Neste trabalho construímos e apresentamos realizações explicitas de todos os sl(3)-módulos de Gelfand-Tsetlin irredutíveis. / In this work we construct and give explicit realizations for all irreducible Gelfand-Tsetlin modules for the Lie algebra sl(3).

Neste trabalho construímos e apresentamos realizações explicitas de todos os sl(3)-módulos de Gelfand-Tsetlin irredutíveis. / In this work we construct and give explicit realizations for all irreducible Gelfand-Tsetlin modules for the Lie algebra sl(3).

Neste trabalho estudamos os módulos de Gelfand-Tsetlin 1-singulares para gl(n). Em particular, descrevemos bases explícitas para certos subquocientes dos mesmos e estabelecemos um critério que garante a sua irredutibilidade. / In this work we study the Gelfand-Tsetlin 1-singular modules for gl(n). In particular, we describe explicit bases for certain subquotients of the same and establish a criterion that guarantees its irreducibility.

Nesse trabalho introduzimos as subálgebras de Mishchenko-Fomenko. Apresentamos o problema de Vinberg e a solução de Feigin, Frenkel e Toledano-Laredo em Feigin, Frenkel e Toledano-Laredo (2010) Também é mostrada a solução para as álgebras de Lie de tipo A apresentada em Futorny e Molev (2015). É estudado também o artigo Molev (2013) onde são apresentados geradores do centro de Feigin-Frenkel para as álgebras de Lie de tipo B, C e D. Também são introduzidas as subálgebras de Gelfand-Tsetlin, subálgebras das álgebras envolventes universais das álgebras de Lie de tipo A. Apresentamos uma definição de súbálgebra de Gelfand-Tsetlin para as álgebras de Lie de tipo C, introduzida em Molev e Yakimova (2017). São exibidas as variedades de Gelfand-Tsetlin de $\\mathfrak_$ e $\\mathfrak_$, sendo provado que a variedade de Gelfand-Tsetlin de $\\mathfrak_$ é equidimensional de dimensão 4. Também é demonstrado um novo resultado sobre a equidimensionalidade de $\\mathfrak_$. / In this dissertation, we introduce the Mishchenko-Fomenko subalgebras. We show Vinberg\'s problem and the solution given by Feigin, Frenkel and Toledano-Laredo in Feigin, Frenkel and Toledano-Laredo (2010). We also show a solution for Lie algebras of type A found in Futorny and Molev (2015). We study the article Molev (2013) where generators for the Feigin-Frenkel center are shown for Lie algebras of type B, C and D. We introduce the Gelfand-Tsetlin subalgebras, which are subalgebras of the universal enveloping algebras of Lie algebras of type A. We show a definition of Gelfand-Tsetlin for Lie algebras of type C, introduced in Molev and Yakimova (2017). We exhibit the Gelfand-Tsetlin varieties related to $\\mathfrak_$ and $\\mathfrak_$. We prove that the Gelfand-Tsetlin variety for $\\mathfrak_$ is equidimensional of dimension 4 and we prove a new result about the equidimensionality of $\\mathfrak_$.

Serge Ovsienko provou que a variedade de Gelfand-Tsetlin para gl(n) é equidimensional (i.e., todas suas componentes irredutíveis têm a mesma dimensão) com dimensão n(n-1)/2. Este resultado é conhecido como \"Teorema de Ovsienko\" e tem importantes consequências na Teoria de Representacões de Álgebras. Neste trabalho, provamos uma versão fraca do Teorema de Ovsienko para gl(n) e estendemos tal versão fraca a uma estrutura que tem como caso particular gl(3), esse é o caso do grupo quântico Yangian Yp(gl(3)) de nível p. Além disso, o Teorema de Ovsienko também tem consequências na Geometria Simplética, especificamente na equidimensionalidade das fibras em uma projeção da aplicação de Kostant-Wallach. Neste trabalho apresentamos a generalização deste resultado. / Serge Ovsienko proved that the Gelfand-Tsetlin variety for gl(n) is equidimensional (i.e., all its irreducible components have the same dimension) with dimension n(n-1)/2. This result is known as \"Ovsienko\'s Theorem\" and it has important consequences in Representation Theory of Algebras. In this work, we prove a weak version of Ovsienko\'s Theorem for gl(n) and we extend that weak version to a structure which has as particular case gl(3), this case is the quantum group level p Yangian Yp(gl(3)). Moreover, the theorem of Ovsienko also has consequences in Symplectic Geometry, more concretely in the equidimensionality of the fibers in a projection of the Kostant-Wallach map. In this work we will present the generalization of that result.

Serge Ovsienko provou que a variedade de Gelfand-Tsetlin para gl(n) é equidimensional (i.e., todas suas componentes irredutíveis têm a mesma dimensão) com dimensão n(n-1)/2. Este resultado é conhecido como \"Teorema de Ovsienko\" e tem importantes consequências na Teoria de Representacões de Álgebras. Neste trabalho, provamos uma versão fraca do Teorema de Ovsienko para gl(n) e estendemos tal versão fraca a uma estrutura que tem como caso particular gl(3), esse é o caso do grupo quântico Yangian Yp(gl(3)) de nível p. Além disso, o Teorema de Ovsienko também tem consequências na Geometria Simplética, especificamente na equidimensionalidade das fibras em uma projeção da aplicação de Kostant-Wallach. Neste trabalho apresentamos a generalização deste resultado. / Serge Ovsienko proved that the Gelfand-Tsetlin variety for gl(n) is equidimensional (i.e., all its irreducible components have the same dimension) with dimension n(n-1)/2. This result is known as \"Ovsienko\'s Theorem\" and it has important consequences in Representation Theory of Algebras. In this work, we prove a weak version of Ovsienko\'s Theorem for gl(n) and we extend that weak version to a structure which has as particular case gl(3), this case is the quantum group level p Yangian Yp(gl(3)). Moreover, the theorem of Ovsienko also has consequences in Symplectic Geometry, more concretely in the equidimensionality of the fibers in a projection of the Kostant-Wallach map. In this work we will present the generalization of that result.

Esta tese aborda, como a despeito da rigidez da álgebra de Weyl An(k), suas subálgebras de invariantes possuem uma rica teoria de invariantes: do ponto de vista de estrutura, se fizermos um estudo de equivalência birracional dentro da filosofia de Gelfand-Kirillov, temos o Problema de Noether Não-Comutativo, sobre o qual obtemos vários novos resultados (Capítulo 4). Do ponto de vista de representações, obtemos que suas subálgebras de invariantes, em vários casos, herdam de maneira natural a estrutura de módulos de Gelfand-Tsetlin da álgebra de Weyl (Capítulo 5), assim como uma noção natural de módulos holonômicos (Capítulo 6). Analisaremos resultados similares para outras álgebras semelhantes a Álgebra de Weyl, como anéis de operadores diferenciais no toro e álgebras de Weyl generalizadas (Capítulos 2, 4 e 5). Como aplicações, temos uma Conjectura de Gelfand-Kirillov para subálgebras esféricas de Cherednik (Capítulo 4); para a Conjectura de Gelfand-Kirillov para várias álgebras de Galois (Capítulos 5 e 7); e o problema de realizar U(L), em que L é uma algebra de Lie simples de tipo B,C,D, como uma ordem de Galois generalizando o caso de gln (Capítulo 5). Um Capítulo sobre o Problema de Noether Quântico e um resumo do artigo de Futorny e Schwarz, \"Quantum Linear Galois Algebras\", encerram a tese. / This thesis discussess how, given the rigidity results on the Weyl Algebra An(k), its invariant subrings can nonetheless have an interesting invariant theory: from the structural point of view, a birrational equivalence study under the Gelfand-Kirillov philosophy gives us the Noncommutative Noether Problem, of which we obtain many new results (Chapter 4). From the point of view of representations, we obtain that their invariant rings, in many cases, have a natural theory of Gelfand-Tsetlin modules just like the Weyl Algebra (Chapter 5), and a natural notion of holonomic modules (Chapter 6). We discuss analogues results for algebras which are similar to the Weyl Algebra, such as the ring of differential operators on the torus and the generalized Weyl algebras (Chapters 2,4,5). As applications, we have a Gelfand-Kirillov Conjecture for spherical subalgebras of Cherednik (Chapter 4); for the Gelfand-Kirillov Conjecture of many Galois algebras (Chapter 5 and 7); and the problem to give a Galois structure to the algebra U(L), where L is a simple Lie algebra of type B,C,D -generalizing the case A (Chapter 5). A chapter about the Quantum Noether Problem and a resume of the article Quantum Linear Galois Algebras\" ends the thesis.

Esta tese aborda, como a despeito da rigidez da álgebra de Weyl An(k), suas subálgebras de invariantes possuem uma rica teoria de invariantes: do ponto de vista de estrutura, se fizermos um estudo de equivalência birracional dentro da filosofia de Gelfand-Kirillov, temos o Problema de Noether Não-Comutativo, sobre o qual obtemos vários novos resultados (Capítulo 4). Do ponto de vista de representações, obtemos que suas subálgebras de invariantes, em vários casos, herdam de maneira natural a estrutura de módulos de Gelfand-Tsetlin da álgebra de Weyl (Capítulo 5), assim como uma noção natural de módulos holonômicos (Capítulo 6). Analisaremos resultados similares para outras álgebras semelhantes a Álgebra de Weyl, como anéis de operadores diferenciais no toro e álgebras de Weyl generalizadas (Capítulos 2, 4 e 5). Como aplicações, temos uma Conjectura de Gelfand-Kirillov para subálgebras esféricas de Cherednik (Capítulo 4); para a Conjectura de Gelfand-Kirillov para várias álgebras de Galois (Capítulos 5 e 7); e o problema de realizar U(L), em que L é uma algebra de Lie simples de tipo B,C,D, como uma ordem de Galois generalizando o caso de gln (Capítulo 5). Um Capítulo sobre o Problema de Noether Quântico e um resumo do artigo de Futorny e Schwarz, \"Quantum Linear Galois Algebras\", encerram a tese. / This thesis discussess how, given the rigidity results on the Weyl Algebra An(k), its invariant subrings can nonetheless have an interesting invariant theory: from the structural point of view, a birrational equivalence study under the Gelfand-Kirillov philosophy gives us the Noncommutative Noether Problem, of which we obtain many new results (Chapter 4). From the point of view of representations, we obtain that their invariant rings, in many cases, have a natural theory of Gelfand-Tsetlin modules just like the Weyl Algebra (Chapter 5), and a natural notion of holonomic modules (Chapter 6). We discuss analogues results for algebras which are similar to the Weyl Algebra, such as the ring of differential operators on the torus and the generalized Weyl algebras (Chapters 2,4,5). As applications, we have a Gelfand-Kirillov Conjecture for spherical subalgebras of Cherednik (Chapter 4); for the Gelfand-Kirillov Conjecture of many Galois algebras (Chapter 5 and 7); and the problem to give a Galois structure to the algebra U(L), where L is a simple Lie algebra of type B,C,D -generalizing the case A (Chapter 5). A chapter about the Quantum Noether Problem and a resume of the article Quantum Linear Galois Algebras\" ends the thesis.

L'objet de ce travail est l'étude générale des représentations linéaires dugroupe de tresses $B_n$ qui proviennent de l'intégration de systèmes de Knizhnik-Zamolodchikov (KZ), vus comme représentations de l'algèbre des tressesinfinitésimales. Nous utilisons la technique des bases de Gelfand-Tsetlin pour étudier certaines représentations de cette algèbre, et montrons comment construire explicitement les représentations du groupe d'Artin correspondantes. Nous classifions complètement les systèmes KZ qui sont irréductibles pour l'action du groupesymétrique et construisons les nouvelles représentations de $B_n$ qui apparaissent àcette occasion. Nous obtenons d'autre part des critères d'irréductibilité sur les représentations de $B_n$ obtenues par construction tensorielle. Nous obtenons enfin d'autres résultats utiles dans ce cadre, notamment une décomposition partielle de l'algèbre de Lie engendrée par les transpositions dansl'algèbre de groupe du groupe symétrique. Cette décomposition partielle est en rapport avec les composantes irréductibles de la représentation de Jones.

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