Se estudian los sistemas de dos niveles sin recurrir al espacio de Hilbert el cual es sustituido por el álgebra geométrica del espacio tridimensional (Espacio de Hilbert). En esta descripción los estados son codificados mediante elementos de un ideal izquierdo mínimo del álgebra par de G3, mientras los operadores son codificados mediante la combinación lineal de los vectores del álgebra impar de (Espacio de Hilbert). La dinámica que obedecen estos sistemas está gobernada por la ecuación de “Schrödinger real" ya que el número imaginario (i) es sustituido por el pseudoescalar de (Espacio de Hilbert). Introduciendo los idempotentes primitivos del álgebra geométrica, se generalizan las descripciones previas estando en completo acuerdo con la literatura convencional. Utilizando los axiomas del álgebra geométrica, se demuestra que las relaciones de conmutación canónica que obedecen los operadores de espín son consecuencia de la anticonmutatividad del producto geométrico.

El presente trabajo de investigación tiene por finalidad diseñar una propuesta didáctica para la enseñanza de los cuadriláteros basada en las fases de aprendizaje del modelo de Van Hiele con apoyo del software de geometría dinámica GeoGebra. La elección del modelo de Van Hiele como marco teórico permitirá proponer niveles de desarrollo del pensamiento geométrico para la adquisición de conocimientos y habilidades en relación a los cuadriláteros, así como, identificar el nivel de razonamiento en el que se encuentran nuestros estudiantes; y además servirá para señalar las fases de aprendizaje que se deben seguir para promover el ascenso de los estudiantes de un nivel de razonamiento al inmediato superior. Además, las propiedades de recursividad y de secuencialidad que son propias de estas fases garantizan el desarrollo de las actividades, las cuales permitirán alcanzar mayores grados de adquisición en los distintos niveles de razonamiento. Con este trabajo pretendemos que los estudiantes del cuarto grado de secundaria alcancen el nivel 3, de deducción informal, de acuerdo al modelo de Van Hiele. La metodología que usamos para este trabajo está basada en la propuesta de Jaime (1993), que consiste en describir el proceso de adquisición de un nuevo nivel de razonamiento y describe una forma de evaluar las respuestas de los alumnos. En esta experiencia se presentaron 10 estudiantes, en forma voluntaria, a quienes se les tomó una prueba de entrada para identificar el nivel de razonamiento en el que se encontraban respecto al objeto matemático cuadriláteros. Luego se trabajó con ellos varias actividades diseñadas según las fases de aprendizaje de Van Hiele con el objetivo de promover el desarrollo del pensamiento geométrico respecto a los cuadriláteros y ayudarlos a avanzar a un nivel de razonamiento superior. Finalmente se les aplicó una prueba de salida para verificar si habían incrementado su nivel de razonamiento respecto a los cuadriláteros. Según los resultados obtenidos, la propuesta didáctica permitió que los estudiantes lograrán un grado de adquisición alta en el nivel 1, un grado de adquisición intermedia en el nivel 2 y se encuentren desarrollando habilidades en el nivel 3, pasando de un nivel de adquisición nula a una adquisición baja.

Las fases geométricas son tema de investigación actual en diversas áreas de la física. Interesa investigarlas tanto por razones de carácter teórico, cuanto por razones ligadas a sus aplicaciones. Entre estas últimas resaltan las aplicaciones en información cuántica. Un computador cuántico está basado en la posibilidad de generar, almacenar y manipular bits de información codificados en los grados de libertad de sistemas cuánticos. Estos son llamados qubits. Los qubits son superposiciones coherentes de dos estados fundamentales. Mientras su contraparte clásica puede valer 0 o 1 excluyentemente, el qubit puede tomar ambos valores 0 y 1 simultáneamente. Esto hace posible procesar información con mucha mayor rapidez en comparación a una computadora clásica. El problema central con los qubits es que son sumamente frágiles, de modo que su tiempo de vida media es muy pequeño. El fenómeno que lleva a un estado de superposición hacia un estado clásico se llama decoherencia. Para que un computador cuántico sea viable, es necesario contar con qubits cuya vida media sea mayor que el tiempo que toma realizar operaciones sobre ellos (computación). Una ruta muy promisoria es la que se basa en las fases geométricas. Ellas permiten realizar operaciones que, de un lado, pueden ser muy rápidas y, de otro lado, pueden ser inmunes o muy robustas frente a la decoherencia. Para implementar computación cuántica geométrica, es entonces necesario ser capaz de manipular fases geométricas con gran versatilidad. Contribuyendo a este ín, esta tesis presenta nuevos resultados en la manipulación de fases geométricas que aparecen cuando el qubit está codificado en fotones polarizados. Esta tesis contiene dos partes principales. En la primera parte hacemos un intento preliminar en manipular fases en estados de polarización. Específicamente, tratamos a la fase de Pancharatnam (fase total) que resulta de evoluciones unitarias arbitrarias. Discutimos los aspectos teóricos involucrados y mostramos en detalle como hacer que un estado de polarización siga cualquier curva sobre la esfera de Poincaré. Luego presentamos los métodos utilizados para llevar a cabo las mediciones de la fase total acumulada a lo largo de la evolución del estado. En la segunda parte de esta tesis, extendemos nuestros métodos y desarrollamos técnicas para suprimir localmente las fases dinámicas que puedan aparecer durante la evolución del estado de polarización. Esto nos permite observar y medir fases geométricas. Usando métodos similares a los discutidos en la primera parte, mostramos finalmente que las fases geométricas observadas experimentalmente coinciden con las predicciones teóricas con buena aproximación.

En el presente trabajo se introduce el concepto de curva algebraica afín y se presenta el proceso de compactificación como curvas algebraicas proyectivas. El objetivo de la tesis es presentar una demostración geométrica de la fórmula “grado género” de una curva lisa. Este teorema relaciona el género topológico de una curva con su grado algebraico. / Tesis

Das zuverlässige und schonende Greifen ist ein Hauptanliegen bei der Entwicklung von neuartigen Greifvorrichtungen. Je größer die Kontaktfläche zwischen dem Greifer und dem Greifobjekt ist, desto schonender und zuverlässiger ist der Greifvorgang. Um dieses Ziel zu erreichen wurden in den letzten Jahrzehnten zahlreiche Untersuchungen zu adaptiven passiven Greifern durchgeführt. Ein neuer Forschungszweig im Bereich selbstadaptiver Greifer sind Greifer mit nachgiebigen blattfederartigen Greifelementen (Greiferfinger) Die Funktionsweise basiert auf dem elastischen Ausknicken der Greifelemente infolge einer translatorische Antriebsbewegung Die vorliegende Arbeit konzentriert sich auf die Verbesserung des Greifvorgangs, indem die Kontaktlänge zwischen den blattfederartigen Greiferfingern und dem zu greifenden Objekt deutlich erhöht wird. Um diese Aufgabenstellung zu lösen, muss eine geeignete Greifergeometrie für ein gegebenes Greifobjekt berechnet werden. Die gezielte Berechnung der erfoderlichen Greifergeometrie für ein bekanntes Greifobjekt ist nicht möglich. Daher wurde als Lösungsansatz die umkehrte Richtung gewählt. Für eine definierte Greifgeometrie wird die Gestalt des dazu passenden “idealen” Greifobjektes ermittelt und anschließend mit der Gestalt zu greifenden Objektes verglichen. Bei Gestaltabweichungen wird die Greifergeometrie iterative verändert, bis seine geeignete Greifergeometrie gefunden wurde. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird zunächst die Ermittlung des “idealen” Greifobjektes behandelt. Es wurde ein Algorithmus entwickelt, der für eine vorgegebene Greifergeometrie die Gestalt eines runden bzw. elliptischen Objektes ermittelt. Der Algorithmus verwendet als Eingabedaten die Biegelinien der elastisch ausgeknickten Greiffinger unter Berücksichtigung unterschiedlicher Randbedingungen. Als Ausgabedaten liefert der Algorithmus die Gestalt des passenden Greifobjektes zurück. Für quadratische bzw. rechteckige sowie für dreieckige Objekte wurden unterschiedliche Greifgeometrien untersucht. Außerdem wird für quadratische und rechteckige Objekte das Lösungskonzept für die Entwicklung eines weiteren Algorithmus beschrieben. In Kapitel 1 wird eine Klassifizierung von Greifern basierend auf der Anpassungsfähigkeit vorgestellt. In Kapitel 2 werden Lösungskonzepte, Modelle und Theorien vorgestellt. In Kapitel 3 werden Ablaufdiagramme der Algorithmen dargestellt. In Kapitel 4 wird die Entwicklung des Algorithmus für elliptische Objekte und deren Betriebsmodi beschrieben. In Kapitel 5 werden Greifgeometrien für quadratische bzw. Rechteckige sowie für dreieckige Objekte analysiert und die Ideen eines Algorithmus für quadratisch bzw. rechteckige Objekte beschrieben. In Kapitel 6 wird ein kurzer Überblick über die zukünftige Arbeiten. / Reliable and gentle gripping is a major concern in the development of new gripping devices. The larger contact surface between the gripper and the gripping object, the gentler and more reliable the gripping process. In order to achieve this goal, further investigations on adaptive passive grippers have been carried out in the recent decades. A new branch of research in the field of self-adaptive grippers are compliant leaf-spring-like gripping elements (gripper fingers). Its mode of operation is based on the elastic buckling of the gripping elements as a result of a translatory drive movement. The present work focuses on improving the gripping process by increasing significantly the contact length between the compliant leaf-spring-like gripper fingers and the object to be gripped. In order to solve this task, a suitable gripper geometry for a given gripping object should be calculated The specific calculation of the required gripper geometry for a known gripping object is not possible; therefore, this work aims in the opposite direction. For a defined gripping geometry, the shape of the matching “ideal” gripping object is determined and then compared with the desired object to be gripped. In case of a deviation in the size, the gripper geometry is iteratively changed until its suitable gripper geometry has been found. In the present work, the determination of the “ideal” gripping object is the first task to deal with. An algorithm has been developed to determine the shape of a round-elliptical object for a given gripper geometry. The algorithm uses as data input the bend lines of the compliant twogripper finger under different boundary conditions. As data output, the algorithm returns the shape of the matching gripping object. For square-rectangular and triangular objects, different gripping geometries have been investigated. Furthermore, for square-rectangular objects, solution concepts for the development of an algorithm is described. In chapter 1, a classification based on adaptability is presented. In chapter 2, solution concepts, models and theories involved are introduced. In chapter 3, process flow diagrams of the algorithms are presented. In chapter 4, the development of the algorithm for elliptical objects and its operation modes are described. In chapter 5, gripping geometries for square-rectangular and triangular objects are analysed and the ideas of an algorithm for square-rectangular objects are described. In chapter 6, a brief overview of the futur work is commented. / Tesis

En la época que estamos viviendo, el manejo de la información toma una presencia muy importante en la toma de decisiones. La teoría de códigos surge en el mejoramiento de la transmisión de datos, desde las primeras computadoras hasta las súper computadoras que tenemos hoy en día; no pasó mucho tiempo para que se establecieran las bases teóricas que sustentaran el desarrollo vertiginoso que se ha dado hasta hoy. Empezando como simples subconjuntos, los códigos cobraron fuerza al ser vistos como subespacios vectoriales de dimensión finita. Lógicamente, al estar íntimamente ligadas el ´algebra con la geometría; no es de extrañarse el surgimiento, con la ayuda de la teoría de cuerpo de funciones algebraicas, de los códigos algebro-geométricos o mejor conocidos como códigos de Goppa. La teoría de códigos es una gran área de investigación, que con ayuda de la tecnología se complementan en busca de mejoras. En este trabajo de tesis, estudiaremos los códigos algebro-geométricos para la codificación y la aplicación de las bases de Gröbner para la decodificación de los mismos. / At the time that we are living, information management takes a very important presence in decision making. Code theory arises in the improvement of the transmission of data, from the first computers to the super computers we have today; it didn’t take long for me to know establish the theoretical bases that would sustain the vertiginous development that has given until today. Starting as simple subsets, the codes gained momentum when viewed as finitedimensional vector subspaces. Logically, being intimately linked algebra with geometry; no wonder the emergence, with the help of the field theory of algebraic functions, of the algebro-geometric codes or better known as Goppa codes. The theory of codes is a large area of research, which with the help of tecnology, they complement each other in search of improvements. In this thesis work, we’ll study the alegbro-geometric codes for the coding and the application of bases Gr¨obner for the decoding of them. / Tesis

La presente investigación emerge luego de identificar las dificultades que presentan los alumnos al estudiar la derivada y el énfasis que pone la enseñanza de este objeto matemático en desarrollos formales y algorítmicos, dejando de lado las ideas geométricas. Por ello, nos interesa comprender y estudiar el trabajo matemático personal de los estudiantes de Ingeniería cuando resuelven tareas sobre la interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real. Para alcanzar este propósito, utilizamos, como fundamento teórico, la teoría del Espacio de Trabajo Matemático (ETM) y, como metodología de investigación, aspectos de la Ingeniería Didáctica. La parte experimental de la investigación se realiza con 15 estudiantes de primer año de la carrera profesional de Ingeniería de Sistemas de la Universidad Nacional de Moquegua (UNAM), a quienes se les aplicó las tareas propuestas. Para ello, se elabora dos tareas: la tarea exploratoria y la tarea I, diseñadas con la finalidad de identificar las génesis que se activan en el estudiante, así como analizar qué planos logran activar al enfrentarse a las tareas propuestas. Así también, con los recursos del ETM, identificar en qué paradigmas del dominio del Análisis enmarca su trabajo matemático. En base a las acciones de los estudiantes, concluimos que los alumnos evidencian la activación del Plano Semiótico- Instrumental y el Plano Instrumental-Discurso al resolver tareas sobre la interpretación geométrica de la derivada. / This research emerges after identifying the difficulties that students have when studying the derivative and the emphasis placed on teaching this mathematical object in formal and algorithmic developments, leaving aside geometric ideas. Therefore, we are interested in understanding, studying the personal mathematical work of engineering students when they solve tasks about the geometric interpretation of the derivative of a real function of real variable. To achieve this purpose, we use the Theory of the Mathematical Workspace (MWS) as a theoretical basis and as a research methodology aspect of Didactic Engineering. The experimental part of the research is carried out with fifteen students of the Systems Engineering professional career of the National University of Moquegua to whom the proposed tasks were applied. For this, two tasks are elaborated: exploratory task and task I, designed with the purpose of identifying the genesis that is activated in the student, as well as analyzing what plans they manage to activate when facing the proposed tasks. Similarly, with the resources of the MWS identify in which paradigms of the Analysis domain they frame their mathematical work. Based on the actions of the students, we conclude that the students demonstrate the activation of the Semiotic-Instrumental plane and the Instrumental-Discursive plane when solving tasks on the geometric interpretation of the derivative.

Let K be an algebraically closed field of characteristic zero. The Jacobian Conjecture (JC) in dimension two stated by Keller in [8] says that any pair of polynomials P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (a Jacobian pair ) defines an automorphism of L via x-> P and y -> Q. It turns out that the Newton polygons of such a pair of polynomials are closely related, and by analyzing them, much information can be obtained on conditions that a Jacobian pair must satisfy. Specifically, if there exists a Jacobian pair that does not define an automorphism (a counterexample) then their Newton polygons have to satisfy very restrictive geometric conditions. Based mostly on the work in [1], we present an algorithm to give precise geometrical descriptions of possible counterexamples. This means that, assuming (P;Q) is a counterexample to the Jacobian Conjecture with gcd(deg(P); deg(Q)) = k, we can generate the possible shapes of the Newton Polygon of P and Q and how it transforms under certain linear automorphisms. By analyzing the minimal possible counterexamples, we sketch a path to increase the lower bound of max(deg(P); deg(Q)) to 125 for a minimal possible counterexample to the Jacobian Conjecture. / Sea K un cuerpo algebraicamente cerrado de característica zero. La Conjetura del Jacobiano en dimensión dos postulada por Keller en [8] dice que cualquier par de polinomios P;Q ∈ L := K[x; y] with [P;Q] := axPayQ - axQayP ∈ Kx (un par Jacobiano) define un automofismo de L via x-> P and y -> Q. Resulta que los polígonos de Newton de tal par de polinomios están relacionados íntimamente, y al analizarlos, mucha información puede ser obtenida sobre condiciones que un par Jacobiano debe satisfacer. Específicamente, si existe un par Jacobiano que no define un automorfismo (un contraejemplo) entonces sus polígonos de Newton deben satisfacer condiciones geométricas bastante restrictivas. Basado en gran parte en el trabajo en [1], presentamos un algoritmo para dar una descripción geométrica precisa de posibles contraejemplos. Esto significa que, asumiendo que (P;Q) es un contraejemplo a la Conjetura del Jacobiano con gcd(deg(P); deg(Q)) = k, podemos generar las posibles formas del Polígono de Newton de P y Q y cómo se transforman bajo ciertos automorfismos lineales. Al analizar los posibles contraejemplos minimales, esbozamos un camino para incrementar la cota inferior de max(deg(P); deg(Q)) a 125 para un posible contraejemplo minimal a la Conjetura del Jacobiano. / Tesis

En el presente trabajo de tesis estudiaremos algunos aspectos geométricos de la envoltura convexa de una trayectoria del movimiento browniano planar en un determinado intervalo de tiempo. De manera más precisa, estudiaremos el perímetro, el área y el diámetro de dicha envoltura convexa. En el primer capítulo, revisaremos el movimiento browniano planar y algunas de sus propiedades tales como el principio de reflexión, la ley de la terna de Lévy y la ley del arcoseno que nos servirá como base teórica para justificar las cotas establecidas por James McRedmond y Chang Xu para estimar el diámetro promedio de dicha envoltura convexa. En el segundo capítulo se estudiarán las principales propiedades de cuerpos convexos y la envoltura convexa de una curva donde se desarrollará las propiedades que nos permitan justificar de manera más clara la fórmula de Cauchy para el perímetro y el área de un cuerpo convexo. En el tercer capítulo se utilizará como teorema principal la fórmula de Cauchy para justificar lo que se encontró de manera explícita tanto para el perímetro promedio y el área promedio de la envoltura convexa del recorrido de un movimiento browniano planar hasta el instante t = 1. Por último, en el cuarto capítulo se utilizará la terna de Lévy como teorema principal para el desarrollo de la estimación del diámetro promedio de dicha envoltura convexa. / In this thesis work we will study some geometric aspects of the convex envelope of a trajectory of planar Brownian motion in a certain time interval. More precisely, we will study the perimeter, area, and diameter of said convex envelope. In the rst chapter, we will review the planar Brownian motion and some of its properties such as the re ection principle, Lévy's triple law and the arcsine law that will serve as a theoretical basis to justify the bounds established by James McRedmond and Chang. Xu to estimate the expected diameter of said convex envelope. In the second chapter, the main properties of convex bodies and the convex envelope of a curve will be studied, where the properties that will allow us to justify more clearly Cauchy's formula for the perimeter and area of a convex body will be developed. In the third chapter, the Cauchy formula will be used as the main theorem to justify what was found explicitly for both the expected perimeter and the expected area of the convex envelope of the path of a planar Brownian motion up to the instant t = 1. By Finally, in the fourth chapter, the Lévy triple will be used as the main theorem for the development of the estimation of the diameter of said convex envelope. / Tesis

El objetivo principal de este trabajo es el estudio de las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg tridimensional, a partir de su aplicación de Gauss. Inicialmente estudiamos la geometría riemanniana del grupo de Heisenberg con métrica invariante a izquierda, calculando los campos invariantes a izquierda, las curvaturas, las geodésicas y el grupo de isometrías de este espacio. Luego estudiamos las aplicaciones armónicas, desde un punto de vista geométrico, pues encontraremos que nuestra aplicación de Gauss es armónica en el disco de Poincaré. Esto nos permitirá construir una representación tipo Weierstrass para superficies mínimas en nuestro espacio ambiente. Finalmente, con esta representación obtendremos diferentes ejemplos de superficies mínimas en el grupo de Heisenberg. / Tesis