In this thesis, a general pseudospectral formulation for a class of Sturm-Liouville eigenvalue problems is consructed. It is shown that almost all, regular or singular, Sturm-Liouville eigenvalue problems in the Schr&ouml / dinger form may be transformed into a more tractable form. This tractable form will be called here a weighted equation of hypergeometric type with a perturbation (WEHTP) since the non-weighted and unperturbed part of it is known as the equation of hypergeometric type (EHT). It is well known that the EHT has polynomial solutions which form a basis for the Hilbert space of square integrable functions. Pseudospectral methods based on this natural expansion basis are constructed to approximate the eigenvalues of WEHTP, and hence the energy eigenvalues of the Schr&ouml / dinger equation. Exemplary computations are performed to support the convergence numerically.

Large-scale data management systems rely more and more on cloud storage, where the need for efficient search capabilities clashes with the need for data confidentiality. Encryption and efficient accessibility are naturally at odds, as for instance strong encryption necessitates that ciphertexts reveal nothing about underlying data. Searchable encryption is an active field in cryptography studying encryption schemes that provide varying levels of efficiency, functionality, and security, and efficient searchable encryption focuses on schemes enabling sub-linear (in the size of the database) search time. I present the first cryptographic study of efficient searchable symmetric encryption schemes supporting two types of search queries, range queries and error-tolerant queries. The natural solution to accommodate efficient range queries on ciphertexts is to use order-preserving encryption (OPE). I propose a security definition for OPE schemes, construct the first OPE scheme with provable security, and further analyze security by characterizing one-wayness of the scheme. Efficient error-tolerant queries are enabled by efficient fuzzy-searchable encryption (EFSE). For EFSE, I introduce relevant primitives, an optimal security definition and a (somewhat space-inefficient, but in a sense efficient as possible) scheme achieving it, and more efficient schemes that achieve a weaker, but practical, security notion. In all cases, I introduce new appropriate security definitions, construct novel schemes, and prove those schemes secure under standard assumptions. The goal of this line of research is to provide constructions and provable security analysis that should help practitioners decide whether OPE or FSE provides a suitable efficiency-security-functionality tradeoff for a given application.

Orientador: Edmundo Capelas de Oliveira / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T18:34:10Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Oliveira_HeronSilva_M.pdf: 1078106 bytes, checksum: 9eb6e7bdc70150b5e616010bdfc9ab58 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Efetuamos um levantamento histórico concernente ao cálculo integral e diferencial de ordem arbitrária, também conhecido como cálculo de ordem fracionária ou ainda cálculo fracionário, com o intuito de justificar sua importância, nos dias de hoje, a partir de uma audaciosa e profética frase proferida por Leibniz. A partir das várias definições para derivada de ordem arbitrária, em particular, as definições de Riemann, Liouville, Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov, Weyl e Caputo, elucidamos e justificamos a importância de cada uma delas, nas aplicações, quando associadas ao estudo de uma equação diferencial parcial de ordem arbitrária. Justificamos que, para problemas modelados pelas assim chamadas equações diferenciais de ordem arbitrária, o enfoque conforme proposto por Caputo parece ser o mais conveniente / Abstract: We propose a hystorical review associated with the integral and differential calculus of arbitrary order, known as calculus of fractional order or also fractional calculus with the objective to justify its importance nowadays as of an audacious and profetic phrasis said by Leibniz. By means of several definitions associated with the derivative of fractional order, specifically, the definitions of Riemann, Liouville, Riemann-Liouville, Grünwald-Letnikov,Weyl and Caputo, we discuss and justify the importance of each one, in the applications, when associated with the study to the so-called differential equations of arbitrary order. We also justify that the derivative as proposed by Caputo is the most convenient in problems modelled by a fractional differential equation / Mestrado / Mestre em Matemática

Ce travail s’inscrit dans l’étude des symétries d’espaces de dimension infinie. Il répond à des questions algébriques en suivant des méthodes analytiques. Plus précisément, nous étudions certaines représentations du groupe symplectique complexe dans des espaces fonctionnels. Elles sont caractérisées par leurs décompositions isotypiques relativement à un sous-groupe compact maximal. Ce travail décrit ces décompositions dans deux modèles : un modèle classique (dit compact) et un autre plus récent (dit non-standard). Nous montrons que cela établit un lien entre deux familles de fonctions spéciales (fonctions hypergéométriques et fonctions de Bessel) ; ces familles sont associées à des équations différentielles ordinaires d’ordre 2, fuchsiennes dans un cas et non fuchsiennes dans l’autre. Nous mettons aussi en évidence, dans le modèle non-standard, un lien avec certaines équations d'Emden-Fowler, ainsi qu’un opérateur différentiel simple qui agit sur les décompositions isotypiques. / The general setting of this work is the study of symmetry groups of infinite-dimensional spaces. We answer algebraic questions, using analytical methods. To be more specific, we study certain representations of the complex symplectic group in functional spaces. These representations are characterised by their isotypic decompositions with respect to a maximal compact subgroup. In this work, we describe these decompositions in two different models: a classical model (compact picture) and a more recent one (non-standard picture). We show that this establishes a connection between two families of special functions (hypergeometric functions and Bessel functions); these families correspond to second order differential equations, which are Fuchsian in one case and non-Fuchsian in the other. We also establish a link with certain Emden-Fowler equations and exhibit a simple differential operator that acts on the isotypic decompositions.

Cette thèse est constituée de deux parties complètement indépendantes.Dans une première partie, nous montrons que la paire de Fourier-Mukai (X,Y) issue de la correspondance double miroir Pfaffienne-Grassmannienne vérifie l'identité ([X]-[Y])L^6=0 dans l'anneau de Grothendieck, où L est la classe de la droite affine. Ce résultat est un raffinement d'un théorème de Borisov par la suppression d'un facteur, qui montre que la classe de la droite affine est un diviseur de zéro dans l'anneau de Grothendieck, et fournit par ailleurs un premier exemple intéressant de variétés D-équivalentes qui sont L-équivalentes. D'autres exemples ont par la suite été explicités par d'autres auteurs.Dans une seconde partie, nous nous intéressons au comportement d'invariants de théorie de Hodge par convolution intermédiaire, à la suite des travaux de Dettweiler et Sabbah. Le principal résultat concerne le comportement des données numériques locales de Hodge cycles proches à l'infini par convolution intermédiaire additive par un module de Kummer. Nous donnons également des formules pour les invariants locaux h^p et globaux delta^p sans faire l'hypothèse de monodromie scalaire à l'infini. De plus, à l'aide d'une relation de Katz reliant les convolutions additives et multiplicatives, nous explicitons le comportement des invariants de Hodge par convolution intermédiaire multiplicative. Enfin, le théorème principal permet de redémontrer un résultat de Fedorov sur les invariants de Hodge d'équations hypergéométriques. / This thesis consists of two independent parts.In a first part, we show that the Fourier-Mukai pair (X,Y) constructed from Pfaffian-Grassmannian double-mirror correspondence verifies the formula ([X]-[Y]) L^6=0 in the Grothendieck ring, where L is the class of affine line. This result is an improvement of a theorem of Borisov by removing a factor, which shows that the class of affine line is a zero divisor in the Grothendieck ring, and gives moreover a first interesting example of D-equivalent varieties which are L-equivalent. Other examples have later been made explicit by other authors.In a second part, we are interested in the behaviour of invariants in Hodge theory by middle convolution, following research of Dettweiler and Sabbah. The main result concerns the behaviour of the nearby cycle local Hodge numerical data in infinity by middle additive convolution by a Kummer module. We also give expressions for local invariant h^p and global delta^p without making the hypothesis of scalar monodromy in infinity. Besides, with a relation due to Katz linking up additive and multiplicative convolutions, we explain the behaviour of Hodge invariants by middle multiplicative convolution. Finally, the main theorem gives a new proof of a result of Fedorov on Hodge invariants of hypergeometric equations.

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In dieser Dissertation erweitern wir die Ideen des Yangian-Bootstrap-Algorithmus auf Feynman-Diagramme mit massiven Teilchen. Ausgehend von der massiven dual-konformen Symmetrie der N = 4 Super-Yang-Mills Theorie auf dem Coulomb-Zweig konstruieren wir einen Satz von bilokalen Yangian Level-Eins Generatoren und zeigen, dass sie eine unendliche Anzahl von planaren ein- und zwei-Schleifen-Diagrammen vernichten. Wir beschreiben außerdem wie der dual-konforme Level-Eins Impuls-Operator auf eine massive Verallgemeinerung des gewöhnlichen spezial-konformen Generators im Impulsraum abgebildet wird. Als nächstes wenden wir den Yangian-Bootstrap-Algorithmus mit großem Erfolg auf eine Reihe von massiven Ein-Schleifen-Diagrammen mit verallgemeinerten Propagatorexponenten und in beliebiger Anzahl von Raumdimensionen an. Im Spezialfall der dual-konformen Integrale, deren Propagatorexponenten sich zur Raumdimension addieren, finden wir neue sehr einfache Darstellungen durch hypergeometrische Funktionen, die eine natürliche Verallgemeinerung für Diagramme mit beliebig vielen äußeren Punkten erlauben. Außerdem diskutieren wir Aspekte des Yangian-Bootstrap-Algorithmus in Minkowski-Raumzeit am Beispiel des masselosen Box-Integrals. Wir zeigen, dass dessen Yangian-Symmetrie gemeinsam mit seinen diskreten Permutationssymmetrien das Box-Integrals bis auf 12 unbestimmte Konstanten komplett festlegt. Schließlich schlagen wir vor, dass das Auftreten von Yangian-Symmetrie in massiven Fischnetz-Diagrammen mit deren Rolle als Ein-Spur-Streuamplituden in einer massiven Fischnetz-Theorie zusammenhängen könnte. In Analogie mit der masselosen Fischnetz-Theorie zeigen wir, wie diese Theorie als Deformation der N = 4 Super-Yang-Mills Theorie auf dem Coulomb-Zweig definiert werden kann. Wir diskutieren eine bestimmte Klasse von planaren Grenzfällen, in der die off-shell Streuamplituden der Theorie eine massive dual-konforme Symmetrie sowie Yangian-Symmetrie aufweisen. / In this dissertation, we extend the ideas of the Yangian bootstrap algorithm to massive Feynman diagrams. Based on the massive dual-conformal symmetry of Coulomb branch N = 4 super-Yang-Mills theory, we construct a set of bi-local Yangian level-one generators and show that they annihilate infinite classes of massive planar Feynman integrals at one and two loops. We also describe how the dual-conformal level-one momentum generator maps to a massive deformation of the ordinary momentum space special conformal generator. We then apply the Yangian bootstrap to a set of massive one-loop integrals with generalised propagator powers and in an arbitrary number of space dimensions to great success. In the special case of dual-conformal integrals, whose propagator powers sum to the space dimension, we find very simple novel hypergeometric structures, suggesting a natural generalisation to diagrams with an arbitrary number of external points. In the particular case of the massless box integral we also discuss elements of the Yangian bootstrap in Minkowski space. We show that its Yangian and discrete permutation symmetries constrain it up to 12 undetermined constants. We then derive the values of these constants via analytic continuation from the box integral in the Euclidean region. Finally, we provide evidence that the appearance of Yangian symmetry for massive fishnet diagrams is related to their role as colour-ordered scattering amplitudes in a massive fishnet theory. We show how to construct this theory from Coulomb branch N = 4 super-Yang-Mills theory, paralleling the original construction of the massless fishnet theory. We discuss how a particular class of planar limits leads to the emergence of massive dual-conformal symmetry as well as massive Yangian symmetry for the theory’s off-shell scattering amplitudes.

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Cette thèse est articulée autour de deux thématiques : la première (chapitres 1 à 3) est l’étude des exposants de Lyapunov associés à un fibré plat sur une courbe complexe, et en particulier leur application dans les modèles de wind-tree ainsi que leur lien avec les variations de structures de Hodge quand les fibrés en sont munis. La deuxième (chapitres 4 à 5) traite des surfaces de dilatations, de leurs symétries et de leur dynamique.Dans le chapitre 1, un résultat reliant taux de diffusion d’un modèle de wind-tree à un exposant de Lyapunov d’un espace affine invariant d’une strate de différentielles quadratique est présenté. Ce théorème permet de calculer numériquement ces taux de diffusion pour un grande famille de modèles et d’observer l’influence des la forme des obstacles sur la vitesse du flot. Le chapitre 2 apporte une preuve d’une conjecture sur le comportement des exposants dans des strates à genre fixé avec un grand nombre de pôles dans le cas ou le nombre de zéros est borné. Ce résultat appuie une intuition que le taux de diffusion pour un wind-tree périodique avec un grand nombre d’angles est petit. Enfin dans le chapitre 3 nous considérons des exposants de Lyapunov plus généraux, associés à un fibré plat muni d’une variation de structure de Hodge sur la sphère privée de trois points. Cet exemple venu des équations hypergéométriques mime la structure de fibrés de Hodge sur des espaces de modules paramétrés par la sphère. Nous cherchons à comprendre la relation des exposants avec des grandeurs algébriques, en particulier avec les degrés paraboliques des sous fibrés holomorphes.Dans le chapitre 4 nous considérons les groupes de Veech de surfaces de dilatation et proposons une classification topologique complète de ceux-ci. Ce chapitre est aussi l’occasion de décrire notre intuition de cet objet et de proposer une conjecture sur l’existence de cylindres dans ces surfaces. Dans le chapitre 5 nous décrivons complètement la dynamique d’un exemple de surface de dilatation de genre 2 dans toutes les directions. Nous montrons l’existence et la généricité de directions correspondantes à des cylindres ainsi que l’existence d’une infinité de direction dans lesquels le flot géodésique s’accumule sur des espaces de Cantor. / This thesis is organized around two main themes : on one hand (chapter 1 to 3) we study the Lyapunov exponents associated to a flat bundle on a complex curve, their application to wind-tree models and links with variation of Hodge structures on the bundle endowed with them. On the other hand (chapter 4 and 5) we introduce dilatation surfaces, and study their symmetries and dynamics.In chapter 1, a result binds diffusion rates of wind-tree models and a Lyapunov exponent of some affine invariant spaces in strata of quadratic differentials. This theorem enables us to compute numerically these diffusion rates for a large familly of models and hence to observe the influence of the shape of the obstacles on the speed of the flow. Chapter 2 is devoted to the proof of a conjecture on Lyapunov exponents behaviour for strata of a given genus and large number of poles when the number of zeros is bounded. It confirms an intuition explained in the previous chapter that diffusion rate on periodic wind-tree models with obstacles with a large number of angles is close to zero. At last, in chapter 3, we consider Lyapunov exponents in the more general setting of flat bundles endowed with a variation of Hodge structure on the sphere minus three points. This example coming from hypergeometric equations mimics the structure of a Hodge bundle on a moduli space parametrized by the sphere. We investigate the relation between these exponents and algebraic numbers like parabolic degrees of holomorphic subbundles.In chapter 4 we consider Veech groups of dilatation surfaces and give a complete topological classification of them. We also convey our intuition of this object and claim a conjecture on the existence of cylinders on each surface. In chapter 5 we describe the dynamics of a genus 2 example in every directions. We show the existence and genericity of directions corresponding to cylinders and we describe an infinite set of directions for which the geodesic flow accumulates on a Cantor set

In a single capture-recapture problem, two new Wilson methods for interval estimation of population size are derived. Classical Chapman interval, Wilson and Wilson-cc intervals are examined and compared in terms of their expected interval width and exact coverage properties in two models. The new approach performs better than the Chapman in each model. Bayesian analysis also gives a different way to estimate population size.