Dans ce travail, on commence par donner des critères de continuité automatique pour des représentations de groupes topologiques dans des algèbres de Banach. Deux approches différentes sont présentées : l'une utilisant la décomposition de Glicksberg-De Leeuw s'applique aux groupes localement compacts, l'autre, basée sur un résultat d'équicontinuité de suites de fonctions de type positif, aux groupes polonais (non forcément localement compacts). Typiquement, on exprime la continuité d'une représentation par celle de ses composées par des formes linéaires continues sur l'algèbre de représentation. On déduit de ce qui précède des résultats de continuité automatique de morphismes de groupes topologiques. Dans une seconde partie, on applique les résultats de la première pour obtenir des propriétés d'étalement du spectre des éléments de l'image de la représentation en dehors d'un sous-ensemble " petit " en divers sens du groupe dans le cas abélien. La troisième partie généralise partiellement les résultats de la seconde au cas des groupes de Lie (non abéliens en précisant ainsi, dans ce cas, un théorème obtenu par J.M. Paoli et J.C. Tomasi. Mots clefs : Groupes localement compacts, groupes polonais, groupes de Lie, Algèbres de Banach, représentations de groupes, continuité automatique, spectre d'opérateurs.

Cette thèse porte sur l'étude des cocycles quasi-périodiques à valeurs dans des groupes de Lie compacts semi-simples. Nous nous restreindrons au cas des cocycles à une fréquence. Nous démontrons que, pour un ensemble de mesure de Lebesgue pleine de fréquences, l'ensemble des cocycles $C^{\infty }$ qui sont $C^{\infty }$-réductibles sont $C^{\infty }$-denses. Le premier pas sera l'obtention de deux invariants de la dynamique, qu'on appellera énergie et degré, qui distinguent en particulier les cocycles réductibles des cocycles non-réductibles. On entamera ensuite la démonstration du théorème principal. Nous démontrons dans un second temps qu'un algorithme dit de renormalisation permet de ramener l'étude de tout cocycle à celle des perturbations de modèles simples indexés par le degré. Nous analysons ensuite ces perturbations par des méthodes inspirés de la théorie K.A.M.. En particulier, nous démontrons qu'un cocycle $C^{\infty }$ mesurablement réductible à une constante diophantienne est alors $C^{\infty }$-réductible.

Dans cette thèse, nous proposons de nouvelles representations pourles poses du mouvement humain, apprises sur des données réelles, envue d'une synthèse de nouveaux mouvements en temps-réel. Dans unepremière partie, nous exploitons une méthode statistique adaptée auxgroupes de Lie (Analyse en Géodésiques Principales, AGP) pour approximerla variété des poses d'un sujet en mouvement, à partir de donnéesde capture de mouvement. Nous proposons un algorithme de cinématiqueinverse exploitant cette paramétrisation réduite, permettantpar construction de synthétiser des poses proches des données initiales.Nous validons ce modèle cinématique par une application à la compressionde données de mouvements, dans laquelle seules quelques trajectoiresdes extrémités des membres du squelettes permettent de reconstruireune bonne approximation de l'ensemble des données initiales.Dans une deuxième partie, nous étendons cette approche à l'animationphysique de personnages virtuels. La paramétrisation réduitepar AGP fournit les coordonnées généralisées de la formulation Lagrangiennede la mécanique. Nous dérivons un intégrateur temporelexplicite basé sur les intégrateurs variationnels. Afin d'en améliorer lastabilité, nous proposons un modèle d'amortissement inspiré de l'algorithmede Levenberg-Marquardt. Nous présentons également une méthodegéométrique d'apprentissage des limites angulaires sur des donnéesde capture de mouvement, ainsi que leur application comme contraintescinématiques.Dans une troisième partie, nous abordons le problème du contrôledu mouvement. En formulant les étapes de la simulation physique d'unepart, et de la cinématique inverse d'autre part comme deux programmesquadratiques, nous proposons un algorithme de pseudo-contrôle parinterpolation des métriques, permettant un compromis intuitif entre simulationphysique non-contrôlée, et cinématique inverse. Cette approchefaisant intervenir des forces externes, nous proposons une formulationalternative, utilisant uniquement les forces associées à la paramétrisationréduite des poses. Cette formulation est obtenue par relaxationdu problème théorique de contrôle sous contraintes unilatérales, nonconvexe,en un programme quadratique convexe. Ces algorithmes sontévalués sur des contrôleurs d'équilibre et de suivi.

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une.De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass.

Deux méthodes de construction de représentations de groupes sont présentées. La première propose une stratégie essayant de déterminer les représentations de groupes libres de type fini à valeurs dans tout réseau de groupes de Lie réel. La seconde, après avoir revu une construction d'une surface hyperbolique complexe, c'est-à-dire le quotient du plan hyperbolique complexe par un réseau, et examiné soigneusement ses propriétés, produit une infinité de représentations non-conjuguées, à valeurs dans un réseau du groupe des isométries du plan hyperbolique complexe, de groupes fondamentaux de variétés hyperboliques fermées de dimension 3, obtenues comme des fibrés en surfaces sur le cercle. / Two construction methods of group representations are presented. The first one proposes a strategy to try to determine the representations of finitely generated free groups into any lattice in real Lie groups. The second, after reviewing a construction of a complex hyperbolic surface, that is the quotient of the complex hyperbolic plane by a lattice, and examining its properties carefully, yields infinitely many non-conjugate representations into a lattice in the group of isometries of the complex hyperbolic plane, of fundamental groups of closed hyperbolic 3-dimensional manifolds, obtained as surface bundles over the circle.

Cette Thèse analyse les ensembles de contrôle de systèmes de commande linéaires et les isométries de structure presque-Riemanniennes sur des groupes de Lie. Dans la première partie, le but principal est de caractériser les propriétés d'ensembles de contrôle comme l'existence, l'unicité, le fait d'être limité et l'invariance. Nous étudions ces propriétés pour des groupes de Lie décomposables par les valeurs propres du champ vectoriel linéaire et étendons les résultats à des groupes de Lie non-compacts semi-simples avec un centre fini. L’objectif principal de la deuxième partie est de caractériser les propriétés d'isométrie des structures presque-Riemanniennes. Nous cherchons des invariants dans des isométries telles que le locus singulier ou l'ensemble des singularités de champs vectoriels linéaires. Pour des groupes de Lie nilpotents, nous prouvons que toutes les isométries sont affines, c’est-à-dire qu’elles se composent d'une translation et d’automorphismes d’un groupe de Lie. Nous utilisons les résultats obtenus pour classifier les structures presque-Riemanniennes en des groupes de Lie de faible dimension. / This Thesis analyzes the control sets of linear control systems and the isometries of almost-Riemannian structures on Lie groups. The main goal for the first topic is to characterize the properties of control sets such as existence, uniqueness, boundedness and invariance. We study such properties for Lie groups decomposable by eigenvalues of the linear vector field and extend some results to non-compact semi-simple Lie groups with finite center. The second topic main objective is to characterize isometry properties of almost-Riemannian structures. We search for invariants under isometries such as the singular locus and the set of the linear vector field singularities. For nilpotent Lie groups, we prove that all isometries are affine, that is, a composition of a translation with a Lie group automorphisms. To finish this topic we use the obtained results to classify the almost-Riemannian structures on low dimensional Lie groups.

Dans cette thèse, on s'intéresse en premier aux problèmes sous-riemanniens sur un groupe de Lie nilpotent d'ordre 2. Dans un premier temps, on réalise la classification complète des algèbres de Lie sous-riemanniennes (SR-algèbres de Lie) nilpotentes d'ordre 2 de dimension n compris entre 3 et 7, et celles de dimension arbitraire n telle que l'algèbre dérivée est de dimension une. De plus, nous avons distingué les SR-algèbres de Lie de contact et de quasi-contact et nous avons calculé, en dimension 5, le groupe des SR-symétries infinitésimales. Une fois cette classification réalisée, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes associées aux SR-algèbres de Lie nilpotentes d'ordre 2 obtenues dans notre classification. Nous avons étudié l'intégrabilité des équations géodésiques adjointes et donné les contrôles optimaux ainsi que les trajectoires optimales dans chacun des cas. Dans une seconde partie de la thèse, on étudie les géodésiques sous-riemanniennes pour un groupe de Lie sous-riemannien (G;D;B) où G = SO(4) ou G = SO(2; 2) et D est de codimension 2 (donnant des espaces SR-homogènes de contact). Nous avons donné un modèle canonique de ces espaces et ensuite montré que les systèmes adjoints de Lie-Poisson associés au modèle étaient toujours intégrables au sens de Liouville. De plus, nous montrons que le système de Lie-Poisson est soit un système linéaire qui est super-intégrable en fonctions trigonométriques du temps ou constantes ; soit un système non linéaire intégrable au sens de Liouville et dont les solutions sont exprimables à l'aide de la fonction elliptique de Weierstrass. / In this thesis, we are interested first in the sub-Riemannian problems on 2-step nilpotent Lie groups. We start by obtaining a complete classification of 2-step nilpotent sub-Riemannian Lie algebras (SR-Lie algebras) of dimension n between 3 and 7, and those of arbitrary dimension n such that the derivated algebra is of dimension one. In addition, we characterize the contact and quasi contact SR-Lie algebras and we calculate, in dimension 5, the group of SR-infinitesimal symmetries. Having presented that classification, we study the sub-Riemannian geodesics associated with the 2 step nilpotent SR-Lie algebras obtained in our classification. We study the integrability of the adjoint geodesic equations and we give the optimal controls and optimal trajectories in each case. In the second part of the thesis, we study the sub-Riemannian geodesics for a sub-RiemannianLie group (G;D;B) where G = SO(4) or G = SO(2; 2) and D is of codimension 2 (giving contactSR-homogeneous spaces). We give canonical models of these spaces and then show that the Lie-Poisson adjoint systems associated with the models are always integrable in the Liouville sense. More over, we show that the Lie-Poisson system is either a linear system which is super-integrable with the help of trigonometric functions of time (or constant ones) or a non-linear system which is integrable in the Liouville sense and whose solutions can be expressed using the Weierstrass elliptic function.

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

A travers la conception de robots porte-sonde ultrasonore pour une application médicale de télééchographie mobile, une étude de conception de structures cinématiques à modules sphériques optimisés est proposée. Le geste médical pendant l'examen d'échographie est analysé ; les résultats sont utilisés pour la définition du cahier des charges concernant la structure cinématique du robot. Une étude de synthèse basée sur les groupes de Lie des déplacements d'un corps rigide est effectuée pour établir un ensemble de mécanismes candidats pour le module de positionnement de translation plane et le module sphérique d'orientation constituant ce robot médical. Une optimisation multicritères sous contraintes est proposée pour les structures sphériques et appliquée sur trois structures : série, parallèle et hybride. La performance cinématique, le volume de l'espace de travail ainsi que des indices exprimant la compacité et la légèreté de la structure interviennent dans l'optimisation. La parcourabilité des structures cinématiques optimisées est étudiée. Les structures cinématiques des robots porte-sonde utilisés dans le système « Otelo » sont présentées.

Nous étudions dans cette thèse le roulement sans glissement et sans pivotement de deux variétés lisses M et Ṁ l'une sur l'autre de dimensions et n et ṅ respectivement. L'objectif principal est de chercher des conditions nécessaires et suffisantes de la commandabilité du système commandé défini par le roulement. Dans le premier chapitre, on présente les motivations et le plan de la thèse ainsi les notations utilisées le long des chapitres. Dans le deuxième chapitre, on caractérise l'espace d'état du roulement quand M et Ṁ sont des variétés Riemanniennes lorsque n n'est pas nécessairement égal à ṅ et du développement quand M et Ṁ sont des variétés affines munies des connexions affines avec n = ṅ Ainsi, on donne les relèvements et les distributions correspondant aux deux notions précédentes. Le troisième chapitre contient quelques résultats de la commandabilité du système de roulement des variétés Riemanniennes. Plus précisément, on présente les conditions nécessaires de la non-commandabilité du roulement d'une variété Riemannienne 3-dimensionnelle sur une autre 2-dimensionnelle.Le chapitre 4 porte sur le roulement d'une variété Riemannienne de dimension 2 sur une autre de dimension 3. On trouve que la dimension d'une orbite non-ouverte quelconque de l'espace d'état appartient à {2,5,6,7}. Les aspects géométriques de deux variétés sont liés principalement avec le fait que la variété de dimension 3 contient une sous-variété totalement géodésique de dimension 2.Dans le dernier chapitre, on introduit et étudie un concept d'holonomie horizontale associé à un triplet (M,∇,Δ ) avec M variété différentielle connexe, ∇ connection affine complète sur M et Δ distribution complètement commandable. Si H^∇est le groupe d'holonomie associé à Ṁ on considère alors son sous-groupe obtenu uniquement en considérant le transport ∇- parallèle par rapport aux lacets dans M tangents à la distribution Δ On le note H_Δ^∇et on l’appelle groupe d'holonomie horizontal. On prouve que le groupe d'holonomie horizontal H_Δ^∇ est un sous-groupe de Lie de GL(n). Puis, on démontre par un exemple que la fermeture du groupe d'holonomie horizontal restreint (H_Δ^∇ )^0 n'est pas nécessairement égal à H_Δ^∇. A cette fin, on utilise le modèle du roulement avec M un groupe de Carnot homogène munie d'une connexion de Levi-Civita associée à une métrique Riemannienne sur l'espace Euclidien R^n munie de la connexion Euclidienne. / In this thesis, we study the rolling motion without spinning nor slipping of a smooth manifolds M and Ṁ against another of dimensions n and ṅ respectively. The purpose is to find the necessary and sufficient conditions for the controllability issue of the system of rolling. We start by a French review of the principal results of the thesis is included in the introduction. In Chapter 1, we present the motivations of the subject thesis, the structure of the contents and the notations used along the manuscript. The second chapter contain a characterization of the state space of rolling manifolds when M and Ṁ are Riemannian manifolds with n and ṅ are not necessarily equal and of the development of manifolds when M and Ṁ are affine manifolds of dimension n = ṅ equipped with affine connections. We also state the definitions of the lifts and the distributions with respect to the previous notions. The controllability results of the rolling system of Riemannian manifolds is included in Chapter 3. We give all the necessary conditions of the non-controllability of rolling of 3-dimensional Riemannian manifold against 2-dimensional Riemannian manifold. Chapter 4 deals with the rolling of a 2-dimensional Riemannian manifold against a 3-dimensional Riemannian manifold. We prove that the dimension of an arbitrary non-open orbit of the state space belongs to {2,5,6,7}. The geometrical aspects of the two manifolds depend on the existence of a 2-dimensional totally geodesic submanifold in the 3-dimensional manifold. The last chapter introduces and addresses the issue of horizontal holonomy associated to a triple (M,∇,Δ) with M smooth connected manifold, ∇ complete affine connection M and Δ completely controlable distribution over M. If H_Δ^∇. denotes the holonomy group associated with (M,∇) one considers its subgroup obtained by considering only the ∇- parallel transport with respect to loops of M tangent to the distribution Δ This subgroup is denoted by H_Δ^∇ and we call it horizontal holonomy group. We prove that the horizontal holonomy group H_Δ^∇ is a Lie subgroup of GL(n). Then, we show by means of an example that the closure of a restricted horizontal holonomy group on a Riemannian manifold is not necessarily equal to the holonomy group of the Riemannian manifold. To this end, we use the rolling problem of M taken as a step 2 homogeneous Carnot group equipped with the Levi-Civita connection associated to a Riemannian metric onto the Euclidean space R^n equipped with the Euclidean connection.