El contexto generado por la pandemia del coronavirus ha puesto en evidencia la necesidad de una renovación de ideas en relación al proceso de enseñanza-aprendizaje. En el área de matemática, esta situación se ha tornado más crítica pues, a lo largo de los años la presencialidad se ha vuelto indispensable para la enseñanza de esta área. En consecuencia, hemos experimentado la necesidad de innovar nuestras prácticas pedagógicas; sin embargo, para ello es necesario recuperar los principales aportes teóricos en torno a esta. El presente estado del arte, tiene como finalidad recoger y analizar los principales aportes teóricos para la enseñanza de la Geometría. Ello, será desarrollado en función al principal referente teórico en la didáctica de esta parte de la matemática, el modelo de Van Hiele. De este modo, con todos estos aportes podemos adquirir una mayor cantidad de herramientas en este proceso de innovación pedagógica. En la investigación se ha logrado identificar que a pesar del nivel de exactitud del modelo de Van Hiele, existen algunos aspectos que no han sido desarrollados a profundidad pues, el contexto en el que surgió el modelo es diferente al actual. Por ello, en conjunto de estos referentes teóricos he logrado establecer un conjunto de aportes que servirán como punto de partida en la planificación de actividades de aprendizaje para el desarrollo del pensamiento geométrico. / The context generated by the coronavirus pandemic has highlighted the need for a renewal of ideas in relation to the teaching-learning process. In the area of mathematics, this situation has become more critical because, over the years, face-to-face attendance has become essential for teaching this area. Consequently, we have experienced the need to innovate our pedagogical practices; However, for this it is necessary to recover the main theoretical contributions around it. The present state of the art aims to collect and analyze the main theoretical contributions for the teaching of geometry. This will be developed based on the main theoretical reference in the didactics of this part of mathematics, the Van Hiele model. In this way, with all these contributions we can acquire a greater number of tools in this process of pedagogical innovation. The research has managed to identify that despite the level of accuracy of the Van Hiele model, there are some aspects that have not been developed in depth, since the context in which the model arose is different from the current one. Therefore, together with these theoretical references I have managed to establish a set of contributions that will serve as a starting point in the planning of learning activities for the development of geometric thinking.

La presente tesis tiene como objetivo analizar los resultados que se tiene en los aprendizajes al abordar un problema sobre circunferencia desde los cuadros de la geometría sintética y geometría analítica. Se espera que el tránsito entre estos dos cuadros favorezca la comprensión del objeto. Para el estudio se ha tomado como base la Teoria de Juego de cuadros, en donde se describen fases por las cuales los estudiantes deben transitar para que las interacciones entre cuadros permitan el progreso de los conocimientos. De otro lado, como referencial metodológico se han considerado aspectos del Estudio de Casos. Así, nos planteamos la siguiente pregunta de investigación: ¿Qué resultados se tendrá en los aprendizajes de los estudiantes el abordar problemas sobre circunferencia desde la geometría sintética y también desde la geometría analítica, y de qué manera el uso del GeoGebra contribuirá a que los estudiantes establezcan conexiones entre estos dos cuadros de la matemática? Con esta investigación se logró identificar una actividad sobre circunferencia que podía ser abordada desde la geometría sintética y también desde la geometría analítica. En cada uno de dichos cuadros, se tendría que hacer uso de procedimientos propios particulares; así, mientras que desde la geometría sin coordenadas prevalecerían las construcciones exactas, desde la geometría analítica, la solución del problema se basaría en resolver sistemas de ecuaciones. Así mismo, el empleo del software GeoGebra permitió que los estudiantes pudieran comprobar los resultados obtenidos en ambos cuadros, logrando que se centraran en las ideas centrales y no se perdieran con los cálculos. De otro lado, también se confirmaron las fases propuestas en la teoría de juego de cuadros durante el proceso de cambio de cuadros. Así, se produjeron desequilibrios al no tener la seguridad de resolver un problema, y luego se recurrió a la ayuda de otro cuadro, produciendose un reequilibrio de lo aprendido; dicha acción que realizan produce una conexión entre cuadros llamado también juego de cuadros que le ayudan a tener seguridad en resolver problemas de geometría. Se puede concluir que esta investigación contribuyó a que los estudiantes establecieran conexiones entre los cuadros de la geometría sintética y la geometría analítica. / This thesis aims to analyze the results you have in learning to address a problem about boxes circumference from synthetic geometry and analytic geometry. It is expected that the transition between these two pictures fosters an understanding of the object. For the study has been based on game theory frame, where phases through which students must travel to interactions between frames allow the progress of knowledge is described. On the other hand, as methodological reference they have been considered aspects of the case study. So, we have the following research question: What results will have on student learning the circumference address problems from synthetic geometry and analytic geometry from, and how the use of GeoGebra help students establish connections between these two pictures of mathematics? With this research we were able to identify an activity on circumference it could be approached from synthetic geometry and also from analytical geometry. In each of these tables, it would have to make use of particular own procedures; So while no coordinate geometry from the exact construction prevail from analytic geometry, the solution would be based on solving systems of equations. Likewise, the use of GeoGebra software enabled the students to check the results obtained in both boxes, getting them to focus on the central ideas and not be lost with the calculations. On the other hand, the stages proposed in the theory of game tables during the process of changing tables are also confirmed. So, there were imbalances to be sure not solve a problem, then enlisted the help of another box, resulting in a rebalancing of learning; performing such action produces a connection between tables also called set of charts that help you be confident in solving geometry problems. It can be concluded that this research helped students establish connections between the frames of synthetic geometry and analytic geometry

La presente investigación tiene por objetivo analizar como los estudiantes de 4º año de secundaria de Educación Básica Regular conjeturan la propiedad de la base media cuando articulan las aprehensiones en el registro figural en una secuencia didáctica en la que utilizan el Geogebra, para lo cual nos planteamos la siguiente pregunta de investigación ¿Cómo estudiantes de secundaria conjeturan la propiedad de la base media del trapecio cuando articulan las aprehensiones en el registro figural en una secuencia didáctica con el uso del Geogebra? Utilizamos como base teórica aspectos de la teoría de Registros de Representación Semiótica y aspectos de la Ingeniería Didáctica como marcos teórico y metodológico respectivamente. La secuencia didáctica de la investigación está formada por tres actividades, las cuales permiten que los estudiantes realicen tratamientos y conversiones. Específicamente en el registro figural analizamos las articulaciones de las aprehensiones secuencial, perceptiva, operatoria y discursiva que realizaron los estudiantes. Observamos también que los estudiantes movilizaron sus conocimientos previos sobre el trapecio y otros elementos de la geometría. Señalamos también que utilizaron la función arrastre y herramientas del Geogebra para realizar tratamientos en el registro figural, la cual les permitió observar diferentes configuraciones del objeto representado, articular aprehensiones, relacionar conocimientos y establecer conjeturas. Finalmente, mediante la articulación de las aprensiones en el registro figural, los estudiantes lograron conjeturar la propiedad de la base media del trapecio. / The present research aims to analyze how 4-grade high school students from Regular Basic Education conjecture the property of the median of a trapezoid when they put together the apprehensions in the figurative register in a didactic sequence in which they use Geogebra. To do this, we pose the following research question: how do high school students conjecture the property of the median of a trapezoid when they put together the apprehensions in the figurative register in a didactic sequence by using Geogebra? As theoretical basis, we used aspects from the theory of Registers of Semiotic Representation as well as aspects from Didactic Engineering as theoretical and methodological framework respectively. The didactic sequence of the research is made up of three activities, which allow students to perform treatments and conversions. In the figurative register we specifically analyzed the interactions of the sequential, perceptual, operative and discursive apprehensions students performed. We also observed that students mobilized their previous knowledge on trapezoids and other elements of geometry. We also noted that they used the dragging function and tools from Geogebra to perform treatments in the figurative register, which allowed them to observe different configurations of the represented object, put together apprehensions, relate knowledge, and establish conjectures. Finally, by putting together the apprehensions in the figurative register, students managed to conjecture the property of the median of a trapezoid.

La presente investigación tiene como objetivo el estudio de las aprehensiones desarrolladas por docentes en formación continua, cuando movilizan nociones geométricas preliminares asociado a la derivada direccional por medio de su registro gráfico dinámico mediado por el GeoGebra. Para tal propósito se recopiló información que permita justificar la relevancia de la investigación desde su perspectiva académica, además de su pertinencia e impacto del uso de software de representación (en este caso el GeoGebra) cuando se trabaja con representaciones gráficas en un ambiente tridimensional dinámico. Como marco teórico se consideró aspectos de la Teoría de Registro de Representación Semiótica, referido específicamente al registro gráfico dinámico y al estudio de las aprehensiones perceptiva, discursiva y operatoria. La investigación es de tipo cualitativa, ya que nuestro foco de atención es describir las acciones y comportamientos de los sujetos participantes al momento de interactuar en las actividades diseñadas bajo el objetivo de tesis, por lo cual, el procedimiento metodológico realizado sigue los criterios propios de una investigación de corte cualitativo. Los resultados obtenidos nos permiten concluir que los docentes en formación continua logran desarrollar sus aprehensiones al movilizar conceptos geométricos asociados a la representación algebraica de la derivada direccional por medio de actividades mediadas por el GeoGebra, lo cual nos permite dar como respuesta a la pregunta de investigación: ¿Cómo una secuencia didáctica mediada por el GeoGebra favorecería a los docentes en formación continua desarrollar su aprehensión perceptiva, discursiva y operatoria en relación a la comprensión geométrica de la derivada direccional asociado a su representación algebraica? / The present research aims to study the apprehensions developed by teachers in continuing education, when they mobilize preliminary geometric notions associated with the directional derivative through its dynamic graphic register mediated by GeoGebra. For this purpose, information was gathered to justify the relevance of the research from an academic perspective, as well as the relevance and impact of the use of representation software (in this case GeoGebra) when working with graphic representations in a dynamic three-dimensional environment. As a theoretical framework, aspects of the Semiotic Representation Register Theory were considered, referring specifically to the dynamic graphic register and the study of perceptual, discursive and operative apprehensions. The research is qualitative, since our focus of attention is to describe the actions and behaviors of the participating subjects at the moment of interacting in the activities designed under the thesis objective, therefore, the methodological procedure followed follows the criteria of a qualitative research. The results obtained allow us to conclude that the teachers in continuous training manage to develop their apprehensions when mobilizing geometric concepts associated to the algebraic representation of the directional derivative by means of activities mediated by GeoGebra, which allows us to answer the research question: How a didactic sequence mediated by GeoGebra would favor teachers in continuing education to develop their perceptual, discursive and operative apprehension in relation to the geometric understanding of the directional derivative associated to its algebraic representation?

La investigación está centrada en la enseñanza de la Programación Lineal mediada por el software GeoGebra con alumnos del quinto grado de educación secundaria, de la Institución Educativa N° 1136 “John F. Kennedy”. Este tema forma parte del Diseño Curricular Nacional y por tanto del libro texto de quinto grado de educación secundaria; sin embargo, o bien no se considera en la programación curricular anual o bien se enseña la haciendo construcciones geométricas usando lápiz y papel. Investigaciones como Malaspina (2008) y Moreno (2011), detectaron que la mayoría de alumnos no tiene nociones sobre Programación Lineal, porque no las estudiaron en el colegio, esto se debe a que la mayoría de docentes no las incluyeron en su programación curricular anual. Moreno (2011) y Reaño (2011) propusieron usar lápiz y papel para enseñar Programación Lineal, mientras que Paiva (2008), propuso usar calculadoras gráficas y el programa matemático Solver aplicado en Excel, por otra parte Sánchez & López (1999) y Coronado (2012) trabajaron con diseños y aplicaciones interactivas en Programación Lineal para internet. Nosotros proponemos usar GeoGebra como mediador de la enseñanza de la Programación Lineal, pues pensamos que con este software y las situaciones de aprendizaje propuestas a través de una serie de actividades lograremos que los alumnos puedan manipular, conjeturar, esbozar y plantear posibles soluciones mientras construyen el conocimiento sobre este tema y transitar por los Registros de Representación verbal, algebraico y gráfico de manera natural y espontánea, de ahí que el marco teórico elegido sea la Teoría de Registros de Representación Semiótica de Duval (1995) y el método de investigación propuesto es cualitativo y está basado en Hernández, Fernández & Baptista. (2007). Finalmente, los alumnos usando algunos comandos de GeoGebra mostraron habilidad y destreza al resolver problemas de Programación Lineal, modelaron matemáticamente situaciones reales, lograron tener mayor precisión en la intersección de regiones evitando distorsiones en los mismos, graduaron escalas y visualizaron las representaciones algebraicas de las inecuaciones a través de las representaciones gráficas vistas en la ventana de GeoGebra mostrando así un tránsito coordinado y adecuado de registros de manera natural y espontánea. Palabras claves: Programación lineal, Registros de Representación Semiótica y GeoGebra. / The research is focused on teaching the mediated Linear Programming with GeoGebra software fifth grade secondary education, of School No. 1136 "John F. Kennedy " This topic is part of the National Curriculum Design and therefore the fifth grade textbook high school, however, either not considered in the annual curriculum or program is taught by geometric constructions using pencil and paper. Research such as Malaspina (2008) and Moreno (2011) found that most students do not have notions of linear programming, because they didn’t studied it in school, this is because the majority of teachers not included in their annual curricular programming . Moreno (2011) and Reano (2011) proposed to use pencil and paper to teach linear programming, while Paiva (2008), proposed using graphing calculators and mathematical program implemented in Excel Solver, moreover Sanchez & Lopez (1999) and Coronado (2012) worked with designs and linear programming interactive applications for the Internet. We propose to use GeoGebra as a mediator of the teaching of Linear Programming, because we think that with this software and learning situations proposals through a series of activities that students can achieve manipulate, conjecture, outline and propose possible solutions while building the knowledge on this subject and transit through the records verbal representation, algebraic and graph naturally and spontaneously, hence the theoretical framework chosen is the Representation Theory Semiotics Records Duval (1995) and the proposed research method is qualitative and is based on Hernandez, Fernandez & Baptista. (2007). Finally, students using GeoGebra commands showed some skill and ability to solve linear programming problems, real situations mathematically modeled, managed to have greater accuracy at the intersection of regions avoiding distortions in them, graduated scales and algebraic representations visualized the inequalities through view graphical representations in GeoGebra window showing well coordinated and adequate transit records naturally and spontaneously. Keywords: Linear Programming, Semiotics and Representation Records GeoGebra

La presente investigación propuso como objetivo describir las semejanzas y diferencias entre las representaciones explícitas y las representaciones implícitas sobre la enseñanza en profesores de las áreas de Matemática y Ciencias Sociales del nivel secundario. El estudio estuvo enmarcado dentro del enfoque de las teorías implícitas sobre el estudio de las creencias de los docentes. Se identificaron las representaciones explícitas y las representaciones implícitas sobre siete elementos de la enseñanza, haciendo uso de la tipología propuesta por Pozo et. al (2006), quienes clasifican las representaciones de los docentes en tres tipos, llamados teorías: directa, interpretativa o constructivista. La identificación de la teoría en la que se ubicaba cada una de las representaciones de los maestros permitió identificar y describir semejanzas y diferencias entre los niveles explícito e implícito. La investigación se realizó en base al método de estudio de casos. Se recogió la información haciendo uso de dos instrumentos: una entrevista semi-estructurada, para el caso de las representaciones explícitas, y un cuestionario de dilemas, para las representaciones implícitas. La información fue organizada y comparada para hallar semejanzas y diferencias para cada uno de los casos seleccionados, haciendo luego un análisis de los patrones comunes encontrados entre los distintos maestros participantes. Se hallaron diferencias relevantes en relación a la enseñanza de conceptos y la forma de concebir y evaluar los resultados de la enseñanza. En ambos casos, si bien las representaciones explícitas de los profesores corresponden a una perspectiva constructivista, en las representaciones implícitas se evidenciaron rasgos de las teorías directa e interpretativa. Específicamente, los profesores parecen mantener a nivel implícito la creencia de que los conocimientos tienen un carácter objetivo que permite diferenciar si los aprendizajes de los estudiantes son correctos o incorrectos, así como definir qué contenidos son indispensables en la enseñanza.

El presente trabajo de investigación tiene por objetivo analizar el proceso de la génesis instrumental de la medida del volumen del octaedro regular mediada con Cabri 3D en estudiantes del cuarto grado de educación secundaria. Debido a que nuestro estudio contempla los procesos de instrumentalización e instrumentación, nuestra investigación responde a la siguiente pregunta: ¿cómo se produce la génesis instrumental de la medida del volumen del octaedro regular en estudiantes del cuarto grado de educación secundaria cuando trabajan una secuencia de actividades con Cabri 3D? Para el presente trabajo, utilizamos el referencial teórico del Enfoque Instrumental de Rabardel y, como referencial metodológico, la Ingeniería Didáctica de Artigue. Nos centramos en las dos direcciones de la génesis instrumental: el proceso de la instrumentalización y el de instrumentación. Se toma en cuenta la noción de esquema de Vergnaud para identificar los posibles esquemas de utilización que movilizan los estudiantes al desarrollar las actividades propuestas. Como resultados obtenidos en nuestra investigación podemos inferir que los estudiantes evidencian la utilización de esquemas de uso y de acción instrumentada, logrando la génesis instrumental de la medida del volumen del octaedro regular mediada con Cabri 3D, además de lograr una instrumentación local de algunas herramientas del Cabri 3D. / The objective of this research work is to analyze the process of the instrumental genesis of the measurement of the volume of the regular octahedron in students of the fourth grade of secondary education. Because our study considers instrumentalization and instrumentation processes, our research answers the following question: how is the instrumental genesis of the volume measurement of the regular octahedron produced in fourth grade students of secondary education when they work a sequence of activities with Cabri 3D ? For the present work, we use the theoretical reference of Rabardel's Instrumental Approach and, as a methodological referential, the Artigue Didactic Engineering. We focus on the two directions of the instrumental genesis: the process of instrumentalization and that of instrumentation. The notion of Vergnaud's scheme is taken into account to identify the possible utilization schemes that students mobilize when developing the proposed activities. As results obtained in our research, we can infer that students demonstrate the use of instrumented use and action schemes, achieving the instrumental genesis of the volume measurement of the regular octahedron mediated with Cabri 3D, as well as achieving a local instrumentation of some tools of the Cabri 3D

En la presente investigación mostramos un aporte a través del enfoque de la creación de problemas y del modelo de demanda cognitiva de Smith y Stein (1998); dicho aporte consistió en una propuesta de adaptación del modelo de Demanda Cognitiva de Smith y Stein (1998) para el estudio de tareas relacionadas con la parábola vista como lugar geométrico, en la formación de profesores de secundaria en servicio de la IEP Bertolt Becht. En nuestra propuesta, categorizamos a los problemas que crearon los profesores de la muestra, considerando para ello, las características que determinamos para los niveles del modelo de demanda cognitiva adaptado para los problemas que crean en torno al objeto matemático mencionado. La formulación de los objetivos y propósitos de la investigación, permitieron identificar los niveles de demanda cognitiva (memorización, procedimientos sin conexiones, procedimientos con conexiones y hacer matemáticas) predominantes en los problemas que crearon los profesores de secundaria en servicio; esto se llevó a cabo en un taller de creación de problemas denominado Creación de problemas de parábolas como lugar geométrico, de cuatro sesiones de trabajo. Finalmente, mostramos las conclusiones de la investigación, además de algunas recomendaciones y reflexiones para proyectos de investigación futuros que estén vinculados con los objetivos y propuesta de nuestro estudio. / In the present investigation we show a contribution through the problem creation approach and the cognitive demand model of Smith and Stein (1998); This contribution consisted of a proposal to adapt the Cognitive Demand model of Smith and Stein (1998) for the study of tasks related to the parabola seen as a locus, in the training of secondary teachers in service of the IEP Bertolt Becht; In our proposal, we categorize the problems created by the aforementioned teachers, considering the characteristics that we determine for the levels of the cognitive demand model adapted for the problems that they create around the mathematical object in question. The formulation of the objectives and purposes of the research, allowed to identify the levels of cognitive demand (memorization, procedures without connections, procedures with connections and doing mathematics) predominant in the problems created by secondary teachers in service, this was carried out in a problem-building workshop called (creation of parabola problems as a locus) of four work sessions. Finally, we show the conclusions of the research, as well as some recommendations and reflections for future research projects that are linked to the objectives and proposal of our study.

Este trabajo de investigación tiene como objetivo analizar los efectos de una secuencia didáctica desarrollada con cuatro estudiantes del sexto grado de educación primaria, de 11 años de edad, de una Institución Educativa Estatal ubicada en Lima. La problemática que suscita este estudio se basa en el tratamiento que se le da al objeto matemático área a lo largo de la educación primaria, en la cual se deja de lado el proceso de construcción del concepto que les permita, a las estudiantes, reconocer que el área es una magnitud y su medida corresponde a la unidad de medida elegida. En ese sentido, se plantean dos secuencias de actividades que busquen contribuir en la construcción del concepto de área como magnitud, basándose en aspectos propios de la Teoría de Situaciones Didácticas. La metodología usada para su análisis fue en base a aspectos de la Ingeniería Didáctica. Como resultado de nuestra investigación se tuvo que las estudiantes movilizaron los conceptos asociados al área de figuras geométricas simples y compuestas diferenciándola de su medida, a partir de procedimientos como el conteo de unidades, uso de cuadrícula, descomposición y composición, los mismos que les permitieron reconocer que el área es una magnitud y su medida depende de la unidad de medida escogida. Por lo tanto, la validación nos permite concluir que la secuencia didáctica contribuyó en la construcción del concepto de área como magnitud. / This research have as objective to analyze the effects of one didactic sequence develop with four students of six grade in primary school, 11 years old, State Educational Institutional located in Lima. The main problem of this study is based in the treatment that it gives to the mathematical object along primary education, in which it is put aside the process of construction of the concept that allows to the students recognize that the measure and area are different In that sense, it is propose a didactic sequence seek contribute to the construction of the concept area as magnitude. The methodology used for its analysis was based in Didactic Engineer’s aspects. As a result of our research we got that the students stablish the concepts associates to the geometric figures’ areas simples and complex, from procedures as the cont of measure´s units, decomposition of figures and the same which allow recognize them.

El proyecto de innovación didáctica sobre la noción de límite en un entorno de Geometría Dinámica procura contribuir a la solución de la problemática relacionada con la insuficiente comprensión de la noción de límite en los estudiantes de Cálculo. Esta incomprensión es debida, por un lado, alas dificultades para acceder al pensamiento analítico, estudiadas por diversos investigadores a través la complejidad de los objetos matemáticos presentes en este pensamiento, y por los obstáculos epistemológicos; así como, por otro lado, debido a las características tradicionales de la enseñanza tradicional. La propuesta innovadora tiene como centro de la enseñanza y aprendizaje al estudiante, y utiliza como medio didáctico a la geometría dinámica del Cabri II Plus. Es en esteMilieu didactique, en el sentido brousseauniano, que se construye la noción de límite a través de la ejecución de actividades que explotan el dinamismo e interactividad de la informática por medio del dragging (arrastre), cuidando rigurosamente la vigencia de las propiedades matemáticas relacionadas con el pensamiento analítico, y motivando intrínsecamente a los estudiantes a experimentar en un medio, en estas épocas, consustancial a ellos, el informático.