In this thesis we study projective perspective on planar euclidean geometry. First we take an euclidean construction and transform it into the projective language. Then we discover and show principles of this transformation. We show equivalence between complex points I, J and some euclidean structures. Moreover we study conics, triangles, polygons and circles. We build this thesis on examples. 1

Este trabalho tem como objetivo colaborar na inserção do ensino das Geometrias Não Euclidianas no ensino médio. Para tanto, fizemos uma pesquisa bibliográfica sobre o surgimento de tais Geometrias, em seguida apresentamos uma sequência de conteúdos para o ensino das Geometrias Elíptica e Hiperbólica, abordando os principais tópicos elencados pelas Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná, comparando-as sempre que possível com a Geometria Euclidiana. Esclarecemos que onde citamos Geometria Elíptica, estamos realmente tratando da Geometria da Superfície Esférica, para que este trabalho fique compatível com as Diretrizes Curriculares do Estado do Paraná. Apesar de haver algumas proposições e suas provas, em grande parte do trabalho não há teoria e demonstrações com o rigor exigido pela matemática, buscamos apenas apresentar os principais conceitos e usar uma linguagem que possa ser compreendida por qualquer profissional que esteja disposto a compreender e depois de estudar, ensinar estas geometrias. Em novembro de 2013, na XVII Semana da Matemática e III Encontro de Ensino de Matemática do Câmpus de Pato Branco – PR da UTFPR, aplicamos um minicurso com parte deste conteúdo. Ao final do minicurso aplicamos um questionário sobre o conhecimento inicial do tema e a atual situação de ensino destas geometrias. Tal questionário visou identificar o interesse sobre o tema e sobre a real possibilidade de inserção destas geometrias nas salas de aula, cujos resultados encontram-se no texto. / This work aims to contribute in including teaching of Non-Euclidean Geometry in high school. For this, a bibliographic research was made about the appearance of such geometries and introduce content for teaching of Elliptical and Hyperbolic Geometries, addressing the main topics listed by Curriculum Guidelines of Paraná, comparing them with Euclidean Geometry. Clarify that where quoted elliptic geometry, we are really dealing with Surface Spherical Geometry, for that this work be compatible with the Curriculum Guidelines of the State of Paraná. Although there are some propositions and their proofs, in most part of the work there aren´t theoretical studies and statements with all rigors mathematics requires, we seek to show the main concepts and use a language that can be understood by any person who is willing to understand and after studying, teach these geometries in school. In November 2013, during the XVII Semana de Matemática and III Encontro de Ensino de Matemática Câmpus de Pato Branco – PR of UTFPR, a mini-course was applied with part of this content to some participants. At the end of the mini-course a questionnaire was applied inquiring the basic knowledge, the current teaching situation of these geometries and aim to identify the interest in this issue and the real possibility of inclusion in the classrooms, the results can be found in the following work.

Made available in DSpace on 2016-05-17T16:51:28Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2015-08-25. Added 1 bitstream(s) on 2016-05-17T16:55:03Z : No. of bitstreams: 1 000864570.pdf: 882043 bytes, checksum: 0e2f30cd0e930b9412f293a396b888b5 (MD5) / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Nosso trabalho, a respeito dos fundamentos da Geometria Hiperbólica, apresenta o desenvolvimento histórico desta geometria a partir da polêmica em torno do quinto postulado de Euclides. Abordamos também a axiomática de Hilbert e alguns resultados da Geometria Neutra, antes de introduzir a Geometria Hiperbólica e suas infinitas paralelas. Após a discussão a respeito de seus conceitos e teoremas básicos, é apresentado o Modelo do Semiplano Superior, forma de inserir a Teoria de Grupos e a Transformação de Möbius, ferramentas algébricas facilitadoras para a introdução da métrica e da Trigonometria Hiperbólica. O objetivo deste trabalho é fornecer aos professores de Matemática e Física do Ensino Médio a oportunidade de um primeiro contato com a Geometria Hiperbólica / Our work, about the foundations of Hyperbolic Geometry, presents the historical development of this geometry from the controversy around the fifth postulate of Euclid. It will also be treated the Hilbert axiomatic and some results of Neutral Geometry, before introducing the Hyperbolic Geometry and its infinite many parallels. After the discussion of its basic concepts and theorems, we present the Upper Half Plane Model, way to use the Group Theory and the Möbius Transformation, algebraic tools to facilitate the introduction of the metric and Hyperbolic Trigonometry. The objective of this work is to provide high school teachers of Mathematics and Physics the opportunity for a first contact with Hyperbolic Geometry

Acompanha: O ensino de arte e matemática: abordagens geométricas (material didático) / A presente dissertação teve como objetivo da introduzir conceitos básicos de geometrias não-euclidianas em aulas de Matemática do Ensino Médio, usando Arte e Matemática. Para tanto, utilizou-se de abordagem triangular, fundamentada por Barbosa e de registros de representações semióticas, baseados nos estudos de Duval. O estudo envolveu estudantes de 2as séries do Ensino Médio de um colégio público estadual do município de Rio Negro (PR). A pesquisa aplicada constou de duas etapas. Num primeiro momento, analisou-se pêssankas à procura de conceitos matemáticos empregados em sua composição e verificou-se a utilização, instintivamente, pelos artesãos, de conceitos como simetria, proporção, polígonos, elipses, biláteros, retas e pontos. Na segunda etapa abordou-se o ensino de geometrias não-euclidianas no Ensino Médio, usando Arte e Matemática. Do ponto de vista metodológico a abordagem foi qualitativa, de natureza interpretativa, com observação participante. Os dados foram recolhidos a partir da aplicação de sequências de atividades envolvendo anamorfose, geometria espacial e projetiva e, da aplicação de oficina investigativa, envolvendo geometrias plana, espacial, elíptica e projetiva. As atividades desenvolvidas com os alunos envolveram materiais manipuláveis, recursos tecnológicos, análise de imagem, contexto histórico e fazer artístico. Os resultados mostram a validade do trabalho docente com metodologia interdisciplinar, tornando as aulas de Matemática motivadoras e desafiantes. Como produto final, apresenta-se um manual pedagógico que tem por finalidade fornecer aos professores de Matemática e de Arte, interessados no assunto, informações sobre conexões entre Arte e Matemática que se fazem presentes no ensino de noções de geometrias não-euclidianas. / The present dissertation had as objective to introduce basic concepts of non-euclidian geometries in Mathematics classes of the Medium Teaching using Art and Mathematics. Therefore, it was used the triangular approach, supported by Barbosa and of registrations of semiotic representations, based in the Duval studies. The study involved students of second grades of High School in a public school from Rio Negro (PR). The applied research consisted of two stages. In a first moment, pysanky was analyzed mathematical concepts used in its composition and the use was verified instinctively, by the artisans, of concepts as symmetry, proportion, polygons, ellipses, biláteros, straight line and points. In the second stage the teaching of geometries was approached non-euclidian in the Medium Teaching, using Art and Mathematics. The methodological point of view the approach was qualitative, of interpretative nature, with participant observation. The data were picked up starting from the application of sequences of activities involving anamorphosis, space geometry and projective and, of the application of investigative shop involving plane, space, elliptic and projective geometries. The activities developed with the students involved materials that there manipulated, technological resources, image analysis, historical context and how to produce artistic activities. The results showed the validity of the educational work with interdisciplinary methodology, making the Math lessons motivating and challenging. As the final product, It presents a pedagogical manual that has for purpose to provide teachers of Mathematics and Art, interested in the subject, information connections between Art and Mathematics that are present in the teaching notions of non-euclidian geometries.

Submitted by Renata Lopes (renatasil82@gmail.com) on 2016-04-11T18:24:28Z No. of bitstreams: 1 leandrodejesusdueli.pdf: 9512432 bytes, checksum: a4c7c4931cab58dc040a3d4190b0a39b (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2016-04-24T03:35:03Z (GMT) No. of bitstreams: 1 leandrodejesusdueli.pdf: 9512432 bytes, checksum: a4c7c4931cab58dc040a3d4190b0a39b (MD5) / Made available in DSpace on 2016-04-24T03:35:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 leandrodejesusdueli.pdf: 9512432 bytes, checksum: a4c7c4931cab58dc040a3d4190b0a39b (MD5) Previous issue date: 2013-03-13 / CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Este trabalho apresenta uma sequência de atividades interdisciplinares entre Matemá- tica e Geogra a com o objetivo de contribuir para o processo de ensino e aprendizagem da Geometria Esférica facilitando a apropriação de seus conceitos elementares por alunos do 1o ano do Ensino Médio. Paralelo a isto, objetiva rever conceitos da Geometria Euclidiana e fazer comparações entre as Geometrias Euclidiana e Esférica, mostrando que ambas são consistentes. Estas atividades foram adaptações das apresentadas por PATAKI (2003), PRESTES (2006) e ANDRADE (2011) e encontram respaldo nos PCN's ao trabalhar com resolução de problemas. É feito um recorte histórico das Geometrias não Euclidianas (Hiperbólica e Esférica) partindo de tentativas de demonstração do Postulado V de Euclides até as formalizações destas geometrias por Lobachevski, Bolyai e Gauss (Geometria Hiperbólica) e Riemann (Geometria Esférica) no século XIX. São abordados conceitos elementares da Geometria Esférica e de Cartogra a que são utilizados na sequência de atividades. As atividades desenvolvidas mostraram que é possível o professor introduzir no seu plano de aula as noções básicas de Geometria Esférica articulando teoria e prática e trabalhando interdisciplinarmente e com contextualização. / This paper presents a sequence of interdisciplinary activities between Mathematics and Geography in order to contribute to the teaching and learning of Spherical Geometry facilitating the appropriation of their elementary concepts for students in the 1st year of high school. Parallel to this, wants review concepts of Euclidean Geometry and make comparisons between Euclidean and Spherical Geometry, showing that both are consistent. These activities were adapted from those given by PATAKI (2003), PRESTES (2006) and ANDRADE (2011) and nd support in the PCN's to work with problem solving. A historical survey was made about non-Euclidean geometries (Hyperbolic and Spherical) starting attempts demonstration of Euclid's fth postulate until the formalization of these geometries by Lobachevski, Bolyai and Gauss (Hyperbolic Geometry) and Riemann (Spherical Geometry) in the nineteenth century. Are broached basic concepts of Spherical Geometry and Cartography that are used in the sequence of activities. The activities shown that the teacher can introduce in your class plan the basic notions of Spherical Geometry linking theory and practice and working interdisciplinarily and with contextualization.

Submitted by Filipe dos Santos (fsantos@pucsp.br) on 2018-07-25T11:54:43Z No. of bitstreams: 1 Danilo Gustavo Bispo.pdf: 1616324 bytes, checksum: cbc43e66f323825f005da2c275dfa256 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-25T11:54:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Danilo Gustavo Bispo.pdf: 1616324 bytes, checksum: cbc43e66f323825f005da2c275dfa256 (MD5) Previous issue date: 2018-04-03 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The present work aims to expose the study of some aspects that permeated the emergence of Computing Theory of Alan Mathison Turing at the beginning of the 20th century. According to previous research, it is suggested that this occurred in part, due to a theoretical consequence of the development of mathematics. At the end of the nineteenth century there was an effort expended by some thinkers whose aim was to clarify the nature of truth in mathematics, a problem put in sharp evidence by the turbulent stage in the development of mathematical thinking between about 1870 and 1940 with the emergence of new types of geometry. This stage can also be interpreted as "the crisis of fundamentals" and visualized as the outcome of the development phase corresponding to the emergence of contemporary science. Within this context, the idea will now be to broaden the research to identify details of the projects that were not successful but that also had their contribution or influenced in some way the emergence of the theory that established key concepts for the digital computer model / O presente trabalho tem como objetivo expor o estudo de alguns aspectos que permearam o surgimento da Teoria da Computação de Alan Mathison Turing no início do século XX. De acordo com pesquisa, sugere-se que isso tenha ocorrido em parte, devido a uma consequência teórica do desenvolvimento da matemática. No final do século XIX houve um esforço despendido por parte de alguns pensadores cujo o intuito estava em clarificar a natureza da verdade em matemática, problema posto em aguda evidência pela turbulenta etapa no desenvolvimento do pensamento matemático ocorrido entre aproximadamente 1870 e 1940 com o surgimento de novos tipos de geometria. Esta etapa também pode ser interpretada como "a crise dos fundamentos" e visualizada como o desfecho da fase de desenvolvimento correspondente ao surgimento da ciência contemporânea. Dentro deste contexto, a ideia será agora ampliar a investigação procurando identificar detalhes dos projetos que não foram bem-sucedidos, mas que também tiveram sua contribuição ou influenciaram de algum modo o surgimento da teoria que estabeleceu conceitos chave para o modelo do computador digital

O objetivo do presente trabalho é explorar o conceito do diagrama de Voronoi considerando a métrica euclidiana e a métrica do taxi. Após uma breve introdução, o segundo capítulo começa com uma definição informal de diagrama de Voronoi considerando a distância euclidiana e traz uma sequência para a construção do diagrama no plano para dois, três e quatro pontos, usando o conceito de mediatriz. Após essa sequência, é feita uma definição formal e são apresentadas algumas propriedades e resultados teóricos acerca do diagrama. No terceiro capítulo consideramos a ideia do diagrama de Voronoi na métrica do Táxi. Após a definição da métrica do táxi, exploramos alguns lugares geométricos relacionados como: a circunferência e mediatriz, destacando as diferenças e semelhanças com a métrica euclidiana. São apresentados alguns exemplos de diagramas para três e quatro pontos. O quarto capítulo considera uma ideia para a representação das regiões de influência do diagrama de Voronoi na distância euclidiana e na distância do táxi, usando o GeoGebra. As construções apresentadas envolvem o conceito de circunferência e mediatriz em cada métrica e sua relação com as regiões de influência do diagrama de Voronoi. Por fim, o quinto capítulo apresenta algumas sugestões de atividades para Ensino Médio relacionadas ao diagrama de Voronoi, envolvendo conceitos de Geometria Analítica e Plana. / The objective of the present work is to explore the concept of Voronoi diagram considering Euclidean distance and Taxi-distance. After a brief introduction, the second chapter begins with an informal definition of Voronoi diagram considering Euclidean distance and brings a sequence for the construction of the diagram in the plane for two, three and four points, using the concept of perpendicular bisector. After this sequence, a formal definition is introduced and some properties and theoretical results about the diagram are presented. In the third chapter we consider the ideia of Voronoi diagram in the Taxi-distance. After defining the taxi-distance, we explore some related geometric locus as circunference and bisectors, highlighting the differences and similarities with the Euclidean distances. Some examples for three- and four-point diagrams are presented. The fourth chapter considers an idea for the representation of the regions of influence of the Voronoi diagram in the Euclidean distance and the taxi-distance, using GeoGebra. The construction presented involve the concept of circumference and bisector in each metric and its relation with the regions of influence of the Voronoi diagram. Finally, the fifth chapter presents some suggestions of activities for High School students related to the Voronoi diagram, involving concepts of Analytical and Plane Geometry.

Acompanha: Afinal, como surgiram as geometrias não Euclidianas? / Por meio da literatura inerente ao tema deste estudo, é possível perceber que as geometrias não euclidianas são pouco exploradas na formação docente; todavia, documentos que norteiam a educação paranaense propõem que esses conceitos sejam explorados nas aulas de Matemática. Para tanto, são necessárias ações que permitam aos professores ampliarem seus saberes sobre elas. Assim, pretendeu-se refletir a respeito da relevância dos conhecimentos advindos da História da Matemática para o processo de formação do professor de Matemática no que diz respeito às geometrias não euclidianas. Investigações desenvolvidas na área defendem que a História da Matemática é um recurso didático que pode contribuir para a formação docente, principalmente no que tange à compreensão dos conceitos matemáticos. Desta forma, o presente trabalho tem como objetivo realizar a produção de vídeos didáticos e atividades baseadas na História da Matemática, sobre tópicos das geometrias não euclidianas que podem ser utilizados na formação continuada de professores. Para alcançar tal objetivo, os referenciais teóricos explorados nesta investigação envolvem as pesquisas a respeito da formação do professor e a História da Matemática, bem como seu uso pedagógico, o uso das tecnologias no ensino, sobretudo dos vídeos didáticos e o ensino das geometrias não euclidianas. A presente investigação é qualitativa e de cunho interpretativo, na qual as etapas principais foram: levantamento bibliográfico relativo aos temas estudados; elaboração da reconstrução histórica das geometrias não euclidianas, investigação, por meio de entrevista semiestruturada sobre os professores que atuam na Educação Básica e suas compreensões a respeito das geometrias não euclidianas, elaboração dos vídeos e de atividades relacionadas a eles e aplicação desses materiais em um curso de formação continuada. A partir do curso ministrado a seis professores que atuam na Educação Básica (anos finais do Ensino Fundamental e Ensino Médio) no município de Leópolis-PR, foi possível experimentar os vídeos e as atividades, o que permitiu observar que eles possibilitaram a esses sujeitos ampliar suas compreensões a respeito das geometrias não euclidianas, evidenciando seu potencial. / By means of the literature inherent in the subject of this study, it is possible to notice that non-Euclidean geometries are little explored in teacher education, however documents that guide education in the state of Paraná propose that these concepts are explored in Mathematics classes. Therefore, some actions are necessary to allow teachers to enlarge their knowledge about them. Thus, it was intended to ponder the relevance of the Mathematics History knowledge to the process of Mathematics teacher training concerning the non - Euclidean geometries. Developed researches plead that Mathematics History is a didactic resource that can contribute to teacher training, mainly related to non-Euclidean geometries. In this manner, the present work intends to investigate the production of didactic videos and activities based on the Mathematics History, about topics of non-Euclidean geometries that can be used in teacher training. To reach it, the theoretical references explored in this study involve researches on teacher education and Mathematics History, in addition its pedagogical use, teaching technologies, especially didactic videos, and the teaching of non-Euclidean geometries. The present investigation is qualitative and interpretive, in which the main steps were: a bibliographical research on the subjects studied; elaboration of the historical reconstruction of non-Euclidean geometries, investigation, through semi-structured interviews, about teachers who work in Basic Education and their understandings about non-Euclidean geometries, elaboration of videos and activities related to them and application of these materials in a training course. From the course that was taught to six teachers who work in Basic Education (Final Years of Elementary and Secondary Education) in the city of Leópolis-PR, it was possible to try the videos and activities that allowed to observe that they enabled them to increase their understanding of Non-Euclidean geometries showing their potential.

Made available in DSpace on 2014-12-17T15:05:03Z (GMT). No. of bitstreams: 1 AnnaKSN_DISSERT.pdf: 2228892 bytes, checksum: fc6b8553824d405981f02c90c321636a (MD5) Previous issue date: 2013-07-25 / Coordena??o de Aperfei?oamento de Pessoal de N?vel Superior / This present research the aim to show to the reader the Geometry non-Euclidean while anomaly indicating the pedagogical implications and then propose a sequence of activities, divided into three blocks which show the relationship of Euclidean geometry with non-Euclidean, taking the Euclidean with respect to analysis of the anomaly in non-Euclidean. PPGECNM is tied to the line of research of History, Philosophy and Sociology of Science in the Teaching of Natural Sciences and Mathematics. Treat so on Euclid of Alexandria, his most famous work The Elements and moreover, emphasize the Fifth Postulate of Euclid, particularly the difficulties (which lasted several centuries) that mathematicians have to understand him. Until the eighteenth century, three mathematicians: Lobachevsky (1793 - 1856), Bolyai (1775 - 1856) and Gauss (1777-1855) was convinced that this axiom was correct and that there was another geometry (anomalous) as consistent as the Euclid, but that did not adapt into their parameters. It is attributed to the emergence of these three non-Euclidean geometry. For the course methodology we started with some bibliographical definitions about anomalies, after we ve featured so that our definition are better understood by the readers and then only deal geometries non-Euclidean (Hyperbolic Geometry, Spherical Geometry and Taxicab Geometry) confronting them with the Euclidean to analyze the anomalies existing in non-Euclidean geometries and observe its importance to the teaching. After this characterization follows the empirical part of the proposal which consisted the application of three blocks of activities in search of pedagogical implications of anomaly. The first on parallel lines, the second on study of triangles and the third on the shortest distance between two points. These blocks offer a work with basic elements of geometry from a historical and investigative study of geometries non-Euclidean while anomaly so the concept is understood along with it s properties without necessarily be linked to the image of the geometric elements and thus expanding or adapting to other references. For example, the block applied on the second day of activities that provides extend the result of the sum of the internal angles of any triangle, to realize that is not always 180? (only when Euclid is a reference that this conclusion can be drawn) / A presente pesquisa tem como objetivo mostrar ao leitor a Geometria n?o-euclidiana enquanto anomalia indicando as implica??es pedag?gicas e em seguida propor uma sequ?ncia de atividades distribu?das em tr?s blocos, as quais mostram a rela??o da geometria euclidiana com a n?o-euclidiana, tomando a euclidiana com refer?ncia para an?lise da anomalia na n?o-euclidiana. Est? vinculada ao Programa de P?s-Gradua??o em Ensino de Ci?ncias Naturais e Matem?tica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte na linha de pesquisa de Hist?ria, Filosofia e Sociologia da Ci?ncia no Ensino de Ci?ncias Naturais e da Matem?tica. Aborda aspectos relativos a Euclides de Alexandria, bem como sobre a sua obra mais famosa Os Elementos e, al?m disso, enfatiza o Quinto Postulado de Euclides, sobretudo ?s dificuldades (que perduraram v?rios s?culos) que os matem?ticos tinham em compreend?-lo. At? que, no s?culo XVIII, tr?s matem?ticos: Lobachevsky (1793 1856), Bolyai (1775 1856) e Gauss (1777-1855) foram convencidos que tal axioma era correto e que existia uma outra geometria (an?mala) t?o consistente quanto a de Euclides, mas que n?o se enquadrava em seus par?metros. ? atribu?da a esses tr?s o advento da geometria n?o-euclidiana. Para o percurso metodol?gico s?o pontuadas algumas defini??es de car?ter bibliogr?fico sobre as anomalias, depois elas s?o caracterizadas, para que a defini??o seja melhor compreendida pelo leitor e, em seguida,s?o destacadas as geometrias n?o-euclidianas (Geometria Hiperb?lica, Geometria Esf?rica e a Geometria do Motorista de T?xi) confrontando-as com a euclidiana para que sejam analisadas as anomalias existentes nas geometrias n?o-euclidianas e observemos sua import?ncia ao ensino. Ap?s tal caracteriza??o segue-se a parte emp?rica da proposta que consistiu na aplica??o de tr?s blocos de atividades em busca de implica??es pedag?gicas de anomalia. O primeiro sobre as retas paralelas, o segundo sobre o estudo dos tri?ngulos e o terceiro sobre a menor dist?ncia entre dois pontos. Esses blocos oferecem um trabalho com elementos b?sicos da geometria a partir de um estudo hist?rico e investigativo das geometrias n?o-euclidianas enquanto anomalia de modo que o conceito seja compreendido juntamente com suas propriedades sem necessariamente estar vinculada a imagem dos elementos geom?tricos e, consequentemente, ampliando ou adaptando para outros referenciais. Por exemplo, o bloco aplicado no segundo dia de atividades proporciona que se amplie o resultado de soma dos ?ngulos internos de um tri?ngulo qualquer, passando a constatar que n?o ? sempre 180? (somente quando Euclides ? refer?ncia que esta conclus?o pode ser tirada)

Problem-posing is recognized as an important component in the nature of mathematical thinking (Kilpatrick, 1987). More recently, there is an increased emphasis on giving students opportunities with problem posing in mathematics classroom (English& Grove, 1998). These research has shown that instructional activities as having students generate problems as a means of improving ability of problem solving and their attitude toward mathematics (Winograd, 1991). In this study, teaching Taxicab Geometry which is a non-Euclidean geometry is aimed to mathematics teacher candidates by means of computer game-Simcity- using real life problems posing. This studies’ participants are forty mathematics teacher candidates taking geometry course. Because of using Simcity computer game, this game is based on Taxicab Geometry. Firstly, students had been given Taxicab geometry theory for two weeks and then seperated six each of groups. Each of groups is wanted to posing problem and solving from real life problems at Taxicab geometry. In addition to, students applied to problem solving at Simcity computer game. Studens were model into Simcity game. They founded ideal city, healty village, university campus, holiday village, etc. interesting of each others.