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Transport and trade of gas are decoupled after the liberalization of the European gas markets, which are now organized as so-called entry-exit systems. At the core of this market system are bookings and nominations, two special capacity-right contracts that grant traders access to the gas network. The latter is operated by a separate entity, known as the transmission system operator (TSO), who is in charge of the transport of gas from entry to exit nodes. In the mid to long term, traders sign a booking contract with the TSO to obtain injection and withdrawal capacities at entry and exit nodes, respectively. On a day-ahead basis, they then nominate within these booked capacities a balanced load flow of the planned amounts of gas to be injected into and withdrawn from the network the next day. The key property is that by signing a booking contract, the TSO is obliged to guarantee transportability for all balanced load flows in compliance with the booked capacities. To assess the feasibility of a booking, it is therefore necessary to check the feasibility of infinitely many nominations. As a result, deciding if a booking is feasible is a challenging mathematical problem, which we investigate in this dissertation.Our results range from passive networks, consisting of pipes only, to active networks, containing controllable elements to influence gas flows. Since the study of the latter naturally leads to a bilevel framework, we first consider some more general properties of bilevel optimization. For the case of linear bilevel optimization, we consider the hardness of validating the correctness of big-Ms often used in solving these problems via a single-level reformulation. We also derive a family of valid inequalities to be used in a bilevel-tailored branch-and-cut algorithm as a big-M-free alternative.We then turn to the study of feasible bookings. First, we present our results on passive networks, for which bilevel approaches are not required. A characterization of feasible bookings on passive networks is derived in terms of a finite set of nominations. While computing these nominations is a difficult task in general, we present polynomial complexity results for the special cases of tree-shaped or single-cycle passive networks. Finally, we consider networks with linearly modeled active elements. After obtaining a bilevel optimization model that allows us to determine the feasibility of a booking in this case, we derive various single-level reformulations to solve the problem. In addition, we obtain novel characterizations of feasible bookings on active networks, which generalize our characterization in the passive case. The performance of these various approaches is compared in a case study on two networks from the literature, one of which is a simplified version of the Greek gas network. / Transport et commerce de gaz sont découplés depuis la libéralisation des marchés européens du gaz, qui sont désormais organisés en systèmes dit d'entrée-sortie. Au cœur de ce système de marché se trouvent les réservations et les nominations, deux contrats spéciaux de droit à la capacité qui permettent aux négociants d'accéder au réseau de gaz. Ce dernier est exploité par une entité distincte, appelée gestionnaire de réseau de transport~(GRT), qui est chargée du transport du gaz entre les nœuds d'entrée et de sortie. À moyen et long terme, les négociants signent un contrat de réservation avec le GRT pour obtenir des capacités d'injection et d'extraction aux nœuds d'entrée et de sortie, respectivement. Au jour le jour, ils désignent ensuite, dans les limites des capacités réservées, un flux de charge équilibrée des quantités de gaz prévues à injecter et à extraire le lendemain. La propriété essentielle est qu'en signant un contrat de réservation, le GRT est obligé de garantir la transportabilité de tous les flux de charge équilibrée respectant les capacités réservées. Pour évaluer la faisabilité d'une réservation, il est donc nécessaire de vérifier la faisabilité d'une infinité de nominations. Par conséquent, décider si une réservation est réalisable est un problème mathématique difficile, que nous étudions dans cette thèse.Nos résultats vont des réseaux passifs, constitués uniquement de pipelines, aux réseaux actifs, contenant des éléments contrôlables pour influencer les flux de gaz. Comme l'étude de ces derniers conduit naturellement à un cadre biniveau, nous considérons d'abord certaines propriétés plus générales de l'optimisation biniveau. Pour le cas de l'optimisation biniveau linéaire, nous étudions la difficulté de valider l'exactitude des constantes de type big-M souvent utilisées dans la résolution de ces problèmes via une reformulation à un seul niveau. Nous déduisons également une famille d'inégalités valides à utiliser dans un algorithme de branch-and-cut adapté au biniveau comme alternative à l'approche utilisant des big-Ms.Nous nous tournons ensuite vers l'étude des réservations réalisables. D'abord, nous présentons nos résultats sur les réseaux passifs, pour lesquels les approches biniveaux ne sont pas nécessaires. Une caractérisation des réservations réalisables sur les réseaux passifs est déduite en termes d'un ensemble fini de nominations. Bien que le calcul de ces nominations soit une tâche difficile en général, nous présentons des algorithmes polynomiaux pour les cas particuliers des réseaux passifs en forme d'arbre ou contenant un cycle unique. Enfin, nous considérons les réseaux avec des éléments actifs modélisés à l'aide de contraintes linéaires. Après avoir obtenu un modèle biniveau, permettant de déterminer la faisabilité d'une réservation dans ce cas, nous dérivons diverses reformulations à un seul niveau pour résoudre le problème. En outre, nous obtenons de nouvelles caractérisations des réservations réalisables sur les réseaux actifs, qui généralisent notre caractérisation dans le cas passif. La performance de ces différentes approches est comparée dans une étude de cas réalisée sur deux réseaux de la littérature, dont l'un est une version simplifiée du réseau de gaz grec. / Nach der Liberalisierung der europäischen Gasmärkte, welche nun als sogenannte Entry-Exit Systeme organisiert sind, sind Transport und Handel von Gas entkoppelt. Im Zentrum dieses neuen Marktsystems sind Buchungen und Nominierungen, zwei spezielle Kapazitätrechtsverträge, die Händlern Zugang zum Gasnetz gewähren. Letzteres wird von einem separaten Akteur betrieben, dem sogenannten Fernleitungsnetzbetreiber (FNB), der für den Transport des Gases von den Einspeise- zu den Ausspeiseknoten verantwortlich ist. Händler schließen mittel- bis langfristig einen Buchungsvertrag mit dem FNB ab, um Ein- und Ausspeisekapazitäten zu erhalten. Täglich nominieren sie dann innerhalb der gebuchten Kapazitäten einen bilanzierten Lastfluss der geplanten Gasmengen, die am nächsten Tag eingespeist und entnommen werden sollen. Die Haupteigenschaft ist, dass der FNB sich durch Unterzeichnung eines Buchungsvertrages für die Transportierbarkeit aller bilanzierten Lastflüsse innerhalb der gebuchten Kapazitäten verpflichtet. Um die Zulässigkeit einer Buchung zu bestimmen ist es daher notwendig, die Zulässigkeit von unendlich vielen Nominierungen zu prüfen. Die Entscheidung, ob eine Buchung zulässig ist, ist daher ein anspruchsvolles mathematisches Problem, das wir in dieser Dissertation untersuchen.Unsere Ergebnisse reichen von passiven Netzen, die nur aus Rohren bestehen, bis hin zu aktiven Netzen, die steuerbare Elemente zur Beeinflussung der Gasflüsse enthalten. Da die Untersuchung aktiver Netze uns auf natürlichem Wege zu Bilevel-Problemen führt, betrachten wir zunächst einige allgemeinere Eigenschaften der Bilevel-Optimierung. Für den Fall der linearen Bilevel-Optimierung betrachten wir die Schwierigkeit, Big-Ms zu validieren, die oft bei der Lösung dieser Probleme mittels einer einstufigen Reformulierung verwendet werden. Wir leiten außerdem eine Familie gültiger Ungleichungen ab, die in einem Bilevel-spezifischen Branch-and-Cut Algorithmus als big-M-freie Alternative verwendet werden können.Wir wenden uns dann der Untersuchung von zulässigen Buchungen zu. Zunächst stellen wir unsere Ergebnisse zu passiven Netzwerken vor, für die Bilevel-Ansätze nicht erforderlich sind. Eine Charakterisierung zulässiger Buchungen in passiven Netzwerken wird in Bezug auf eine endliche Menge an Nominierungen hergeleitet. Während die Berechnung dieser Nominierungen im Allgemeinen eine schwierige Aufgabe ist, präsentieren wir polynomielle Komplexitätsergebnisse für die Spezialfälle baumförmiger oder einzyklischer passiver Netze. Schließlich betrachten wir Netze mit linear modellierten aktiven Elementen. Nachdem wir ein Bilevel-Modell hergeleitet haben, mit dem wir die Zulässigkeit einer Buchung in diesem Fall bestimmen können, leiten wir verschiedene einstufige Reformulierungen zur Lösung des Problems ab. Darüber hinaus erhalten wir neuartige Charakterisierungen zulässiger Buchungen auf aktiven Netzen, die unsere Charakterisierung im passiven Fall verallgemeinern. Die Anwendbarkeit dieser verschiedenen Ansätze wird in einer Fallstudie an zwei Netzen aus der Literatur verglichen, wovon eines eine vereinfachte Version des griechischen Gasnetzes ist. / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Diese Arbeit beschäftigt sich mit verschiedenen mathematischen Fragestellungen hinsichtlich der Modellierung, Analysis und numerischen Simulation von Gasnetzen. Hierbei liegt der Fokus auf der mathematischen Handhabung von partiellen differential-algebraischen Gleichungen, die mit algebraischen Gleichungen gekoppelt sind. Diese bieten einen einfachen Zugang hinsichtlich der Modellierung von dynamischen Strukturen auf Netzen Somit sind sie insbesondere für Gasnetze geeignet, denen im Zuge der steigenden Bedeutung von erneuerbaren Energien ein gestiegenes Interesse seitens der Öffentlichkeit, Politik und Wissenschaft entgegen gebracht wird. Wir führen zunächst die gängigsten Elemente, die in Gasnetzen benötigt werden ein und formulieren zwei PDAE-Klassen für solche Netze: Eine für reine Rohrnetze, und eine, die zusätzliche Elemente wie Verdichter und Widerstände beinhaltet. Des Weiteren untersuchen wir die Sensitivität der Lösung der Rohrnetz-PDAE hinsichtlich Störungen. Dabei berücksichtigen wir Störungen, die nicht nur den dynamischen Teil der PDAE beeinflussen, sondern auch Störungen in den algebraischen Gleichungen und weisen Stabilitätseigenschaften für die Lösung der PDAE nach. Darüber hinaus beschäftigen wir uns mit einer neu entwickelten, an die Netztopologie angepassten Ortsdiskretisierung, welche die Stabilitätseigenschaften der PDAE auf DAE Systeme überträgt. Des Weiteren zeigen wir, wie sich die Gasnetz-DAE zu einer gewöhnlichen Differentialgleichung, welche die inhärente Dynamik der DAE widerspiegelt entkoppeln lässt. Dieses entkoppelte System kann darüber hinaus direkt aus den Topologie- und Elementinformationen des Netzes aufgestellt werden. Abschließend demonstrieren wir die Ergebnisse an Benchmark-Gasnetzen. Dabei vergleichen wir sowohl die entkoppelte Differentialgleichung mit dem ursprünglichen DAE System, zeigen aber auch, welche Vorteile die an die Netztopologie angepasste Ortsdiskretisierung gegenüber existierenden Verfahren besitzt. / This thesis addresses several aspects regarding modelling, analysis and numerical simulation of gas networks. Hereby, our focus lies on (partial) differential-algebraic equations, thus systems of partial and ordinary differential equations which are coupled by algebraic equations. These coupled systems allow an easy approach towards the modelling of dynamic structures on networks. Therefore, they are well suited for gas networks, which have gained a rise of attention in society, politics and science due to the focus towards renewable energies. We give an introduction towards gas network modelling that includes the most common elements that also appear in real gas networks and present two PDAE systems: One for pipe networks and one that includes additional elements like resistors and compressors. Furthermore, we investigate the impact of perturbations onto the pipe network PDAE, where we explicitly allow perturbations to affect the system in the differential as well as in the algebraic components. We conclude that the solution of the PDAE possesses stability properties. In addition, this thesis introduces a new spatial discretisation that is adapted to the net- work topology. This topology-adapted semi-discretisation results in a DAE which possesses the same perturbation behaviour as the space continuous PDAE. Furthermore, we present a topology based decoupling procedure that allows to reformulate the DAE as an ordinary differential equation (ODE), which represents the inherent dynamics of the DAE system. This ODE, together with a decoupled set of algebraic equations, can be derived from the topology and element information directly. We conclude by demonstrating the established results for several benchmark networks. This includes a comparison of numerical solutions for the decoupled ODE and the DAE system. In addition we present the advantages of the topology-adapted spatial discretisation over existing well established methods.

Zuweilen wird gefördertes Erdgas als eine Brückentechnologie noch eine Weile erhalten bleiben, aber unsere Gasnetzinfrastruktur hat auch in einer Ära post-fossiler Brennstoffe eine Zukunft, um Klima-neutral erzeugtes Methan, Ammoniak oder Wasserstoff zu transportieren. Damit die Dispatcher der Zukunft, in einer sich fortwährend dynamisierenden Marktsituation, mit sich beständig wechselnden Kleinstanbietern, auch weiterhin einen sicheren Gasnetzbetrieb ermöglichen und garantieren können, werden sie auf moderne, schnelle Simulations- sowie performante Optimierungstechnologie angewiesen sein. Der Schlüssel dazu liegt in einem besseren Verständnis zur numerischen Behandlung nicht differenzierbarer Funktionen und diese Arbeit möchte einen Beitrag hierzu leisten. Wir werden stückweise differenzierbare Funktionen in sog. Abs-Normalen Form betrachten. Durch einen Prozess, der Abs-Linearisierung genannt wird, können wir stückweise lineare Approximationsmodelle erster Ordnung, mittels Techniken der algorithmischen Differentiation erzeugen. Jene Modelle können über Matrizen und Vektoren mittels gängiger Software-Bibliotheken der numerischen linearen Algebra auf Computersystemen ausgedrückt, gespeichert und behandelt werden. Über die Generalisierung der Formel von Faà di Bruno können auch Splinefunktionen höherer Ordnung generiert werden, was wiederum zu Annäherungsmodellen mit besserer Güte führt. Darauf aufbauend lassen sich gemischte Taylor-Kollokationsmethoden, darunter die mit Ordnung zwei konvergente generalisierte Trapezmethode, zur Integration von Gasnetzen, in Form von nicht glatten Algebro-Differentialgleichungssystemen, definieren. Numerische Experimente demonstrieren das Potential. Da solche implizite Integratoren auch nicht lineare und in unserem Falle zugleich auch stückweise differenzierbare Gleichungssysteme erzeugen, die es als Unterproblem zu lösen gilt, werden wir uns auch die stückweise differenzierbare, sowie die stückweise lineare Newtonmethode betrachten. / As of yet natural gas will remain as a bridging technology, but our gas grid infrastructure does have a future in a post-fossil fuel era for the transportation of carbon-free produced methane, ammonia or hydrogen. In order for future dispatchers to continue to enable and guarantee safe gas network operations in a continuously changing market situation with constantly switching micro-suppliers, they will be dependent on modern, fast simulation as well as high-performant optimization technology. The key to such a technology resides in a better understanding of the numerical treatment of non-differentiable functions and this work aims to contribute here. We will consider piecewise differentiable functions in so-called abs-normal form. Through a process called abs-linearization, we can generate piecewise linear approximation models of order one, using techniques of algorithmic differentiation. Those models can be expressed, stored and treated numerically as matrices and vectors via common software libraries of numerical linear algebra. Generalizing the Faà di Bruno's formula yields higher order spline functions, which in turn leads to even higher order approximation models. Based on this, mixed Taylor-Collocation methods, including the generalized trapezoidal method converging with an order of two, can be defined for the integration of gas networks represented in terms of non-smooth system of differential algebraic equations. Numerical experiments will demonstrate the potential. Since those implicit integrators do generate non-linear and, in our case, piecewise differentiable systems of equations as sub-problems, it will be necessary to consider the piecewise differentiable, as well as the piecewise linear Newton method in advance.

Diese Dissertation befasst sich mit der Analyse von semi-expliziten Systemen aus stochastischen Differentialgleichungen (SDEs) gekoppelt mit stochastischen partiellen Differentialgleichungen (SPDEs) und algebraischen Gleichungen (AEs) mit möglicherweise stochastischen Anteilen in den Operatoren. Diese Systeme spielen eine entscheidende Rolle bei der Modellierung von realen Anwendungen, wie zum Beispiel elektrischen Schaltkreisen und Gasnetzwerken. Der Hauptbeitrag dieser Arbeit besteht darin, einen Rahmen bereitzustellen, in dem diese semiexpliziten Systeme auch bei stochastischen Einflüssen in den algebraischen Randbedingungen eine eindeutige Lösung haben. Wir führen einen numerischen Ansatz für solche Systeme ein und schlagen eine neue Möglichkeit vor, um Konvergenzergebnisse von driftimpliziten Methoden für SDEs auf stochastische Differential-Algebraische Gleichungen (SDAEs) zu erweitern. Dies ist wichtig, da viele Methoden für SDEs gut entwickelt sind, aber im Allgemeinen nicht für SDAEs in Betracht gezogen werden. Darüber hinaus untersuchen wir praktische Anwendungen in der Schaltkreis- und Gasnetzwerksimulation und diskutieren die dabei auftretenden Herausforderungen und Einschränkungen. Insbesondere stellen wir dabei auch einen Modellierungsansatz für Gasnetzwerke bestehend aus Rohren und algebraischen Komponenten vor. Abschließend testen wir in beiden Anwendungsfeldern die numerische Konvergenz anhand konkreter Beispiele mit verschiedenen Arten von stochastischer Modellierung. / This dissertation delves into the analysis of semi-explicit systems of stochastic differential equations (SDEs) coupled with stochastic partial differential equations (SPDEs) and algebraic equations (AEs) with possibly noise-driven operators. These systems play a crucial role in modeling real-world applications, such as electrical circuits and gas networks. The main contribution of this work is to provide a setting in which these semi-explicit systems have a unique solution even with stochastic influences in the algebraic constraints. We introduce a numerical approach for such systems and propose a new approach for extending convergence results of drift-implicit methods for SDEs to stochastic differential-algebraic equations (SDAEs). This is important, as many methods are well-developed for SDEs but generally not considered for SDAEs. Furthermore, we examine practical applications in circuit and gas network simulation, discussing the challenges and limitations encountered. In particular, we provide a modeling approach for gas networks consisting of pipes and algebraic components. To conclude, we test numerical convergence in both application settings on concrete examples with different types of stochastic modeling.