La naissance de ce sujet de thèse a été motivée par la volonté de plus en plus importante d'introduire des non-linéarités dans les modèles afin de mieux rendre compte du comportement de structures toujours plus complexes. Ceci aboutit à l'écriture de systèmes dynamiques non-linéaires pouvant présenter des solutions de nature complexe (solutions périodiques mais aussi quasi-périodique voire chaotique) et pouvant coexister. L'enjeu d'une modélisation étant la prédiction du comportement du système pour son dimensionnement notamment, il est nécessaire de pouvoir prédire toutes les solutions vers lesquelles pourra tendre la structure en fonctionnement.<br />Actuellement peu d'outils ou de méthodes sont dédiés à ce type d'analyse, dite globale, permettant d'exhiber toutes les solutions d'un système dynamique non-linéaire. Le parti est généralement pris de réaliser "un grand nombre de tirages" à l'aide d'algorithmes de recherche locale. Ceci peut amener à trouver effectivement toutes les solutions mais ne permet pas de garantir qu'on en possède la totalité et est généralement très coûteux numériquement. Notre principal objectif était donc de combler cette lacune en tentant de proposer des réponses satisfaisant à la fois au but théorique mais aussi à des contraintes pratiques liées aux ressources numériques requises pour les mettre en oeuvre.<br />Pour y parvenir, nous avons mis en oeuvre quatre types de méthodes : des méthodes de cell-mapping qui consiste en une discrétisation de l'espace d'états et du temps, des méthodes basées sur des tests d'exclusion appliqués à une cellule, des méthodes utilisant l'arithmétique des intervalles de façon à réduire et exclure des cellules et enfin, des méthodes requérant une approximation polynomiale des non-linéarités et une résolution du système par homotopie. Ces différentes méthodes ont été illustrées par le cas académique de l'oscillateur de Duffing, présentant une non-linéarité simple de façon à pouvoir les comparer, puis nous les avons appliquées à différents systèmes relatifs à la modélisation de la dynamique des machines tournantes.<br />Parallèlement à ce but principal, nous avons étudié des techniques de continuation - permettant de suivre l'évolution d'une solution lorsqu'un des paramètres du système varie - ainsi que les méthodes d'analyse de stabilité et de bifurcation dans le cas des solutions constantes et périodiques. Ce second volet permet par exemple d'établir les fonctions de réponse en fréquence de structures non-linéaires sur lesquelles on fait apparaître les cycles limites en cas d'instabilité.

Le travail présenté dans cette thèse concerne d'une part, l'étude qualitative d'ensembles et d'autre part, celui de l'étude de la stabilité d'un système dynamique. Les méthodes numériques proposées combinent le calcul par intervalles et la théorie des graphes.<br /><br />De nombreux problèmes, comme l'étude de l'espace des configurations d'un robot, se ramènent à une étude qualitative d'ensembles. Ici, la ``taille'' de l'ensemble importe peu, ce qui compte, c'est sa ``topologie''. Les méthodes proposées calculent des invariants topologiques d'ensembles. Les ensembles considérés sont décrits à l'aide d'inégalités $\mathcal{C}^{\infty}$. L'idée maîtresse est de décomposer un ensemble donné en parties contractiles et d'utiliser l'homologie de \v Cech.<br /><br />La seconde partie de la thèse concerne l'étude de point<br />asymptotiquement stables des systèmes dynamiques (linéaires ou non). Plus largement, on propose une méthode pour approcher le bassin d'attraction d'un point asymptotiquement stable. Dans un premier temps, on utilise la théorie de Lyapunov et le calcul par intervalle<br />pour trouver effectivement un voisinage inclus dans le bassin d'attraction d'un point prouvé asymptotiquement stable. Puis, on combine, une fois de plus, la théorie des graphes et les méthodes d'intégration d'équations différentielles ordinaires pour améliorer ce voisinage et ainsi construire un ensemble inclus dans le bassin<br />d'attraction de ce point.

Cette thèse porte sur la résolution numérique de systèmes d'équations non-linéaires. Elle présente des contributions dans trois sous-domaines utilisant le calcul par intervalles : l'analyse par intervalles, les intervalles modaux et la programmation par contraintes. Le traitement des systèmes linéaires est au centre de plusieurs des travaux. Il sert notamment de base à la résolution dans le cas non-linéaire. En analyse par intervalles, nous proposons une extension de la méthode de Hansen-Bliek pour l'approximation extérieure optimale de l'ensemble des solutions d'un système linéaire dont les coefficients varient dans des intervalles. L'extension proposée prend en compte la possibilité de choisir le quanticateur (existentiel ou universel) associé à certains coefficients du système. Cette liberté permet de modéliser un plus large éventail de problèmes linéaires, notamment ceux obtenus itérativement à partir de l'opérateur de Newton (intervalle) généralisé. Une généralisation de la décomposition LU exploitant l'arithmétique de Kaucher est également proposée. Sur les intervalles modaux, nous proposons une construction originale de la théorie qui s'articule autour de la notion d'image quantiée, généralisation naturelle de la notion d'image d'une fonction. La construction proposée présente certains avantages, comme celui de pouvoir donner un sens plus concret à l'arithmétique de Kaucher. En programmation par contraintes, nous étudions de nouvelles cohérences partielles reposant sur la structure d'unions d'intervalles. Cette structure peut être utilisée pour représenter plus nement le domaine des variables dans des systèmes de contraintes numériques. Nous montrons notamment dans quelle mesure, et à quel coût, la propriété d'arc-cohérence peut ainsi être obtenue grâce à cette nouvelle représentation.

L'ARN, acide ribonucléique, est un des composants fondamentaux de la cellule. La majorité des ARN sont constitués d'une séquence orientée de nucléotides notés A,C,G et U. Une telle séquence se replie dans l'espace en formant des liaisons entre les nucléotides deux à deux. La fonction des ARN au sein de la cellule est liée à la conformation spatiale qu'ils adoptent. Ainsi, il est essentiel de pouvoir comparer deux ARN au niveau de leur conformation, par exemple pour déterminer si deux ARN ont la même fonction. On distingue trois niveaux dans la structure d'un ARN. La structure primaire correspond à la séquence de nucléotides, la structure secondaire est constistuée de la liste des liaisons formées entre les nucléotides tandis que la structure tertiaire consiste en la description exacte de la forme tridimensionnelle de la molécule (coordonnées de chaque nucléotide). Bien que la structure tertiaire soit celle qui décrit le mieux la forme spatiale de l'ARN, il est admis que deux ARN ayant une fonction moléculaire similaire ont une structure secondaire proche. Au niveau de la structure secondaire, une fois les liaisons nucléotidiques formées, on peut distinguer des éléments de structure secondaire telles que les hélices, les boucles multiples, les boucles terminales, les boucles internes et les renflements. Essentiellement deux formalismes ont été à ce jour proposés pour modéliser la structure secondaire des ARN. Les séquences annotées par des arcs permettent de représenter la séquence de l'ARN, les arcs codant alors pour les liaisons entre les lettres (nucléotides de la séquence). Les 2-intervalles, généralisation des séquences annotées, sont formés par deux intervalles disjoints. La structure secondaire peut alors être vue comme une famille de 2-intervalles. Enfin, les arbres racinés ordonnés offrent de nombreuses possibilités pour coder la structure secondaire, du niveau nucléotidique au niveau du réseau des boucles multiples. L'un des inconvénients de ces approches est qu'elles modélisent la structure secondaire de l'ARN selon un point de vue particulier (nucléotides, hélices etc). Nous proposons une nouvelle modélisation, appelée RNA-MiGaL, constituée de quatre arbres liés entre eux représentant la structure à différents niveaux de précision. Ainsi, le plus haut niveau code pour le réseau de boucles multiples considéré comme le squelette de la molécule. Le dernier niveau quant à lui détaille les nucléotides. Pour comparer de telles structures nous utilisons la notion de distance d'édition entre deux arbres. Cependant, au vu de certains limitations de celle-ci pour comparer des arbres représentant la structure secondaire à un haut niveau d'abstraction, nous avons introduit une nouvelle distance d'édition qui prend en compte deux nouvelles opérations d'édition: la fusion de noeud et la fusion d'arc. A l'aide de cette nouvelle distance, nous fournissons un algorithme permettant de comparer deux RNA-MiGaLs. Celui-ci est implémenté au sein d'un programme permettant la comparaison de deux structures secondaires d'ARN.

Dans ce travail, nous développons des outils d'analyse par intervalles pour l'automatique. Nous nous intéressons plus particulièrement à l'identification de paramètres et à l'estimation d'état pour des modèles non-linéaires. Pour l'identification, l'algorithme d'optimisation globale de Hansen fournit un encadrement de tous les vecteurs de paramètres minimisant une fonction coût mettant en jeu les grandeurs mesurées sur un dispositif réel à modéliser et leur pendant prédit par son modèle. Nous montrons que ceci peut mettre en évidence d'éventuels problèmes d'identifiabilité sans étude préalable. Dans l'approche à erreurs bornées, même lorsque des données aberrantes sont présentes, des encadrements intérieur et extérieur des ensembles de vecteurs de paramètres admissibles sont fournis par les algorithmes d'inversion ensembliste par analyse par intervalles. Quand les bornes sur les erreurs ne sont pas connues, une méthode originale évaluant la plus petite borne d'erreur fournissant un ensemble de vecteurs de paramètres admissibles non vide est proposée. Un nouvel algorithme récursif d'estimation d'état garanti est présenté. D'une structure analogue au filtre de Kalman, mais dans un contexte d'erreurs bornées, il fournit à tout instant un ensemble contenant les valeurs de l'état compatibles avec les informations disponibles. Cet algorithme est construit à l'aide d'un algorithme d'inversion ensembliste et d'un algorithme original de calcul d'image directe. Tous deux exploitent la notion de sous-pavages décrits par des arbres binaires, qui permet une description approchée d'ensembles compacts. Ces techniques sont appliquées à la localisation puis au suivi d'un robot à l'intérieur d'une pièce cartographiée. La présence de données aberrantes, comme les ambiguïtés liées aux symétries de la pièce dans laquelle se trouve le robot sont prises en compte sans difficulté. Des ensembles de configurations possibles disjoints peuvent être considérées et leur traitement ne pose aucun problème. En outre, le suivi, même en présence de données aberrantes, est fait en temps réel sur les exemples traités.

Cette thèse s'attache à la maximisation de la consommation du dioxyde de carbone par les microalgues. En effet, suite aux différentes problématiques environnementales actuelles liées principalement aux émissions importantes de gaz à effet de serre et notamment le CO2, il a été démontré que les microalgues jouent un rôle très prometteur pour la bio-fixation du CO2. Dans cette optique, nous nous intéressons à la mise en place d'une loi de commande robuste permettant de garantir des conditions opératoires optimales pour une culture de la microalgue Chlorella vulgaris dans un photobioréacteur instrumenté. Cette thèse repose sur trois axes principaux. Le premier porte sur la modélisation de la croissance de l'espèce algale choisie à partir d'un modèle mathématique traduisant l'influence de la lumière et de la concentration en carbone inorganique total. En vue de la commande, le deuxième axe est consacré à l'estimation de la concentration cellulaire à partir des mesures disponibles en temps réel du dioxyde de carbone dissous. Trois types d'observateurs ont été étudiés et comparés : filtre de Kalman étendu, observateur asymptotique et observateur par intervalles. Le dernier axe concerne l'implantation d'une loi de commande prédictive non-linéaire couplée à une stratégie d'estimation pour la régulation de la concentration cellulaire autour d'une valeur maximisant la consommation du CO2. Les performances et la robustesse de cette commande ont été validées en simulation et expérimentalement sur un photobioréacteur instrumenté à l'échelle de laboratoire. Cette thèse est une étude préliminaire pour la mise en œuvre de la maximisation de la fixation du dioxyde de carbone par les microalgues.

La thèse traite du diagnostic de procédés et se divise en trois parties. La première partie présente une méthode de modélisation causale pour le diagnostic. La seconde partie présente les différentes méthodes mises en ouvre pour la détection, la localisation et l'identification de défauts. Pour effectuer la détection, nous comparons les variables du modèle causal aux mesures. Nous évaluons les apports d'une approche ensembliste et d'une approche par logique floue pour la prise en compte des incertitudes. La localisation est réalisée grâce à un algorithme de hitting-sets afin de déterminer l'ensemble des composants suspects. Ceci permet de focaliser l'identification de défauts sur un nombre réduit de composants. Cette identification utilise l'expertise sur les modes de défaillance, exprimée sous forme de bases de règles, chacune relative à un composant, et permettant d'aiguiller l'opérateur sur des actions et des vérifications à effectuer. La troisième partie présente l'application.

Reproduction de : Thèse de doctorat : Génie électrique : Toulouse, INPT : 2007. / Titre provenant de l'écran-titre. Bibliogr. 104 réf.

L'objectif de cette thèse est de proposer des méthodes pour étalonner un robot parallèle à câbles de grande dimension. Afin d'améliorer le comportement global d'un robot, il est nécessaire d'identifier au mieux les paramètres de son modèle. Pour cela, il est important d'obtenir des informations redondantes en mesurant l'état du robot dans différentes configurations. Cependant, le modèle choisi est un compromis entre sa capacité à représenter le comportement réel du manipulateur et les informations disponibles pour le renseigner. Dans le cas particulier des robots à câbles de grande dimension, la masse et l'élasticité des câbles ont une influence non négligeable sur le comportement du robot mais sont difficiles à modéliser. En effet, le modèle physique des câbles est complexe et nécessite de connaître la tension à laquelle ils sont soumis. Les capteurs disponibles ne pouvant nous fournir cette information avec une précision suffisante pour renseigner un modèle de câble réaliste, nous proposons d'utiliser un modèle simplifié. Dans le but de proposer un étalonnage efficace, il est donc nécessaire de définir les conditions pour l'emploi de ce modèle simplifié. Ensuite, nous avons adapté et implanté d'une part plusieurs techniques classiques pour l'étalonnage des robots parallèles mais nous avons également élaboré des approches plus innovantes. Nous proposons en effet un modèle pour les robots à câbles reposant sur une représentation des incertitudes de modélisation, de mesures et de paramètres au moyen d'intervalles.

Cette thèse étudie le problème de la localisation et cartographie simultanées des robots sous-marins, et ses méthodes de résolution utilisant le calcul par intervalles. Le principe du SLAM (Simultaneous Localization And Mapping, ou cartographie et localisation simultanées) est le suivant: un robot sous-marin connait en général sa position initiale (lorsqu'il est à la surface grâce à un GPS), son modèle de déplacement (très approximativement) et possède quelques capteurs l'aidant à estimer sa position (capteur de pression pour mesurer sa profondeur, loch Doppler pour mesurer sa vitesse et sa distance au fond, centrale inertielle pour mesurer son orientation) et voir ce qui l'entoure (sonar). Pourtant, malgré tous ces capteurs, plus il avance, plus ses erreurs d'estimation de position s'accumulent: le robot se perd. En passant et repassant devant plusieurs objets (ou éléments remarquables quelconques de son environnement), il va pouvoir évaluer leur position (plus ou moins précisément) une première fois à partir de la sienne (cartographie grâce à sa localisation), puis recalculer sa trajectoire en les prenant comme repère les fois suivantes quand il est perdu (localisation grâce à sa cartographie). Les mesures de capteurs ou variables utilisées pour décrire les robots étant souvent entachées d'erreurs, elles peuvent être représentées de différentes façons: distributions probabilistes, nuages de points, ensembles continus... En général, les données constructeur des capteurs ou actionneurs du robot nous indiquent des bornes (liées à la précision...). On peut donc représenter ces valeurs sous forme d'intervalles. Les méthodes ensemblistes telles que l'analyse par intervalles permettent d'obtenir des résultats à partir d'équations sur des intervalles. L'avantage de ces méthodes est qu'on est sûr de ne perdre aucune solution (compte tenu des hypothèses faites), contrairement à celles utilisant l'approche probabiliste, où on n'obtient parfois que les solutions les plus probables. Dans cette thèse, l'utilisation du calcul par intervalles dans le cadre du SLAM appliqué aux robots sous-marins et une comparaison entre plusieurs méthodes existantes seront étudiées. De plus, une nouvelle méthode permettant de mieux gérer le problème des données fugaces (données seulement significatives à des instants bien précis et inconnus), rencontré notamment avec des données provenant de sonars, sera proposée. Les applications de ces travaux concernent par exemple le développement de robots sous-marins autonomes (souvent appelés AUVs pour Autonomous Underwater Vehicles ou UUVs pour Unmanned Underwater Vehicles). En effet, contrairement aux robots téléguidés par des humains, ceux-ci doivent eux-mêmes être capables de se repérer dans leur environnement pour effectuer leur travail. Ces robots peuvent avoir des missions variées: relevé de données hydrographiques, localisation d'épaves (bateau, avion...) ou objets dangereux (mines...), surveillance (détection de pollution, vérification de l'état de pipelines...)... Actuellement, ces tâches sont principalement réalisées par des humains, directement avec des plongeurs, ou indirectement avec des sous-marins téléopérés pour les travaux les plus dangereux ou difficiles d'accès.