京都大学 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第22972号 / 理博第4649号 / 新制||理||1668(附属図書館) / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)教授 藤原 耕二, 教授 山口 孝男, 教授 入谷 寛 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

Sur l'ensemble des variétés riemanniennes compactes à courbure de Ricci positive (on normalise par $Ric \geq (n-1)g$), la première valeur propre non nulle du laplacien agissant sur les fonctions atteint son minimum uniquement pour la sphère canonique. Dans cette thèse, nous caractérisons, à l'aide de la distance de Gromov-Hausdorff, les variétés riemanniennes à courbure positive dont les premières valeurs propres du laplacien sont proches de celles de la sphère canonique. Cette propriété de minimimalité du spectre de la sphère s'étend par un procédé de symétrisation, au spectre de Dirichlet des boules géodésiques de la sphère parmi les domaines de variétés à courbure de Ricci positive. Nous étudions les domaines de variétés à courbure de Ricci positive dont la première valeur propre de Dirichlet est presque minimimale. En particulier, nous montrons qu'un domaine convexe dont la première valeur propre de Dirichlet est proche de celle d'un hémisphèere est Gromov-Hausdorff proche d'un hémisphère d'un sinus produit tordu.

Nous montrons que les puissances de la fonction profil isopérimétrique, associée à une variété riemannienne fermée, vérifient une famille d'inéquations différentielles non linéaires du second ordre, paramétrées par un minorant de la courbure de Ricci et la dimension de la variété. Nous en déduisons des propriétés analytiques du profil, des renseignements géométriques et topologiques concernant les domaines minimisants et des théorèmes de comparaison et de pincement du profil isopérimétrique. Nous retrouvons en particulier des versions améliorées de l'inégalité de Lévy-Gromov. Ensuite, nous observons que tous ces résultats de comparaison se généralisent au cadre des variétés fermées munies de la distance riemannienne et d'une mesure ayant une densité régulière positive par rapport à la mesure riemannienne, la minoration uniforme sur la courbure de Ricci étant alors remplacée par une hypothèse de type courbure-dimension. Enfin, nous précisons, lorsqu'une suite de variétés compactes converge vers une variété compacte pour la distance de Gromov-Hausdorff, dans quel sens la suite de leurs profils tend vers le profil de la variété limite.

Je présente dans ce mémoire mes travaux sur les limites d'échelle de grandes structures aléatoires. Il s'agit de décrire les structures combinatoires dans la limite des grandes tailles en prenant un point de vue objectif dans le sens où on cherche des limites des objets, et non pas seulement de paramètres caractéristiques (même si ce n'est pas toujours le cas dans les résultats que je présente). Le cadre général est celui des structures critiques pour lesquelles on a typiquement des distances caractéristiques polynomiales en la taille, et non concentrées. Sauf exception, ces structures ne sont en général pas adaptées aux applications informatiques. Elles sont cependant essentielles de part l'universalité de leurs propriétés asymptotiques, prouvées ou attendues. Je parle en particulier d'arbres uniformément choisis, de graphes aléatoires, d'arbres couvrant minimaux et de partitions récursives de domaines du plan:<br/> <strong>Arbres aléatoires uniformes.</strong> Il s'agit ici de mieux comprendre un objet limite essentiel, l'arbre continu brownien (CRT). Je présente quelques résultats de convergence pour des modèles combinatoires ''non-branchants'' tels que des arbres sujets aux symétries et les arbres à distribution de degrés fixée. Je décris enfin une nouvelle décomposition du CRT basée sur une destruction partielle.<br/> <strong>Graphes aléatoires.</strong> J'y décris la construction algorithmique de la limite d'échel-le des graphes aléatoires du modèle d'Erdös--Rényi dans la zone critique, et je fais le lien avec le CRT et donne des constructions de l'espace métrique limite. <strong>Arbres couvrant minimaux.</strong> J'y montre qu'une connection avec les graphes aléatoires permet de quantifier les distances dans un arbre convrant aléatoire. On obtient non seulement l'ordre de grandeur de l'espérance du diamètre, mais aussi la limite d'échelle en tant qu'espace métrique mesuré. Partitions récursives. Sur deux exemples, les arbres cadrant et les laminations du disque, je montre que des idées basées sur des théorèmes de point fixe conduisent à des convergences de processus, où les limites sont inhabituelles, et caractérisées par des décompositions récursives.

This thesis is broadly divided in two parts. In the first part we give a survey of various distances between metric spaces, namely the uniform distance, Lipschitz distance, Hausdor distance and the Gramoz Hausdor distance. Here we talk about only the most basic of their properties and give a few illustrative examples. As we wish to study collections of metric measure spaces, which are triples (X; d; m) consisting of a complete separable metric space (X; d) and a Boral probability measure m on X, there are discussions about some distances between them. Among the three that we discuss, the transportation and distortion distances were introduced by Sturm. The later, denoted by 2, on the space X2 of all metric measure spaces having finite L2-size is the focus of the second part of this thesis. The second part is an exposition based on the work done by Sturm. Here we prove a number of results on the analytic and geometric properties of (X2; 2). Beginning by noting that (X2; 2) is a non-complete space, we try to understand its completion. Towards this end, the notion of a gauged measure space is useful. These are triples (X; f; m) where X is a Polish space, m a Boral probability measure on X and f a function, also called a gauge, on X X that is symmetric and square integral with respect to the product measure m2. We show that, Theorem 1. The completion of (X2; 2) consists of all gauged measure spaces where the gauges satisfy triangle inequality almost everywhere. We denote the space of all gauged measure spaces by Y. The space X2 can be embedded in Y and the transportation distance 2 extends easily from X2 to Y. These two spaces turn out to have similar geometric properties. On both these spaces 2 is a strictly intrinsic metric; i.e. any two members in them can be joined by a shortest path. But more importantly, using a description of the geodesics in these spaces, the following result is proved. Theorem 2. Both (X2; 2) and (Y; 2) have non-negative curvature in the sense of Alexandrov.

京都大学 / 0048 / 新制・課程博士 / 博士(理学) / 甲第19468号 / 理博第4128号 / 新制||理||1594(附属図書館) / 32504 / 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻 / (主査)准教授 矢野 孝次, 教授 上田 哲生, 教授 重川 一郎 / 学位規則第4条第1項該当 / Doctor of Science / Kyoto University / DFAM

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Un problème classique est d'identifier des sous-ensembles (pré)compacts de l'ensemble des espaces métriques de longueur (la distance entre deux espaces étant celle de Gromov-Hausdorff) et d'y étudier la continuité, la rigidité ou la « bornitude » de certains invariants. Habituellement, on considère l'ensemble <B>R</B><sub><I>n,K,D</I></SUB> des variétés de dimension, courbure et diamètre bornés (par <I>n</I>, -<I>K</I><SUP>2</SUP> et <I>D</I>), qui n'est pas complet (la « bornitude » n'y découle donc pas d'une preuve unifiée de type compacité/continuité). Nous nous affranchissons des hypothèses de courbure en nous plaçant sur la famille <B>M</B>_{δ,<I>H,D</I>} des classes d'isométries d'espaces métriques de longueur de diamètre et d'entropie (volumique) bornés par <I>D</I> et <I>H</I>, qui admettent un revêtement universel et dont le groupe fondamental est δ-non-abélien (i.e. vérifie certaines des propriétés algébriques de croissance des groupes fondamentaux de variétés de courbure négative). Nous montrons que l'entropie est peu sensible à des variations locales drastiques de la métrique ou de la topologie, donc que <B>M</B>_{δ,<I>H,D</I>} est beaucoup plus grand que <B>R</B>_<I>n,K,D</I>. Nous prouvons cependant que <B>M</B>_{δ,<I>H,D</I>} est complet, et que le sous-ensemble <B>M</B>⁰_{δ,<I>H,D,V</I>} (formé des variétés de courbure négative et de volume majoré par <I>V</I>) y est d'adhérence compacte. Sur <B>M</B>⁰_{δ,<I>H,D,V</I>} nous établissons des majorations uniformes du noyau de la chaleur qui impliquent la précompacité de cette famille pour la distance spectrale, ce qui assure une description des propriétés spectrales des espaces-limites. Sur <B>M</B>_{δ,<I>H,D</I>} nous prouvons que l'entropie et le spectre marqué des longueurs (resp. le premier nombre de Betti) sont des fonctions lipschitziennes (resp. localement constantes) et nous comparons les volumes et les bornes inférieures de la courbure de deux variétés ε₀-proches. La méthode s'appuie d'une part sur une estimation de type Bishop (mais sans hypothèse de courbure) du volume des boules, d'autre part sur le calcul d'un ε₀ := ε₀ (δ,<I>H,D</I>) universel tel qu'une ε₀-approximation de Hausdorff (non continue) entre deux espaces <I>X</I> et <I>Y</I> de <B>M</B>_{δ,<I>H,D</I>} induise un isomorphisme ρ entre les groupes d'automorphismes de leurs revêtements universels et se relève en une ε₀-presque-isométrie ρ-équivariante entre ces revêtements (une version de ce résultat valable hors de <B>M</B>_{δ,<I>H,D</I>} est aussi donnée).

Nous nous intéressons à trois problèmes issus du monde des arbres aléatoires discrets et continus. Dans un premier lieu, nous faisons une étude générale des arbres de fragmentation auto-similaires, étendant certains résultats de Haas et Miermont en 2006, notamment en calculant leur dimension de Hausdorff sous des hypothèses malthusiennes. Nous nous intéressons ensuite à une suite particulière d’arbres discrets k-aires, construite de manière récursive avec un algorithme similaire à celui de Rémy de 1985. La taille de l’arbre obtenu à la n-ième étape est de l’ordre de n^(1/k), et après renormalisation, on trouve que la suite converge en probabilité vers un arbre de fragmentation. Nous étudions également des manières de plonger ces arbres les uns dans les autres quand k varie. Dans une dernière partie, nous démontrons la convergence locale en loi d’arbres de Galton-Watson multi-types critiques quand on les conditionne à avoir un grand nombre de sommets d’un certain type fixé. Nous appliquons ensuite ce résultat aux cartes planaires aléatoire pour obtenir la convergence locale en loi de grandes cartes de loi de Boltzmann critique vers une carte planaire infinie. / We study three problems related to discrete and continuous random trees. First, we do a general study of self-similar fragmentation trees, extending some results established by Haas and Miermont in 2006, in particular by computing the Hausdorff dimension of these trees under some Malthusian hypotheses. We then work on a particular sequence of k-ary growing trees, defined recursively with a similar method to Rémy’s algorithm from 1985. We show that the size of the tree obtained at the n-th step if of order n^(1/k), and, after renormalization, we prove that the sequence convergences to a fragmentation tree. We also study embeddings of the limiting trees as k varies. In the last chapter, we show the local convergence in distribution of critical multi-type Galton-Watson trees conditioned to have a large number of vertices of a fixed type. We then apply this result to the world of random planar maps, obtaining that large critical Boltzmann-distributed maps converge locally in distribution to an infinite planar map.

On s'intéresse à la géométrie des variétés de courbure de Ricci presque supérieure à $k$ (i.e. telle qu'une norme $L^p$---locale ou globale---de la fonction $(\underline(\rm Ric)-k)^-$ soit petite, où $\underline(\rm Ric)(x)$ est la plus petite valeur propre de la courbure de Ricci en $x$). On démontre sous cette hypothèse les équivalents des inégalités géométriques classiques de Myers, de Bishop-Gromov, de Lichnerowicz,... puis on caractérise les variétés qui réalisent presque les cas d'égalité (généralisant des travaux de T.~Colding et de P.~Petersen). Sur une variété compacte $M^n$ de courbure presque positive, le laplacien sur les 1-formes a au plus $n$ petites valeurs propres. S'il a exactement $n$ petites valeurs propres ($n-1$ suffisent si $M$ est orientable) alors $M$ est difféomorphe à une Nilvariété et la métrique est presque invariante à gauche. Ces résultats découlent d'estimées analytiques établies dans la première partie de la thèse.