Die vorliegende Arbeit untersucht die longitudinale Dynamik von Halbleiterlasern anhand eines Modells, in dem ein lineares hyperbolisches System partieller Differentialgleichungen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen gekoppelt ist. Zunächst wird mit Hilfe der Theorie stark stetiger Halbgruppen die globale Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen für das konkrete System gezeigt. Die anschließende Untersuchung des Langzeitverhaltens der Lösungen erfolgt in zwei Schritten. Zuerst wird ausgenutzt, dass Ladungsträger und optisches Feld sich auf unterschiedlichen Zeitskalen bewegen, um mit singulärer Störungstheorie invariante attrahierende Mannigfaltigkeiten niedriger Dimension zu finden. Der Fluss auf diesen Mannigfaltigkeiten kann näherungsweise durch Moden-Approximationen beschrieben werden. Deren Dimension und konkrete Gestalt ist von der Lage des Spektrums des linearen hyperbolischen Operators abhängig. Die zwei häufigsten Situationen werden dann einer ausführlichen numerischen und analytischen Bifurkationsanalyse unterzogen. Ausgehend von bekannten Resultaten für die Ein-Moden-Approximation, wird die Zwei-Moden-Approximation in dem speziellen Fall untersucht, dass die Phasendifferenz zwischen den beiden optischen Komponenten sehr schnell rotiert, so dass sie sich in erster Ordnung herausmittelt. Mit dem vereinfachten Modell können die Mechanismen verschiedener Phänomene, die bei der numerischen Simulation des kompletten Modells beobachtet wurden, erklärt werden. Darüber hinaus lässt sich die Existenz eines anderen stabilen Regimes voraussagen, das sich im gemittelten Modell als "bursting" darstellt. / We investigate the longitudinal dynamics of semiconductor lasers using a model which couples a linear hyperbolic system of partial differential equations with ordinary differential equations. We prove the global existence and uniqueness of solutions using the theory of strongly continuous semigroups. Subsequently, we analyse the long-time behavior of the solutions in two steps. First, we find attracting invariant manifolds of low dimension benefitting from the fact that the system is singularly perturbed, i. e., the optical and the electronic variables operate on different time-scales. The flow on these manifolds can be approximated by the so-called mode approximations. The dimension of these mode approximations depends on the number of critical eigenvalues of the linear hyperbolic operator. Next, we perform a detailed numerical and analytic bifurcation analysis for the two most common constellations. Starting from known results for the single-mode approximation, we investigate the two-mode approximation in the special case of a rapidly rotating phase difference between the two optical components. In this case, the first-order averaged model unveils the mechanisms for various phenomena observed in simulations of the complete system. Moreover, it predicts the existence of a more complex spatio-temporal behavior. In the scope of the averaged model, this is a bursting regime.

Die Frage nach dem Verstäandnis der Topologie symplektischer Mannigfaltigkeiten erhielt immer größere Aufmerksamkeit, insbesondere seit den Arbeiten von A. Weinstein und V. Arnold. Ein bewährtes Mittel ist dabei die Theorie der Gromov-Witten-Invarianten. Eine Gromov-Witten-Invariante zählt Schnitte von rationalen Zyklen mit Modulräumen J-holomorpher Kurven, die eine fixierte Homologieklasse repräsentieren, für eine zahme fast komplexe Struktur. Allerdings ist es im Allgemeinen schwierig, solche Schnittzahlen zu definieren, ohne zusätzliche Annahmen an die symplektische Mannigfaltigkeit zu treffen, da mehrfach überlagerte J-holomorphe Kurven mit negativer Chernzahl vorkommen können. Die vorliegende Dissertation folgt einem alternativen Ansatz zur Definition von Gromov-Witten-Invarianten, der von K. Cieliebak und K. Mohnke eingeführt wurde. Dieser Ansatz liefert für jede fixierte Homologieklasse einen Pseudozykel für jede geschlossene glatte Mannigfaltigkeit mit einer rationalen symplektischen Form. Wir erweitern diesen Ansatz in der vorliegenden Arbeit für eine beliebige symplektische Form. Wie bereits in der ursprünglichen Arbeit betrachten wir nur den Fall holomorpher Sphären. Wir zeigen, dass für jede Klasse der zweiten Koholomogie eine offene Umgebung existiert, so dass für zwei beliebige rationale symplektische Formen, desser Klassen in der gewählten Umgebung liegen, die dazugehörigen Pseudozykel rational kobordant sind. Der Beweis basiert auf einer Modifikation der Argumente des Ansatzes von Cieliebak und Mohnke für den Fall von zwei sich transversal schneidenden Hyperflächen, die jeweils zu verschiedenen symplektischen Formen gehören. / The question of understanding the topology of symplectic manifolds has received great attention since the work of A. Weinstein and V. Arnold. One of the established tools is the theory of Gromov-Witten invariants. A Gromov-Witten invariant counts intersections of rational cycles with the moduli space of J-holomorphic curves representing a fixed class for a tame almost complex structure. However, without imposing additional assumptions on the symplectic manifold such counts are difficult to define in general due to the occurence of multiply covered J-holomorphic curves with negative Chern numbers. This thesis deals with an alternative approach to Gromov-Witten invariants introduced by K. Cieliebak and K. Mohnke. Their approach delivers a pseudocycle for any closed symplectic manfold equipped with a rational symplectic form. Here this approach is extended to the case of an arbitrary symplectic form on a closed symplectic manifold.As in the original work we consider only the case of holomorphic spheres. We show that for any second cohomology class there exists an open neighbourhood, such that for any two rational symplectic forms, whose cohomolgy classes are contained in this neighbourhood, the corresponding pseudocycles are rationally cobordant. The proof is based on an adaptation of the arguments from the original Cieliebak-Mohnke approach to a more general situation - presence of two transversely intersecting hypersurfaces coming from two different symplectic forms.

Homomorfismos de grafos são funções do conjunto de vértices de um grafo no conjunto de vértices de outro grafo que preservam adjacências. O estudo de homomorfismos de grafos é bastante abrangente, existindo muitas linhas de pesquisa sobre esse tópico. Nesta dissertação, apresentaremos resultados sobre homomorfismos de grafos relacionados a pseudo-aleatoriedade, convergência de seqüência de grafos e matrizes de conexão de invariantes de grafos. Esta linha tem se mostrado muito rica, não apenas pelos seus resultados, como também pelas técnicas utilizadas nas demonstrações. Em especial, destacamos a diversidade das ferramentas matemáticas que são usadas, que incluem resultados clássicos de álgebra, probabilidade e análise. / Graph homomorphisms are functions from the vertex set of a graph to the vertex set of another graph that preserve adjacencies. The study of graph homomorphisms is very broad, and there are several lines of research about this topic. In this dissertation, we present results about graph homomorphisms related to convergence of graph sequences and connection matrices of graph parameters. This line of research has been proved to be very rich, not only for its results, but also for the proof techniques. In particular, we highlight the diversity of mathematical tools used, including classical results from Algebra, Probability and Analysis.

Neste trabalho apresentamos uma descrição geométrica do grupo de tranças no disco Bpnq e sua apresentação em termos de geradores e relatores no famoso teorema da apresentação de Artin. Mostraremos também que o grupo de tranças puras PBpnq, grupo que possui a permutação trivial das cordas, é bi-ordenável, ou seja, exibiremos uma ordenação para PBpnq que será invariante pela multiplicação em ambos os lados. Esse processo é dado a partir da combinação da técnica de pentear Artin e a expansão Magnus para grupos livres. / In this work, we present a geometric description of the braids groups of the disk Bpnq and its presentation in terms of generators and relations in the famous theorem of Artin\'s presentation. We also show that groups of pure braids, denoted by PBpnq, groups that have the trivial permutation of the strings, are bi-orderable, that is, we will present the explicit construction of a strict total ordering of pure braids PBpnq which is invariant under multiplying on both sides. This process is given from the combination of the techniques of combing Artin and Magnus expansion to free groups.

[pt] Estudamos a variedade M3 de curvas de gênero três em característica dois. Para cada uma destas curvas calculamos seus possíveis números de pontos de Weierstrass, seus pesos, normalizações de muitos loci no espaço de moduli, entre outras coisas. Tratamos ainda do conceito de ponto de Galois. / [en] We study the variety M3 of curves of genus three in characteristic two. For each of the curves we compute the possible number of Weierstrass points, their weights, normalizations of many loci in the moduli space, and so on. We also deal with the concept of a Galois point.

Os sinais de eletromiografia de agulha podem ser modelados por um sistema linear invariante no tempo (SLIT). A pergunta é: Quantos coeficientes são necessários para tal? O presente mestrado estuda, para sinais de eletromiografia de agulha gravados sob as mesmas condições experimentais, como varia o número ótimo de coeficientes autorregressivos com o comprimento das épocas e com a força de contração muscular concomitantemente. O estudo foi realizado tendo como base sinais de 10%, 25%, 50% e 80% da máxima contração voluntária (MCV) e tendo épocas de 500ms, 250ms, 100ms, 50ms e 25ms de seis indivíduos normais. Desta forma, uma função densidade de probabilidade é sugerida para a ordem do modelo autorregressivo que melhor descreva o sinal de eletromiografia obtido a uma força de contração específica e que tenha uma duração de época definida. / Needle electromyography signals (EMG) can be modeled by a linear time invariant system (LTI). The posed question is How many coefficients are needed for an adequate modeling? This Masters dissertation studies how the optimal number of autoregressive coefficients changes concomitantly with the epoch length and the muscle contraction force for needle electromyography signals recorded under the same experimental conditions. The study was conducted on signals from six normal individuals at 10%, 25%, 50% and 80% of the maximum voluntary contraction and epoch lengths of 500ms, 250ms, 100ms, 50ms and 25ms. Thus, a probability density function is suggested for the autoregressive model order that best describes the electromyographic signal obtained at a specific \"contraction force\" and has a defined \"epoch length\".

Ordem topológica descreve fases da matéria que não são caracterizadas apenas pelo esquema de quebra de simetria de Landau. Em 2-dimensões ordem topológica é caracterizada, entre outras propriedades, pela existência de uma degenerescência do estado fundamental que é robusta sobre perturbações locais arbitrarias. Com o proposito de entender o que caracteriza e classifica ordem topológica 3-dimensional o presente trabalho apresenta um modelo quântico exatamente solúvel em 3-dimensões que generaliza os modelos em 2-dimensões baseados em teorias de gauge. No modelo proposto o grupo de gauge é substituído por um 2-grupo. A Hamiltonia, que é dada por uma soma de operadores locais, é livre de frustrações. Provamos que a degenerescência do estado fundamental nesse modelo é dado pelo invariante de Yetter da variedade 4-dimensional Sigma × S¹, onde Sigma é a variedade 3-dimensional onde o modelo está definido. / Topological order describes phases of matter that cannot be described only by the symmetry breaking theory of Landau. In 2-dimensions topological order is characterized, among other properties, by the presence of a ground state degeneracy that is robust to arbitrary local perturbations. With the purpose of understanding what characterizes and classify 3-dimensional topological order this works presents an exactly soluble quantum model in 3-dimensions that generalize 2-dimensional models constructed using gauge theories. In the model we propose the gauge group is replaced by a 2-group. The Hamiltonian, that is given by a sum of local commuting operators, is frustration free. We prove that the ground state degeneracy of this model is given by the Yetters invariant of the 4-dimensional manifold Sigma × S¹, where Sigma is the 3-dimensional manifold the model is defined.

Os sinais de eletromiografia de agulha podem ser modelados por um sistema linear invariante no tempo (SLIT). A pergunta é: Quantos coeficientes são necessários para tal? O presente mestrado estuda, para sinais de eletromiografia de agulha gravados sob as mesmas condições experimentais, como varia o número ótimo de coeficientes autorregressivos com o comprimento das épocas e com a força de contração muscular concomitantemente. O estudo foi realizado tendo como base sinais de 10%, 25%, 50% e 80% da máxima contração voluntária (MCV) e tendo épocas de 500ms, 250ms, 100ms, 50ms e 25ms de seis indivíduos normais. Desta forma, uma função densidade de probabilidade é sugerida para a ordem do modelo autorregressivo que melhor descreva o sinal de eletromiografia obtido a uma força de contração específica e que tenha uma duração de época definida. / Needle electromyography signals (EMG) can be modeled by a linear time invariant system (LTI). The posed question is How many coefficients are needed for an adequate modeling? This Masters dissertation studies how the optimal number of autoregressive coefficients changes concomitantly with the epoch length and the muscle contraction force for needle electromyography signals recorded under the same experimental conditions. The study was conducted on signals from six normal individuals at 10%, 25%, 50% and 80% of the maximum voluntary contraction and epoch lengths of 500ms, 250ms, 100ms, 50ms and 25ms. Thus, a probability density function is suggested for the autoregressive model order that best describes the electromyographic signal obtained at a specific \"contraction force\" and has a defined \"epoch length\".

Diversas abordagens vêm sendo empregadas para a descrição de texturas, entre elas a teoria dos conjuntos fuzzy e lógica fuzzy. O Local Fuzzy Pattern (LFP) é um descritor de texturas diferente dos demais métodos baseados em sistemas fuzzy, por não utilizar regras linguísticas e sim números fuzzy que são usados na codificação de um padrão local de escala de cinza. Resultados anteriores indicaram o LFP como um descritor eficaz para a classificação de texturas a partir de amostras rotacionadas ou não. Este trabalho propõe uma análise mais abrangente sobre sua viabilidade para aplicação em cada um desses problemas, além de propor uma modificação a este descritor, adaptando-o para a captura de padrões em multiresolução, o Sampled LFP. A avaliação da performance do LFP e do Sampled LFP para o problema de classificação de texturas foi feita através da aplicação de uma série de testes envolvendo amostras de imagens rotacionadas ou não das bases de imagens Outex, álbum de Brodatz e VisTex, onde a sensibilidade obtida por esses descritores foi comparada com um descritor de referência, a variante do Local Binary Pattern (LBP) melhor indicada para o teste em execução. Os resultados apontaram o LFP como um descritor não indicado para aplicações que trabalhem exclusivamente com amostras não rotacionadas, visto que o LBP mostrou maior eficácia para este tipo de problema. Já para a análise de amostras rotacionadas, o Sampled LFP se mostrou o melhor descritor entre os comparados. Todavia, foi verificado que o Sampled LFP somente supera o LBP para resoluções de análise maiores ou iguais a 32x32 pixels e que o primeiro descritor é mais sensível ao número de amostras usadas em seu treinamento do que o segundo, sendo, portanto, um descritor indicado para o problema de classificação de amostras rotacionadas, onde seja possível trabalhar com imagens a partir de 32x32 pixels e que o número de amostras utilizadas para treinamento seja maximizado. / Several approaches have been employed for describing textures, including the fuzzy sets theory and fuzzy logic. The Local Fuzzy Pattern is a texture descriptor different from other methods based on fuzzy systems, which use linguistic rules to codify a texture. Instead, fuzzy numbers are applied in order to encode a local grayscale pattern. Previous results indicated the LFP as an effective descriptor employed to characterize statically oriented and rotated textures samples. This paper proposes a more comprehensive analysis of its feasibility for use in each of these problems, besides proposing a modification to this descriptor, adapting it to capture patterns in multiresolution, the Sampled LFP. The LFP and Sampled LFP performance evaluation when applied to the problem of texture classification was conducted by applying a series of tests involving images samples, rotated or not, from image databases such as Outex, the Brodatz album and Vistex, where the sensitivity obtained by these descriptors were compared with a reference descriptor, the variant Local Binary Pattern (LBP) best suited to running the test. The results indicated the LFP as a descriptor not suitable for applications who work exclusively with non-rotated samples, since the LBP showed greater efficacy for this problem kind. As for rotated samples analysis, the Sampled LFP proved the best descriptor among those compared. However, it was determined that the Sampled LFP only overcomes the LBP when the analysis resolutions are greater or equal to 32x32 pixels, besides that, the first descriptor is more sensitive to the number of training samples than the latter, therefore, this descriptor is indicated for the problem of rotated samples classification, where it is possible to work with resolution from 32x32 pixels while maximizing the number of samples used for training.

Nesse trabalho, estudamos a equação de Schrödinger não-linear com uma função potencial delta atrativa. As soluções para essa equação tem uma componente localizada e uma dispersiva. Além de estudar o comportamento das soluções dessa equação em espaços de Sobolev clássicos, mostramos algumas propriedades do grupo unitário em espaços Lp, L2 com peso, Sobolev com peso e assim obtemos alguns resultados de boa colocação local e global das soluções. O ponto central desta tese é mostrarmos a existência de uma variedade invariante centro que irá consistir de órbitas periódicas no tempo. / In this work, we study the nonlinear Schrodinger equation with an attractive delta function potential.The solutions to this equation have a localized and a dispersive component. In addition to studying the behavior of solutions of this equation in classical Sobolev space, we show some properties for the unitary group in Lp, weighted L2 and Sobolev spaces and so we get some results of local and global well-posedness of solutions. The central theme this thesis is to show the existence of a center invariant manifold, which will consist of time-periodic orbits.