Made available in DSpace on 2015-03-26T13:45:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 texto completo.pdf: 812465 bytes, checksum: d6832361602c73d37e87fb903d5f8d58 (MD5) Previous issue date: 2014-02-17 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / In this Work, We study a phase-ñeld model for the isothermal olidiñcation of a binary alloy due to Warren-Boettinger [23]. We obtain the existence Of Weak solution, and results Of regularity and uniqueness under the assurnptions that the nonlinearities are Lipschitz and limited. Finally, by Characterizing the nonlinear terms by the double-well potentiaL We obtain existence and uniqueness Of Weak solution for a modiñed Version of the model. Throughout this Work, We apply the FaedO-Galerkin rnethod. / Estudamos nesse trabalho um modelo de Campo de fase para a solidificação isotérmica de uma liga binária, devido a Warren-Boettinger [23]. Obtemos a existência de solução fraca, e resultados de regularidade e unicidade sob as hipóteses das não linearidades serem Lipschitz e limitadas. Por fim, Caracterizamos um dos termos não lineares pelo double-well potential e Obtemos a existência de solução fraca para esse modelo e sua unicidade. Utilizamos durante todo 0 trabalho 0 Método de Faedo-Galerkin.

Orientadores: Philippe Remy Bernard Devloo, Sonia Maria Gomes / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Civil, Arquitetura e Urbanismo / Made available in DSpace on 2018-08-15T11:57:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Forti_TiagoLuisDuarte_D.pdf: 8887357 bytes, checksum: dc0e7acaa76c7778f2ffa9e3f9d24f9b (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Este trabalho dedica-se ao estudo dos métodos de Elementos Finitos e de Galerkin Descontínuo combinados. Nele, o Método de Galerkin Descontínuo é tratado como uma variante do Método de Elementos Finitos tradicional em que as funções do espaço de interpolação são descontínuas entre elementos. Procura-se a melhor combinação dos métodos, identicando em que condições cada método se sobressai. São abordados problemas elípticos de segunda ordem com singularidade e problemas de convecção. Em problemas elípticos, propõe-se utilizar funções de enriquecimento em elementos de Galerkin descontínuo. Os elementos enriquecidos são posicionados na vizinhança de singularidades, enquanto que nas regiões distantes, empregam-se elementos contínuos. Em problemas de convecção, propõe-se utilizar elementos descontínuos na vizinhança de choques e elementos contínuos em regiões em que a solução é suave. Uma estratégia de adaptação entre elementos contínuos e de Galerkin descontínuo é apresentada. Os resultados são mostrados em termos de erro de aproximação e, para problemas convectivos, em amplitude de oscilações / Abstract: The present work is dedicated to study the continuous Finite Element Method (FEM) and the Discontinuous Galerkin Method (DGM) combined in the same simulation. In this work the DGM is dealt with as a variant of the Finite Element Method where the interpolation space is formed by discontinuous functions between elements. In this work, we propose a formulation which combines FEM and DGM in the same simulation identifying when each method has better performance. The proposed formulation is applied to second-order elliptic problems with singular solution and to convection problems. For elliptic problems, we propose the use of local enrichment function in the approximation space of discontinuous elements. Elements with enrichment functions are employed in the vicinity of singularities. In other regions, continuous elements are employed. For convection problems, we propose to use discontinuous elements in regions where the solution presents shocks and continuous elements where the solution is smooth. A strategy to automatically decide which type of element is to be adopted is proposed. The results are compared in terms of approximation errors and for convective problems also in terms of amplitude of oscillations / Doutorado / Estruturas / Doutor em Engenharia Civil

Orientador: Patricio Anibal Letelier Sotomayor / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Fisica Gleb Wataghin / Made available in DSpace on 2018-08-15T22:01:22Z (GMT). No. of bitstreams: 1 PiraguaAriza_HernanAugusto_M.pdf: 2180545 bytes, checksum: 40077d2d7ba837a5004e12af62d3c5b0 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Neste trabalho foram realizadas duas tarefas. Na primeira delas, comparamos a estratégia de Linhares e Oliveira para a evolução temporal do kink ?ø4, que usa o método de Galerkin e um mapeamento, com o método de diferenças finitas em um intervalo finito. Achamos que a dinâmica é diferente nos dois casos. Encontramos que o método com mapeamento não é apropriado para a evolução do sistema. A segunda consistiu em utilizar o método de diferenças finitas para perturbar alguns kinks de um, dois e três campos, em uma dimensão espacial. Foi mostrada a estabilidade ou instabilidade dos kinks. Para o caso em que os kinks foram instáveis, achamos o produto de decaimento deles / Abstract: In this dissertation we did two things. First, we compared the Linhares and Oliveira approach for the temporal evolution of the ?ø4 kink, which uses the Galerkin method and a domain mapping, with the method of finite differences in a finite interval. It was found that the dynamics in these two cases were different. We found that the mapping method was not appropriated for the evolution of these kind of systems. The second part was the use of the finite difference method to perturb some kinks of one, two and three scalar fields in one spacial dimension. It was shown the (in)stability of the kinks. When they were unstable, it was found their decay products / Mestrado / Física Clássica e Física Quântica : Mecânica e Campos / Mestre em Física

Orientador: Philippe Remy Bernard Devloo / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica e Instituto de Geociências / Made available in DSpace on 2018-08-23T03:59:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 DuranTriana_OmarYesid_M.pdf: 4774391 bytes, checksum: f29f87826d760e9d63ab1efb621493f4 (MD5) Previous issue date: 2013 / Resumo: A reativação de falhas, resultante de variações na pressão de poros, pode ocasionar atividades sísmicas, subsidência, dano nos poços e criação de caminhos de escape dos fluidos contidos nos reservatórios. Para se garantir uma produção de hidrocarbonetos eficiente, mostra-se um fator crítico a avaliação das tendências de reativação das falhas existentes no meio poroso. Neste trabalho, apresenta-se uma aproximação numérica para uma análise de deformação quase-estática com escoamento monofásico, considerando a compressibilidade da rocha e dos fluidos. Um modelo bidimensional foi empregado considerando a teoria de poroelasticidade linear e um novo tratamento da poroelasticidade através de estruturas de dados multifísicos. Formas adimensionais das equações de poroelasticidade são apresentadas, juntamente com a reprodução de diversas soluções analíticas e semi-analíticas das mesmas em semiespaços, com o propósito de se validar o algoritmo desenvolvido. O modelo computacional foi utilizado para avaliar as mudanças de tensão, no reservatório e em suas fronteiras, com o objetivo de se estudar as tendências reativação de falhas em diferentes cenários. As tendências de reativação de falhas, resultantes da indução de variações de tensão na rocha, foram calculadas através do método de variação de tensão de ruptura de Coulomb para a definição das seções com potencial de deslocamento por tensões cisalhante das falhas pre-existentes em tempos específicos, associados com as alterações na pressão de poros. Mostrou-se que a reativação de falhas depende da geometria de reservatório, das propriedades poroelásticas da rocha, coeficiente de atrito e a distribuição da pressão de poros. Um estudo sobre precisão dos cálculos baseado na dimensão do material circundante é apresentada e vários cenários com diferentes programas depleção foram avaliados para determinar a influência das taxas de produção sobre a tendência de reativação das falhas / Abstract: Fault reactivation resulting from pore pressure changes may be accompanied by seismic activity, subsidence, well damage and the creation of fluid leakage paths. To ensure acceptable reservoir performance in hydrocarbon production, it is critical to assess the reactivation tendencies of existing faults. In this work, a numerical approximation is presented that allows quasi-static deformation coupled with monophasic flow considering compressible constituents. Two dimensional modeling is carried out using the theory of linear poroelasticity and a new treatment of poroelastic equations defined into a multiphysics data structure. Dimensionless forms of poroelasticity equations are presented and several analytic and semi analytic solutions, as well as poroelastic inclusion theory were reproduced with the proposed implementation in order to validate it. The computational model is used to evaluate the stress changes around and into the reservoir in order to assess the fault reactivation tendency at different scenarios. Fault reactivation tendency resulting from induced stress changes was calculated using the Coulomb failure stress change method for definition of the shear slip potential along pre-existing faults at one specific time associated to pore pressure change. It was found that fault reactivation tendency depends on the reservoir geometry, poroelastic properties of the reservoir and surrounding rocks, reservoir geometry, static friction coefficient, and pore pressure distribution. A numerical study about the accuracy of surrounding material dimensions is presented and several scenarios with different depletion programs were evaluated to determine the influence of the production rates over fault reactivation tendency / Mestrado / Explotação / Mestre em Ciências e Engenharia de Petróleo

Orientador: Philippe Remy Bernard Devloo / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-26T08:30:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Farias_AgnaldoMonteiro_D.pdf: 4236142 bytes, checksum: 173a1f60f06933f3f12600b1c0be3c9b (MD5) Previous issue date: 2014 / Resumo: Os assuntos de interesse nesta tese dizem respeito a formulações não clássicas do método dos elementos finitos (MEF). Neste sentido, o foco principal está no desenvolvimento de ferramentas computacionais para o MEF visando simulações de problemas multifísicos. Este tipo de problema ocorre, frequentemente, nas aplicações de Engenharia modeladas pelo acoplamento de diversos fenômenos físicos, os quais podem ser resolvidos numa única simulação numérica. A esta modelagem dá-se o nome de simulação multifísica. Neste contexto, para se obter uma simulação otimizada, é conveniente dar um tratamento diferenciado para cada fenômeno físico envolvido. No MEF, por exemplo, tal abordagem multifísica pode ser realizada pela escolha de diferentes subespaços de aproximação, em conformidade com os fenômenos considerados. Para efeito de verificação do código desenvolvido, resolvem-se dois problemas no contexto de simulação multifísica. Um problema de acoplamento fluido-estrutura em poroelasticidade linear e um problema de escoamento em meios porosos com injeção de traçador. Utilizam-se subespaços de aproximação H1-conformes para o deslocamento da matriz porosa, Hdiv-conformes para o fluxo de fluido e funções descontínuas para a aproximação da pressão do fluido e da saturação. Outro desenvolvimento diz respeito a formulações combinadas de Galerkin contínuo-descontínuo para problemas de elasticidade linear. Na abordagem proposta, os espaços de elementos finitos são formados por funções contínuas ou descontínuas, em diferentes regiões do domínio. Estuda-se também o esquema de Petrov-Galerkin com funções teste otimizadas via simetrização. Aplica-se uma nova abordagem para este método através de duas aproximações pelo método de Galerkin contínuo. A implementação e avaliação do desempenho de todas as formulações propostas são feitas no ambiente de programação orientada a objetos chamado NeoPZ / Abstract: The issues of interest in this thesis are related to non classical formulations of the finite element method (FEM). In this sense, the main focus is on developing computational tools for the FEM targeting the simulation of multiphysics problems. This type of problem often occurs in engineering applications modeled by coupling several physical phenomena, which can be resolved in a single numerical simulation. This kind of modeling is called multiphysics simulation. In this context, to obtain an optimized simulation, it is convenient to give a different treatment for each physical phenomenon involved. For instance, in the FEM context, such multiphysics approach can be accomplished by choosing different approximation subspaces in accordance with the phenomena considered. For the verification of the developed code, a problem of fluid-structure interaction in linear poroelasticity and a problem of flow in porous media with tracer injection are solved in the context of multiphysics simulation. H1-conforming approximation is used for the displacement of the porous matrix, Hdiv-conforming for the fluid flow and discontinuous functions for the approximation of fluid pressure and saturation. In another development, the discontinuos-continuous Galerkin formulation is considered for problems of linear elasticity. In such formulation, the spaces finite elements are formed by continuous or discontinuous functions in different regions of the domain. Another study refers to the Petrov-Galerkin scheme with test functions optimized by symmetrization. A new approach to the method by means of two approximations by continuous Galerkin method is proposed. The implementation and verification of all considered formulations are made on the object-oriented programming environment called NeoPZ / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: João Frederico da Costa Azevedo Meyer / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-10-08T14:48:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 SaavedraVasquez_JulioCesar_D.pdf: 2693907 bytes, checksum: b3b22b83e62ead2cea6f7a9f22b7be6d (MD5) Previous issue date: 2005 / Resumo: Neste trabalho, é analisado o comportamento transiente da dispersão de água pro-duzida decorrente da atividade offshore, através de simulação numérica. O processo de dispersão é modelado através de um sistema de Equações Diferenciais Parciais que reúne as equações clássicas de Stokes e de Difusão-advecçãojreação em 3D, sendo que as veloci-dades obtidas na resolução numérica da I equação são usadas como parâmetro na equação de Difusão. Uma vez verificada existência e unicidade da solução da formulação variaci-onal, são aplicados os métodos SUPG(de ordem II) e Crank-Nicolson, que correspondem a métodos de elementos finitos no espaço e diferenças finitas no tempo respectivamente, para achar uma solução aproximada do problema original. Adicionalmente estabelecemos algumas estimativas do erro induzido pelo método de Galerkin tanto no caso contínuo como no discreto no tempo.Finalmente incluimos a implementação de um programa computacional o qual, através de diversas simulações de diferentes cenários, permite ilustrar a capacidade qualitativa do modelo e sua abordagem computacional / Abstract: In this work we study the evolutionary behavior of dispersal process of produced water resultant from off-shore activities, using a system of the classic partial differen-tial equations to mo deI both a circulation map as well as diffusion and advection in a three-dimensional domain. An existence and uniqueness result is obtained in the studied case, where finite elements are used in spatial discretization and finite differences in the Crank-Nicolson form are used for time steps. A Streamline-upwindjPetrov-Galerkin II adaptation is used for obtaining the necessary numerical approximations. Error estimates are established for Galerkin's method in both the continuous and discrete cases. An algo-rithm is presented with which several scenarios were carried out and discussed, illustrating qualitative merits of the process and its computational expression / Doutorado / Matematica / Doutor em Matemática

Orientador: Luiz Felipe Mendes de Moura / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica / Made available in DSpace on 2018-08-17T11:43:11Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Romao_EstanerClaro_D.pdf: 1521072 bytes, checksum: 77c6ac2ca14bf77a766f7f88487a59c5 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Este trabalho trata da aplicação do Método dos Elementos Finitos nas variantes Galerkin e Mínimos Quadrados com equações auxiliares para a solução numérica da equação diferencial parcial que modela a convecção-difusão-reação definida sobre um domínio tridimensional em regime permanente. Na discretização espacial foram utilizados elementos hexaedrais com oito (elemento linear) e vinte e sete (elemento quadrático) nós, no qual foram adotadas funções de interpolação de Lagrange nas coordenadas locais. Transformando toda a formulação do problema das coordenadas globais para as coordenadas locais, o Método da Quadratura de Gauss-Legendre foi utilizado para integração numérica dos coeficientes das matrizes dos elementos. Adicionalmente, à formulação pelos dois métodos, um código computacional foi implementado para simular o fenômeno proposto. Dispondo de soluções analíticas, várias análises de erro numérico foram realizadas a partir das normas L2 (erro médio no domínio) e L? (maior erro cometido no domínio), validando assim os resultados numéricos. Um caso real é proposto e analisado / Abstract: This paper the application of the Finite Element Method in variants Galerkin and Least Squares with auxiliary equations for the numerical solution of partial differential equation that models the convection-diffusion-reaction defined over a three-dimensional domain in steady state. In the spatial discretization were used hexahedrons elements with eight (linear element) and twenty-seven (quadratic element) nodes, which were adopted Lagrange interpolation functions in local coordinates. Transforming the problem of global coordinates to local coordinates, the method of Gauss-Legendre quadrature was used for numerical integration of the coefficients of the matrices of the elements. Additionally, the formulation by the two methods, a computer code was implemented to simulate the phenomenon proposed. Offering analytical solutions, several numerical error analysis were performed from L2 norms (average error in the domain) and L? (higher error in the domain), thus validating the numerical results. A real case is proposed and analyzed / Doutorado / Termica e Fluidos / Doutor em Engenharia Mecânica

Orientador: João Frederico da C. A. Meyer / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-13T10:29:33Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Abreu_LucianaCarrara_M.pdf: 4346828 bytes, checksum: 033ab3f8708d62fd87d7a14fc7b8bb11 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Este trabalho se constitui numa ferramenta que possibilita melhor avaliar, através de simulações computacionais, como a poluição pode afetar (ou vir a afetar) populações de macroalgas que interagem, também, entre si num importante ecossistema marinho localizado próximo à região metropolitana do Rio de Janeiro, a baía de Sepetiba. Com base no relato de estudos de campo nesta baía, foram reunidas informações sobre as características das principais macroalgas desta região, bem como sobre a poluição e suas influências sobre a flora marinha local. Neste cenário, foi justificadamente construído um modelo evolutivo formado por equações diferenciais parciais que descrevem a interação entre duas espécies de macroalgas sob a influência de um poluente de superfície, que pode ser tóxico ou servir de alimento às plantas marinhas, variando de uma espécie a outra. Inevitavelmente, participam desta interação as células de reprodução de cada espécie de macroalga e, por isso, estão incluídas no modelo. Estão apresentadas as formulações clássica e variacional de um modelo mais simples, com as posteriores discretizações espaciais, em que foi utilizado o método de Elementos Finitos (aqui com elementos triangulares de primeira ordem), e discretização temporal, com o uso do método de Crank-Nicolson, de segunda ordem de aproximação. As discretizações, no modelo mais complexo, seguem passos totalmente análogos aos do modelo mais simples. É também apresentado um capítulo sobre o cálculo das submatrizes de rigidez, necessário para a implementação. Finalmente são mostrados alguns experimentos computacionais que permitem simular situações hipotéticas de risco, com o objetivo de se obter cenários de impactos causados pela poluição sobre a flora marinha local e, com isso, alertar para os problemas gerados pela intervenção antrópica na região e motivar um planejamento de estratégias e políticas de prevenção e de contingência. / Abstract: This work describes a tool created to enable better evaluations - by the adequate use of computational simulations - of how environmental impact can affect (or come to affect) different populations of macroalgae which interact among themselves in an important marine ecosystem located south of Rio de Janeiro state, that of Sepetiba bay. Based upon previous records of local studies in this area, data was collected highlighting characteristics of these species of macroalgae, as well as that of the effect of pollution upon local marine flora. In this general setting, a model was developed based on a non-linear system of partial differential equations that describes the interaction among two distinct species of algae under the impact of a polluting material, an impact that can either be toxic or a nourishment for one or both of these algae. Population dynamics and movements are included in the model, as well as reproduction cells of these species. Classic and variational formulations are presented, with Ritz-Galerkin discretization for space variables, as well as a Crank-Nicolson method for approximations in time, both methods of second-order. Simpler variations of the model (and of the discretized approximation) are presented in order to gain an insight as regards the algorithmic processes. In the more complex situation, a separate chapter describes the numerical and computational tools necessary in the deffnition of the final schemes. Computationally defined dynamical scenarios are presented, illustrating how risk assessments can be undertaken, simulating the mentioned effects of the presence of polluting materials in the region, creating an important tool for possible effects of the anthropic activities in the region, permitting the planning processes for the establishment of strategies and policies for environmental protection and damage repair. / Mestrado / Mestre em Matemática Aplicada

Orientador: Sônia Maria Gomes, Philippe Remy Bernard Devloo, Igor Mozolevski / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-19T03:23:02Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Goncalves_JoaoLuis_D.pdf: 15054031 bytes, checksum: 23ef9ef75ca5a7ae7455135fc552a678 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Neste trabalho, estudamos indicadores a posteriori para o erro na aproximação de funcionais das soluções das equações biharmônica e de Poisson obtidas pelo método de Galerkin descontínuo. A metodologia usada na obtenção dos indicadores é baseada no problema dual associado ao funcional, que é conhecida por gerar os indicadores mais eficazes. Os dois principais indicadores de erro com base no problema dual já obtidos, apresentados para problemas de segunda ordem, são estendidos neste trabalho para problemas de quarta ordem. Também propomos um terceiro indicador para problemas de segunda e quarta ordem. Estudamos as características dos diferentes indicadores na localização dos elementos com as maiores contribuições do erro, na caracterização da regularidade das soluções, bem como suas consequências na eficiência dos indicadores. Estabelecemos uma estratégia hp-adaptativa específica para os indicadores de erro em funcionais. Os experimentos numéricos realizados mostram que a estratégia hp-adaptativa funciona adequadamente e que o uso de espaços de aproximação hp-adaptados resulta ser eficiente para a redução do erro em funcionais com menor úmero de graus de liberdade. Além disso, nos exemplos estudados, a qualidade dos resultados varia entre os indicadores, dependendo do tipo de singularidade e da equação tratada, mostrando a importância de dispormos de uma maior diversidade de indicadores / Abstract: In this work we study goal-oriented a posteriori error indicators for approximations by the discontinuous Galerkin method for the biharmonic and Poisson equations. The methodology used for the indicators is based on the dual problem associated with the functional, which is known to generate the most effective indicators. The two main error indicators based on the dual problem, obtained for second order problems, are extended to fourth order problems. We also propose a third indicator for second and fourth order problems. The characteristics of the different indicators are studied for the localization of the elements with the greatest contributions of the error, and for the characterization of the regularity of the solutions, as well as their consequences on indicators efficiency. We propose an hp-adaptive strategy specific for goal-oriented error indicators. The performed numerical experiments show that the hp-adaptive strategy works properly, and that the use of hp-adapted approximation spaces turns out to be efficient to reduce the error with a lower number of degrees of freedom. Moreover, in the examples studied, a comparison of the quality of results for the different indicators shows that it may depend on the type of singularity and of the equation treated, showing the importance of having a wider range of indicators / Doutorado / Matematica Aplicada / Doutor em Matemática Aplicada

Orientador: José Luiz Boldrini / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-19T18:40:32Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Oliveira_AndreaGenovesede_M.pdf: 1278255 bytes, checksum: f16ace92e18ff9cf5e8a4f8a66829f47 (MD5) Previous issue date: 2012 / Resumo: Analisamos um sistema não linear parabólico de reação-difusão com duas equações definidas em ]0,T[x'ômega', (0 < T < 'infinito' e Q 'pertence' R³ limitado) e condições de fronteira do tipo Neumann. Tal sistema foi proposto para modelar o movimento de uma população de amebas unicelulares e tem como base o processo de locomoção chamado quimiotaxia positiva, na qual as amebas se movimentam em direção à região de alta concentração de uma certa substância química, que, neste caso, é produzida pelas próprias amebas. Embora adicionando os detalhes técnicos, este trabalho seguiu livremente o método de resolução proposto no artigo de A. Boy, Analysis for a System of Coupled Reaction-Diffusion Parabolic Equations Arising in Biology, Computers Math. Applic. Vol. 32, No. 4, páginas 15-21, 1996 / Abstract: We will be analyzing a nonlinear parabolic reaction diffusion system with two equations, defined in ]0,T[x'omega', (0 < T < 'infinite' and Q 'belongs' R³) with Neumann boundary conditions. This system was proposed in order to model the movement of a population of single-cell amoebae and is based on the process of movement called chemotaxis, in which the amoebae move in the direction of the region of high concentration of a certain chemical substance, which, in this case, is produced by the amoebae themselves.While adding the technical details, this dissertation followed freely the solution method proposed in the paper: A. Boy, Analysis for a System of Coupled Reaction-Diffusion Parabolic Equations Arising in Biology, Computers Math. Applic. Vol. 32, No. 4, pages 15-21, 1996 / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática