Ce mémoire présente des résultats dans trois directions. En géométrie riemannienne, on montre une généralisation de l'inégalité de Günther sur le volume, et en dimension 4 une inégalité isopérimétrique pour les variétés à courbure majorée. En géométrie des espaces de Wasserstein, issus du transport optimal, on montre des résultats plongement et de non-plongement, on calcule des groupes d'isométries, et on étudie la dynamique de l'action sur les mesures des applications dilatantes du cercle. En topologie de Chabauty, on montre que l'espace des sous-groupes fermés de $R^n$ est simplement connexe.

Dans cette thèse, nous proposons un cadre Riemannien pour comparer, déformer, calculer des statistiques et organiser de manière hiérarchique des surfaces faciales. Nous appliquons ce cadre à la biométrie faciale 3D où les défis sont les expressions faciales, les variations de la pose et les occultations du visage par des objets externes. Les surfaces faciales sont repr'esentées par un ensemble de courbes de niveaux et de courbes radiales. L'ensemble des courbes fermées (de niveau) constitue une sous-variété non-linéaire de dimension infinie et est utilisé pour représenter le nez, la partie la plus stable du visage. La surface faciale est présentée, par ailleurs, par une collection indexée de courbes radiales. Dans ce cas, le calcul se simplifie et l'espace des formes des courbes ouvertes se ramène à une hyper sphère de l'espace de Hilbert. La comparaison dans l'espace des formes se fait via une métrique élastique afin de faire face aux d'eformations non-isométriques (ne conservant pas les longueurs) des surfaces faciales. Nous proposons des algorithmes pour calculer les moyennes, les vecteurs propres dans ces variétés non-linéaires et l'estimation des parties manquantes des surfaces faciales 3D. L'approche présentée dans cette thèse a été validée sur des Benchmarks connus (FRGCv2, GAVAB, BOSPHORUS) et obtenu des résultats compétitifs par rapport aux méthodes de l'état de l'art.

Ces dernières années, le besoin de cadres rigoureux pour traiter des données non-linéaires s'est développé considérablement en imagerie médicale. Ici, nous avons proposé plusieurs cadres généraux pour traiter certains de ces types de données, qui appartiennent à des groupes de Lie. Pour ce faire, nous nous sommes appuyés sur les propriétés algébriques de ces espaces. Ainsi, nous avons présenté un cadre de traitement général pour les matrices symétriques définies positives, appelé log-euclidien, très simple à utiliser et avec d'excellentes propriétés théoriques ; il est particulièrement adapté au traitement des images de tenseurs de diffusion. Nous avons également proposé des cadres, dits polyaffines, pour paramétrer les transformations localement rigides ou affines, en garantissant leur inversibilité avec d'excellentes propriétés théoriques. Leur utilisation est illustrée avec succès dans le cas du recalage localement rigide de coupes histologiques et du recalage 3D localement affine d'IRMs du cerveau humain. Ce travail nous a menés à proposer deux cadres généraux nouveaux pour le calcul de statistiques dans les groupes de Lie en dimension finie : d'abord le cadre log-euclidien, qui généralise notre travail sur les tenseurs, et un cadre basé sur la notion nouvelle de moyenne bi-invariante, dont les propriétés généralisent celles de la moyenne arithmétique des espaces euclidiens. Enfin, nous avons généralisé notre cadre log-euclidien aux déformations géométriques difféomorphes afin de permettre un calclul simple des statistiques sur ces transformations, ce qui ouvre la voie à un cadre général et cohérent pour les statistiques en anatomie computationnelle.

La recherche d'une compactification de l'ensemble des métriques Riemanniennes à singularités coniques sur une surface amène naturellement à l'étude des "surfaces à Courbure Intégrale Bornée au sens d'Alexandrov". Il s'agit d'une géométrie singulière, développée par A. Alexandrov et l'école de Leningrad dans les années 1970, et dont la caractéristique principale est de posséder une notion naturelle de courbure, qui est une mesure. Cette large classe géométrique contient toutes les surfaces "raisonnables" que l'on peut imaginer.Le résultat principal de cette thèse est un théorème de compacité pour des métriques d'Alexandrov sur une surface ; un corollaire immédiat concerne les métriques Riemanniennes à singularités coniques. On décrit dans ce manuscrit trois hypothèses adaptées aux surfaces d'Alexandrov, à la manière du théorème de compacité de Cheeger-Gromov qui concerne les variétés Riemanniennes à courbure bornée, rayon d'injectivité minoré et volume majoré. On introduit notamment la notion de rayon de contractibilité, qui joue le rôle du rayon d'injectivité dans ce cadre singulier.On s'est également attachés à étudier l'espace (de module) des métriques d'Alexandrov sur la sphère, à courbure positive le long d'une courbe fermée. Un sous-ensemble intéressant est constitué des convexes compacts du plan, recollés le long de leurs bords. A la manière de W. Thurston, C. Bavard et E. Ghys, qui ont considéré l'espace de module des polyèdres et polygones (convexes) à angles fixés, on montre que l'identification d'un convexe à sa fonction de support fait naturellement apparaître une géométrie hyperbolique de dimension infinie, dont on étudie les premières propriétés. / If we look for a compactification of the space of Riemannian metrics with conical singularities on a surface, we are naturally led to study the "surfaces with Bounded Integral Curvature in the Alexandrov sense". It is a singular geometry, developed by A. Alexandrov and the Leningrad's school in the 70's, and whose main feature is to have a natural notion of curvature, which is a measure. This large geometric class contains any "reasonable" surface we may imagine.The main result of this thesis is a compactness theorem for Alexandrov metrics on a surface ; a straightforward corollary concerns Riemannian metrics with conical singularities. We describe here three hypothesis which pair with the Alexandrov surfaces, following Cheeger-Gromov's compactness theorem, which deals with Riemannian manifolds with bounded curvature, injectivity radius bounded by below and volume bounded by above. Among other things, we introduce the new notion of contractibility radius, which plays the role of the injectivity radius in this singular setting.We also study the (moduli) space of Alexandrov metrics on the sphere, with non-negative curvature along a closed curve. An interesting subset is the set of compact convex sets, glued along their boundaries. Following W. Thurston, C. Bavard and E. Ghys, who considered the moduli space of (convex) polyhedra and polygons with fixed angles, we show that the identification between a convex set and its support function give rise to an infinite dimensional hyperbolic geometry, for which we study the first properties.

Nous nous intéressons à la conception des mains mécaniques anthropomorphes destinées à manipuler des objets dans un environnement humain. Via l'analyse du mouvement de sujets humains lors d'une tâche de manipulation de référence, nous proposons une méthode pour évaluer la capacité des mains robotiques à manipuler les objets. Nous montrons comment les rapports de couplage angulaires entre les articulations et les limites articulaires, influent sur l'aptitude à manipuler dynamiquement des objets. Nous montrons également l'impact du poignet sur les tâches de manipulation rapides. Nous proposons une stratégie pour calculer les forces de manipulation en bout de doigts et dimensionner les moteurs d'un tel préhenseur. La méthode proposée est dépendante de la tâche visée et s'adapte à tout type de mouvement dès lors qu'il peut être capturé et analysé. Dans une deuxième partie, consacrée aux robots manipulateurs, nous élaborons des algorithmes de commande optimale. En considérant l'énergie cinétique du robot comme une métrique, le modèle dynamique est formulé sous forme tensorielle dans le cadre de la géométrie Riemannienne. La discrétisation temporelle est basée sur les Éléments Finis d'Hermite. Nous intégrons les équations de Lagrange du mouvement par une méthode de perturbation. Des exemples de simulation illustrent la superconvergence de la technique d'Hermite. Le critère de contrôle est choisi indépendant des paramètres de configuration. Les équations de la commande associées aux équations du mouvement se révèlent covariantes. La méthode de commande optimale proposée consiste à minimiser la fonction objective correspondant au critère invariant sélectionné. / We focus on the design of anthropomorphous mechanical hands destined to manipulate objects in a human environment. Via the motion analysis of a reference manipulation task performed by human subjects, we propose a method to evaluate a robotic hand manipulation capacities. We demonstrate how the angular coupling between the fingers joints and the angular limits affect the hands potential to manipulate objects. We also show the influence of the wrist motions on the manipulation task. We propose a strategy to calculate the fingertip manipulation forces and dimension the fingers motors. In a second part devoted to articulated robots, we elaborate optimal control algorithms. Regarding the kinetic energy of the robot as a metric, the dynamic model is formulated tensorially in the framework of Riemannian geometry. The time discretization is based on the Hermite Finite Elements.A time integration algorithm is designed by implementing a perturbation method of the Lagrange's motion equations. Simulation examples illustrate the superconvergence of the Hermite's technique. The control criterion is selected to be coordinate free. The control equations associated with the motion equations reveal to be covariant. The suggested control method consists in minimizing the objective function corresponding to the selected invariant criterion.

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans la première, on étudie des systèmes articulés (mécanismes formés de tiges rigides) dont l'espace ambiant n'est pas le plan, mais diverses variétés riemanniennes. On étudie la question de l'universalité des mécanismes : cette notion correspond à l'idée que toute courbe serait tracée par un sommet d'un mécanisme, et que toute variété différentiable serait l'espace de configuration d'un mécanisme. On étend les théorèmes d'universalité au plan de Minkowski, au plan hyperbolique et enfin à la sphère.Toute surface dans R^3 peut être aplatie selon l'axe des z, et la surface aplatie s'approche d'une table de billard dans R^2. Dans la seconde partie, on montre que, sous certaines hypothèses, le flot géodésique de la surface converge localement uniformément vers le flot de billard. De plus, si le billard est dispersif, les propriétés chaotiques du billard remontent au flot géodésique : on montre qu'il est alors Anosov. En appliquant ce résultat à la théorie des systèmes articulés, on obtient un nouvel exemple de systèmes articulé Anosov, comportant cinq tiges.Dans la troisième partie, on s'intéresse aux variétés munies de connexions localement métriques, c'est-à-dire de connexions qui sont localement des connexions de Levi-Civita de métriques riemanniennes ; on donne dans ce cadre un analogue du théorème de décomposition de De Rham, qui s'applique habituellement aux variétés riemanniennes. Dans le cas où une telle connexion préserve une structure conforme, on montre que cette décomposition comporte au plus deux facteurs ; de plus, lorsqu'il y a exactement deux facteurs, l'un des deux est l'espace euclidien R^q. La démonstration des résultats de cette partie passe par l'étude des feuilletages munis d'une structure de similitude transverse. Sur ces feuilletages, on montre un résultat de rigidité qui peut être vu indépendamment des autres: ils sont soit transversalement plats, soit transversalement riemanniens. / This thesis is divided into three parts. In the first part, we study linkages (mechanisms made of rigid rods) whose ambiant space is no longer the plane, but various Riemannian manifolds. We study the question of the universality of linkages: this notion corresponds to the idea that every curve would be traced out by a vertex of some linkage, and that any differentiable manifold would be the configuration space of some linkage. We extend universality theorems to the Minkowski plane, the hyperbolic plane, and finally the sphere.Any surface in R^3 can be flattened with respect to the z-axis, and the flattened surface gets close to a billiard table in R^2. In the second part, we show that, under some hypotheses, the geodesic flow of the surface converges locally uniformly to the billiard flow. Moreover, if the billiard is dispersing, the chaotic properties of the billiard also apply to the geodesic flow: we show that it is Anosov in this case. By applying this result to the theory of linkages, we obtain a new example of Anosov linkage, made of five rods.In the third part, we first consider manifolds with locally metric connections, that is, connections which are locally Levi-Civita connections of Riemannian metrics; we give in this framework an analog of De Rham's decomposition theorem, which usually applies to Riemannian manifolds. In the case such a connection also preserves a conformal structure, we show that this decomposition has at most two factors; moreover, when there are exactly two factors, one of them is the Euclidean space R^q. The proofs of the results of this part use foliations with transverse similarity structures. On these foliations, we give a rigidity theorem of independant interest: they are either transversally flat, or transversally Riemannian.