Cette thèse aborde deux sujets de recherches, le premier est sur l’existence et l’unicité des solutions des Équations Différentielles Doublement Stochastiques Rétrogrades (EDDSRs) et les Équations aux Dérivées partielles Stochastiques (EDPSs) multidimensionnelles à croissance surlinéaire. Le deuxième établit l’existence d’un contrôle optimal strict pour un système controlé dirigé par des équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades (EDSPRs) couplées dans deux cas de diffusions dégénérée et non dégénérée.• Existence et unicité des solutions des EDDSRs multidimensionnels :Nous considérons EDDSR avec un générateur de croissance surlinéaire et une donnée terminale de carré intégrable. Nous introduisons une nouvelle condition locale sur le générateur et nous montrons qu’elle assure l’existence, l’unicité et la stabilité des solutions. Même si notre intérêt porte sur le cas multidimensionnel, notre résultat est également nouveau en dimension un. Comme application, nous établissons l’existence et l’unicité des solutions des EDPS semi-linéaires.• Contrôle des EDSPR couplées :Nous étudions un problème de contrôle avec une fonctionnelle coût non linéaire dont le système contrôlé est dirigé par une EDSPR couplée. L’objective de ce travail est d’établir l’existence d’un contrôle optimal dans la classe des contrôle stricts, donc on montre que ce contrôle vérifie notre équation et qu’il minimise la fonctionnelle coût. La méthode consiste à approcher notre système par une suite de systèmes réguliers et on montre la convergence. En passant à la limite, sous des hypothèses de convexité, on obtient l’existence d’un contrôle optimal strict. on suit cette méthode théorique pour deux cas différents de diffusions dégénérée et non dégénérée. / In this Phd thesis, we considers two parts. The first one establish the existence and the uniquness of the solutions of multidimensional backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs in short) and the stochastic partial differential equations (SPDEs in short) in the superlinear growth generators. In the second part, we study the stochastic controls problems driven by a coupled Forward-Backward stochastic differentialequations (FBSDEs in short).• BDSDEs and SPDEs with a superlinear growth generators :We deal with multidimensional BDSDE with a superlinear growth generator and a square integrable terminal datum. We introduce new local conditions on the generator then we show that they ensure the existence and uniqueness as well as the stability of solutions. Our work go beyond the previous results on the subject. Although we are focused on multidimensional case, the uniqueness result we establish is new in one dimensional too. As application, we establish the existence and uniqueness of probabilistic solutions tosome semilinear SPDEs with superlinear growth generator. By probabilistic solution, we mean a solution which is representable throughout a BDSDEs.• Controlled coupled FBSDEs :We establish the existence of an optimal control for a system driven by a coupled FBDSE. The cost functional is defined as the initial value of the backward component of the solution. We construct a sequence of approximating controlled systems, for which we show the existence of a sequence of feedback optimal controls. By passing to the limit, we get the existence of a feedback optimal control. The convexity condition is used to ensure that the optimal control is strict. In this part, we study two cases of diffusions : degenerate and non-degenerate.

En vision par ordinateur, le flot de scène représente le déplacement des points d'une surface située dans une scène 3D quelconque, entre deux instants consécutifs. Il s'agit donc d'un champ vectoriel 3D. Celui-ci est particulièrement utile dans l'analyse des déformations d'une surface quelconque, observée par un système d'au moins deux caméras. <br />Cette thèse traite de l'estimation du flot de scène et d'une application dans le domaine de la géophysique. Elle s'est déroulée dans le cadre de l'ACI GEOLSTEREO, en collaboration étroite avec le laboratoire Geosciences Azur, situé à Sophia Antipolis (06, UMR 6526 - CNRS - UNSA - UPMC- IRD). <br /><br />Nous proposons d'estimer le flot de scène en couplant l'évaluation du flot optique dans les séquences d'images associées à chaque caméra, à l'estimation de la correspondance stéréo dense entre les images. De plus, notre approche évalue, en même temps que le flot de scène, les occultations à la fois en flot optique et en stéréo. Nous obtenons au final un système d'EDP couplant le flot optique et la stéréo, que nous résolvons numériquement à l'aide d'un algorithme multirésolution original.<br />Alors que les précédentes méthodes variationnelles estimaient la reconstrution 3D au temps $t$ et le flot de scène séparément, notre méthode estime les deux simultanément. Nous présentons des résultats numériques sur des séquences synthétiques avec leur vérité terrain, et nous comparons également la précision du flot de scène projeté dans une caméra avec une méthode récente et performante d'estimation variationnelle du flot optique. Des résultats sont présentés sur une séquence stéréo réelle, se rapportant à un mouvement non rigide et à de larges discontinuités. <br /><br />Enfin, nous présentons l'approche originale de modélisation physique 3D utilisée au laboratoire Geosciences Azur. Nous décrivons la mise en place du dispositif stéréoscopique associé, ainsi que le déroulement de l'expérience. Des résultats de reconstruction 3D, d'estimation du flot de scène, et de suivi de la déformation d'une surface sont montrés dans le chapitre 4 de la thèse.

La quantification et la propagation des incertitudes dans les modèles physiques apparaissent comme des voies essentielles vers l'amélioration de la prédiction de leur réponse. Le développement d'outils de modélisation des incertitudes et d'estimation de leur impact sur la réponse d'un modèle a constitué un axe de recherche privilégié dans de nombreux domaines scientifiques. Cette dernière décennie, un intérêt croissant a été porté à des méthodes numériques basées sur une vision fonctionnelle des incertitudes. Ces méthodes, couramment baptisées ``méthodes spectrales stochastiques'', sont issues d'un mariage fructueux de l'analyse fonctionnelle et de la théorie des probabilités.<br /><br />Reposant sur des bases mathématiques fortes, les méthodes spectrales de type Galerkin semblent constituer une voie prometteuse pour l'obtention de prédictions numériques fiables de la réponse de modèles régis par des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS). Plusieurs inconvénients freinent cependant l'utilisation de ces techniques et leur transfert vers des applications de grande taille : le temps de calcul, les capacités de stockage mémoire requises et le caractère ``intrusif'', nécessitant une bonne connaissance des équations régissant le modèle et l'élaboration de solveurs spécifiques à une classe de problèmes donnée. Un premier volet de mes travaux de recherche a consisté à proposer une stratégie de résolution alternative tentant de lever ces inconvénients. L'approche proposée, baptisée méthode de décomposition spectrale généralisée, s'apparente à une technique de réduction de modèle a priori. Elle consiste à rechercher une décomposition spectrale optimale de la solution sur une base réduite de fonctions, sans connaître la solution a priori. <br /><br />Un deuxième volet de mes activités a porté sur le développement d'une méthode de résolution d'EDPS pour le cas où l'aléa porte sur la géométrie. Dans le cadre des approches spectrales stochastiques, le traitement d'aléa sur l'opérateur et le second membre est en effet un aspect aujourd'hui bien maîtrisé. Par contre, le traitement de géométrie aléatoire reste un point encore très peu abordé mais qui peut susciter un intérêt majeur dans de nombreuses applications. Mes travaux ont consisté à proposer une extension de la méthode éléments finis étendus (X-FEM) au cadre stochastique. L'avantage principal de cette approche est qu'elle permet de traiter le cas de géométries aléatoires complexes, tout en évitant les problèmes liés au maillage et à la construction d'espaces d'approximation conformes.<br /><br />Ces deux premiers volets ne concernent que l'étape de prédiction numérique, ou de propagation des incertitudes. Mes activités de recherche apportent également quelques contributions à l'étape amont de quantification des incertitudes à partir de mesures ou d'observations. Elles s'insèrent dans le cadre de récentes techniques de représentation fonctionnelle des incertitudes. Mes contributions ont notamment porté sur le développement d'algorithmes efficaces pour le calcul de ces représentations. En particulier, ces travaux ont permis la mise au point d'une méthode d'identification de géométrie aléatoire à partir d'images, fournissant une description des aléas géométriques adaptée à la simulation numérique. Une autre contribution porte sur l'identification de lois multi-modales par une technique de représentation fonctionnelle adaptée.

Les résultats présentés dans cette thèse concernent l'étude de la<br />théorie de la diffusion pour des champs de Dirac dans plusieurs<br />espaces-temps de la relativité générale. Les méthodes complètement<br />dépendantes du temps développées par Enss, Sigal, Soffer, Graf,<br />Derezi\'nski et Gérard constituent le fil conducteur de ce<br />travail. Ces méthodes sont basées sur des estimations de propagation<br />comme les estimations de vitesse minimale (obtenues par une théorie de<br />Mourre) qui correspondent à une version faible du principe de Huygens <br />et sur l'étude d'observables asymptotiques naturelles comme les<br />opérateurs de vitesse asymptotiques. Dans un premier temps, on teste<br />ces méthodes en étudiant la propagation de champs de Dirac, massifs ou<br />non, perturbés par des potentiels à longue portée, en espace-temps<br />plat. On montre ainsi <br />l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde<br />modifiés. Dans un deuxième temps, on s'intéresse à des situations<br />géométriques plus compliquées en étudiant la propagation de ces champs<br />à l'extérieur de trous noirs de Reissner-Nordström (à symétrie<br />sphérique) et de Kerr-Newman (en rotation) du point de vue<br />d'observateurs lointains. L'originalité de ce type d'étude réside dans<br />le fait que les observateurs distinguent deux régions asymptotiques<br />(l'horizon du trou noir et l'infini spatial) aux structures<br />géométriques bien différentes ce qui entraîne l'existence de deux<br />canaux de diffusion. Dans le cas de trous noirs à symétrie<br />sphérique, une décomposition sur une base d'harmoniques sphériques<br />permet de se ramener à un problème à une dimension d'espace, du type<br />espace-temps plat. La difficulté essentielle provient alors de<br />l'absence de symétrie sphérique des trous noirs de Kerr-Newman qui<br />rend impossible une telle simplification. Dans les deux cas, on montre <br />l'existence et la complétude asymptotique des opérateurs d'onde<br />(modifiés à l'infini) à l'aide des méthodes dépendantes du temps.

Ce travail porte sur l'étude des méthodes de décomposition de domaine et leur application pour résoudre des problèmes de contrôle optimal régis par des équations aux dérivées partielles. Le principe de ces méthodes consiste à ramener des problèmes de grande taille sur des géométries complexes en une suite de sous-problèmes de taille plus petite sur des géométries plus simples. En considérant une décomposition sans recouvrement, l'intérêt de ces méthodes pour les problèmes de contrôle optimal réside au niveau de l'intégration de l'équation d'état, puisqu'il est possible de partitionner le problème en une suite de problèmes plus petits, quitte à contraindre les interfaces entre les sous-domaines à obéir à des conditions de raccordement afin de déduire la solution globale à partir des solutions locales. Dans une première partie, nous étudions le cas elliptique. Nous considérons simultanément la minimisation de la fonction coût et des raccordements sur les frontières entre les sous-domaines. Cette combinaison de problèmes de minimisation et de méthodes de décomposition de domaine est traitée par des techniques de Lagrangien augmenté. Nous montrons que, sur le domaine décomposé, le problème initial se réduit à la recherche d'un point-selle. Une étude des méthodes de Lagrangien nous a permis de choisir une variante d'algorithmes existants dans la littérature et de les combiner avec un algorithme de décomposition de domaine. Dans la seconde partie, nous développons l'extension de cette approche aux problèmes de contrôle optimal régis par des systèmes paraboliques en considérant uniquement une décomposition en espace du domaine de calcul. Dans une dernière partie, nous considérons une décomposition de domaine avec recouvrement à chaque pas de la minimisation. D'une part, nous construisons un algorithme parallèle en utilisant la méthode de Schwarz multiplicative en tant que solveur. Ceci permet de déduire naturellement l'état adjoint par transposition des systèmes directs locaux. L'algorithme global défini par la méthode de minimisation de type quasi-Newton et ce solveur de Schwarz constitue une méthode robuste de résolution du problème de contrôle optimal, mais coûteuse. D'autre part, et plus particulièrement, pour des problèmes de grande taille, l'algorithme de type quasi-Newton, combiné avec le solveur de Krylov BiCGSTAB préconditionné par une méthode de Schwarz additive, est plus compétitif dans la mesure oû l'on obtient de bonnes performances parallèles. De nombreux résultats sont présentés pour préciser le comportement des algorithmes d'optimisation quand ils sont utilisés avec des méthodes de Schwarz.

Nous nous intéressons d'abord à l'équation aux dérivées partielles stochastique de Cahn-Hilliard en dimension 1 avec une seule singularité. C'est une équation d'ordre 4 dont la non linéarité est de type logarithmique ou en puissance négative $x^{-\alpha}$, à laquelle on ajoute la dérivée d'un bruit blanc en espace et en temps. On montre l'existence et l'unicité des solutions en utilisant les solutions d'équations approchées aux non linéarités Lipschitz. La présence d'une mesure de réflexion permet d'assurer l'existence de solutions. On étudie ces mesures à l'aide des mesures de Revuz associées et, grâce à une formule d'intégration par parties, on montre qu'elles sont identiquement nulles lorsque alpha est plus grand ou égal à 3. Dans un deuxième temps, on considère la même équation mais avec deux singularités logarithmiques en +1 et -1. Il s'agit du modèle complet de l'équation de Cahn-Hilliard. Cette fois-ci on utilise des équations approchées aux non linéarités polynomiales pour montrer l'existence et l'unicité de solutions. Deux mesures de réflexion doivent ici être ajoutées pour assurer l'existence. De plus, on montrera que la mesure invariante est ergodique. Enfin, on étudie l'équation déterministe : des simulations numériques basées sur une méthode d'élements finis de hauts degrés permettent d'illustrer plusieurs résultats théoriques. La capture des interfaces et des états stationnaires requiert une attention particulière. On s'intéressera également aux bifurcations autour de la première valeur propre du Laplacien sur des domaines généraux. Par ailleurs, quelques simulations stochastiques permettent de mettre en évidence les instants de contact avec les singularités, les évolutions stochastiques en temps long et les changements d'états stationnaires.

L'étude de la propagation de la lumière dans les fibres optiques monomodes requiert la prise en compte de plusieurs phénomènes compliqués tels que la dispersion modale de polarisation et l'effet Kerr. Il s'est avéré que l'évolution de l'enveloppe lentement variable du champ électrique est bien décrite par un système couplé d'équations de Schrödinger non linéaires à coefficients aléatoires : l'équation de Manakov PMD. Cette équation fait intervenir différentes échelles dont le ratio est donné par un petit paramètre. La première partie de ce travail consiste à étudier le comportement asymptotique de la solution de l'équation de Manakov PMD lorsque ce petit paramètre tend vers zéro. En généralisant la théorie de l'Approximation-Diffusion au cadre de la dimension infinie, on a montré que la dynamique asymptotique est donnée par une équation aux dérivées partielles stochastiques dirigée par un mouvement brownien de dimension trois. Dans une seconde partie, nous proposons un schéma de différences finies de type Crank Nicolson pour cette équation pour lequel nous obtenons un ordre de convergence en probabilité d'ordre 1/2. La discrétisation du bruit doit être implicite afin d'obtenir un schéma conservatif et stable. Enfin la dernière partie est relative à la simulation numérique de la dispersion modale de polarisation et à ses effets sur la propagation et la collision de solitons de Manakov. Dans ce cadre, on propose une méthode de réduction de variance valable pour les équations aux dérivées partielles stochastiques.

Ce travail porte, pour l'essentiel, sur l'analyse numérique de la dynamique des dislocations. Les dislocations sont des défauts qui se déplacent dans les cristaux, lorsque ceux-ci sont soumis à des contraintes extérieures. Notre travail se focalise principalement sur deux études. La première concerne l'étude théorique et numérique d'une équation de transport non-locale; la seconde est une étude numérique proposant un calcul de l'hamiltonien effectif pour un problème d'homogénéisation de la dynamique des dislocations. D'une façon générale, la dynamique des dislocations est décrite par une équation eikonal dont la vitesse est nonlocale. Ici, nous nous limitons à un modèle en dimension 1 d'espace. Dans une première partie nous démontrons des résultats d'existence et d'unicité de la solution en temps long ainsi qu'une estimation d'erreur théorique/numérique pour un schéma aux différences finies. Dans une deuxième partie un schéma monotone est utilisé pour calculer l'hamiltonien effectif qui décrit le comportement collectif de densités de dislocations comme limite d'un modèle ou les dislocations sont décrites individuellement. Les résultats numériques présentés ici viennent en soutien à une étude théorique d'homogénéisation.

Ce mémoire comprend les chapitres : 1) Introduction 2) La généricité et les notions de "presque toujours" 3) Dynamique générique des équations paraboliques 4) Dissipativit é de l'équation des ondes amorties et application au contrôle global 5) Etude de fronts dans des EDP dissipatives

Les systèmes décrits par les équations aux dérivées partielles, appartiennent à la classe des systèmes dynamiques impliquant des fonctions dépendantes de plusieurs variables, comme le temps et l'espace. Déjà fortement répandus pour la modélisation mathématique de phénomènes physiques et environnementaux, ces systèmes ont un rôle croissant dans les domaines de l'automatique. Cette expansion, provoquée par les avancées technologiques au niveau des capteurs facilitant l'acquisition de données et par les nouveaux enjeux environnementaux, incite au développement de nouvelles thématiques de recherche. L'une de ces thématiques, est l'étude des problèmes inverses et plus particulièrement l'identification paramétrique des équations aux dérivées partielles. Tout abord, une description détaillée des différentes classes de systèmes décrits par ces équations est présentée puis les problèmes d'identification qui leur sont associés sont soulevés. L'accent est mis sur l'estimation paramétrique des équations linéaires, homogènes ou non, et sur les équations linéaires à paramètres variant. Un point commun à ces problèmes d'identification réside dans le caractère bruité et échantillonné des mesures de la sortie. Pour ce faire, deux types d'outils principaux ont été élaborés. Certaines techniques de discrétisation spatio-temporelle ont été utilisées pour faire face au caractère échantillonné des données; les méthodes de variable instrumentale, pour traiter le problème lié à la présence de bruit de mesure. Les performances de ces méthodes ont été évaluées selon des protocoles de simulation numérique reproduisant des situations réalistes de phénomènes physique et environnementaux, comme la diffusion de polluant dans une rivière.