Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Après un survol de la théorie des géométries de Klein, nous présentons les rudiments de la géométrie de Cartan, qui généralise celle de Klein de la même manière que la géométrie riemannienne généralise la géométrie euclidienne. Ensuite, nous présentons la correspondance entre les géométries pseudo-riemanniennes et les géométries de Cartan sans torsion modélisées sur l'espace pseudo-euclidien. Nous utilisons cette correspondance pour montrer dans le langage de la géométrie de Cartan que les pré-géodésiques de type lumière d'une variété pseudo-riemannienne sont les mêmes pour toutes les métriques pseudo-riemanniennes dans la même classe d'équivalence conforme. Enfin, nous obtenons une seconde preuve de ce résultat, cette fois-ci en utilisant la correspondance entre les géométries conformes et les géométries de Cartan normales modélisées sur l'univers d'Einstein.

Dans une première partie, notre étude porte sur les milieux faiblement continus avec une approche basée sur la géométrie non riemannienne. Nous considérons un corps solide déformable modélisé par une variété riemannienne munie d'une connexion affine. Un tel modèle est une extension d'un autre qui considère une connexion euclidienne, laquelle dérive du tenseur métrique imposé par l'espace ambiant. La masse par unité de volume peut être supposée non constante et le corps peut contenir des défauts décrits par des champs de discontinuité de champs scalaires ou de champs vectoriels définis sur la variété. Dans ce cas, en plus du tenseur métrique, nous utilisons nécessairement la torsion introduite par Cartan ou la courbure, deux tenseurs associés à la connexion affine. Nous disposons ainsi d'un modèle de milieu continu du second gradient. Les investigations prennent en compte les effets de ces champs tensoriels dans l'analyse de la déformation du corps. Comme application, nous décrivons l'atténuation spatiale d'une onde propagée dans un milieu non homogène. Dans une seconde partie, notre étude porte sur une modélisation de l'indentation Vickers du verre. Nous considérons un modèle qui utilise le schéma d'inclusion d'Eshelby dans une matrice semi-infinie, pour analyser les champs de contrainte et de déplacement durant le processus de charge. L'objectif est de déterminer la densification du verre sous l'indenteur. Les résultats semi-analytiques obtenus sont confrontés de manière positive avec des données expérimentales fournies par le LARMAUR.

Cette thèse a pour objet principal l'étude des structures pseudo-riemanniennes et de leurs groupes de transformations conformes, locales et globales. On cherche à obtenir des informations générales sur la structure du groupe conforme d'une variété pseudo-riemannienne compacte de dimension au moins 3, et on s'intéresse également à la géométrie et la dynamique des actions conformes de groupes de Lie sur de telles structures. L'essentiel des résultats présentés en géométrie conforme se situe en signature lorentzienne (1,n-1).Le point de vue qui est adopté ici est d'interpréter une structure conforme de dimension au moins 3 comme étant la donnée d'une géométrie de Cartan modelée sur l'univers d'Einstein de même signature. Ces structures géométriques, introduites par Élie Cartan, sont rigides et leurs symétries locales ont des propriétés remarquables. Nous retrouvons dans ce contexte des résultats formulés par Mikhaïl Gromov à la fin des années 1980, et les mettons en œuvre sur le cas particulier de la géométrie de Cartan définie par une structure conforme. / The main object of this thesis is the study of pseudo-Riemannian structures and their local and global conformal transformation groups. The purpose is to obtain general informations about the conformal group of a compact pseudo-Riemannian manifold of dimension greater than or equal to 3, and we also study dynamical and geometrical properties of conformal Lie group actions on such structures. The largest part of the result that are presented in this work are formulated in the (1,n-1) Lorentz signature.The approach we have chosen here to study a conformal structure is to work with its associated normal Cartan geometry modeled on the Einstein universe with same signature. These geometric structures, introduced by Élie Cartan, are rigid and their local automorphisms have nice behaviours. We formulate in this context results of Mikhaïl Gromov, that go back to the late 1980', and use them in the particular case of the normal Cartan geometry associated to a conformal structure.

Dans cette thèse, on présente une notion de courbure géodésique pour les courbes lisses horizontales dans une variété sous-Riemannienne de contact, qui indique dans quelle mesure une courbe est différente d'une géodésique. Cette courbure géodésique se présente sous la forme de deux fonctions qui sont toutes deux identiquement nulles le long d'une courbe lisse horizontale si et seulement si cette dernière courbe est une géodésique. Le résultat principal de cette thèse réside dans l'interprétation métrique que l'on donne de ces fonctions de courbure. Cette interprétation consiste à extraire la courbure géodésique des premiers termes de correction dans le développement limité de la distance sous-Riemannienne entre deux points proches le long de la courbe. / We present a notion of geodesic curvature for smooth horizontal curves in a contact sub-Riemannian manifold, measuring how far a horizontal curve is from being a geodesic. This geodesic curvature consists in two functions that both vanish along a smooth horizontal curve if and only if this curve is a geodesic. The main result of this thesis is the metric interpretation of these geodesic curvature functions. This interpretation consists in seeing the geodesic curvature functions as the first corrective coefficients in the Taylor expansion of the sub-Riemannian distance between two close points on the curve.

Nous étudions la commandabilité du système de contrôle décrivant le procédé de roulement, sans glissement ni pivotement, de deux variétés riemanniennes n-dimensionnelles, l'une sur l'autre. Ce modèle est étroitement associé aux concepts de développement et d'holonomie des variétés, et il se généralise au cas de deux variétés affines. Les contributions principales sont celles données dans quatre articles, attachés à la fin de la thèse.Le premier d'entre eux «Rolling manifolds and Controllability : the 3D case»traite le cas où les deux variétés sont 3-dimensionelles. Nous donnons alors, la liste des cas possibles pour lesquelles le système n'est pas commandable.Dans le deuxième papier «Rolling manifolds on space forms», l'une des deux variétés est supposée être de courbure constante. On peut alors réduire l'étude de commandabilité à l'étude du groupe d'holonomie d'une certaine connexion vectorielle et on démontre, par exemple, que si la variété à courbure constante est une sphère n-dimensionelle et si ce groupe de l'holonomie n'agit pas transitivement, alors l'autre variété est en fait isométrique à la sphère.Le troisième article «A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles» décrit, en utilisant le procédé de roulement (ou développement) le long des lacets, une version alternative du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks, qui caractérise, entre autres, les isométries riemanniennes. Plus précisément, on prouve que si on part d'une certaine orientation initiale, et si on ne roule que le long des lacets basés au point initial (associé à cette orientation), alors les deux variétés sont isométriques si (et seulement si) les chemins tracés par le procédé de roulement sur l'autre variété, sont tous des lacets.Finalement, le quatrième article «Rolling Manifolds without Spinning» étudie le procédé de roulement et sa commandabilité dans le cas où l'on ne peut pas pivoter. On caractérise alors les structures de toutes les orbites possibles en termes des groupes d'holonomie des variétés en question. On montre aussi qu'il n'existe aucune structure de fibré principal sur l'espace d'état tel que la distribution associée à ce modèle devienne une distribution principale, ce qui est à comparer notamment aux résultats du deuxième article.Par ailleurs, dans la troisième partie de cette thèse, nous construisons soigneusement le modèle de roulement dans le cadre plus général des variétés affines, ainsi que dans celui des variétés riemanniennes de dimensiondifférente. / We study the controllability of the control system describing the rolling motion, without slipping nor spinning, of two n-dimensional Riemannian manifolds, one against the other.This model is closely related to the concepts of development and holonomy of the manifolds, and it generalizes to the case of affine manifolds.The main contributions are those given in four articles attached to the the thesis.First of them "Rolling manifolds and Controllability: the 3D case"deal with the case where the two manifolds are 3-dimensional. We give the listof all the possible cases for which the system is not controllable.In the second paper "Rolling manifolds on space forms"one of the manifolds is assumed to have constant curvature.We can then reduce the study of controllability to the study of the holonomy groupof a certain vector bundle connection and we show, for example, thatif the manifold with the constant curvature is an n-sphere and ifthis holonomy group does not act transitively,then the other manifold is in fact isometric to the sphere.The third paper "A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles"describes, by using the rolling motion (or development) along the loops,an alternative version of the Cartan-Ambrose-Hicks Theorem,which characterizes, among others, the Riemannian isometries.More precisely, we prove that if one starts from a certain initial orientation,and if one only rolls along loops based at the initial point (associated to this orientation),then the two manifolds are isometric if (and only if) the pathstraced by the rolling motion on the other manifolds, are all loops.Finally, the fourth paper "Rolling Manifolds without Spinning"studies the rolling motion, and its controllability, when slipping is allowed.We characterize the structure of all the possible orbits in terms of the holonomy groupsof the manifolds in question. It is also shown that there does not exist anyprincipal bundle structure such that the related distribution becomes a principal distribution,a fact that is to be compared especially to the results of the second article.Furthermore, in the third chapter of the thesis, we construct carefully the rolling modelin the more general framework of affine manifolds, as well as that of Riemannian manifolds,of possibly different dimensions.

Nous étudions la commandabilité du système de contrôle décrivant le procédé de roulement, sans glissement ni pivotement, de deux variétés riemanniennes n-dimensionnelles, l'une sur l'autre. Ce modèle est étroitement associé aux concepts de développement et d'holonomie des variétés, et il se généralise au cas de deux variétés affines. Les contributions principales sont celles données dans quatre articles, attachés à la fin de la thèse.Le premier d'entre eux "Rolling manifolds and Controllability : the 3D case"traite le cas où les deux variétés sont 3-dimensionelles. Nous donnons alors, la liste des cas possibles pour lesquelles le système n'est pas commandable.Dans le deuxième papier "Rolling manifolds on space forms", l'une des deux variétés est supposée être de courbure constante. On peut alors réduire l'étude de commandabilité à l'étude du groupe d'holonomie d'une certaine connexion vectorielle et on démontre, par exemple, que si la variété à courbure constante est une sphère n-dimensionelle et si ce groupe de l'holonomie n'agit pas transitivement, alors l'autre variété est en fait isométrique à la sphère.Le troisième article "A Characterization of Isometries between Riemannian Manifolds by using Development along Geodesic Triangles" décrit, en utilisant le procédé de roulement (ou développement) le long des lacets, une version alternative du théorème de Cartan-Ambrose-Hicks, qui caractérise, entre autres, les isométries riemanniennes. Plus précisément, on prouve que si on part d'une certaine orientation initiale, et si on ne roule que le long des lacets basés au point initial (associé à cette orientation), alors les deux variétés sont isométriques si (et seulement si) les chemins tracés par le procédé de roulement sur l'autre variété, sont tous des lacets.Finalement, le quatrième article "Rolling Manifolds without Spinning" étudie le procédé de roulement et sa commandabilité dans le cas où l'on ne peut pas pivoter. On caractérise alors les structures de toutes les orbites possibles en termes des groupes d'holonomie des variétés en question. On montre aussi qu'il n'existe aucune structure de fibré principal sur l'espace d'état tel que la distribution associée à ce modèle devienne une distribution principale, ce qui est à comparer notamment aux résultats du deuxième article.Par ailleurs, dans la troisième partie de cette thèse, nous construisons soigneusement le modèle de roulement dans le cadre plus général des variétés affines, ainsi que dans celui des variétés riemanniennes de dimensiondifférente.

Cette thèse est consacrée à l’étude du problème de transport de Monge pour le coût quadratique en géométrie sous-Riemannienne et des conditions essentielles à l’obtention des résultats d’existence et et d’unicité de solutions. Ces travaux consistent à étendre ces résultats au cas des structures sous-Riemanniennes admettant des géodésiques minimisantes singulières. Dans une première partie, on développe des techniques inspirées de travaux de Cavalletti et Huesmann pour d’obtenir des résultats significatifs pour des structures de rang 2 en dimension 4. Dans une deuxième partie, on étudie des outils analytiques de la h-semiconcavité de la distance sousriemannienne et on montre comment ce type de régularité peut aboutit à l’obtention d’existence et d’unicité de solutions dans un cas général. / This thesis is devoted to the study of the Monge transport problem for the quadratic cost in sub-Riemannian geometry and the essential conditions to obtain existence and uniqueness of solutions. These works consist in extending these results to the case of sub-Riemannian structures admitting singular minimizing geodesics. In a first part, we develop techniques inspired by works by Cavalletti and Huesmann in order to obtain significant results for structures of rank 2 in dimension 4. In a second part, we study analytical tools of the h-semiconcavity of the sub-Riemannian distance and we show how this type of regularity can lead to the well-posedness of the Monge problem in general cases.

Cette thèse est dédiée à l’étude de la géométrie sous-riemannienne en dimension infinie, et à ses applications à l’analyse des déformations par difféomorphismes. La première partie du manuscrit est un résumé détaillé des travaux effectués. La seconde compile les articles rédigés pendant ces trois dernières années. On étend d’abord à la dimension infinie le cadre de la géométrie sous-riemannienne classique, en établissant notamment des conditions assurant l’existence d’un flot géodésique. Puis, on applique ces résultats aux structures sous-riemanniennes fortes et invariantes à droite sur le groupe des difféomorphismes d’une variété. On définit ensuite rigoureusement les espaces de formes, notion jusqu’alors assez vague dans la littérature. Il s’agit de variétés de Banach sur lesquelles un groupe de difféomorphismes a une action satisfaisant certaines propriétés. On construit alors diverses structures sous-riemanniennes sur ces espaces de formes grâce à cette action. Enfin, on ajoute des contraintes aux déformations possibles et on formule les problèmes d’analyse de formes dans un cadre relevant de la théorie du contrôle optimal en dimension infinie. On démontre un principe du maximum de type Pontryagin adapté à ce contexte, permettant d’établir les équations géodésiques contraintes. Des algorithmes pour la recherche de déformations optimales sont ensuite développés et appuyés par des simulations numériques dans le chapitre 7. Ils unifient et étendent des méthodes précédemment établies pour l’analyse de formes dans le domaine de l’image. / This manuscript is dedicated to the study of infinite dimensional sub-Riemannian geometry and its applications to shape analysis using dieomorphic deformations. The first part is a detailed summary of our work, while the second part combines the articles we wrote during the last three years. We first extend the framework of sub- Riemannian geometry to infinite dimensions, establishing conditions that ensure the existence of a Hamiltonian geodesic flow. We then apply these results to strong right- invariant sub-Riemannian structures on the group of diffeomorphisms of a manifold. We then define rigorously the abstract concept shape spaces. A shape space is a Banach manifold on which the group of diffeomorphisms of a manifold acts in a way that satisfy certain properties. We then define several sub-Riemannian structures on these shape spaces using this action, and study these. Finally, we add constraints to the possible deformations, and formulate shape analysis problems in an infinite dimensional control theoritic framework. We prove a Pontryagin maximum principle adapted to this context, establishing the constrained geodesic equations. Algorithms for fin- ding optimal deformations are then developped, supported by numerical simulations. These algorithms extend and unify previously established methods in shape analysis.

Le thème central de cette thèse est l'étude et le rôle des<br />trajectoires anormales en théorie du contrôle optimal.<br /><br />Après avoir rappelé quelques résultats fondamentaux en contrôle<br />optimal, on étudie l'optimalité des<br />anormales pour des systèmes affines mono-entrée avec contrainte<br />sur le contrôle, d'abord pour le problème du temps optimal, puis<br />pour un coût quelconque à temps final fixé ou non.<br />On étend cette théorie aux<br />systèmes sous-Riemanniens de rang 2, montrant qu'on se ramène<br />à un système affine du type précédent.<br />Ces résultats montrent que,<br />sous des conditions générales, une trajectoire anormale est<br />\it{isolée} parmi toutes les solutions du système ayant les mêmes<br />conditions aux limites, et donc \it{localement optimale}, jusqu'à<br />un premier point dit \it{conjugué} que l'on peut caractériser.<br /><br />On s'intéresse ensuite<br />au comportement asymptotique et à la<br />régularité de la fonction valeur associée à un système affine<br />analytique avec un coût quadratique. On montre que, en<br />l'absence de trajectoire<br />anormale minimisante, la fonction valeur est<br />\it{sous-analytique et continue}. S'il existe une anormale<br />minimisante, on sort de la catégorie sous-analytique en général,<br />notamment en géométrie sous-Riemannienne. La présence d'une<br />anormale minimisante est responsable de la \it{non-propreté} de<br />l'application exponentielle, ce qui provoque un phénomène de<br />\it{tangence} des ensembles de niveaux de la fonction valeur par<br />rapport à la direction anormale. Dans le cas affine mono-entrée<br />ou sous-Riemannien de rang 2, on décrit précisément ce<br />contact, et on en déduit une partition de la<br />sphère sous-Riemannienne au voisinage de l'anormale<br />en deux secteurs appelés \it{secteur<br />$L^\infty$} et \it{secteur $L^2$}.\\ <br />La question de transcendance est étudiée dans le cas<br />sous-Riemannien de Martinet où la distribution est<br />$\Delta=\rm{Ker }(dz-\f{y^2}{2}dx)$. On montre que<br />pour une métrique générale graduée d'ordre $0$~:<br />$g=(1+\alpha y)^2dx^2+(1+\beta x+\gamma y)^2dy^2$,<br />les sphères de petit rayon<br />\it{ne sont pas sous-analytiques}. Dans le cas général<br />intégrable où $g=a(y)dx^2+c(y)dy^2$, avec $a$ et $c$ analytiques,<br />les sphères de Martinet appartiennent à la<br />\it{catégorie log-exp}.