L'objet de cette thèse est l'étude de quelques propriétés de l'équation d'évolution de Schrödinger. Dans un premier temps, on s'intéresse à un problème inverse concernant cette équation posée en domaine borné, avec potentiel, lequel dépend uniquement de la variable d'espace, et donnée de Dirichlet sur le bord. On démontre, à l'aide d'une inégalité de Carleman, que le problème inverse de la détermination du potentiel à partir de la mesure du flux de la solution à travers une partie du bord est un problème bien posé. Dans un deuxième temps, il est question de l'équation de Schrödinger considérée dans $\mathbb R^3$ avec un potentiel coulombien, localement singulier, et un potentiel électrique non borné, tous deux dépendant des variables d'espace et de temps. On montre successivement l'existence d'une unique solution régulière pour l'équation linéaire et pour l'équation avec non-linéarité de Hartree. Ce sont des étapes préliminaires à l'étude d'un système couplant à travers le potentiel coulombien, cette équation de Hartree-Fock et une équation issue de la dynamique newtonienne. Les résultats obtenus ici sont indispensables à l'étude finale des problèmes de contrôle optimal bilinéaire posés à partir de ces différentes équation, le contrôle de la solution étant effectué par le potentiel électrique. On démontre l'existence d'un contrôle optimal et on donne la condition d'optimalité correspondante dans les cas appropriés\vspace(0,5cm)

Les travaux présentés concernent l'étude de problèmes d'existence, d'unicité et de régularité de problèmes d'écoulement de fluides géophysiques. On s'intéresse en particulier aux écoulements des masses d'eau à travers des modèles bi-dimensionnels et tri-dimensionnels. Dans une première partie est présentée différentes approches de la simulation de ces écoulements par les méthodes de Galerkin linéaire et non linéaire. Les résultats de convergence de ces méthodes numériques sont présentés dans le cas bidimensionnel. Dans une seconde partie l'impact de l'hypothèse du toit rigide sur le comportement des solutions est étudié. Différents schémas numériques de résolution sont proposés, permettant de traiter efficacement les différentes contraintes globales liées à cette hypothèse. Des résultats de convergence de la méthode sont présentés pour des modèles de shallow water mono-couche et bi-couche. La dernière partie de ces travaux est consacrée à l'étude d'un couplage entre les vibrations de la croûte terrestre et la masse d'eau océanique. Cette approche utilisant un opérateur de plaque pour la modélisation de la croûte terrestre permet d'obtenir des résultats d'existence et d'unicité des solutions. Ce type de modèle est adaptée, entre autre, la modélisation de phénomènes de tsunami.

Ce mémoire d'Habilitation à Diriger des Recherches (HDR) retrace dix années de recherche en tant que maître de conférences, autour de modèles d'EDP appliqués à des écoulements de fluides. On y trouve aussi bien des aspects analyse mathématique, qu'analyse numérique, algorithmique ou encore calcul et mise en oeuvre informatique. Les principaux modèles d'EDP abordés sont les équations de Navier-Stokes ou Stokes surface libre (micro-fluidique, glaciologie), les équations de St-Venant ou asymptotique "shallow" (hydraulique fluviale, glaciologie). L'orientation de ces études vers les thématiques applicatives a conduit à élaborer des modèles numériques potentiellement applicables aux problèmes réels posés. Ainsi, les aspects calibration de modèles, optimisation, identification, analyse de sensibilité et assimilation de données (via le contrôle optimal) y sont largement représentés. En termes de réalisation de logiciels prototypes, sont présentés un code d'hydraulique fluviale (inondations) dédié à l'analyse de sensibilité, l'assimilation variationnelle de données et le couplage, un code surface libre d'impact de gouttelettes (2D axisymétrique ALE) et un code d'optimisation de forme appliqué à l'électro-capillarité. <br /> Le premier chapitre présente des analyses mathématiques et analyse de schémas éléments finis basées sur des troncatures. Un second chapitre décrit un cadre mathématique et algorithmique pour l'optimisation de forme, avec applications à un modèle Navier-Stokes - thermique radiative et à une gouttelette électrifiée (électro-capillarité). Un troisième chapitre traite de la modélisation numérique de la dynamique d'une gouttelette sur un substrat solide. La dynamique de la ligne triple y est décrite à l'aide du modèle de Shikhmurzaev. Dans un quatrième chapitre sont présentés plusieurs travaux autour d'écoulements fluviaux et zones d'inondations (St-Venant 1.5D-2D, schémas volumes finis). Les processus de calibrage de modèles, de couplage et d'assimilation variationnelle de données constituent une grand part des travaux. Des applications à des écoulements réels avec données non standards (trajectoires lagrangiennes, image satellite) démontrent la potentialité des méthodes développées. Le dernier chapitre traite des travaux récemment initiés et tout particulièrement ceux relatifs aux calottes polaires (Stokes non-Newtonien et équations asymptotiques). Parmi les difficultés mathématiques soulevées figurent la réduction de modèles (asymptotique, réduction d'ordre), le couplage, la sensibilité des modèles aux erreurs et aux paramètres, et enfin l'assimilation de données et le calibrage.

Le résumé contient des caractères spéciaux

Ce travail présente quelques contributions à l'étude théorique et numérique des modèles utilisés en pratique pour la simulation moléculaire de la matière. En particulier, on présente et on analyse des méthodes numériques stochastiques dans le domaine de la physique statistique, permettant de calculer plus efficacement des moyennes d'ensemble. Une application particulièrement importante est le calcul de différences d'énergies libres, par dynamiques adaptatives ou hors d'équilibre. On étudie également quelques techniques, stochastiques ou déterministes, utilisées en chimie quantique et permettant de résoudre de manière approchée le problème de minimisation associé à la recherche de l'état fondamental d'un opérateur de Schrödinger en dimension grande. On propose enfin des modèles réduits permettant une description microscopique simplifiée des ondes de choc et de détonation par le biais d'une dynamique stochastique sur des degrés de liberté moyens, approchant la dynamique hamiltonienne déterministe du système complet.

Nous étudions dans ce travail une méthode de type éléments finis dans le but de simuler le mouvement de particules rigides immergées. La méthode développée ici est une méthode de type domaine fictif. L'idée est de chercher un prolongement régulier de la solution exacte à tout le domaine fictif afin d'obtenir une solution régulière sur tout le domaine et retrouver l'ordre optimal de l'erreur avec des éléments d'ordre 1. Le prolongement régulier est cherché en minimisant une fonctionnelle dont le gradient est donné par la solution d'un nouveau problème fluide faisant intervenir une distribution simple couche dans le second membre. Nous faisons une analyse numérique, dans le cas scalaire, de l'approximation de cette distribution par une combinaison de masse de Dirac. Un des avantages de cette méthode est de pouvoir utiliser des solveurs rapides sur maillages cartésiens tout en conservant l'ordre optimal de l'erreur. Un autre avantage de la méthode vient du fait que les opérateurs ne sont pas modifiés, seul les seconds membres dépendent de la géométrie du domaine initial. Nous avons de plus écrit un code C++ parallèle en deux et trois dimensions, permettant de simuler des écoulements fluide/particules rigides avec cette méthode. Nous présentons ainsi une description des principales composantes de ce code.

Les méthodes classiques de résolution des équations de l'élasticité linéaire sont les méthodes éléments finis. Ces méthodes produisent de très bons résultats et sont très largement analysées mathématiquement pour l'étude des déformations solides. Pour des problèmes de couplage solide/fluide, pour des situations réalistes en présence de discontinuités (modélisation des fronts de gel dans les sols humides), ou bien encore pour des domaines de calcul mieux adaptés aux maillages non conformes, il parait intéressant de disposer de solveurs Volumes Finis. Les méthodes Volumes Finis sont très largement utilisées en mécanique des fluides. Appliquées aux problèmes de convection, elles sont bien adaptées à la capture de solutions présentant des discontinuités et ne nécessitent pas de maillages conformes. De plus, elles présentent l'avantage de conserver au niveau discret les flux à travers les interfaces du maillage. C'est pourquoi sont développées et testées, dans cette thèse, plusieurs méthodes de volumes finis, qui permettent de traiter le problème de l'élasticité. On a, dans un premier temps, mis en œuvre la méthode LSGR (Least Squares Gradient Reconstruction), qui reconstruit des gradients par volumes à partir d'une formule de moindres carrés pondérés sur les volumes voisins. Elle est testée pour des maillages tétraédriques non structurés, et montre un ordre 1 de convergence. La méthode des Volumes Finis mixtes est ensuite présentée, basée sur la conservation d'un flux "pénalisé" à travers les interfaces. Cette pénalisation impose une contrainte sur le type de maillage utilisé, et des tests sont réalisés en 2d avec des maillages structurés et non structurés de quadrangles. On étend ensuite la méthode des Volumes Finis diamants à l'élasticité. Cette méthode détermine un gradient discret sur des sous volumes associés aux interfaces à partir de l'interpolation de la solution aux sommets du maillage. La convergence théorique est prouvée sous réserve de vérifier une condition de coercivité. Les résultats numériques, en 2d pour des maillages non structurés, conduisent à un ordre de convergence meilleur que celui prouvé. Enfin, la méthode DDFV (Discrete Duality Finite Volume), qui est une extension de la méthode Diamant, est présentée. Elle est basée sur une correspondance entre plusieurs maillages afin d'y construire des opérateurs discrets en "dualité discrète". On montre que la méthode est convergente d'ordre 1. Les illustrations numériques, réalisées en 2d et en 3d pour des maillages non structurés, montrent une convergence d'ordre 2, ce qui est fréquemment observé pour cette méthode.

Dans cette thèse on étudie le couplage de modèles à dimensions spatiales hétérogènes, avec une application en hydraulique fluviale. On commence par donner un cadre mathématique général à cette problématique. Ensuite, on étudie un cas académique de couplage 1-D/2-D dans le cadre elliptique. On définit les opérateurs de restriction et d'extension nécessaires à l'analyse en se basant sur la dérivation du modèle 1-D à partir du modèle 2-D. Après cela, on met en oeuvre un algorithme de couplage de type Schwarz avec des conditions de type Robin. On montre alors la convergence de cet algorithme, plus particulièrement sa convergence optimale en utilisant l'opérateur absorbant exact 1-D. On termine cette partie en établissant une majoration de l'erreur entre la solution couplée et la solution globale de référence en fonction du rapport d'aspect du domaine d'étude et de la position de l'interface de couplage. Ces résultats sont illustrés numériquement. Dans la deuxième partie, on généralise cette analyse mathématique au cas du couplage des systèmes linéaires de Saint-Venant 2-D et de Navier-Stokes hydrostatiques 3-D. En faisant l'hypothèse d'une friction nulle au fond, on montre que la convergence de l'algorithme de couplage est équivalente à celle de l'algorithme usuel de décomposition de domaine du Système de Saint-Venant. On calcule une approximation des opérateurs absorbants exacts du système de Saint-Venant, ce qui nécessite de faire des hypothèses restrictives. Comme alternative, on propose un algorithme avec des conditions de type Robin, dont on montre la convergence. Enfin, on présente une première étude d'un cas test réel de couplage des systèmes de Saint-Venant 1-D et Navier-Stokes 3-D en utilisant les codes numériques Mascaret 1-D et Telemac 3-D développés par EDF R&D.

Cette thèse est consacrée à l'étude mathématique des propriétés de stabilité de systèmes quantiques infinis, décrits par des modèles non linéaires. Dans les chapitres 1 et 2, on étudie l'instabilité du vide relativiste menant au phénomène de création de paires électron-positron. Dans le chapitre 3, on considère la dynamique de ce même vide relativiste couplé à un champ scalaire. Les chapitres 4 et 5 sont consacrés au caractère dispersif de la dynamique non linéaire de Hartree pour des perturbations de la mer de Fermi, et en particulier à sa stabilité orbitale et asymptotique. Enfin, le chapitre 6 introduit une notion générale d'entropie relative entre deux états comportant une infinité de particules.

Nous présentons des modèles macroscopiques du comportement mécanique du parenchyme pulmonaire humain obtenus par homogénéisation double--échelle. Dans une première partie consacrée au couplage entre parenchyme et arbre bronchique, nous commençons par proposer un modèle de la déformation du parenchyme. Nous modélisons (i) le parenchyme par un matériau élastique linéaire, (ii) les alvéoles comme des cavités de taille epsilon réparties périodiquement dans le domaine macroscopique et (iii) l'arbre bronchique par un arbre dyadique résistif en supposant la loi de Poiseuille valide pour chaque voie aérienne. Nous obtenons en faisant tendre epsilon vers zéro, par homogénéisation, une description macroscopique du parenchyme comme un matériau viscoélastique, sous certaines conditions sur l'irrigation du domaine par l'arbre que nous étudions ensuite. L'arbre induit une dissipation non--locale en espace. Nous illustrons ces résultats par des résultats numériques. Dans une deuxième partie, nous étudions la propagation d'ondes sonores dans le parenchyme, sans prendre en compte l'arbre bronchique. Nous homogénéisons dans le domaine fréquentiel un premier modèle couplant l'élasticité linéarisée dans le parenchyme avec l'équation acoustique dans l'air. Nous déduisons une loi de comportement macroscopique élastique linéaire en dehors d'un ensemble de résonances. Ensuite, nous homogénéisons un deuxième modèle qui prend en compte le caractère viscoélastique et inhomogène du parenchyme au niveau microscopique. Le matériau macroscopique présente des effets de mémoire nouveaux par rapport aux composants microscopiques que nous étudions numériquement.