Mes travaux traitent essentiellement des marchés financiers incomplets. J'ai choisi de les regrouper en trois parties. La première traite de la caractérisation de l'hypothèse d'absence d'opportunité d'arbitrage et de ses implications en termes d'évaluation. La seconde explore deux pistes possibles pour l'évaluation et la couverture d'actifs dérivés en marché incomplet : la sur-réplication et l'exploitation de la condition de No Good Deal. Enfin, le dernière partie s'intéresse aux comportements limites ainsi qu'à la stabilité des choix optimaux des agents par rapport à des perturbations de leur évaluation du risque. Dans ce contexte, nous nous intéressons aussi à d'autres règles d'évaluation : les prix d'utilités.

Diese Arbeit beginnt mit einer Analyse von stochastischen Rückwärtsdifferentialgleichungen (BSDEs) mit Sprüngen, getragen von zufälligen Maßen mit ggf. unendlicher Aktivität und zeitlich inhomogenem Kompensator. Unter konkreten, in Anwendungen leicht verifizierbaren Bedingungen liefern wir Existenz-, Eindeutigkeits- und Vergleichsergebnisse beschränkter Lösungen für eine Klasse von Generatorfunktionen, die nicht global Lipschitz-stetig im Sprungintegranden sein brauchen. Der übrige Teil der Arbeit behandelt robuste Bewertung und Hedging in unvollständigen Märkten. Wir verfolgen den No-Good-Deal-Ansatz, der Good-Deal-Grenzen liefert, indem nur eine Teilmenge der risikoneutralen Maße mit ökonomischer Bedeutung betrachtet wird (z.B. Grenzen für instantanen Sharpe-Ratio, optimale Wachstumsrate oder erwarteten Nutzen). Durchweg untersuchen wir ein Konzept des Good-Deal-Hedgings für welches Hedgingstrategien als Minimierer geeigneter dynamischer Risikomaße auftreten, was optimale Risikoteilung mit der Markt erlaubt. Wir zeigen, dass Hedging mindestens im-Mittel-selbstfinanzierend ist, also, dass Hedgefehler unter geeigneten A-priori-Bewertungsmaßen eine Supermartingaleigenschaft haben. Wir leiten konstruktive Ergebnisse zu Good-Deal-Bewertung und -Hedging im Rahmen von Prozessen mit Sprüngen durch BSDEs mit Sprüngen, sowie im Brown''schen Fall mit Driftunsicherheit durch klassische BSDEs und mit Volatilitätsunsicherheit durch BSDEs zweiter Ordnung her. Wir liefern neue Beispiele, die insbesondere für versicherungs- und finanzmathematische Anwendungen von Bedeutung sind. Bei Ungewissheit des Real-World-Maßes führt ein Worst-Case-Ansatz bei Annahme mehrerer Referenzmaße zu Good-Deal-Hedging, welches robust bzgl. Unsicherheit, im Sinne von gleichmäßig über alle Referenzmaße mindestens im-Mittel-selbstfinanzierend, ist. Daher ist bei hinreichend großer Driftunsicherheit Good-Deal-Hedging zur Risikominimierung äquivalent. / This thesis starts by an analysis of backward stochastic differential equations (BSDEs) with jumps driven by random measures possibly of infinite activity with time-inhomogeneous compensators. Under concrete conditions that are easy to verify in applications, we prove existence, uniqueness and comparison results for bounded solutions for a class of generators that are not required to be globally Lipschitz in the jump integrand. The rest of the thesis deals with robust valuation and hedging in incomplete markets. The focus is on the no-good-deal approach, which computes good-deal valuation bounds by using only a subset of the risk-neutral measures with economic meaning (e.g. bounds on instantaneous Sharpe ratios, optimal growth rates, or expected utilities). Throughout we study a notion of good-deal hedging consisting in minimizing some dynamic risk measures that allow for optimal risk sharing with the market. Hedging is shown to be at least mean-self-financing in that hedging errors satisfy a supermartingale property under suitable valuation measures. We derive constructive results on good-deal valuation and hedging in a jump framework using BSDEs with jumps, as well as in a Brownian setting with drift uncertainty using classical BSDEs and with volatility uncertainty using second-order BSDEs. We provide new examples which are particularly relevant for actuarial and financial applications. Under ambiguity about the real-world measure, a worst-case approach under multiple reference priors leads to good-deal hedging that is robust w.r.t. uncertainty in that it is at least mean-self-financing uniformly over all priors. This yields that good-deal hedging is equivalent to risk-minimization if drift uncertainty is sufficiently large.

<p>Diss. (sammanfattning) Stockholm : Handelshögskolan, 2006 [6], xiii, [1] s.: sammanfattning, s. 1-259, [5] s.: 4 uppsatser. Spikblad saknas</p>

Diss. Stockholm : Handelshögskolan, 2009

Le sujet principal de cette thèse porte sur les mesures de risque. L'objectif général est d'investiguer certains aspects des mesures de risque dans les applications financières. Le cadre théorique de ce travail est celui des mesures cohérentes de risque telle que définie dans Artzner et al (1999). Mais ce n'est pas la seule classe de mesure du risque que nous étudions. Par exemple, nous étudions aussi quelques aspects des "statistiques naturelles de risque" (en anglais natural risk statistics) Kou et al (2006) et des mesures convexes du risque Follmer and Schied(2002). Les contributions principales de cette thèse peuvent être regroupées selon trois axes: allocation de capital, évaluation des risques et capital requis et solvabilité. Dans le chapitre 2 nous caractérisons les mesures de risque avec la propriété de Lebesgue sur l'ensemble des processus bornés càdlàg (continu à droite, limité à gauche). Cette caractérisation nous permet de présenter deux applications dans l'évaluation des risques et l'allocation de capital. Dans le chapitre 3, nous étendons la notion de statistiques naturelles de risque à l'espace des suites infinies. Cette généralisation nous permet de construire de façon cohérente des mesures de risque pour des bases de données de n'importe quelle taille. Dans le chapitre 4, nous discutons le concept de "bonnes affaires" (en anglais Good Deals), pour notamment caractériser les situations du marché où ces positions pathologiques sont présentes. Finalement, dans le chapitre 5, nous essayons de relier les trois chapitres en étendant la définition de "bonnes affaires" dans un cadre plus large qui comprendrait les mesures de risque analysées dans les chapitres 2 et 3. / The aim of this thesis is to study several aspects of risk measures particularly in the context of financial applications. The primary framework that we use is that of coherent risk measures as defined in Artzner et al (1999). But this is not the only class of risk measures that we study here. We also investigate the concepts of natural risk statistics Kou et al (2006) and convex risk measure Follmer/ and Schied (2002). The main contributions of this Thesis can be classified in three main axes: Capital allocation, risk measurement and capital requirement and solvency. In chapter 2, we characterize risk measures with the Lebesgue property on bounded càdlàg processes. This allows to present two applications in risk assessment and capital allocation. In chapter 3, we extend the concept of natural risk statistics to the space of infinite sequences. This has been done in order to introduce a consistent way of constructing risk measures for data bases of any size. In chapter 4, we discuss the concept of Good Deals and how to deal with a situation where these pathological positions are present in the market. Finally, in chapter 5, we try to relate all three chapters by extending the definition of Good Deals to a larger set of risk measures that somehow includes the discussions in chapters 2 and 3.

Le sujet principal de cette thèse porte sur les mesures de risque. L'objectif général est d'investiguer certains aspects des mesures de risque dans les applications financières. Le cadre théorique de ce travail est celui des mesures cohérentes de risque telle que définie dans Artzner et al (1999). Mais ce n'est pas la seule classe de mesure du risque que nous étudions. Par exemple, nous étudions aussi quelques aspects des "statistiques naturelles de risque" (en anglais natural risk statistics) Kou et al (2006) et des mesures convexes du risque Follmer and Schied(2002). Les contributions principales de cette thèse peuvent être regroupées selon trois axes: allocation de capital, évaluation des risques et capital requis et solvabilité. Dans le chapitre 2 nous caractérisons les mesures de risque avec la propriété de Lebesgue sur l'ensemble des processus bornés càdlàg (continu à droite, limité à gauche). Cette caractérisation nous permet de présenter deux applications dans l'évaluation des risques et l'allocation de capital. Dans le chapitre 3, nous étendons la notion de statistiques naturelles de risque à l'espace des suites infinies. Cette généralisation nous permet de construire de façon cohérente des mesures de risque pour des bases de données de n'importe quelle taille. Dans le chapitre 4, nous discutons le concept de "bonnes affaires" (en anglais Good Deals), pour notamment caractériser les situations du marché où ces positions pathologiques sont présentes. Finalement, dans le chapitre 5, nous essayons de relier les trois chapitres en étendant la définition de "bonnes affaires" dans un cadre plus large qui comprendrait les mesures de risque analysées dans les chapitres 2 et 3. / The aim of this thesis is to study several aspects of risk measures particularly in the context of financial applications. The primary framework that we use is that of coherent risk measures as defined in Artzner et al (1999). But this is not the only class of risk measures that we study here. We also investigate the concepts of natural risk statistics Kou et al (2006) and convex risk measure Follmer/ and Schied (2002). The main contributions of this Thesis can be classified in three main axes: Capital allocation, risk measurement and capital requirement and solvency. In chapter 2, we characterize risk measures with the Lebesgue property on bounded càdlàg processes. This allows to present two applications in risk assessment and capital allocation. In chapter 3, we extend the concept of natural risk statistics to the space of infinite sequences. This has been done in order to introduce a consistent way of constructing risk measures for data bases of any size. In chapter 4, we discuss the concept of Good Deals and how to deal with a situation where these pathological positions are present in the market. Finally, in chapter 5, we try to relate all three chapters by extending the definition of Good Deals to a larger set of risk measures that somehow includes the discussions in chapters 2 and 3.