta equaciói per a la següent que presentarem és similar, encara que amb dificultats tècniques diferents. Considerem equacions deterministes i demostrem els resultats per aquest tipus d'equacions. Llavors com que entenem la integral estocàstica que apareix com una integral de Riemann-Stieltjes és fàcil aplicar els resultats obtinguts a les nostres equacions diferencials estocà tiques. Es tracta de la metodologia utilitzada per Nualart i Răşcanu a [3].La segona equació que treballarem és una equació diferencial estocàstica de Volterra a R(d). Per aquesta equació demostrarem l'existència i la unicitat de solució, i provarem que la solució té moments finits. Observem que els nostres resultats inclouen com a cas particular els resultats obtinguts per Nualart i Răşcanu a [3].L'interès d'aquesta part recau en l'obtenció d'estimacions per a les integrals de Lebesgue i Riemann-Stieltjes. Amb aquestes estimacions, obtenim les mateixes cotes que les de [3], i la demostració de l'existència i unicitat s'aconsegueix seguint els mateixos passos que fan Nualarti Rascanu per la seva equació.Finalment, l'últim treball fa referència a l'estudi d'aquesta equació diferencial d-dimensional dx(t )= f(x(t))dy(t) on la funció de control y no és diferenciable però és B-Holder contínua. Una manera d'estudiar aquestes equacions si la funci_o de control és B-Holder contínua d'ordre B>1/2 , és la desenvolupada per Nualart i Răşcanu a [3]. Aquest mètode ha sigut estès en un treball recent de Hu i Nualart [2] pel cas que B pertanguès a (1/3, ½). El propòsit del nostre treball és obtenir estimacions precises per a la norma del suprem per a la soluci_o de l'equació utilitzant la metodologia introduïda a [2]. Com a aplicació d'aquests resultats, deduïrem l'existència de moments per a les solucions d'equacions diferencials estocàstiques dirigides per un moviment Brownià fraccionari amb paràmetre de Hurst H pertany a (1/3, ½).Obtindrem, finalment, una estimació per la norma del suprem de la derivada de Malliavin de la solució de l'equació anterior. Aquests resultats generalitzen el treball de Hu i Nualart [1] pel cas H > 1/2.REFERÈNCIES:[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Differential equations driven by Hölder continuous functions of order greater than ½. Stochastic analysis and applications", 399-413, Abel Symp., 2, Springer, Berlin, 2007.[2] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.[3] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81. / "Stochastic Differential Equations driven by a fractional Brownian Motion"By Mireia Besaló i MayolTEXT:This dissertation is devoted to the presentation of three contributions to the study of differential stochastic equations driven by a fractional Brownian motion.The first equation we study is an stochastic delay differential equation with reflection and non-negativity constraints. The second equation we work with is an stochastic Volterra equation on R(d). For that equation, like for the first one, we will prove the existence and uniqueness of solution, and we also prove the solution has finite moments. Our results include as a particular case the results obtained by Nualart and Răşcanu in [2].Finally, the last contribution it is about this d-dimensional differential equation dx(t) = f(x(t))dy(t), where the control function "y" is non-differenciable but is B-Hölder continuous. If B>1/2, one way to study these equations is the one used in [2]. That method has been extended by Hu and Nualart [1] to the case B belongs to (1/3, ½)For that equation we obtain precise estimates of the supremum norm of the solution of the equation. As an application of these results, we deduce the existence of moments and an estimate of the supremum norm of the Malliavin derivative of the solution of stochastic differential equations driven by a fractional Brownian motion with Hurst parameter H belongs to (1/3, ½). REFERENCES:[1] Hu, Y.; Nualart, D. "Rough path analysis via fractional calculus". Transactions of the American Mathematical Society 361, (2009), 2689-2718.[2] Nualart, D.; Răşcanu, A. "Differential equations driven by fractional Brownian motion". Collect. Math. 53 (2002) 55-81.

The anisotropic Kepler problem was introduced by Gutzwiller as a classical mechanical system which approximates the following quantum mechanical system: the study of bound states of an electron near a donor impurity of a semiconductor. As it is known the anisotropic Kepler problem exhibits many qualitative phenomena of interest in the theory of differential equations such as non-integrability and chaotic behaviour. This paper is essentially devoted to the qualitative analysis of this problem, and also surveys the recent techniques and results from it.

Se consideran familias de difeomorfismos con un punto fijo parabólico para el valor cero del parámetro y un punto fijo hiperbólico para valores mayores que cero que tengan en este caso puntos homoclínicos asociados a las variedades invariantes del punto hiperbólico. Para estas familias se estudia la separación máxima entre estas variedades en una región fijada la cual da una medida cuantitativa de la falta de integrabilidad del difeomorfismo. En el caso diferenciable se obtiene que la separación es del orden de una potencia adecuada del parámetro (que se explicita). En el caso infinitamente diferenciable es del orden de cualquier potencia del parámetro y en el caso analítico conservativo es menor que una función exponencialmente decreciente cuyos parámetros se relacionan con singularidades complejas.Además se hace un estudio del comportamiento de las variedades invariantes de un punto fijo hiperbólico de difeomorfismos diferenciables cercanos a la identidad y se da un tratamiento uniforme de la forma normal de Birkmoff alrededor de un punto fijo hiperbólico para familias de difeomorfismos conservativos analíticos que contengan la identidad.

In this work we study several topics concerning quasi-periodic time-dependent perturbations of ordinary differential equations. This kind of equations appear as models in many applied problems of Celestial Mechanics, and we have used, as an illustration, the study of the behaviour near the equilateral libration points of the real Earth-Moon system. Let us introduce this problem as a motivation. As a first approximation, suppose that the Earth and Moon arc revolving in circular orbits around their centre of masses, neglect the effect of the rest of the solar system and neglect the spherical terms coming from the Earth and Moon (of course, all the effects minor than the above mentioned) as the relativistic corrections, must be neglected). With this, we can write the equations of motion of an infinitesimal particle (by infinitesimal we mean that the particle is influenced by the Earth and Moon, but it does not affect them) by means of Newton's Jaw. The study of the motion of that particle is the so-called Restricted Three Body Problem (RTBP). Usually, in order to simplify the equations, the units of length, time and mass are chosen so that the angular velocity of rotation, the sum of masses of the bodies and the gravitational constant are all equal to one. With these normalized units, the distance between the bodies is also equal to one. If these equations of motion are written in a rotating frame leaving fixed the Earth and Moon (these main bodies are usually called primaries), it is known that the system has five equilibrium points. Two of them can be found as the third vertex of equilateral triangles having the Earth and Moon as vertices, and they are usually called equilateral libration points.It is also known that, when the mass parameter "mi" (the mass of the small primary in the normalized units) is less than the Routh critical value "mi"(R) = 1/2(1 - square root (23/27) = 0.03852 ... (this is true in the Earth-Moon case) these points are linearly stable. Applying the KAM theorem to this case we can obtain that there exist invariant tori around these points. Now, if we restrict the motion of the particle to the plane of motion of the primaries we have that, inside each energy level, these tori split the phase space and this allows to prove that the equilateral points are stable (except for two values, "mi" = "mi"2 and "mi"= "mi"3 with low order resonances). In the spatial case, the invariant tori do not split the phase space and, due to the possible Arnold diffusion, these points can be unstable. But Arnold diffusion is a very slow phenomenon and we can have small neighbourhoods of "practical stability", that is, the particle will stay near the equilibrium point for very long time spans.Unfortunately, the real Earth-Moon system is rather complex. In this case, due to the fact that that the motions of the Earth and the Moon are non circular (even non elliptical) and the strong influence of the Sun, the libration points do not exist as equilibrium points, and we need to define "instantaneous" libration points as the ones forming an equilateral triangle with the Earth and the Moon at each instant. If we perform some numerical integrations starting at (or near) these points we can see that the solutions go away after a short period of time, showing that these regions are unstable.Two conclusions can be obtained from this fact. First: if we are interested in keeping a spacecraft there, we will need to use some kind of control. Second: the RTBP is not a good model for this problem} because the behaviour displayed by it is different from the one of the real system.For these reasons, an improved model has been developed in order to study this problem. This model includes the main perturbations (due to the solar effect and to the noncircular motion of the Moon), assuming that they are quasi-periodic. This is a very good approximation for time spans of some thousands of years. It is not clear if this is true for longer time spans, but this matter will not be considered in this work. This model is in good agreement with the vector field of the solar system directly computed by means of the JPL ephemeris, for the time interval for which the JPL model is available.The study of this kind of models is the main purpose of this work.First of all, we have focused our attention on linear differential equations with constant coefficients, affected by a small quasi-periodic perturbation. These equations appear as variational equations along a quasi-periodic solution of a general equation and they also serve as an introduction to nonlinear problems.The purpose is to reduce those systems to constant coefficients ones by means of a quasi-periodic change of variables, as the classical Floquet theorem does for periodic systems. It is also interesting to nave a way to compute this constant matrix, as well as the change of variables. The most interesting case occurs when the unperturbed system is of elliptic type. Other cases, as the hyperbolic one, have already been studied. We have added a parameter ("epsilon") in the system, multiplying the perturbation, such that if "epsilon" is equal to zero we recover the unperturbed system. In this case we have found that, under suitable hypothesis of non-resonance, analyticity and non-degeneracy with respect to "epsilon", it is possible to reduce the system to constant coefficients, for a cantorian set of values of "epsilon". Moreover, the proof is constructive in an iterative way. This means that it is possible to find approximations to the reduced matrix as well as to the change of variables that performs such reduction. These results are given in Chapter 1.The nonlinear case is now going to be studied. We have then considered an elliptic equilibrium point of an autonomous ordinary differential equation, and we have added a small quasi-periodic perturbation, in such a way that the equilibrium point does not longer exist. As in the linear case, we have put a parameter ("epsilon") multiplying the perturbation. There is some "practical" evidence that there exists a quasi-periodic orbit, having the same basic frequencies that the perturbation, such that, when the perturbation goes to zero, this orbit goes to the equilibrium point. Our results show that, under suitable hypothesis, this orbit exists for a cantorian set of values of "epsilon". We have also found some results related to the stability of this orbit. These results are given in Chapter 2.A remarkable case occurs when the system is Hamiltonian. Here it is interesting to know what happens to the invariant tori near these points when the perturbation is added. Note that the KAM theorem can not be applied directly due to the fact that the Hamiltonian is degenerated, in the sense that it has some frequencies (the ones of the perturbation) that have fixed values and they do not depend on actions in a diffeomorphic way. In this case, we have found that some tori still exist in the perturbed system. These tori come from the ones of the unperturbed system whose frequencies are non-resonant with those of the perturbation. The perturbed tori add these perturbing frequencies to the ones they already had. This can be described saying that the unperturbed tori are "quasi-periodically dancing" under the "rhythm" of the perturbation. These results can also be found in Chapter 2 and Appendix C.The final point of this work has been to perform a study of the behaviour near the instantaneous equilateral libration points of the real Earth-Moon system. The purpose of those computations has been to find a way of keeping a spacecraft near these points in an unexpensive way. As it has been mentioned above in the real system these points are not equilibrium points, and their neighbourhood displays unstability. This leads us to use some control to keep the spacecraft there. It would be useful to have an orbit that was always near these points, because the spacecraft could be placed on it. Thus, only a station keeping would be necessary. The simplest orbit of this kind that we can compute is the one that replaces the equilibrium point. In Chapter 3, this computation has been carried out first for a planar simplified model and then for a spatial model. Then, the solution found for this last model has been improved, by means of numerical methods, in order to have a real orbit of the real system (here, by real system we mean the model of solar system provided by the JPL tapes). This improvement has been performed for a given (fixed) time-span. That is sufficient for practical purposes. Finally, an approximation to the linear stability of this refined orbit has been computed, and a very mild unstability has been found, allowing for an unexpensive station keeping. These results are given in Chapter 3 and Appendix A.Finally, in Appendix B the reader can find the technical details concerning the way of obtaining the models used to study the neighbourhood of the equilateral points. This has been jointly developed with Gerard Gomez, Jaume Llibre, Regina Martinez, Josep Masdemont and Carles Simó.We study several topics concerning quasi-periodic time-dependent perturbations of ordinary differential equations. This kind of equations appear in many applied problems of Celestial Mechanics, and we have used, as an illustration, the study of the behaviour near the Lagrangian points of the real Earth-Moon system. For this purpose, a model has been developed. It includes the main perturbations (due to the Sun and Moon), assuming that they are quasi-periodic.Firstly, we deal with linear differential equations with constant coefficients, affected by a small quasi-periodic perturbation, trying to reduce then: to constant coefficients by means of a quasi-periodic change of variables. The most interesting case occurs when the unperturbed system is of elliptic type. We have added a parameter "epsilon" in the system, multiplying the perturbation, such that if "epsilon" is equal to zero we recover the unperturbed system. In this case, under suitable hypothesis of non-resonance, analyicity and non degeneracy with respect to "epsilon", it is possible to reduce the system to constant coefficients, for a cantorian set of values of "epsilon".In the nonlinear case, we have considered an elliptic equilibrium point of an autonomous differential equation, and we have added a small quasi-periodic perturbation, in such a way that the equilibrium point does not exist. As in the linear case, we have put a parameter ("epsilon") multiplying the perturbation. Then, for a cantorian set of "epsilon", there exists a quasi-periodic orbit having the same basic frequencies as the perturbation, going to the equilibrium point when t: goes to zero. Some results concerning the stability of this orbit are stated. When the system is Hamiltonian, we have found that some tori still exist in the perturbed system. These tori come from the ones of the unperturbed system whose frequencies are non-resonant with those of the perturbation, adding these perturbing frequencies to the ones they already had.Finally, a study of the behaviour near the Lagrangian points of the real Earth-Moon system is presented. The purpose has been to find the orbit replacing the equilibrium point. This computation has been carried out first for the model mentioned above and then it has been improved numerically, in order to have a real orbit of the real system. Finally, a study of the linear stability of this refined orbit has been done.

Avui en dia la conversió DC-AC té una important aplicació pràctica en el camp dels sistemes de potència ininterrompuda (SPI). Els convertidors commutats bàsics (el buck, lineal, i el boost i el buck-boost, no lineals) presenten una estructura molt simple, i al llarg dels últims quinze anys s'ha estudiat la possibilitat d'usar-los en esquemes de conversió DC-AC. L'objectiu de la tesi és aconseguir que els convertidors DC-DC de potència bàsics puguin seguir referències alternes mitjançant el voltatge de sortida. També es desenvolupen esquemes robustos per tal d'eliminar l'efecte de possibles pertorbacions en la tasca de seguiment. Els modes de lliscament s'usen com a tècnica de control, i es presenten resultats de simulació.La tesi s'organitza en capítols. El primer i el segon contenen una introducció i una revisió de la literatura existent. Els continguts i distribució de la resta de capítols segueix a continuació. El capítol 3 tracta el seguiment exacte i asimptòtic d'una referència variable en el temps per part del voltatge de sortida d'un convertidor reductor, controlat indirectament via el corrent d'entrada. A partir de l'estudi del problema del seguiment en sistemes lineals amb guanys fixos -mitjançant la teoria de mòduls- s'obtenen restriccions sobre els possibles senyals a seguir. A més, es proporciona una estratègia de control lliscant per aconseguir el seguiment, consistent en un procediment per modificar una superfície de lliscament inicialment bona en tasques de regulació i una llei de control. Una adequada elecció de variables d'estat permet que les possibles pertorbacions de la resistència de càrrega satisfacin la condició de superposició. En el capítol 4 s'usa un procediment basat en inversió per aconseguir el seguiment exacte de referències periòdiques amb la resistència de càrrega dels convertidors no lineals boost i buck-boost. També s'obtenen condicions suficients per a possibles senyals a seguir. Es presenta també un marc general per a un tractament via inversió del problema de seguiment exacte en una certa classe de sistemes bilineals de segon ordre: aquells en els quals el problema d'inversió dóna lloc a una EDO del tipus Abel. El capítol 5 estudia l'ús del mètode de Galerkin -una generalització del mètode del Balanç Harmònic- en la solució aproximada del problema invers aparegut al capítol anterior, així com l'efecte que té la seva utilització en el control del sistema. Es demostra l'existència d'una successió de solucions aproximades de l'EDO que representa l'esmentat problema invers. També es prova que aquesta successió convergeix uniformement cap a la solució periòdica de l'EDO, i s'obté una cota d'error. La sortida del sistema presenta un comportament periòdic i asimptòticament estable quan es fa anar la successió d'aproximacions de Galerkin en el control del sistema. A l'hora, la successió de sortides periòdiques presenta convergència uniforme cap a la funció desitjada sota una hipòtesi raonable. També s'obtenen en aquest cas cotes d'error. En el capítol 6 s'aconsegueix seguiment asimptòtic aproximat per a convertidors no lineals bàsics que presenten pertorbacions de càrrega. Això es fa mitjançant un control adaptatiu que estima el paràmetre pertorbat i una aproximació de Galerkin de primer ordre que incorpora l'actualització on-line a una superfície de lliscament apropiada. El capítol 7 proposa exercir un control directe del voltatge de sortida en convertidors boost i buck-boost bidireccionals, tot aprofitant la robustesa davant pertorbacions externes que ofereix aquest tipus de control. Es segueixen referències periòdiques mentre el voltatge de sortida es regula independentment a un nivell prefixat. / Nowadays, DC-to-AC conversion has an important practical application in the field of uninterruptible power systems (UPS). Basic DC-to-DC switch mode power converters (the buck, which is linear, and the boost and buck-boost, which are nonlinears) possess a very simple structure, and during the last fifteen years the possibility of using them in DC-to-AC conversion schemes has been studied. The aim of this thesis is to achieve that the output voltage of the DC-to-DC buck, boost and buck-boost power converters can track periodic references. Robust schemes to eliminate disturbance effects in the tracking task are also developed. Sliding modes are used as the control technique, and the obtained results are validated by numeric simulation.The thesis is organized in chapters. The first and the second one contain an introduction and a review of the existing literature. The contents and contributions of the other chapters follow below. Chapter 3 deals with the exact and asymptotic tracking of a time varying reference by the load voltage of a step-down converter, indirectly controlled through the input current. Departing from the study of the tracking problem in linear systems with fixed gains with the aid of module theory, conditions over possible reference signals have been obtained. Moreover, a sliding mode strategy to achieve the control target, consisting in a procedure to modify a switching surface initially good for regulation tasks and a control law, is provided. An approppriate choice of state variables allows possible load perturbations to satisfy the matching condition. In chapter 4, an inversion-based indirect control is used to reach exact tracking of periodic references with the load resistance of nonminimum phase, nonlinear boost and buck-boost converters. Sufficient conditions for candidate references are also obtained. A general frame for an inversion-based treatment of the perfect tracking problem in a certain class of nonminimum phase, second order bilinear systems is proposed: those in which the inversion problem gives raise to an ODE of the Abel type. Chapter 5 studies the use of the Galerkin method -a generalization of the Harmonic Balance method- in the approximate solution of the inverse problem stated in the former chapter, as well as the effect of its use on the control of the system. The existence of a sequence of approximate solutions for the ODE that represents the quoted inverse problem is proved. This sequence is also proved to converge uniformly to the periodic solution of the ODE, and an error bound has been derived. The system output exhibits a periodic and asymptotically stable behavior when the indirect control using the sequence of Galerkin approximations is performed. In turn, the sequence of periodic outputs is shown to exhibit uniform convergence to the original target function under a reasonable hypothesis. Error bounds have also been obtained. In chapter 6, approximate asymptotic tracking is achieved for load perturbed, basic, nonlinear power converters. This is done by means of an adaptive control that estimates the perturbation parameter and a first order Galerkin approximation that incorporates the on-line updating into an appropriate sliding surface. Chapter 7 propounds to exert a direct control of the output voltage in bidirectional boost and buck-boost converters, thus taking advantage of the insensitiveness to external disturbances offered by this type of control. Periodic references are followed, while the unstable inductor current is independently regulated at a prescribed level.

En esta tesis se presentan aplicaciones del Análisis Intervalar Modal al estudio de problemas diferenciales aplicados básicamente a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería, precedidos de una sucinta revisión de la teoría básica del sistema de intervalos modales y un estudio exhaustivo de la optimalidad parcial de las funciones racionales, incorporando los conceptos de optimalidad equivalente y optimalidad condicionada, que representan una ampliación a la teoría del Análisis Intervalar Modal ya existente.Definiremos los intervalos identificándolos con el conjunto de predicados que aceptan o rechazan predicados sobre la recta real, hecho desde luego, que permite corregir deficiencias estructurales y semánticas del Análisis Intervalar Clásico, pero que sobretodo funda la teoría intervalar en la función básica de los intervalos como referencias al sistema de los números reales compatibles con la inevitable necesidad de truncación que acompaña a cualquier valor numérico experimental. Revisada la teoría básica del análisis intervalar modal, nos proponemos aplicarla a la resolución de problemas del ámbito de la ingeniería. Así, al plantearnos la resolución de problemas incluso elementales, como el de propagación del calor en una dimensión, nos encontramos con problemas de planteo en la aplicación de la teoría intervalar debido a las restricciones que impone la posibilidad de cálculos optimales. Esta situación lleva al estudio de la optimalidad condicionada que se ha presentado en el tercer capítulo de la tesis.Admitiendo restricciones sobre las modalidades de los argumentos de las funciones racionales se obtienen conceptos nuevos como el de modalidad partida o el de optimalidad lateral, que finalmente permiten introducir el concepto de función racional sintácticamente c-conmutativa, que permite obtener un conjunto más amplio de funciones a las que se les puede asociar un cálculo optimal. Sobre el conjunto de los intervalos podemos definir diversos sistemas de operaciones obteniendo por ejemplo el sistema de los intervalos modales dotados de su aritmética fundamental o bien dotados de una aritmética lineal o paralela. Esta última aritmética se introduce en el cuarto capítulo de la tesis. Desde el punto de vista del análisis intervalar modal hemos estudiado ecuaciones en diferencias definidas como solución numérica a ecuaciones diferenciales. El modelo intervalar y los métodos de cálculo numérico son objetivamente distintos: mientras que el cálculo numérico calcula trayectorias singulares aproximadas, el cálculo intervalar calcula haces de trayectorias asociadas a una estrategia determinada por las modalidades de los intervalos. Además, el cálculo intervalar está basado en la inclusividad de las soluciones intervalares y por ello da lugar esencialmente a modelos exactos desde el punto de vista de las semánticas asociadas a la inclusión; frente al caso del cálculo numérico que se apoya esencialmente en el concepto de aproximación.Una propiedad estructuralmente básica del Análisis intervalar es que no es adecuado aprovechar los algoritmos de los métodos numéricos clásicos como algoritmos intervalares, puesto que la estructura intervalar es esencialmente "mayor" que la de los números reales y por lo tanto debemos plantear cada problema intervalar siempre ab initio, en el interior del propio contexto intervalar. Fundamentalmente esto está determinado por el hecho de que no tiene sentido plantear las relaciones de inclusividad en el conjunto de los números reales, por reducirse a la identidad, y no tiene sentido prescindir de ellas en el contexto intervalar.Los capítulos 5, 6, y 7 estudian distintos problemas que plantean las ecuaciones en diferencias intervalares, distinguiendo las situaciones que necesitan un contexto lineal y en consecuencia el soporte aritmético de los intervalos de marcas (comentados en el apéndice B). Se han estudiado también problemas de contorno que se plantean en el cálculo numérico clásico, esencialmente sobre un contexto geométrico lineal. Dado que las operaciones aritméticas básicas de los intervalos modales no son operaciones lineales, no serán las operaciones adecuadas para modelos que pidan linealidad global. Los sistemas con operaciones lineales obligarán a un uso más elaborado de la modalidad, pero mantienen la geometría lineal que usualmente está exigida por el planteo experimental del problema. En la misma consideración de un modelo lineal, sin embargo, y tal como se ha estudiado en el capítulo 6, aparece un problema lógico con la truncación de los intervalos, cuya solución lleva inevitablemente a la aritmética de marcas. En el apéndice A se presenta una biblioteca C++ que implementa la aritmética intervalar modal soportada por los coprocesadores Intel.