La simulation numérique est devenue un outil central dans la modélisation de nombreux systèmes physiques tels que la dynamique des fluides, les plasmas, l'électromagnétisme, etc. L'existence de phénomènes multi-échelles rend l'intégration numérique de ces modèles très difficile du point de vue de la précision et du temps de calcul. En effet, dans les méthodes classiques d'intégration temporelle, le pas de temps est limité par la taille des plus petites mailles au travers d'une relation de type CFL. De plus, la forte disparité entre le pas de temps effectif et la condition CFL favorise les phénomènes de diffusion numérique. Dans la littérature, des nombreux algorithmes à pas de temps locaux (LTS) ont été développés. Pour la plupart des algorithmes LTS, les pas de temps locaux doivent être choisis parmi les fractions du pas de temps global. Nous présentons dans cette thèse une méthode asynchrone pour l'intégration explicite des équations différentielles multi-échelles. Cette méthode repose sur l'utilisation de critères de stabilité locaux, critères déterminés non pas globalement mais à partir de conditions CFL locales. De plus, contrairement aux schémas LTS, l'algorithme asynchrone permet la sélection de pas de temps indépendants pour chaque cellule de maillage. Cette thèse comporte plusieurs volets. Le premier concerne l'étude mathématique des propriétés du schéma asynchrone. Le deuxième a pour objectif d'étudier la montée en ordre, à la fois temporelle et spatiale, des méthodes asynchrones. De nombreux développements dans le cadre des méthodes de haute précision en temps ou en espace, telles que les méthodes de type Galerkin Discontinu, peuvent offrir un cadre naturel pour l'amélioration de la précision des méthodes asynchrones. Toutefois, les estimations garantissant l'ordre de précision de ces méthodes peuvent ne pas être directement compatibles avec l'aspect asynchrone. L'objectif de cette thèse est donc de développer un schéma numérique asynchrone d'ordre élevé mais qui permet également de limiter la quantité de calculs à effectuer. Le troisième volet de cette thèse se focalise sur l'application numérique puisqu'il concerne la mise en oeuvre de la méthode asynchrone dans la simulation des cas-tests représentatifs de problèmes multi-échelles. / Numerical simulation has become a central tool for the modeling of many physical systems (Fluid dynamics, plasmas, electromagnetism, etc). Multi-scale phenomena make the integration of these physical systems difficult in terms of accuracy and computational time. Numerical time-stepping integration techniques used for modeling such problems generally fall into two categories : explicit and implicit schemes. In the explicit schemes, all unknown variables are computed at the current time level from quantities already available. The time step used is then limited by the most restrictive CFL condition over the whole computation domain. In the implicit method the time step is no longer limited by the CFL conditions. However the scheme is generally not suitable for strongly coupled problems. To solve such problems, a number of local time-stepping (LTS) approaches have been developed. These methods are restricted by a local CFL condition rather than the traditional global CFL condition. For most of these LTS algorithms, local time steps are usually selected to be fractions of the global time step so that regular meeting points in time exist, and only little work is available on LTS methods with independent time steps. We present in this thesis an asynchronous method for the explicit integration of multi-scale partial differential equations. This method is restricted by a local CFL condition rather than the traditional global CFL condition. Moreover, contrary to other LTS methods, the asynchronous algorithm permits the selection of independent time steps in each mesh element. Our work consists of several components. The first one concerns the mathematical study of the properties of the asynchronous method. the objective of the second part is to study the improvement of the convergence rate for asynchronous methods. Many approaches in the context of high precision methods in time or in space, such as the Discontinuous Galerkin methods, may offer a natural setting to improve the precision of the asynchronous methods. However, the estimates ensuring the order of the accuracy of the method may not be directly compatible with the asynchronous aspect. Then, the objective is to develop a high order asynchronous numerical scheme which also preserves the computational time reduction. Finally, the third part is focused on the implementation of the asynchronous method and illustrate the advantages of the method on test-cases representative of multiscale problems.

Le travail présenté dans cette thèse a été motivé par des problématiques posées par l'évaluation de contrats échangés sur le marché du gaz: les contrats de stockage et d'approvisionnement en gaz. Ceux-ci incorporent de l'optionalité et des contraintes, ce qui rend leur évaluation difficile dans un contexte de prix de matières premières aléatoires. L'évaluation de ces contrats mène à des problèmes de contrôle stochastique complexes: switching optimal ou contrôle impulsionnel et contrôle stochastique en grande dimension. La première partie de cette thèse est une revue relativement exhaustive de la littérature, mettant en perspective les différentes approches d'évaluation existantes. Dans une deuxième partie, nous considérons une méthode numérique de résolution de problèmes de contrôle impulsionnel basée sur leur représentation comme solution d'EDSRs à sauts contraints. Nous proposons une approximation à temps discret utilisant une pénalisation pour traiter la contrainte et donnons un taux de convergence de l'erreur introduite. Combinée avec des techniques Monte Carlo, cette méthode a été testée numériquement sur trois problèmes: gestion optimale de biomasse, évaluation d'options Swing et de contrats de stockage gaz. Dans une troisième partie, nous proposons une méthode pour l'évaluation d'options dont le payoff dépend de moyennes mobiles de prix sous-jacents. Elle utilise sur une approximation à dimension finie de la dynamique des processus de moyenne mobile, basée sur un développement en série de Laguerre tronquée. Les résultats numériques fournis incluent des exemples de contrats Swing gaziers à prix d'exercice indexés sur moyennes mobiles de prix pétroliers.

Cette thèse est composée de trois chapitres indépendants ayant pour thématique commune la théorie des trajectoires rugueuses. Introduite en 1998 par Terry Lyons, cette approche trajectorielle des équations différentielles stochastiques (EDS) permet l'étude d'EDS dirigées par des processus n'ayant pas la propriété de semi-martingale nécessaire à l'application du cadre de l'intégration d'Itô. C'est par exemple le cas du mouvement brownien fractionnaire pour un indice de Hurst différent d'un demi. Le premier chapitre porte sur les liens entre la théorie des trajectoires rugueuses et celle des structures de régularité qui a été récemment introduite par Martin Hairer pour résoudre une large classe d'équations aux dérivées partielles stochastiques. Nous exposons, avec les outils de cette nouvelle théorie, la définition de l'intégrale rugueuse et de la signature d'une trajectoire irrégulière, ce qui nous mène à la résolution d'équations différentielles rugueuses (EDR). Dans le second chapitre, nous nous intéressons à la construction de flots d'EDR à partir de leurs approximations en temps petit, appelées presque flots. Nous montrons que sous des conditions faibles de régularité du presque flot, bien que l'unicité des solutions de l'EDR associée ne soit plus assurée, il est possible de sélectionner un flot mesurable. Notre cadre général unifie les précédentes approches par flot dues à I. Bailleul, A. M. Davie, P. Friz et N. Victoir. Le dernier chapitre s'attache à l'étude d'une inclusion différentielle perturbée par une trajectoire rugueuse, c'est-à-dire d'une EDR dont la dérive est une fonction multivaluée. Nous démontrons, sans hypothèse de convexité et avec différentes conditions de régularité sur la dérive, l'existence de solution. / This thesis consists of three independent chapters in the theme of rough path theory. Introduced in 1998 by Terry Lyons, this pathwise approach to stochastic differential equations (SDE) allows one to study SDE driven by processes that do not have the semi-martingale property which is required to apply the framework of the Itô integral. This is for example the case of the fractional Brownian motion for a Hurst index different from one-half. The first chapter deals with the links between rough path and regularity structure theories. The latter was recently introduced by Martin Hairer to solve a large class of stochastic partial differential equations. With the tools of this new theory, we show how to build the rough integral and the signature of an irregular path, which leads to solve a rough differential equation (RDE). In the second chapter, we focus on building RDE flows from their approximations at small scale, called almost flows. We show that under weak conditions on regularity of almost flows, although the uniqueness of the associated RDE solutions does not hold, we are able to select a measurable flow. Our general framework unifies the previous approaches by flow due to I. Bailleul, A. M. Davie, P. Friz and N. Victoir. In the last chapter, we study of a differential inclusion perturbed by a rough path, i.e. a RDE whose drift is a multivalued function. We prove, without convexity hypothesis and several conditions on the regularity of the drift, the existence of a solution.

Les "équations de Schrödinger stochastiques" sont des équations différentielles stochastiques de type non classique qui apparaissent dans le domaine de la mesure en mécanique quantique. Leurs solutions sont appelées "trajectoires quantiques" et décrivent l'évolution de petits systèmes quantiques ouverts soumis à une mesure continue de type indirecte (on mesure l'environnement qui interagit avec le petit système).<br /><br />Habituellement, les justifications mathématiques et physiques de ces modèles sont loin d'être intuitives et évidentes. Soit elles manquent de rigueur car basées sur des arguments heuristiques, soit elles uilisent des outils mathématiques lourds et très abstraits (Filtrage quantique, espérance conditionnelle dans les algèbres de Von Neumann...).<br /><br />Dans cette thèse, on met en place un modèle discret de mesure en mécanique quantique. Ce modèle est basé sur celui des "interactions quantiques répétées" développé par Stéphane ATTAL et Yan PAUTRAT. Le cadre est le suivant. On considère un petit système en contact avec une chaine infinie de petits systèmes (tous notés H) identiques et indépedants entre eux. Chaque copie H interagit avec le petit système pendant un temps h. Après chaque interaction, on effectue une mesure sur H. Cette série de mesures entraine une série de modifications aléatoires de l'état du petit système. Cette série de modifications est alors décrite à l'aide d'une chaine de Markov dépendante du paramètre h. On montre alors que l'on peut obtenir les trajectoires quantiques, solutions des équations de Schrödinger stochastiques, comme limite continue (h tend vers 0) à partir de ces chaines de Markov. Ce résultat de convergence nécessite, au préalable, une étude complète des problèmes d'existence et d'uncité des solutions.<br /><br />Grâce à ce résultat de convergence, à partir d'un modèle physique discret, on justifie de façon rigoureuse et intuive l'utilisation des équations de Schrödinger stochastiques. On étend ensuite ces résultats dans le cas de modèles en dimension finie quelconque et on introduit la notion de controle.

Les systèmes hybrides sont des systèmes qui combinent des dynamiques discrètes et continues. Cette thèse propose des techniques algorithmiques de vérification et de synthèse pour ces systèmes Le manque de méthodes pour calculer les ensembles atteignables des dynamiques continues est l'obstacle principal vers une méthodologie algorithmique de vérification. Nous développons deux techniques d'atteignabilité approximatives pour les systèmes continus basées sur une méthode efficace pour représenter des ensembles et une combinaison des techniques de la simulation, de la géométrie algorithmique, de l'optimisation, et de la commande optimale. La première technique d'atteignabilité est spécialisée pour les systèmes linéaires et étendue aux systèmes avec entrée incertaine, et la seconde peut être appliquée aux systèmes non-linéaires. En appliquant ces techniques nous développons un algorithme de vérification des propriétés de sûreté pour une large classe des systèmes hybrides avec des dynamiques continues arbitraires et des dynamiques discrètes assez générales. Nous étudions ensuite le problème de la synthèse de contrôleurs de sûreté pour les systèmes hybrides. Nous présentons un algorithme de synthèse des contrôleurs par commutation basé sur le calcul de l'ensemble d'invariance maximal et les techniques d'analyse d'atteignabilité. Nous avons implanté les algorithmes développés dans un outil appelé "d/dt", qui permet la vérification et la synthèse automatique pour les systèmes hybrides avec des inclusions différentielles linéaires. En dehors de nombreux exemples académiques, nous avons appliqué avec succès l'outil pour analyser quelques systèmes pratiques.

L'ensemble des solutions d'une équation différentielle algébrique, ordinaire ou aux dérivées partielles se scinde entre la solution générale et les solutions singulières. Ces notions peuvent être définies de manière rigoureuse dans le cadre de l'algèbre différentielle, une théorie fondée par J.F.Ritt. Des travaux récents dans ce domaine ont permis de mettre au point des algorithmes effectifs pour déterminer la trivialité d'un système différentiel en effectuant une première décomposition. On peut ainsi déterminer si une équation différentielle admet des solutions singulières et quelles sont elles. Les décompositions obtenues ne sont néanmoins pas minimales. Nous proposons un algorithme, qui évite les factorisations, pour éliminer les composantes redondantes. En termes analytiques, il s'agit de distinguer les solutions singulières essentielles, qui sont enveloppes de la solution générale, des solutions singulières particulières, qui sont limites de solutions essentielles. la solution générale, des solutions singulières particulières, qui sont limites de solutions essentielles. Au c\oe ur de cette détermination se tient le Théorème des petites puissances, la réalisation effective étant soutenue par l'algorithme Rosenfeld-Gröbner. Nous présentons de plus un algorithme et quelques critères qui permettent de calculer les bases différentielles des composantes essentielles. De telles bases permettent une analyse des points singuliers ainsi que des heuristiques d'intégration.

Dans cette thèse, nous nous intéressons essentiellement à trois sujets : les inégalités fonctionnelles à contenu probabiliste, les limites hydrodynamiques pour les systèmes de spins continus en interaction et la discrétisation des équations différentielles stochastiques. Ce document, outre l'introduction, comporte trois parties. La première s'intéresse aux inégalités fonctionnelles, et notamment aux inégalités de Sobolev logarithmiques, pour les mesures canoniques, ainsi qu'aux limites hydrodynamiques pour les systèmes des spins continus. La convergence vers la limite hydrodynamique pour plusieurs variantes du modèle de Ginzburg--Landau équipé de la dynamique de Kawasaki y est obtenue, avec notamment des bornes quantitatives en le nombre de spins. On y étudie également la convergence de l'entropie microscopique vers l'entropie hydrodynamique. La deuxième partie étudie les liens entre flots gradients dans les espaces de mesures de probabilités et grandes déviations pour les suites de lois de solutions d'équations différentielles stochastiques. On y obtient l'équivalence entre le principe de grandes déviations et la Gamma-Convergence d'une suite de fonctionnelles apparaissant dans la formulation en flots gradients du flot de marginales des lois des solutions des équations différentielles stochastiques. Comme application de ce principe, on obtient les grandes déviations par rapport à la limite hydrodynamique pour deux variantes du modèle de Ginzburg--Landau. La troisième partie concerne la discrétisation des équations différentielles stochastiques. On y prouve une inégalité transport-Entropie pour la loi du schéma d'Euler explicite. Cette inégalité implique des bornes sur les intervalles de confiance pour l'estimation de quantités de la forme $\mathbb{E}[f(X_T)]$. On y étudie également l'erreur de discrétisation pour l'évaluation des coefficients de transport avec l'algorithme MALA (qui est une combinaison du schéma d'Euler explicite et de l'algorithme de Metropolis--Hastings). / In this thesis, we are mainly interested in three topics : functional inequalities and their probabilistic aspects, hydrodynamic limits for interacting continuous spin systems and discretizations of stochastic differential equations. This document, in addition to a general introduction (written in French), contains three parts. The first part deals with functional inequalities, especially logarithmic Sobolev inequalities, for canonical ensembles, and with hydrodynamic limits for continuous spin systems. We prove convergence to the hydrodynamic limit for several variants of the Ginzburg--Landau model endowed with Kawasaki dynamics, with quantitative bounds in the number of spins. We also study convergence of the microscopic entropy to its hydrodynamic counterpart. In the second part, we study links between gradient flows in spaces of probability measures and large deviations for sequences of laws of solutions to stochastic differential equations. We show that the large deviations principle is equivalent to the Gamma--Convergence of a sequence of functionals that appear in the gradient flow formulation of the flow of marginals of the laws of the diffusion processes. As an application of this principle, we obtain large deviations from the hydrodynamic limit for two variants of the Ginzburg-Landau model. The third part deals with the discretization of stochastic differential equations. We prove a transport-Entropy inequality for the law of the explicit Euler scheme. This inequality implies bounds on the confidence intervals for quantities of the form $\mathbb{E}[f(X_T)]$. We also study the discretization error for the evaluation of transport coefficients with the Metropolis-Adjusted Langevin algorithm (which is a combination of the explicit Euler scheme and the Metropolis algorithm).

Cette thèse est consacrée à l'étude de quelques problèmes dans le domaine des équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR), et leurs applications aux équations aux dérivées partielles.Dans le premier chapitre, nous introduisons la notion d'équation différentielle doublement stochastique rétrograde (EDDSR) avec condition terminale singulière. Nous étudions d’abord les EDDSR avec générateur monotone, et obtenons ensuite un résultat d'existence par un schéma d'approximation. Une dernière section établit le lien avec les équations aux dérivées partielles stochastiques, via l'approche solution faible développée par Bally, Matoussi en 2001.Le deuxième chapitre est consacré aux EDSR avec condition terminale singulière et sauts. Comme dans le chapitre précédent la partie délicate sera de prouver la continuité en T. Nous formulons des conditions suffisantes sur les sauts afin d'obtenir cette dernière. Une section établit ensuite le lien entre solution minimale de l'EDSR et équations intégro-différentielles. Enfin le dernier chapitre est dédié aux équations différentielles stochastiques rétrogrades du second ordre (2EDSR) doublement réfléchies. Nous avons établi l'existence et l'unicité de telles équations. Ainsi, il nous a fallu dans un premier temps nous concentrer sur le problème de réflexion par barrière supérieure des 2EDSR. Nous avons ensuite combiné ces résultats à ceux existants afin de donner un cadre correct aux 2EDSRDR. L'unicité est conséquence d'une propriété de représentation et l'existence est obtenue en utilisant les espaces shiftés, et les distributions de probabilité conditionnelles régulières. Enfin une application aux jeux de Dynkin et aux options Israëliennes est traitée dans la dernière section. / This thesis is devoted to the study of some problems in the field of backward stochastic differential equations (BSDE), and their applications to partial differential equations.In the first chapter, we introduce the notion of backward doubly stochastic differential equations (BDSDE) with singular terminal condition. A first work consists to study the case of BDSDE with monotone generator. We then obtain existing result by an approximating scheme built considering a truncation of the terminal condition. The last part of this chapter aim to establish the link with stochastic partial differential equations, using a weak solution approach developed by Bally, Matoussi in 2001.The second chapter is devoted to the BSDEs with singular terminal conditions and jumps. As in the previous chapter the tricky part will be to prove continuity in T. We formulate sufficient conditions on the jumps in order to obtain it. A section is then dedicated to establish a link between a minimal solution of our BSDE and partial integro-differential equations.The last chapter is dedicated to doubly reflected second order backward stochastic differential equations (2DRBSDE). We have been looking to establish existence and uniqueness for such equations. In order to obtain this, we had to focus first on the upper reflection problem for 2BSDEs. We combined then these results to those already existing to give a well-posedness context to 2DRBSDE. Uniqueness is established as a straight consequence of a representation property. Existence is obtained using shifted spaces, and regular conditional probability distributions. A last part is then consecrated to the link with some Dynkin games and Israeli options.

<p align="justify">Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode.</p>

Le but de cette thèse est de présenter quelques contributions dans le cadre du contrôle des équations différentielles stochastiques en dimension finie où infinie :<br />(1) Contrôle stochastique non borné sous contraintes d'état.<br />Nous étudions une condition nécessaire sous laquelle les solutions d'une EDS régie par un processus de contrôle non-borné restent dans un voisinage arbitrairement petit d'un ensemble donné de contraintes.<br />(2) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires avec bruit contrôlé.<br />Dans cette deuxième partie, on s'intéresse à la propriété de contrôlabilité approchée pour une EDS linéaire. Nous proposons une généralisation de la condition de Kalman pour le cas général où le contrôle agit sur le bruit.<br />(3) Contrôlabilité approchée pour des équations différentielles linéaires en dimension infinie.<br />La troisième partie est dédiée à l'étude de la propriété de contrôlabilité approchée pour un système stochastique linéaire dans un espace de Hilbert réel et séparable. En particulier, nous montrons l'existence et unicité pour la solution de l'EDSR duale lorsque les opérateurs qui agissent sur Y et Z sont non-bornés. Dans le cas d'un générateur infinitésimal d'un semi-groupe exponentiellement stable, nous montrons que le test généralisé de Hautus donne une condition nécessaire pour la contrôlabilité approchée.<br />(4) Assurance, réassurance et paiement de dividendes.<br />Nous introduisons un modèle d'assurance qui permet la réassurance et le paiement des dividendes. Notre modèle prend en compte plusieurs contrats homogènes ainsi que la législation européenne en vigueur concernant les provisions des sociétés d'assurance.