FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / Este trabalho tem como objetivo fornecer uma caracterizaÃÃo de hipersuperfÃcies tipo espaÃo completas no espaÃo anti de Sitter, tais como os cilindros hiperbÃlicos, sob a hipÃtese de curvatura mÃdia constante e duas curvaturas principais distintas. No caso em que umas das curvaturas principais à simples, à adicionada uma condiÃÃo sobre tais curvaturas. A caracterizaÃÃo aqui sugerida, teve como refrÃncia principal o trabalho de B. Yang e X. Liu, que dà uma resposta positiva à conjectura de L. F. Cao e G. Wei sobre hipersuperfÃcies tipo espaÃo em tais condiÃÃes. Para a realizaÃÃo do trabalho, foi utilizada uma fÃrmula do tipo Simons juntamente com o PrincÃpio do MÃximo Generalizado (Omori-Yau). / The aim of this work is to provide a characterization complete spacelike hypersurfaces in anti de Sitter space, such as hyperbolic cylinders, under the assumption constant mean curvature and two distinct principal curvatures. In the case that one of the principal curvatures is simple, a condition is added on the curvature. The characterization suggested here had as main reference the work of B.Yang and X. Liu, giving a positive answer to the L. F. Cao and G. Weiâs conjecture on spacelike hypersurfaces in such conditions. To carry out the work, we used a formula of type Simons along with the Generalized Maximum Principle (Omori-Yau).

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Este trabalho tem como principal objetivo estudar as mÃtricas do funcional volume, volume mÃnimo e curvatura mÃnima em variedades compactas de dimensÃo quatro. Na primeira parte o objetivo à investigar as mÃtricas crÃticas do funcional volume sob a condiÃÃo de tais mÃtricas serem Bach-flats em uma variedade compacta com bordo ∂M. Provamos que uma mÃtrica crÃtica do funcional volume Bach-flat em uma variedade simplesmente conexa de dimensÃo quatro com bordo isomÃtrico a uma esfera padrÃo à necessariamente isomÃtrico a uma bola geodÃsica em um espaÃo forma simplesmente conexo R4, H4 ou S4. AlÃm disso, mostramos que em dimensÃo trÃs o resultado continua valido substituindo a condiÃÃo Bach-flat pela condiÃÃo mais fraca de M ter o tensor de Bach harmÃnico. Na segunda parte estudamos os invariantes geomÃtricos: volume mÃnimo e curvatura mÃnima. Em 1982, Gromov introduziu o conceito de volume mÃnimo para uma variedade suave como sendo o Ãnfimo de todos os volumes sob as mÃtricas de curvatura seccional limitada, em valor absoluto, por 1. Enquanto a curvatura mÃnima, que foi introduzido por Yun, à o menor pinching da curvatura seccional dentre as mÃtricas de volume 1. Em ambos os casos damos estimativas inferiores envolvendo alguns invariantes diferenciÃveis e topolÃgicos. Dentre elas mostraremos exemplos em que as estimativas sÃo Ãtimas. AlÃm disso, obtemos uma caracterizaÃÃo para o caso da igualdade em algumas estimativas. / This aim of this is to study the critical metrics of the volume functional, minimal volume and minimal curvature on four-dimensional compact manifolds. In the first part, we investigate Bach-flat critical metrics of the volume functional on a compact manifold M with boundary ∂M. Here, we prove that a Bach-flat critical metric of the volume functional on a simply connected 4-dimensional manifold with boundary isometric to a standard sphere must be isometric to a geodesic ball in a simply connected space form R4, H4 or S4. Moreover, we show that in dimension three the result even is true replacing the Bach-flat condition by the weaker assumption that M has divergence-free Bach tensor. In the second part we investigate the geometric invariants: minimal volume and minimal curvature. In 1982, Gromov introduced the concept of minimal volume for a smooth manifold as the greatest lower bound of the total volumes of Mn with respect to complete Riemannian metrics whose sectional curvature is bounded above in absolute value by 1. While the minimal curvature, introduced by G. Yun in 1966, is the smallest pinching of the sectional curvature among metrics of volume 1. In both cases we give below estimates to minimal volume and minimal curvature on 4-dimensional compact manifolds involving some differential and topological invariants. Among these ones, we get some sharp estimates. Moreover, we deduce characterizations for the equality case in some estimates.

Neste trabalho estabelecemos a existência de gráficos compactos de curvatura média constante H com bordo em planos paralelos, com hipóteses relacionando a geometria das curvas do bordo, a distância entre os planos, e H. / In this work we establish the existence of compact graphs with constant mean curvature H with boundary in parallel planes, with hypothesis that relates the geometry o f the boundary curves, the distance between the planes and H.

Neste trabalho estudamos o problema de Dirichlet assintótico para a equação das superfícies mínimas em uma superfície de Cartan-Hadamard rotacionalmente simétrica e mostramos que o problema e unicamente solúvel para qualquer dado contínuo em seu bordo assintótico. / In this work we study the asymptotic Dirichlet problem for the minimal surface equation on rotationally symmetric Cartan-Hadamard surfaces. We prove that the problem is uniquely solvave for any continuous asymptotic boundary data.

Um resultado clássico em Geometria Diferencial, conhecido como teorema de Hadamard, e demonstrado pelo mesmo ([Ha]), estabelece que uma superfície conexa compacta no espaço Euclidiano cujas curvaturas principais são todas positivas é o bordo de um corpo convexo. Em part icular, a superfície é difeomorfa a uma esfera. Neste trabalho apresentamos extensões parciais deste teorema para imersões de codimensão arbitrária e para outros espaços ambientes que o E uclidiano conforme feito em [R]. / A classical result in differential geometry, known as Hadamard's theorem and proved by himself ([Ha]). establishes that a compact connected surface in the Euclidean space whose principal curvatures are everywhere positive is the boundary of a convex body. In particular, the surface is diffeomorphic to a sphere. In this work we present IJartial extensions of this theorem to immersions of arbitrary codimension and to other spaces than the Euclidean one, as clone in [R].

Orientador: Prof. Dr. Márcio Fabiano da Silva / Dissertação (mestrado) - Universidade Federal do ABC, Programa de Pós-Graduação em Matemática , Santo André, 2018. / Seja x : M = Rn+1 uma imersão de uma variedaden-dimensional orientável M no espaço euclidiano Rn+1. A condição que x tem curvatura média constante não-nula H =H0 é conhecida ser equivalente ao fato que x é um ponto crítico de um problema variacional. Um procedimento padrão de encontrar pontos críticos de tais problemas é, análogo ao método dos multiplicadores de Lagrange, olhar para os pontos críticos de um certo operador definido em termos dos funcionais variacionais. Resulta dessas considerações que a definição de estabilidade para imersões com curvatura média constante não-nula deve exigir que a segunda variação para tal operador seja não-negativa, para variações com suporte compacto que satisfaçam a condição de média nula. Assim, o objetivo desse trabalho é estudar as imersões estáveis compactas com curvatura média constante não-nula ¿ resultado apresentado como o Teorema de Barbosa¿Carmo. / Let x : M = Rn+1 be an immersion of an orientablen-dimensional manifoldM into the euclidian space Rn+1. The condition thatx has nonzero constant mean curvature H =H0 is known to be equivalent to the fact thatx is a critical point of a variational problem. A standard proceduce of ?nding the critical points of such a problem is, in analogy to the Lagrange multipliers method, to look for the critical of points of an operator defined in terms of variational functionals. It follows from the above considerations that the definition of stability for immersions with nonzero constant mean curvature should require that such operator be nonnegative, for compactly supported variations that satisfy the zero mean condition. Thus, the objective of this work is to study the compact stable immersions with nonzero constant mean curvature ¿ result presented as the Barbosa and Carmo¿s theorem.

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de NÃvel Superior / Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico / Neste trabalho, consideramos funcionais paramÃtricos elÃpticos como generalizaÃÃes naturais para o clÃssico funcional Ãrea. Calculamos a primeira variaÃÃo de tais funcionais e, a partir da equaÃÃo de Euler-Lagrange, definimos a curvatura mÃdia anisotrÃpica de uma hipersuperfÃcie imersa em uma variedade Riemanniana como generalizaÃÃo natural da curvatura mÃdia usual. Em seguida, estabelecemos a fÃrmula da segunda variaÃÃo e classificamos as hipersuperfÃcies rotacionalmente simÃtricas que possuem curvatura mÃdia anisotrÃpica constante. A fim de compreender a estabilidade dos exemplo rotacionais,deduzimos a primeira e a segunda fÃrmulas de Minkowski. AlÃm disso, no contexto anisotrÃpico, apresentamos as equaÃÃes fundamentais de Weingarten, Codazzi e Gauss e, por fim, estudamos a harmonicidade da aplicaÃÃo de Gauss. / It is stated that critical points of a parametric elliptic functional in a Riemannian manifold are hypersurfaces with prescrebed anisotropic mean curvature. We prove that the anisotropic Gauss map of surfaces immersed in Euclidean space with constant anisotropic mean curvature is a harmonic map. In the case of rotatioally invariat functionals in some homogeneous three-dimensional ambients, we present a abridged version of a existence result for constant anisotropic mean curvature surfaces as cylinders, spheres, tori and annuli corresponding to the anisotropic analogs of onduloids and nodoids. In the Euclidean case M = R3, examples of stable critical points are provided by the Wulff shapes associated to functional F. Paralleling the case of constant curvature mean spheres, a characterization of Wulff shapes is provided, which answers affirmatively a question posed by M. Koiso and B. Parmer in [13].

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Apresentamos um mÃtodo para a obtenÃÃo de limites inferiores para o primeiro autovalor de Dirichlet em termos de campos vetoriais com divergÃncia positiva. Aplicando-o ao gradiente de uma funÃÃo distante, obtemos estimativas de de autovalor em bolas geodÃsicas em cut locus e dos domÃnios de subvariedades com curvatura mÃdia localmente limitada.Para subvariedades das variedade de Hadamard com limites mÃdios de curvaturas, estes limites inferiores dependem da dimensÃo das subvariedades e limite sobre sua curvatura mÃdia. / We present a method to obtain lower bounds for first Dirichlet eigenvalue in terms of vector fields with positive divergence. Applying this to the gradient of a distance function we obtain estimates of eigenvalue of geodesic balls inside the cut locus and of domains in submanifolds with locally bounded mean curvature. For submanifolds of Hadamard manifolds with bounded mean curvature these lower bounds depend only on the dimension of the submanifold and the bound on its mean curvature.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 dissertacao luciene.pdf: 1020843 bytes, checksum: ac206e5a833b7c12a09d587ba480850c (MD5) Previous issue date: 2009-08-25 / The present work has been based by the [1] from Juan A. Aledo S´anches and Jos´e M. Espinar and [2] from Rafael L´opez articles. In those articles they studied hiperbolic linear Weingarten surfaces in R3 space, this is, surface whose mean curvature H and Gaussian curvature K satisfy a relation of the form aH+bK =c, where a, b, c 2 R. A such surface is said to be hiperbolic when the discriminant D := a2+4bc < 0.We obtain a representation for rotational hyperbolic linear Weingarten surfaces in terms of its Gauss map and we also present, in the case a 6= 0, a classification of linearWeingarten surfaces of hyperbolic rotation. As a consequence we obtain, in the case a 6=0, a family of complete hyperbolic linear Weingarten surfaces in R3. This contrasts with Hilbert s theorem that there do not exist complete surfaces with constant negative Gaussian curvature immersed in R3. / Este trabalho foi baseado nos artigos [1] de Juan A. Aledo S´anches e Jos´e M. Espinar e [2] de Rafael L´opez. Nestes artigos eles estudaram superf´&#305;cies de Weingarten lineares hiperb´olicas , ou seja, superf´&#305;cies cuja curvatura m´edia H e a curvatura Gaussiana K satisfazem uma relac¸ ao linear da forma aH + bK = c, onde a, b, c 2 R. Tais superf´&#305;cies s ao ditas hiperb´olicas quando o discriminante D := a2 + 4bc < 0. Obteremos uma representac¸ ao para as superf´&#305;cies de Weingarten lineares hiperb´olicas em termos das suas aplicac¸ oes de Gauss e tamb´em apresentaremos, no caso a 6= 0, uma classificac¸ ao de superf´&#305;cies de Weingarten lineares de rotac¸ ao hiperb´olicas. Como consequ encia obteremos, no caso a 6= 0, uma fam´&#305;lia de superf´&#305;cies de Weingarten lineares hiperb´olicas de rotac¸ ao completas em R3. Isto contrasta com o Teorema de Hilbert que diz que n ao existe superf´&#305;cie completa com curvatura Gaussiana constante negativa imersa em R3

CoordenaÃÃo de AperfeiÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior / Nesta tese estudamos vÃrios aspectos da geometria de variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias e, particularmente, de espaÃos generalizados de Robertson-Walker, sob a presenÃa de um campo vetorial conforme fechado. Inicialmente, nÃs desenvolvemos um estudo sobre a r-estabilidade e a r-estabilidade forte de hipersuperfÃcies tipo-espaÃo fechadas em ambientes conformemente estacionÃrios de curvatura seccional constante; mais precisamente,nÃs obtemos uma caracterizaÃÃo das hipersuperfÃcies r-estÃveis pelo primeiro autovalor de um certo operador elÃptico naturalmente associado à sua r-Ãsima curvatura, bem como classificamos as hipersuperfÃcies fortemente r-estÃveis por meio de uma condiÃÃo adequada sobre o fator conforme do campo conforme do ambiente. Em seguida, estabelecemos teoremas gerais tipo-Bernstein para hipersuperfÃcies tipo-espaÃo em variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias, um dos quais nÃo exige que a hipersuperfÃcie possua curvatura mÃdia constante. Finalmente, estendemos para variedades de Lorentz conformemente estacionÃrias um resultado de J. Simons sobre a minimalidade de certos cones em espaÃos Euclidianos, e aplicamos este resultado para construir subvariedades mÃnimas completas e nÃo-compactas no espaÃo de de Sitter e no espaÃo anti-de Sitter. / In this thesis we study several aspects of the geometry of conformally stationary Lorentz manifolds and, more particularly, of generalized Robertson-Walker spaces, under the presence of a closed conformal vector field. We initiate by focusing our study on the r-stability and on the strong r-stability of closed spacelike hypersurfaces of conformally stationary ambient spaces of constant sectional curvature; more precisely, we obtain a characterization of the r-stable ones by means of the first eigenvalue of a suitable elliptic operator naturally associated to its r-th mean curvature, as well classify the strongly r-stable ones by means of an appropriate condition on the conformal factor of the conformal vector field on the ambient space. Following,we establish general Bernstein-type theorems for spacelike hypersurfaces of conformally stationary Lorentz manifolds, one of which does not require the hypersurface to be of constant mean curvature. We end by extending, to conformally stationary Lorentz manifolds, a result of J. Simons on the minimality of certain cones in Euclidean spaces, and apply this result to build complete, non-compact minimal submanifolds in the de Sitter space and in the anti-de Sitter space.