Cette thèse traite les jeux différentiels stochastiques de somme non nulle (JDSNN) dans le cadre de Markovien et de leurs liens avec les équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR) multidimensionnelles. Nous étudions trois problèmes différents. Tout d'abord, nous considérons un JDSNN où le coefficient de dérive n'est pas borné, mais supposé uniquement à croissance linéaire. Ensuite certains cas particuliers de coefficients de diffusion non bornés sont aussi considérés. Nous montrons que le jeu admet un point d'équilibre de Nash via la preuve de l'existence de la solution de l'EDSR associée et lorsque la condition d'Isaacs généralisée est satisfaite. La nouveauté est que le générateur de l'EDSR, qui est multidimensionnelle, est de croissance linéaire stochastique par rapport au processus de volatilité. Le deuxième problème est aussi relatif au JDSNN mais les payoffs ont des fonctions d'utilité exponentielles. Les EDSRs associées à ce jeu sont de type multidimensionnelles et quadratiques en la volatilité. Nous montrons de nouveau l'existence d’un équilibre de Nash. Le dernier problème que nous traitons, est un jeu bang-bang qui conduit à des hamiltoniens discontinus. Dans ce cas, nous reformulons le théorème de vérification et nous montrons l’existence d’un équilibre de Nash qui est du type bang-bang, i.e., prenant ses valeurs sur le bord du domaine en fonction du signe de la dérivée de la fonction valeur ou du processus de volatilité. L'EDSR dans ce cas est un système multidimensionnel couplé, dont le générateur est discontinu par rapport au processus de volatilité. / This dissertation studies the multiple players nonzero-sum stochastic differential games (NZSDG) in the Markovian framework and their connections with multiple dimensional backward stochastic differential equations (BSDEs). There are three problems that we are focused on. Firstly, we consider a NZSDG where the drift coefficient is not bound but is of linear growth. Some particular cases of unbounded diffusion coefficient of the diffusion process are also considered. The existence of Nash equilibrium point is proved under the generalized Isaacs condition via the existence of the solution of the associated BSDE. The novelty is that the generator of the BSDE is multiple dimensional, continuous and of stochastic linear growth with respect to the volatility process. The second problem is of risk-sensitive type, i.e. the payoffs integrate utility exponential functions, and the drift of the diffusion is unbounded. The associated BSDE is of multi-dimension whose generator is quadratic on the volatility. Once again we show the existence of Nash equilibria via the solution of the BSDE. The last problem that we treat is a bang-bang game which leads to discontinuous Hamiltonians. We reformulate the verification theorem and we show the existence of a Nash point for the game which is of bang-bang type, i.e., it takes its values in the border of the domain according to the sign of the derivatives of the value function. The BSDE in this case is a coupled multi-dimensional system, whose generator is discontinuous on the volatility process.

Dans cette thèse, on s'intéresse à l'existence et à l'unicité d'une solution pour l'équation KPZ généralisée. On utilise la théorie récente des structures de régularité inspirée des chemins rugueux et introduite par Martin Hairer afin de donner sens à ce type d'équations singulières. La procédure de résolution comporte une partie algébrique à travers la définition du groupe de renormalisation et une partie stochastique avec la convergence de processus stochastiques renormalisés. Une des améliorations notoire de ce travail apportée aux structures de régularité est la définition du groupe de renormalisation par le biais d'une algèbre de Hopf sur des arbres labellés. Cette nouvelle construction permet d'obtenir des formules simples pour les processus stochastiques renormalisés. Ensuite, la convergence est obtenue par un traitement efficace de diagrammes de Feynman. / In this thesis, we investigate the existence and the uniqueness of the solution of the generalised KPZ equation. We use the recent theory of regularity structures inspired from the rough path and introduced by Martin Hairer in order to give a meaning to this singular equation. The procedure contains an algebraic part through the renormalisation group and a stochastic part with the computation of renormalised stochastic processes. One major improvement in the theory of the regularity structures is the definition of the renormalisation group using a Hopf algebra on some labelled trees. This new construction paves the way to simple formulas very useful for the renormalised stochastic processes. Then the convergence is obtained by an efficient treatment of some Feynman diagrams.

Le travail de cette thèse a pour objet les interactions entre deux approches d'étude des équations différentielles: la théorie des modèles des corps différentiellement clos d'une part et l'étude dynamique des équations différentielles réelles d'autre part. Dans le premier chapitre, on présente un formalisme d'algèbre différentielle, en termes de D-schémas à la Buium au-dessus du corps des nombres réels (muni de la dérivation triviale), qui permet de rendre compte de ces deux approches d'étude en même temps. Le résultat principal est un critère d'orthogonalité aux constantes pour le type générique d'une D-variétés réelle absolument irréductible, basé sur la dynamique topologique de son flot réel analytique associé. Le deuxième chapitre est consacré aux équations différentielles algébriques décrivant le flot géodésique de variétés algébriques réelles munies de 2-formes symétriques non-dégénérées. A l'aide du critère précédent, on démontre un théorème d'orthogonalité aux constantes "en courbure strictement négative'', s'appuyant sur les résultats d'Anosov et de ses successeurs concernant la dynamique topologique - la propriété de mélange topologique faible - du flot géodésique d'une variété riemannienne compacte à courbure strictement négative. En dimension 2, on conjecture en fait une description plus précise - son type générique est minimal de prégéométrie triviale - de la structure associée aux équations différentielles géodésiques unitaires. On présente, dans le troisième chapitre, des motivations et des résultats partiels concernant cette conjecture. / This thesis is dedicated to studying the interactions between two different approaches regarding differential equations: the model-theory of differentially closed fields on the one side and the dynamical analysis of real differential equations, on the other side. In the first chapter, we present a formalism from differential algebra, in terms of D-varieties à la Buium over the field of real numbers (endowed with the trivial derivation), that allows one to realise both approaches at the same time. The main result is a criterion of orthogonality to the constants, based on the topological dynamic of its associated real analytic flow. The second chapter is dedicated to the algebraic differential equations describing the (unitary) geodesic flow of a real algebraic variety endowed with an algebraic, non-degenerated symmetric 2-form. Using the previous criterion, we prove a theorem of orthogonality to the constants "in negative curvature'', that relies on the results of Anosov and of his followers, regarding the topological dynamic - the weakly mixing topological property - for the geodesic flow of a compact Riemannian manifold with negative curvature. In dimension 2, we conjecture a more precise description - its generic type is minimal and has a trivial pregeometry- for the structure associated to the unitary geodesic equation. In the third chapter, we present some motivations and partial results on this conjecture.

Cette thèse est consacrée à l’élaboration et l’étude théorique de modèles de transport décrivant les dynamiques cellulaires et la communication intercellulaire dans les tissus épithéliaux. Nous nous intéressons d’abord à l’influence du transport de microARNs (miRNAs) sur la dynamique spatiotemporelle de réseaux de régulation génétique. Ces courtes séquences d’ARN régulent la synthèse des protéines en bloquant l’activité des ARN messagers et leur sécrétion via des vesicules extracellulaires en font des agents de communication intercellulaire. Différents modèles faisant intervenir des miRNAs extracellulaires ont été construits et étudiés numériquement. Les premiers sont des modèles génériques destinés à mettre en évidence l'effet d'une cellule ayant une production de miRNAs anormale sur l'expression génétique dans les cellules voisines. Nous abordons ensuite des modèles plus complexes et réalistes dans lesquels des oscillations (liées à des rythmes biologiques) et de la bistabilité (liée à une différenciation cellulaire) sont observées. Ces modèles permettent d’étudier des dynamiques de communication complexes observées en biologie, comme la synchronisation de cellules couplées ou la propagation d'un changement de phénotype. Nous mettons également en évidence le rôle de défauts, tels que des mutations génétiques ou encore des variations de densité cellulaire dans les tissus, sur ces phénomènes de propagation. La deuxième partie de la thèse est dédiée à la construction de modèles de réaction-diffusion dans lesquels la dynamique des cellules dépend de leur état interne. Sur base d’études expérimentales montrant l’influence de protéines et de miRNAs sur la mobilité et la prolifération des cellules, nous établissons un modèle multi-échelle dans lequel la dynamique intracellulaire et le mouvement des cellules interagissent. En effet, certaines protéines sont responsables de l’adhésion cellulaire ou régulent la vitesse de prolifération. Dans notre modèle, chaque cellule synthétise ces espèces d’intérêt et les processus cellulaires (migration, prolifération) dépendent de la concentration de ces espèces biochimiques. Ce modèle permet de reproduire des expériences de migration cellulaire et de prédire, notamment, l'influence d'E-cadherin, une protéine clé dans l'adhesion cellulaire, sur la dynamique de régénération d'un tissu. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Lors de l’infection par un pathogène intracellulaire, l’organisme déclenche une réponse immunitaire spécifique dont les acteurs principaux sont les lymphocytes T-CD8. Ces cellules sont responsables de l’éradication de ce type d’infections et de la constitution du répertoire immunitaire de l’individu. Les processus qui composent la réponse immunitaire se répartissent sur plusieurs échelles physiques inter-connectées (échelle intracellulaire, échelle d’une cellule, échelle de la population de cellules). La réponse immunitaire est donc un processus complexe, pour lequel il est difficile d’observer ou de mesurer les liens entre les différents phénomènes mis en jeu. Nous proposons trois modèles mathématiques multi-échelles de la réponse immunitaire, construits avec des formalismes différents mais liés par une même idée : faire dépendre le comportement des cellules TCD8 de leur contenu intracellulaire. Pour chaque modèle, nous présentons, si possible, sa construction à partir des hypothèses biologiques sélectionnées, son étude mathématique et la capacité du modèle à reproduire la réponse immunitaire au travers de simulations numériques. Les modèles que nous proposons reproduisent qualitativement et quantitativement la réponse immunitaire T-CD8 et constituent ainsi de bons outils préliminaires pour la compréhension de ce phénomène biologique. / Upon infection by an intracellular pathogen, the organism triggers a specific immune response,mainly driven by the CD8 T cells. These cells are responsible for the eradication of this type of infections and the constitution of the immune repertoire of the individual. The immune response is constituted by many processes which act over several interconnected physical scales (intracellular scale, single cell scale, cell population scale). This biological phenomenon is therefore a complex process, for which it is difficult to observe or measure the links between the different processes involved. We propose three multiscale mathematical models of the CD8 immune response, built with different formalisms but related by the same idea : to make the behavior of the CD8 T cells depend on their intracellular content. For each model, we present, if possible, its construction process based on selected biological hypothesis, its mathematical study and its ability to reproduce the immune response using numerical simulations. The models we propose succesfully reproduce qualitatively and quantitatively the CD8 immune response and thus constitute useful tools to further investigate this biological phenomenon.

<p align="justify">Une approche multidimensionelle pour la résolution numérique des équations d'Euler et de Navier-Stokes sur maillages non-structurés est proposée. Dans une première partie, un exposé complet des schémas de distribution, dits de "fluctuation-splitting" ,est décrit, comprenant une étude comparative des schémas décentrés, positifs et de 2ème ordre, pour résoudre l'équation de convection à coefficients constants, ainsi qu'une étude théorique et numérique de la précision des schémas sur maillages réguliers et distordus. L'extension à des lois de conservation non-linéaires est aussi abordée, et une attention particulière est portée au problème de la linéarisation conservative. Dans une deuxième partie, diverses discrétisations des termes visqueux pour l'équation de convection-diffusion sont développées, avec pour but de déterminer l'approche qui offre le meilleur compromis entre précision et coût. L'extension de la méthode aux systèmes des lois de conservation, et en particulier à celui des équations d'Euler de la dynamique des gaz, représente le noyau principal de la thèse, et est abordée dans la troisième partie. Contrairement aux schémas de distribution classiques, qui reposent sur une extension formelle du cas scalaire, l'approche développée ici repose sur une décomposition du résidu par élément en équations scalaires, modélisant le transport de variables caracteristiques. La difficulté vient du fait que les équations d'Euler instationnaires ne se diagonalisent pas, et admettent une infinité de solutions élémentaires (ondes simples) se propageant dans toutes les directions d'espace. En régime stationnaire, en revanche, les équations se diagonalisent complètement dans le cas des écoulements supersoniques, et partiellement dans le cas des écoulements subsoniques. Ainsi, les équations sous forme conservative peuvent être remplacées par un système équivalent comprenant deux équations totalement découplées, exprimant l'invariance de l'entropie et de l'enthalpie totale le long des lignes de courant, et deux autres équations, modélisant les effets purement acoustiques. En régime supersonique, celles-ci se découplent aussi, et expriment la convection le long des lignes de Mach d'invariants de Riemann généralisés. La discrétisation de ces équations par des schémas scalaires décentrés permet de simuler des écoulements continus et discontinus avec une grande précision et sans oscillations. Finalement, dans une dernière partie, l'extension aux équations de Navier-Stokes est abordée, et la discrétisation des termes visqueux par une approche éléments finis est proposée. Les résultats numériques confirment la précision et la robustesse de la méthode.</p> / Doctorat en sciences appliquées / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce travail étend nos connaissances des entropies libres et des équations différentielles stochastiques (EDS) libres dans trois directions. Dans un premier temps, nous montrons que l'algèbre de von Neumann engendrée par au moins deux autoadjoints ayant une information de Fisher finie n'a pas la propriété $Gamma$ de Murray et von Neumann. C'est un analogue d'un résultat de Voiculescu pour l'entropie microcanonique libre. Dans un second temps, nous étudions des EDS libres à coefficients opérateurs non-bornés (autrement dit des sortes d' EDP stochastiques libres ). Nous montrons la stationnarité des solutions dans des cas particuliers. Nous en déduisons un calcul de la dimension entropique libre microcanonique dans le cas d'une information de Fisher lipschitzienne. Dans un troisième et dernier temps, nous introduisons une méthode générale de résolutions d'EDS libres stationnaires, s'appuyant sur un analogue non-commutatif d'un espace de chemins. En définissant des états traciaux sur cet analogue, nous construisons des dilatations markoviennes de nombreux semigroupes complètement markoviens sur une algèbre de von Neumann finie, en particulier de tous les semigroupes symétriques. Pour des semigroupes particuliers, par exemple dès que le générateur s'écrit sous une forme divergence pour une dérivation à valeur dans la correspondance grossière, ces dilatations résolvent des EDS libres. Entre autres applications, nous en déduisons une inégalité de Talagrand pour l'entropie non-microcanonique libre (relative à une sous-algèbre et une application complètement positive). Nous utilisons aussi ces déformations dans le cadre des techniques de déformations/rigidité de Popa / This works extends our knowledge of free entropies, free Fisher information and free stochastic differential equations in three directions. First, we prove that if a $W^{*}$-probability space generated by more than 2 self-adjoints with finite non-microstates free Fisher information doesn't have property $Gamma$ of Murray and von Neumann (especially is not amenable). This is an analogue of a well-known result of Voiculescu for microstates free entropy. We also prove factoriality under finite non-microstates entropy. Second, we study a general free stochastic differential equation with unbounded coefficients (``stochastic PDE"), and prove stationarity of solutions in well-chosen cases. This leads to a computation of microstates free entropy dimension in case of Lipschitz conjugate variable. Finally, we introduce a non-commutative path space approach to solve general stationary free Stochastic differential equations. By defining tracial states on a non-commutative analogue of a path space, we construct Markov dilations for a class of conservative completely Markov semigroups on finite von Neumann algebras. This class includes all symmetric semigroups. For well chosen semigroups (for instance with generator any divergence form operator associated to a derivation valued in the coarse correspondence) those dilations give rise to stationary solutions of certain free SDEs. Among applications, we prove a non-commutative Talagrand inequality for non-microstate free entropy (relative to a subalgebra $B$ and a completely positive map $eta:Bto B$). We also use those new deformations in conjunction with Popa's deformation/rigidity techniques, to get absence of Cartan subalgebra results

La simulation numérique de systèmes d’équations différentielles raides ordinaires ou algébriques est devenue partie intégrante dans le processus de conception des systèmes mécaniques à dynamiques complexes. L’objet de ce travail est de développer des méthodes numériques pour réduire les temps de calcul par le parallélisme en suivant deux axes : interne à l’intégrateur numérique, et au niveau de la décomposition de l’intervalle de temps. Nous montrons l’efficacité limitée au nombre d’étapes de la parallélisation à travers les méthodes de Runge-Kutta et DIMSIM. Nous développons alors une méthodologie pour appliquer le complément de Schur sur le système linéarisé intervenant dans les intégrateurs par l’introduction d’un masque de dépendance construit automatiquement lors de la mise en équations du modèle. Finalement, nous étendons le complément de Schur aux méthodes de type "Krylov Matrix Free". La décomposition en temps est d’abord vue par la résolution globale des pas de temps dont nous traitons la parallélisation du solveur non-linéaire (point fixe, Newton-Krylov et accélération de Steffensen). Nous introduisons les méthodes de tirs à deux niveaux, comme Parareal et Pita dont nous redéfinissons les finesses de grilles pour résoudre les problèmes raides pour lesquels leur efficacité parallèle est limitée. Les estimateurs de l’erreur globale, nous permettent de construire une extension parallèle de l’extrapolation de Richardson pour remplacer le premier niveau de calcul. Et nous proposons une parallélisation de la méthode de correction du résidu. / This PhD Thesis deals with the development of parallel numerical methods for solving Ordinary and Algebraic Differential Equations. ODE and DAE are commonly arising when modeling complex dynamical phenomena. We first show that the parallelization across the method is limited by the number of stages of the RK method or DIMSIM. We introduce the Schur complement into the linearised linear system of time integrators. An automatic framework is given to build a mask defining the relationships between the variables. Then the Schur complement is coupled with Jacobian Free Newton-Krylov methods. As time decomposition, global time steps resolutions can be solved by parallel nonlinear solvers (such as fixed point, Newton and Steffensen acceleration). Two steps time decomposition (Parareal, Pita,...) are developed with a new definition of their grids to solved stiff problems. Global error estimates, especially the Richardson extrapolation, are used to compute a good approximation for the second grid. Finally we propose a parallel deferred correction

Cette thèse aborde deux sujets de recherches, le premier est sur l’existence et l’unicité des solutions des Équations Différentielles Doublement Stochastiques Rétrogrades (EDDSRs) et les Équations aux Dérivées partielles Stochastiques (EDPSs) multidimensionnelles à croissance surlinéaire. Le deuxième établit l’existence d’un contrôle optimal strict pour un système controlé dirigé par des équations différentielles stochastiques progressives rétrogrades (EDSPRs) couplées dans deux cas de diffusions dégénérée et non dégénérée.• Existence et unicité des solutions des EDDSRs multidimensionnels :Nous considérons EDDSR avec un générateur de croissance surlinéaire et une donnée terminale de carré intégrable. Nous introduisons une nouvelle condition locale sur le générateur et nous montrons qu’elle assure l’existence, l’unicité et la stabilité des solutions. Même si notre intérêt porte sur le cas multidimensionnel, notre résultat est également nouveau en dimension un. Comme application, nous établissons l’existence et l’unicité des solutions des EDPS semi-linéaires.• Contrôle des EDSPR couplées :Nous étudions un problème de contrôle avec une fonctionnelle coût non linéaire dont le système contrôlé est dirigé par une EDSPR couplée. L’objective de ce travail est d’établir l’existence d’un contrôle optimal dans la classe des contrôle stricts, donc on montre que ce contrôle vérifie notre équation et qu’il minimise la fonctionnelle coût. La méthode consiste à approcher notre système par une suite de systèmes réguliers et on montre la convergence. En passant à la limite, sous des hypothèses de convexité, on obtient l’existence d’un contrôle optimal strict. on suit cette méthode théorique pour deux cas différents de diffusions dégénérée et non dégénérée. / In this Phd thesis, we considers two parts. The first one establish the existence and the uniquness of the solutions of multidimensional backward doubly stochastic differential equations (BDSDEs in short) and the stochastic partial differential equations (SPDEs in short) in the superlinear growth generators. In the second part, we study the stochastic controls problems driven by a coupled Forward-Backward stochastic differentialequations (FBSDEs in short).• BDSDEs and SPDEs with a superlinear growth generators :We deal with multidimensional BDSDE with a superlinear growth generator and a square integrable terminal datum. We introduce new local conditions on the generator then we show that they ensure the existence and uniqueness as well as the stability of solutions. Our work go beyond the previous results on the subject. Although we are focused on multidimensional case, the uniqueness result we establish is new in one dimensional too. As application, we establish the existence and uniqueness of probabilistic solutions tosome semilinear SPDEs with superlinear growth generator. By probabilistic solution, we mean a solution which is representable throughout a BDSDEs.• Controlled coupled FBSDEs :We establish the existence of an optimal control for a system driven by a coupled FBDSE. The cost functional is defined as the initial value of the backward component of the solution. We construct a sequence of approximating controlled systems, for which we show the existence of a sequence of feedback optimal controls. By passing to the limit, we get the existence of a feedback optimal control. The convexity condition is used to ensure that the optimal control is strict. In this part, we study two cases of diffusions : degenerate and non-degenerate.

Nous considérons des systèmes d'équations différentielles stochastiques faisant intervenir deux échelles de temps bien distinctes. Nous commençons par établir, dans un cadre général, des propriétés de concentration des trajectoires au voisinage des variétés lentes du système déterministe correspondant. Nous étudions ensuite la dynamique au voisinage de points de bifurcation de la variété lente, en particulier dans le cas d'une bifurcation noeud-col et d'une bifurcation fourche. Les phénomènes apparentées de la résonance stochastique et de l'hystérésis dynamique sont également étudiés en détail. Finalement, nous dérivons la loi des temps de passage à travers une orbite périodique instable, pour une famille d'équations qui ne sont pas limitées au cas d'échelles de temps distinctes.