L'hydrodynamique et les transferts thermiques dans des réacteurs types lits fixes font l'objet d'études depuis une soixantaine d'années. Les informations fournies par ces travaux sont importantes pour le dimensionnement des réacteurs industriels. En effet, une étroite relation entre les propriétés de transports et le design du procédé (réacteur et support catalytique) est mise en avant dans l'état de l'art. Mais force est de constater que la complexité des phénomènes entraine des divergences entre les observations et les différentes conclusions faites par les auteurs. Deux pilotes à échelle laboratoire ont été conçus et mis en place au cours de cette thèse. L'un est dédié à l'étude hydrodynamique et l'autre à l'étude thermique. La caractérisation hydro-thermique des réacteurs passe également par une étape de développement de modèles mathématiques associés aux pilotes. Ils représentent les transferts opérant au sein d'une colonne garnie. Ils permettent également d'estimer les paramètres effectifs du milieu poreux. Les quatre grandeurs caractéristiques étudiées dans cette thèse sont les pertes de charges, la dispersion axiale, la conductivité effective globale et le coefficient d'échange thermique à la paroi. Les résultats obtenus à partir des modèles sont comparés aux travaux de la littérature. Ceci permet de valider les méthodes d'estimation développées dans cette thèse. Il est remarqué que les corrélations prédictives de la conductivité effective sont peu adaptées aux morphologies de supports les plus complexes. Nous proposons donc aussi de nouvelles corrélations basées sur nos mesures / Hydrodynamics and heat transfers in packed bed reactors have been studied for about sixty years. The information supplied by this work is important for the design of industrial reactors. Indeed, there is a close relationship between the heat and mass transfers and the design of the process (reactor and catalytic support); this is highlighted in the state of the art. It is clear that the complexity of the phenomena is the cause of divergences between the observations and the conclusions made by the authors. Two laboratory-scale pilots were designed and set up during this PhD thesis. One is dedicated to the hydrodynamic studies and the other to the thermal studies. The hydro-thermal characterization of the reactors includes a step of development of mathematical models associated with the pilots. They represent transfers occurring within the bed of particles. Coupling experimental data with the models allows estimating the effective parameters of the porous medium. The four characteristic quantities studied in this PhD thesis are the pressure drop, the axial dispersion, the overall effective conductivity and the heat transfer coefficient at the wall. The results are compared with the data provided by the open literature. This validates the estimation methods developed during this PhD thesis. It is noticed that the predictive correlations of the effective thermal conductivity are not adapted to the morphologies of the most complex supports. Based on our measurements, new correlations were developed

Ce travail s'inscrit dans le cadre Power-to-Gas, dont l'objectif est de stocker les surplus d'énergie électrique issus de sources renouvelables sous forme d'énergie chimique, en l'occurrence le méthane. L'intermittence de la production électrique requiert une certaine flexibilité du système de méthanation par rapport aux variations temporelles de conditions opératoires. Dans ce contexte, les travaux effectués au cours de cette thèse sont dédiés à l'étude du comportement dynamique d'un réacteur-échangeur de méthanation à lit fixe catalytique. Une maquette de réacteur finement instrumentée en thermocouples est conçue et permet l'étude expérimentale des performances du réacteur et de son comportement thermique en régime dynamique. En particulier, des phénomènes de fronts d'onde thermique, de dépassements et de réponses inverses sont retrouvés. Les paramètres hydrodynamiques et thermiques du lit ont été caractérisés expérimentalement. Une modélisation de la maquette de réacteur-échangeur est également établie et permet de simuler son fonctionnement. Les résultats expérimentaux sont comparés aux résultats de simulation, permettant l'analyse précise des comportements observés dans le réacteur / This work is within the Power-to-Gas framework, which aims to store the electrical energy surpluses from renewable energy in chemicals, here the methane. The intermittency of the electrical production requires the methanation system to have a certain level of flexibility with respect to temporal changes of operational conditions. In this context, the work carried out during this thesis is dedicated to the study of the dynamic behavior of a catalytic fixed-bed heat-exchanger methanation reactor. A reactor-exchanger highly equipped with thermocouples is designed and is used for the experimental study of the performances and the dynamics behavior of such a reactor. In particular, phenomena of thermal wave fronts, overshoot and inverse responses are found. The hydrodynamic and thermal parameters of the bed have been experimentally characterized. Modeling of the reactor-exchanger is also established and simulations of the reactor behavior are done. The experimental results are compared with the simulation results, allowing the precise analysis of the behaviors observed in the reactor

Les réactions de catalyse hétérogène impliquant un gaz et un liquide sont mises en oeuvre dans des réacteurs à lit fixes. Ces réacteurs peuvent être assimilés à un milieu poreux. La nature complexe de ce milieu rend la compréhension des interactions entre phases difficile, et nécessite une étude exhaustive à l’échelle globale et locale afin d’identifier les paramètres clés de l’hydrodynamique, des transferts de chaleur et de matière. Nous avons donc développé une cellule miniaturisée bidimensionnelle transparente, qui permet l’observation directe des écoulements avec une très bonne résolution spatiale et temporelle. En faisant varier le débit total et le rapport des débits gaz/liquide, nous avons mis en évidence l’apparition des régimes ruisselant et pulsé, observés par ailleurs dans des systèmes tridimensionnels. Grâce à une méthode d’analyse d’image, nous sommes capables de quantifier et cartographier la saturation liquide locale apparente et la morphologie des phases. L’analyse des variances a permis d’étudier les transitions de régimes pour différentes propriétés de la phase liquide. Cette approche a permis de comparer avec la littérature, mais aussi de s’intéresser aux mécanismes de génération et propagation des instabilités lors des transitions. Il a été mis en évidence que l’apparition des instabilités responsables de la déstabilisation du régime ruisselant intervient pour un nombre deWeber liquide fixé, indiquant que le régime pulsé apparait suite à la déstabilisation des interfaces gaz /liquides par les forces inertielles. Enfin, une étude préliminaire des transferts thermiques dans la cellule a été réalisée. La cellule est utilisée pour réaliser la réaction exothermique d’hydrogénation de l’alpha-methylstyrène. Un modèle simple de transferts thermique a été utilisé pour caractériser l’augmentation de température dans la cellule. Bien que cette approche ne permette pas des mesures quantitatives, elle ouvre à la perspective de suivi de transferts thermiques par caméra infra-rouge. / Heterogeneously catalyzed reactions involving a gas and a liquid phase are frequently achieved in fixed bed reactors. These reactors can be described as a porous medium. The complex nature of this medium makes the understanding of the interplay between phases difficult, and requires a thorough study at the global andlocal scale to identify the key parameters of hydrodynamics, mass and heat transfers. Therefore, we have developed a miniaturized two-dimensional system that is transparent to allow the direct observation of the flow with very high spatial and temporal resolution. While varying the total flow rate and the gas/liquid flow rate ratio, we observe the appearance of the trickle and the pulse flow regime, which can be observed in threedimensional beds. Thanks to some image analysis techniques, we are able to quantify and to map the local apparent liquid saturation and the morphology of the phases. Variances analysis allowed the study of the transition for different liquid properties. This approach allowed the comparison with the existing state of art, but also the study of the onset and propagation mechanisms of the instabilities during the transition. We report that the onset of instabilities responsible for the destabilization of the trickle flow regime occurs at a fixed Weber number. This indicates that the pulsed regime is due to the destabilization of the gas/liquid interface by inertial forces. Finally, a preliminary study of thermal transfers in the device was realized. The device was used to perform the exothermic hydrogenation of alpha-methylstyrene. A simple model is used to characterize the temperature increase in the device. Although this approach does not allow quantitative measurements, it opens up the perspective of monitoring thermal transfers with an infra-red camera.

Les procédés actuellement utilisés à bord de la Station Spatiale Internationale permettent un traitement physico-chimique des déchets avec un recyclage partiel des éléments en minimisant le réapprovisionnement en eau et oxygène. Voyager plus loin et sur de plus longues durées n’est possible que si un système de support de vie, permettant d’assurer une autonomie plus importante, est mis en place. Le projet MELiSSA est un système de support de vie biorégénératif ayant pour objectifs de recycler les déchets produits par l’homme, de régénérer l’oxygène et l’eau et d’assurer une production de nourriture. L’utilisation de microorganismes pour assurer ces différentes fonctions, n’est réalisable qu’en ayant la meilleure connaissance possible et surtout la maîtrise des processus et des souches impliqués. L’objectif de cette thèse est de développer un modèle prédictif pour le compartiment nitrificateur de la boucle MELiSSA. Dans un premier temps, les souches Nitrosomonas europaea ATCC® 19718 et Nitrobacter winogradskyi ATCC® 25391 ont été étudiées et ont permis de définir un modèle cinétique de ces deux bactéries en culture immergée. Dans un second temps, ce modèle a été combiné à un modèle N-bacs en série pour composer un modèle de nitrification dans une colonne à lit fixe à biomasse fixée : le modèle NitriSim. Ce modèle a été testé sur une expérience de long-terme menée dans une colonne à lit fixe dont le support est composé de billes Biostyr®. Le dernier chapitre de ce manuscrit décrit l’utilisation d’une souche dégradant l’urée, Cupriavidus pinatubonensis, dans le réacteur à lit fixe. Les différents résultats ont permis de définir un modèle de nitrification dans un réacteur à lit fixe et de présenter des perspectives possibles pour le traitement de l’urine au niveau du compartiment nitrifiant de MELiSSA. / Physico-chemical processes are used on the International Space Station for partial recycling of wastes in order to minimize the resupplies of oxygen and water. Further and longer explorations can only be possible if a life support system is applied to enhance autonomy to the station. MELiSSA is a biological life support system project aiming for waste recycling, water and air regeneration and production of simple food. The only way to assure these functions is the use of microorganisms which is requiring a high knowledge and a perfect control of processes implicated. The thesis objectives consist in developing a predictive model for the MELiSSA nitrifying compartment. First, a kinetic study of Nitrosomonas europaea ATCC® 19718 and Nitrobacter winogradskyi ATCC® 25391 in submerged bioreactors allowed defining a kinetic model of nitrification. Secondly, this model was combined to an N-tanks in series one to compose a nitrification model in fixed-bed biorectors : NitriSim. It was applied on a long-term experiment in a fixed-bed bioreactors where the bed was composed of Biostyr® beads. The last part of this work was about the use of a urea-degradating bacteria, Cupriavidus pinatubonensis, in the fixed-bed bioreactor. All of these results leaded to the development of a nitrification in fixed-bed reactors model and opened up interesting prospects for the urine degradation in the nitrifying compartment of MELiSSA.

Le contrôle qualité réalisé sur les cornées en organoculture dans les banques de cornées est primordial pour l'évaluation de la qualité des greffons. Dans une première partie, nous avons montré, sur 505 cornées en routine, que les paramètres mesurés avec notre analyseur d'images Sambacornea (CV de taille et hexagonalité cellulaire endothéliale) étaient tout à fait cohérents avec ceux mesurés en microscopie spéculaire in vivo chez les patients. Notre dispositif fournit une méthode fiable, validée pour la mesure de la densité cellulaire endothéliale DCE et de la morphométrie cellulaire. Dans une deuxième partie, nous avons analysé les erreurs inhérentes à la méthode de comptage à cadre fixe (grille calibrée ou réticule) lors de la mesure de la DCE par les banques de cornées. Nous avons mesuré sur 3000 zones, la DCE de 20 mosaïques cornéennes gravées, en utilisant des grilles dont la maille variait de 50 à 300 µm. La méthode était répétable avec des grilles de 200 µm à condition de considérer la moyenne sur 10 comptages et présentait une variabilité résiduelle de 5 % vs la DCE réelle. Les grilles classiques de 100 µm utilisées en comptage manuel devraient être abandonnées et remplacées par des grilles de 200 µm. L'analyse d'images numériques demeure cependant la meilleure solution. Dans une troisième partie, le développement d'un dispositif de mesure de la transparence et des diamètres utiles en greffe de cornée (cornée claire et diamètre total) est décrit. La transparence est appréciée via la mesure de la fonction de modulation de transfert à travers la cornée sur une mire originale dessinée dans notre laboratoire. Les mesures étaient reproductibles. D’après l’analyse de 358 cornées en routine, la transparence n'était pas corrélée à l’âge du donneur, ni à la DCE, et baissait au fil de la conservation. Ce dispositif simple et objectif permet de standardiser la «transparence» ; il devra être redéployé sur notre bioréacteur, et pourrait mener à la définition d'un seuil de transparence / The corneal quality control (QC) in eye banks is essential for the assessment of the quality of grafts. In the first part, we showed on 505 consecutive corneas, that the parameters measured by our image analyzer Sambacornea (size CV and hexagonality of endothelial cells) were entirely consistent with those measured by specular microscopy in vivo in patients. Our device provides a reliable validated method for the measurement of the Endothelial Cell Density ECD and cell morphometry. In a second part, we analyzed the inherent errors of the fixed-frame counting method (calibrated grid or graticule) for corneal ECD in eye banks. We measured in 3000 areas, the 20 corneal mosaic ECD using grids ranged from 50 to 300 µm. The method was repeatable with 200 µm long grids if the average of 10 counts were used: it showed a residual variability of 5 % vs the real ECD. Conventional 100 µm long grids used in manual counting should be abandoned and replaced by 200 µm grids. The digital image analysis, however, is the best solution. In the third part, the development of a device for measuring the transparency and effective diameters in corneal transplantation (clear cornea and total diameter) is described. Transparency is assessed by measuring the modulation transfer function through the cornea on an original pattern designed in our laboratory. The measurements were reproducible. Based on the analysis of 358 corneas routine, transparency was not correlated with donor age, or the ECD, and decreased with duration of stockage. This simple and objective device standardizes the QC "transparency" and it should be used with our bioreactor, and could lead to the definition of a level for transparency

Cette thèse relève du commerce international, des politiques monétaires et de macroéconomie internationale. Le premier chapitre étudie les différentes caractéristiques des différents régimes de change fixe et évalue les effets de chacune de ces caractéristiques sur le commerce international. Il apparaît que la transparence des prix et les coûts de transaction liés au changement de monnaie n’ont pas d’effet significatif sur le commerce, seule la crédibilité du régime de change fixe (liée à l’absence de possibilité de dévaluation) augmente significativement le commerce. Cela explique pourquoi seule l’union monétaire augmente le commerce entre ses membres dès les premières années du régime de change. Le second chapitre s’intéresse aux effets de l’euro sur le commerce pendant la crise financière de 2008-2009. Il apparaît que l’euro amortit la chute du commerce observée partout dans le monde, grâce à l’absence de volatilité du taux de change entre ses membres. Le troisième chapitre présente un modèle théorique permettant d’étudier la transmission des chocs dans une économie spécialisée verticalement, et propose une politique monétaire optimale pour stabiliser l’économie. Le modèle promeut des politiques monétaires symétriques entre les deux pays partageant un mode de production basé sur les chaînes globales de valeur. / This thesis studies international trade, monetary policy and international macroeconomics. Chapter 1 examines the different characteristics of different fixed exchange rate regimes and assesses the effects of each of these characteristics on international trade. It appears that price transparency and transaction costs linked to the currency changes do not have a significant effect on trade; only the credibility of the fixed exchange rate regime (due to the absence of devaluation possibilities) increases trade significantly. This explains why only monetary union increases trade between its members from the first years of the exchange rate regime. Chapter 2 looks at the effects of the euro on trade during the 2008-2009 financial crisis.It seems that the euro amortized the trade drop observed throughout the world, owing to the absence of exchange rate volatility among its members. Chapter 3 presents a theoretical model to study the transmission of shocks in a vertically specialized economy, and proposes an optimal monetary policy to stabilize the economy. The model promotes symmetrical monetary policies between the two countries sharing a production mode based on global value chains.

Le mode adjoint de la Différentiation Algorithmique (DA) est particulièrement intéressant pour le calcul des gradients. Cependant, ce mode utilise les valeurs intermédiaires de la simulation d'origine dans l'ordre inverse à un coût qui augmente avec la longueur de la simulation. La DA cherche des stratégies pour réduire ce coût, par exemple en profitant de la structure du programme donné. Dans ce travail, nous considérons d'une part le cas des boucles à point-fixe pour lesquels plusieurs auteurs ont proposé des stratégies adjointes adaptées. Parmi ces stratégies, nous choisissons celle de B. Christianson. Nous spécifions la méthode choisie et nous décrivons la manière dont nous l'avons implémentée dans l'outil de DA Tapenade. Les expériences sur une application de taille moyenne montrent une réduction importante de la consommation de mémoire. D'autre part, nous étudions le checkpointing dans le cas de programmes parallèles MPI avec des communications point-à-point. Nous proposons des techniques pour appliquer le checkpointing à ces programmes. Nous fournissons des éléments de preuve de correction de nos techniques et nous les expérimentons sur des codes représentatifs. Ce travail a été effectué dans le cadre du projet européen ``AboutFlow'' / The adjoint mode of Algorithmic Differentiation (AD) is particularly attractive for computing gradients. However, this mode needs to use the intermediate values of the original simulation in reverse order at a cost that increases with the length of the simulation. AD research looks for strategies to reduce this cost, for instance by taking advantage of the structure of the given program. In this work, we consider on one hand the frequent case of Fixed-Point loops for which several authors have proposed adapted adjoint strategies. Among these strategies, we select the one introduced by B. Christianson. We specify further the selected method and we describe the way we implemented it inside the AD tool Tapenade. Experiments on a medium-size application shows a major reduction of the memory needed to store trajectories. On the other hand, we study checkpointing in the case of MPI parallel programs with point-to-point communications. We propose techniques to apply checkpointing to these programs. We provide proof of correctness of our techniques and we experiment them on representative CFD codes

Dans cette thèse nous essayons d'améliorer l'évaluation de filtres numériques en nous concentrant sur la précision de calcul nécessaire.Ce travail est réalisé dans le contexte d'un générateur de code matériel/logiciel fiable pour des filtres numériques linéaires, en particulier filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (IIR). Avec ce travail, nous mettons en avant les problèmes liés à l'implémentation de filtres linéaires en arithmétique Virgule Fixe tout en prenant en compte la précision finie des calculs nécessaires à la transformation de filtres vers code. Ce point est important dans le cadre de filtres utilisés dans des systèmes embarqués critique comme les véhicules autonomes. Nous fournissons une nouvelle méthodologie pour l'analyse d'erreur lors de l'étude d'algorithmes de filtres linéaires du point de vue de l'arithmétique des ordinateurs. Au cœur de cette méthodologie se trouve le calcul fiable de la mesure Worst Case Peak Gain d'un filtre qui est la norme l1 de sa réponse impulsionnelle. L'analyse d'erreur proposée est basée sur la combinaison de techniques telles que l'analyse d'erreur en Virgule Flottante, l'arithmétique d'intervalles et les implémentations multi-précisions. Cette thèse expose également la problématique de compromis entre les coûts matériel (e.g. la surface) et la précision de calcul lors de l'implémentation de filtres numériques sur FPGA. Nous fournissons des briques de bases algorithmiques pour une solution automatique de ce problème. Finalement, nous intégrons nos approches dans un générateur de code pour les filtres au code open-source afin de permettre l'implémentation automatique et fiable de tout algorithme de filtre linéaire numérique. / In this thesis we develop approaches for improvement of the numerical behavior of digital filters with focus on the impact of accuracy of the computations. This work is done in the context of a reliable hardware/software code generator for Linear Time-Invariant (LTI) digital filters, in particular with Infinite Impulse Response (IIR). With this work we consider problems related to the implementation of LTI filters in Fixed-Point arithmetic while taking into account finite precision of the computations necessary for the transformation from filter to code. This point is important in the context of filters used in embedded critical systems such as autonomous vehicles. We provide a new methodology for the error analysis when linear filter algorithms are investigated from a computer arithmetic aspect. In the heart of this methodology lies the reliable evaluation of the Worst-Case Peak Gain measure of a filter, which is the l1 norm of its impulse response. The proposed error analysis is based on a combination of techniques such as rigorous Floating-Point error analysis, interval arithmetic and multiple precision implementations. This thesis also investigates the problematic of compromise between hardware cost (e.g. area) and the precision of computations during the implementation on FPGA. We provide basic brick algorithms for an automatic solution of this problem. Finally, we integrate our approaches into an open-source unifying framework to enable automatic and reliable implementation of any LTI digital filter algorithm.

Le développement de biofilms est étudié sur de longues périodes (de deux à sept mois) dans des réacteurs à disque tournant (RBC) et à lit fixe alimentés par des eaux résiduaires domestiques ou des substrats synthétiques en continu à l’échelle du laboratoire. Deux réacteurs ont été spécialement conçus pour des expériences. Les biofilms ont été soumis à des stress physiques (forces hydrodynamiques) ou chimiques (antibiotique). L’activité biologique des réacteurs a été suivie au cours du temps (dégradation de la pollution carbonée et azotée). Les phénomènes de détachement et de redéveloppement des biofilms ont été caractérisés sur des surfaces lisses ou structurées par des techniques d’analyse d’images non destructives. La quantité globale de biomasse présente est évaluée par l’opacité du biofilm et cette méthode d’évaluation a été validée par comparaison avec des méthodes classiques destructives (coloration au Cristal Violet, matières sèches). La macrostructure du biofilm, liées aux phénomènes de croissance, détachement et recroissance, a été évaluée à l’aide de deux méthodes de caractérisation de la texture visuelle : la méthode de cooccurrence de niveaux de gris (SGLDM) et la longueur des segments (GLRLM). Le travail montre l’efficacité de l’analyse d’images comme une méthode rapide et peu onéreuse dans l’étude des biofilms sur le long terme. / The development of biofilm has been studied over long periods of time (two to seven months) in laboratory-scale rotating biological contactors and fixed bed reactors continuously fed with municipal wastewater or synthetic growth media. Two reactors have been specifically designed for this purpose. The biofilms have been subject to hydrodynamic and chemical (antibiotics) stresses. The overall biological activity of the reactors have been monitored, in terms of carbon and nitrogen removal. The phenomena of sloughing and re-growth have been characterized on smooth and rough surfaces using image analysis non-destructive techniques. The amount of biomass present on the substratum has been evaluated by the biofilm opacity and this monitoring method has been validated by comparison with destructive methods such as crystal violet staining and dry weight. The biofilm macrostructure, related to growth, sloughing and re-growth phenomena, has been evaluated through visual texture characterization of the scanning gray level co-occurrence matrix (SGLDM) and the gray level run length method (GLRLM). The results shows the efficiency of image analysis as a rapid and cheap method to monitor biofilm development on the long term.

Le principe de contraction de Banach, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une contraction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même, est certainement le plus connu des théorèmes de point fixe. Dans plusieurs situations concrètes, nous sommes cependant amenés à considérer une contraction qui n'est définie que sur un sous-ensemble de cet espace. Afin de garantir l'existence d'un point fixe, nous verrons que d'autres hypothèses sont évidemment nécessaires. Le théorème de Caristi, qui garantit l'existence d'un point fixe d'une fonction d'un espace métrique complet à valeur dans lui-même et respectant une condition particulière sur d(x,f(x)), a plus tard été généralisé aux fonctions multivoques. Nous énoncerons des théorèmes de point fixe pour des fonctions multivoques définies sur un sous-ensemble d'un espace métrique grâce, entre autres, à l'introduction de notions de fonctions entrantes. Cette piste de recherche s'inscrit dans les travaux très récents de mathématiciens français et polonais. Nous avons obtenu des généralisations aux espaces de Fréchet et aux espaces de jauge de quelques théorèmes, dont les théorèmes de Caristi et le principe variationnel d'Ekeland. Nous avons également généralisé des théorèmes de point fixe pour des fonctions qui sont définies sur un sous-ensemble d'un espace de Fréchet ou de jauge. Pour ce faire, nous avons eu recours à de nouveaux types de contractions; les contractions sur les espaces de Fréchet introduites par Cain et Nashed [CaNa] en 1971 et les contractions généralisées sur les espaces de jauge introduites par Frigon [Fr] en 2000. / The Banach contraction principle, which certifies that a contraction of a complete metric space into itself has a fixed point, is for sure the most famous of all fixed point theorems. However, in many case, the contraction we consider is only defined on a subset of a complete metric space. Of course, to certify that such a contraction has a fixed point, we need to add some restrictions. The Caristi theorem, which certifies the existence of a fixed point of a function of a complete metric space into itself satisfying a particular condition on d(x,f(x)), was later generalized to multivalued functions. By introducing different types of inwardness assumptions, we will be able to state some fixed point theorems for multivalued functions defined on a subset of a metric space. This is related to the recent work of French and Polish mathematicians. We were able to generalize some theorems to Fréchet spaces and gauge spaces such as the Caristi theorems and the Ekeland variational principle. We were also able to generalize some fixed point theorems for functions that are only defined on a subset of a Fréchet space or a gauge space. To do so, we used new types of contractions; contractions on Fréchet spaces introduced by Cain and Nashed [CaNa] in 1971 and generalized contractions on gauge spaces introduced by Frigon [Fr] in 2000.