<p>This dissertation concerns the construction of some examples of complex algebraic varieties giving insight into certain questions in Hodge theory. </p>

<p>A Hodge module on an algebraic variety may be viewed as a variation of Hodge structure  with singularities. Given an irreducible variety $X$, for any polarized variation of Hodge structure $\bold{H}$ on a smooth open subvariety $U\subset X,$ there exists a unique Hodge module $\cM \in HM_{X}(X)$ that extends $\bH.$ Conversely, for any Hodge module $\cM \in HM_{X}(X)$ with strict support on $X,$ there exists a polarized variation of Hodge structure $\bH$ on a smooth open subset $U \subset X$ such that $\cM \vert _{V} \cong \bH.$ In this thesis, we first study the singularities of a Hodge module $\cM \in HM_{X}(X)$ by using Morihiko Saito's theory of $S$-sheaves and duality. Then using local cohomology and the theory of mixed Hodge modules, we study the Hodge structure of $H^{i}(X, DR(\cM))$  when $X$ is a projective variety. Finally, we consider a variation of Hodge structure $\bH$ on $U$ as a Hodge module $\cN \in HM(U)$ on $U,$ and study the local cohomology of the complex $Gr^{F}_{p}DR(j_{!}\cN) \in D^{b}_{coh}(\cO_{X}),$ where $j: U \hookrightarrow X$ is the natural map.</p>

We study a Ginzburg--Landau model for an inhomogeneous superconductor in the singular limit as the Ginzburg--Landau parameter tends to infinity. The inhomogeneity is represented by a potential term which vanishes when the order parameter equals a given smooth function, the pinning term, which is assumed to become negative in finitely many smooth subdomains, the ''normally included'' regions. For large exterior magnetic field, we study the Gamma-limit of this inhomogeneous Ginzburg-Landau functional. The vanishing of the given smooth function near the inner boundaries imply that the associated operators are strictly but not uniformly elliptic, leading to many questions to be resolved near the boundaries of the normal regions. The method we use is an extension of many techniques including the product estimate from Sandier-Serfaty, Jacobian estimates from Jerrard-Soner and an appropriate Hodge decomposition adapted to our problem. To resolve these problems, we first study the Gamma-limit in the simpler case when the pinning term is varying but bounded below by a positive constant. Second, we consider singular limits of the three-dimensional Ginzburg-Landau functional for a superconductor with thin-film geometry, in a constant external magnetic field. The superconducting domain is multiply connected and has a small characteristic thickness, and we consider the simultaneous limit as the thickness tends to zero and the Ginzburg-Landau parameter to infinity. We do this when the applied field is strong in its components tangential to the film domain. Finally, we study the Gamma-limit of the inhomogeneous superconducting Ginzburg-Landau model with the pinning term vanishing on the boundary of the normal regions. / Thesis / Doctor of Science (PhD)

This dissertation is a uniïfication of an analysis-based approach and the traditional topological-based approach to Poincaré duality. We examine the role of the discrete Hodge star operator in proving and in realizing the Poincaré duality isomorphism (between cohomology and homology in complementary degrees) in a cellular setting without reference to a dual cell complex. More specifically, we provide a proof of this version of Poincaré duality over R via the simplicial discrete Hodge star defined by Scott Wilson in [19] without referencing a dual cell complex. We also express the Poincaré duality isomorphism over both R and Z in terms of this discrete operator. Much of this work is dedicated to extending these results to a cubical setting, via the introduction of a cubical version of Whitney forms. A cubical setting provides a place for Robin Forman's complex of nontraditional differential forms, defined in [7], in the uniïfication of analytic and topological perspectives discussed in this dissertation. In particular, we establish a ring isomorphism (on the cohomology level) between Forman's complex of differential forms with his exterior derivative and product and a complex of cubical cochains with the discrete coboundary operator and the standard cubical cup product. / Ph. D.

On décrit dans cette thèse les dimensions des groupes quotients gradués associés à la cohomologie du complémentaire d'une courbe plane par rapport à la filtration de Hodge en fonction de certains invariants géométriques. Le cas des courbes à singularités ordinaires est détaillé. En particulier, on trouve le polynôme de Hodge-Deligne d'une courbe C quelconque à singularités isolées et celui de son complémentaire duquel on déduit les nombres de Hodge mixtes ainsi que les nombres de Betti correspondants. Dans le cas des courbes dont les singularités sont des nœuds et des points triples ordinaires, on donne des relations importantes avec l'algèbre de Milnor du polynôme homogène f qui définit C, les syzygies de l'idéal Jacobien de f et la filtration par l'ordre de pôle du groupe cohomologique d'ordre 2 du complémentaire de la courbe. / We describe in this thesis the dimensions of the graded quotients of the cohomology of a plane complement curve with respect to the Hodge filtration in terms of simple geometric invariants. The case of curves with ordinary singularities is discussed in details. In particular, we find the Hodge-Deligne polynomial of any curve C with isolated singularities and that of its complement, from which we can compute the mixed Hodge numbers of the second cohomology group of the complement of the curve, and consequently the correspondant Betti numbers. Furthermore, in the case of curves with ordinary double and triple points, we give relations to the Milnor algebra of the homogeneous polynomial f defining C, to the syzygies of the Jacobian ideal of f and pole order filtration on the second cohomology group of the curve complement.

L'objet de cette thèse est de démontrer une formule reliant les métriques de Ray-Singer hypoelliptique et de Milnor sur le déterminant de la cohomologie d'une variété riemannienne compacte par une déformation à la Witten du laplacien hypoelliptique en théorie de de Rham. / The purpose of this thesis is to prove a formula relating the hypoelliptic Ray-Singermetric and the Milnor metric on the determinant of the cohomology of a compact Riemannian manifold by a Witten-like deformation of the hypoelliptic Laplacian in de Rham theory.

Le transcendantalisme est un mouvement religieux, philosophique, littéraire et social qui peut être envisagé comme le pendant américain du romantisme européen. Cette « nouvelle philosophie », pour reprendre l’expression des commentateurs de l’époque, a soulevé l’indignation de nombreux pasteurs et théologiens orthodoxes. Pourtant, la réaction contre le transcendantalisme n’a fait l’objet d’aucune étude systématique ou substantielle. Les historiens du mouvement s’étant essentiellement concentrés sur la description et l’analyse des idées transcendantalistes dans leur contexte théologique et intellectuel, les réactions indignées contre la nouvelle philosophie ont été reléguées au rang de faire-valoir et les argumentaires des quelques contempteurs connus du transcendantalisme ont souvent été tronqués ou simplifiés. Notre étude doit permettre de faire émerger, dans toute sa complexité, la critique conservatrice longtemps négligée par la recherche universitaire. Ce travail interroge également le rapport des idées théologiques et philosophiques propres au transcendantalisme avec leur contexte sociopolitique afin de mieux comprendre les peurs des conservateurs de tous bords qui voyaient dans la nouvelle philosophie une menace à la fois pour le christianisme mais aussi, plus généralement, pour l’ordre intellectuel et social établi. Le travail sur les déterminants de la controverse, axé sur les deux dénominations les plus actives durant la polémique, vise quant à lui, d’une part, à tracer les contours des mentalités des critiques du transcendantalisme et à expliquer les motivations les poussant à intervenir dans la polémique transcendantaliste. / Transcendentalism is a religious, philosophical, literary and social movement which can be viewed as the American counterpart of the European Romantic Movement. This “new philosophy”, to use the expression of the contemporary commentators, outraged many orthodox pastors and theologians. However, the reaction against transcendentalism has never really been the object of any substantial and systematic study. Indeed, historians of the movement have concentrated almost exclusively on the description and analysis of the transcendentalists’ ideas in their theological and intellectual context. Consequently, indignant reactions against the new philosophy have been used mainly as a counterpoint to the transcendentalists’ radical new ideas and the few known opponents of transcendentalism have been quoted only in their most intolerant and strident moments.This study puts the conservatives’ criticisms, which have long been neglected by academic research, center stage. It also questions the link between the transcendentalists’ theological and philosophical ideas and their sociopolitical context so as to better understand conservative fears that the new philosophy might be a threat not only to Christianity but, more generally, to the established intellectual and social order. As for the work on the determinants of the controversy, which is focused on the two denominations most active during the dispute, it aims at tracing the contours of the conservatives’ mentalities and at explaining the motivations driving them to participate in the transcendentalist controversy.

Soient 1 -> N -> H -> H' -> 1 une suite exacte centrale de groupes algébriques sur Q_p^alg et F un corps de nombres. Etant donnée une représentation Galoisienne r' : Gal_F -> H', on s'intéresse à ses relèvements à valeurs dans H à travers le morphisme H -> H'. Un relèvement r : Gal_F -> H sera dit minimal, s'il est non-ramifié aux places où r' est non-ramifiée et est de Rham/semi-stable/cristalline aux places divisant p si r' l'est. Dans cette thèse, nous montrons l'existence de relèvements minimaux dans certains cas. / Let 1 -> N -> H -> H' -> 1 be an exact sequence of algebraic groups over Q_p^alg and F be a number field. Given a Galois representation r' : Gal_F -> H', we are interested in its lifts with values in H through the morphism H -> H'. We say a lift r : Gal_F -> H is minimal, if it is unramied at places where r' is unramified and is de Rham/semi-stable/crystalline at p-adic places if r' is so. In this thesis, we prove the existence of such minimal lifts in some cases.

L'objectif principal de cette thèse est de généraliser les multizetas au cas où le corps de base Q est remplacé par un corps de nombres quelconque. La motivation derrière cette construction vient des travaux de A. Goncharov sur les corrélateurs de Hodge et de la philosophie plectique de J. Nekovar et A. Scholl. On commence par la construction des fonctions de Green plectiques supérieures. Hecke a prouvé que l'intégration d'une série d'Eisenstein appropriée sur le groupe de classes des idèles du corps de nombres donné, multipliée par un caractère du groupe des classes des idèles, est équale à la fonction L associée à ce caractère. Remplacant la série d'Eisenstein par les fonctions de Green plectiques supérieures, une intégration similaire donne des nouveaux résultats, qui généralisent les multizetas classiques et les multi-polylogarithmes. D'après le principe plectique, un sous-groupe de l'anneau des entiers du corps de nombres donné joue un rôle essentiel dans ces travaux. / The principal objective of this thesis is to generalize multiple zeta values to the case when the ground field Q is replaced by an arbitrary number field. The motivation behind the construction comes from the work of A. Goncharov on Hodge correlators and the plectic philosophy of J. Nekovar and A. Scholl. We start by constructing the higher plectic Green functions. Hecke once proved that the integral of the restriction of a suitable Eisenstein series over $\mathbb{Q}$ to the idele class group of a given number field multipled an idele class character of finite order is equal to the L-function of this charator. By replacing Eisenstein seris with our higher plectic Green functions, a similar integration gives new results, which give the generalization of classical multiple zeta values and multiple polyloarithms. According to the plectic principle, a non-trivial subgroup of the ring of integers of a given number field plays an essential role in this work.

Dans cette thèse, nous étudions certains invariants birationnels des variétés projectives lisses, en lien avec les questions de rationalité de ces variétés. Elle se compose de trois chapitres qui peuvent être lus indépendamment.Dans le premier chapitre, nous étudions, pour certaines familles de variétés, certains invariants birationnels stables, nuls pour l'espace projectif, apparaissant naturellement avec les formules de Manin. D'une part, nous montrons que l'invariant birationnel qu'est le groupe des cycles de torsion de codimension 3 contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne est pour, les hypersurfaces cubiques complexes de dimension 5, contrôlé par l'invariant birationnel de sa variété des droites donné par le groupe des 1-cycles de torsion contenus dans le noyau de l'application classe de cycle de Deligne. D'autre part on établit la nullité du groupe de Griffiths des 1-cycles pour la variété des droites d'une hypersurface de l'espace projectif sur un corps algébriquement clos de caractérsitique 0, lorsque celle-ci est lisses et de Fano d'indice au moins 3.Les deux derniers chapitres se concentrent sur des aspects différents d'une propriété invariante par équivalence birationnelle stable introduite récemment par Voisin: l'existence d'une décomposition de Chow de la diagonale. Dans le second chapitre, nous étendons à la caractéristique positive p > 2 une partie des résultats obtenus par Voisin sur la décomposition de Chow de la diagonale des hypersurfaces cubiques complexes de dimension 3.Dans le dernier chapitre, on étudie la notion de dimension CH0 essentielle introduite par Voisin et reliée à l’existence d’une décomposition de Chow de la diagonale en ce que dire d’une variété qu’elle est de dimension CH0 essentielle nulle équivaut à affirmer l’existence d’une décomposition de Chow de sa diagonale. Nous présentons des conditions suffisantes (et nécessaires) pour assurer qu’une variété complexe dont le groupe des 0-cycle est trivial et dont la dimension CH_0 essentielle est au plus 2 est de dimension CH_0 essentielle nulle. / In this thesis, we study some birational invariants of smooth projective varieties, in view of rationality questions for these varieties. It consists of three parts, that can be read independently.In the first chapter, we study, for some families of varieties, some stable birational invariants, that vanish for projective space and that appear naturally with Manin formulas. On one hand, we show for complex cubic 5-folds that the birational invariant given by the group of torsion codimension 3 cycles annihilated by the Deligne cycle map is controlled by the group of torsion 1-cycles of its variety of lines annihilated by the Deligne cycle map. We also prove that the Griffiths group of 1-cycles for the variety of lines of a hypersurface of the projective space over an algebraically closed field of characteristic 0, is trivial when the variety is smooth and Fano of index at least 3.The two last chapters focus on different aspects of the Chow-theoretic decomposition of the diagonal, a property which is invariant under stable birational equivalence, recently introduced by Voisin. In the second chapter, we adapt in characteristic greater than 2, part of the results, obtained by Voisin over the complex numbers, on the decomposition of the diagonal of cubic threefolds.In the last chapter, we study the concept of essential CH_0-dimension introduced by Voisin and related to the decomposition of the diagonal in that having essential CH_0-dimension 0 is equivalent to admitting a Chow-theoretic decomposition of the diagonal. We give sufficient (and necessary) conditions, for a complex variety with trivial group of 0-cycles, having essential CH_0-dimension non greater than 2 to admit a Chow-theoretic decomposition of the diagonal.