Les variétés homogènes projectives sous un groupe algébrique déployé<br />ont une géométrie assez simple. La décomposition de Bruhat fournit, en<br />effet, une décomposition cellulaire de ces variétés. Il en résulte que<br />l'anneau de Chow de telles variétés admet une base formée des classes<br />des adhérences de ces cellules, appelées variétés de Schubert. <br />Il en est de même pour l'anneau de Grothendieck de telles variétés. <br />Cela entraîne en particulier que ces deux anneaux sont sans torsion. <br />Plus précisément, la base ainsi obtenue pour l'anneau de Grothendieck <br />fournit la filtration topologique de cette anneau et redonne <br />la base de l'anneau de Chow par passage au gradué. D'autre part, <br />il existe une seconde base due à Pittie et Steinberg de l'anneau <br />de Grothendieck de ces variétés, invariante sous l'action du groupe de Galois.<br /><br />Le Chapitre II de la thèse revient, dans le cas des drapeaux complets<br />associés à un espace vectoriel, sur les résultats connus concernant<br />la combinatoire donnant les expressions des faisceaux structuraux des<br />variétés de Schubert dans l'anneau de Grothendieck, ce qui permet, en<br />suivant les travaux de Lascoux notamment, d'exprimer combinatoirement<br />la matrice de changement de bases entre les deux bases ci-dessus. Dans<br />le cas de la variété de drapeaux complets d'un espace vectoriel de<br />dimension trois, nous donnons des résolutions explicites des faisceaux<br />structuraux des variétés de Schubert en termes des fibrés de la base<br />de Pittie.<br /><br />Les groupes de Chow sont connus en codimension un et ont été étudiés<br />en codimension deux par Karpenko dans le cas des variétés de<br />Severi-Brauer. Le calcul des motifs des varietés homogènes projectives<br />sous le groupe projectif linéaire d'une algébre simple centrale sur un<br />corps se ramène sous certaines conditions au calcul de motifs de<br />variétés de Severi-Brauer généralisées, formes de grassmaniennes,<br />comme l'ont montré Calmès, Petros, Semenov et Zainouline. Dans le<br />chapitre II, nous construisons des isomorphismes de variétés<br />explicites qui permettent de ramener le calcul des groupes de Chow de<br />ces variétés au calcul de groupes de Chow de variétés de Severi-Brauer<br />généralisées.<br /><br />Les techniques décrites dans le chapitre III sont réutilisées au<br />chapitre IV pour redémontrer un résultat de Karpenko sur la<br />décomposition du motif de Chow de variétés de Severi-Brauer associée<br />à une algèbre de matrices à coefficients dans une algèbre simple<br />centrale.

Dans cette thèse nous construisons un groupe faible de cobordisme arithmétique dans le contexte de la géométrie d'Arakelov. Nous introduisons des versions faibles des groupes de K-théorie arithmétique et de Chow arithmétique, et en dégageons une notion de théorie homologique orientée de type arithmétique. Nous construisons alors un groupe universel parmi ces théories homologiques et prouvons ses principales propriétés structurelles. / In this thesis we construct a weak group of arithmetic cobordism in the context of Arakelov geometry. We introduce weak versions of arithmetic K-theory and arithmetic Chow groups, that give rise to the notion of oriented homological theory of arithmetic type. We then build a universal such homological theory, and prove its main structural features.

Cette thèse est une contribution à la théorie homotopique des schémas. Dans la première partie, on poursuit les constructions de Fabien Morel et Vladimir Voevodsky en définissant la catégorie homotopique stable des sites suspendus avec intervalles. La généralité, plus grande que celle permise par la définition de John F. Jardine, permet de donner une construction rigoureuse des foncteurs " points complexes " en théorie homotopique des schémas.<br /><br />Dans la seconde partie, on montre qu'au-dessus d'un schéma de base régulier S, se donner un endomorphisme dans la catégorie homotopique de S de la grassmannienne infinie (donnant un modèle de la K-théorie algébrique d'après un théorème de Morel et Voevodsky) revient à se donner une application fonctorielle K_0(X) -> K_0(X) où X parcourt la catégorie des schémas lisses sur S. Ceci permet de construire une structure de lambda-anneau spécial sur les groupes de K-théorie algébrique supérieure et de vérifier que cette structure coïncide avec les constructions antérieures. Les opérations additives sur la K-théorie algébrique sont étudiées en détail et des versions stables de ces énoncés sont obtenues, à coefficients entiers ou rationnels. La technique utilisée permet également de construire des classes de Chern sur la K-théorie algébrique supérieure à valeurs dans la cohomologie motivique (et dans d'autres théories cohomologiques) et de montrer très explicitement l'existence de morphismes stablement fantômes en théorie homotopique des schémas.

Ma thèse concerne des variantes de la propriété (T) de Kazhdan et de la conjecture de Baum-Connes tordues par des représentations de dimension finie qui ne sont pas nécessairement unitaires.<br />Soit G un groupe localement compact et (rho,V) une représentation de dimension finie non nécessairement unitaire de G.<br />Dans le Chapitre 1, nous avons défini un renforcement de la propriété (T) en considérant des produits tensoriels par rho de représentations unitaires de G. Nous avons alors défini deux algèbres de Banach de groupe tordues, Amax(rho) et A(rho), analogues aux C*-algèbres de groupe, C*(G) et C*r(G), et nous avons défini la propriété (T) tordue par rho en termes de Amax(rho). Nous avons ensuite montrer que la plupart des groupes de Lie semi-simples réels ayant la propriété (T) ont la propriété (T) tordue par n'importe quelle représentation irréductible de dimension finie.<br />Les Chapitres 2 et 3 sont consacrés au calcul de la K-théorie des algèbres tordues. Pour ceci, Nous avons défini deux applications d'assemblage tordues du membre de gauche du morphisme de Baum-Connes, noté Ktop(G), dans la K-théorie des algèbres tordues. Nous avons ensuite montrer, dans le Chapitre 3, que ce morphisme de Baum-Connes tordu est bijectif pour une large classe de groupes vérifiant la conjecture de Baum-Connes.<br />Dans le Chapitre 4, nous avons montré que le domaine de définition naturel d'un analogue en K-théorie du produit tensoriel par une représentation de dimension finie est la K-théorie des algèbres tordues et non pas la K-théorie des C*-algèbres de groupe.

Ce travail de thèse porte sur deux problèmes distincts, tous deux en lien avec le comportement galoisien de certains noyaux de localisation en cohomologie étale : les noyaux sauvages étales. Fixons un nombre premier p et $F_{\infty}$ une $\Z_p$-extension d'un corps de nombres $F$.<br />La structure de groupe abélien du p-groupe des classes des étages de $F_{\infty}/F$ est asymptotiquement bien connue : nous montrons, au moyen de la théorie d'Iwasawa des $\Z_p$-extensions, un analogue de ce résultat en $K$-théorie supérieure.<br />Dans un deuxième temps, nous étudions le groupe de Galois sur $F_{\infty}$ de la pro-p-extension, non ramifiée, p-décomposée maximale de $F_{\infty}$, lorsque $F_{\infty}$ est la $\Z_p$-extension cyclotomique de $F$. Après avoir établi un lien entre la structure de ce groupe et le comportement galoisien des noyaux sauvages étales, nous donnons divers critères effectifs de non pro-p-liberté pour ce groupe.

L'objectif de ce travail est l'étude de la K-théorie réelle connexe des 2-groupes abéliens élémentaires, c'est-à-dire, pour V un 2-groupe abélien élémentaire, l'objet kR^{\star}(BV ). Cet objet contient, entre autres, la K-théorie orthogonale connexe ko et la K-théorie unitaire connexe ku des 2-groupes abéliens élémentaires, et est naturellement muni d'une structure de Z[v1]-module, où v1 désigne la classe de Bott réelle, un relèvement équivariant en K-théorie réelle de la classe de Bott en K-théorie unitaire. En utilisant des outils provenant de la théorie d'homotopie stable Z/2-équivariante, et en particulier la tour des tranches, une tour naturelle dans la catégorie stable équivariante introduite dans les travaux récents de Hill, Hopkins et Ravenel, on montre que les éléments de torsion pour la classe de Bott réelle dans la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires sont annulés par la multiplication par v2 1. On effectue une étude détaillée de l'algèbre de Steenrod Z/2-équivariante A, constituée des opérations en HF2-cohomologie, et de sa relation avec l'algèbre de Steenrod classique modulo 2. On exhibe en particulier, pour tout entier n, des sous-algèbres extérieures de l'algèbre de Steenrod équivariante E(\beta_0,...,\beta_n), générées par certaines opérations \beta_ i, i entier, qui est une version Z/2-équivariante de la sous algèbre de l'algèbre de Steenrod modulo 2 engendrée par les n+1 premières opérations de Milnor. On s'intéresse ensuite l'algèbre homologique relative, dans la catégorie des E(\beta_0,\beta_1)-modules, relativement au sous-anneau E(\beta_0), et on introduit des outils de calcul très généraux permettant en particulier de déterminer tous les groupes d'extension relatifs Ext(F2,HF2^{\star}(BV )). On introduit ensuite la propriété de h-détection pour une tour d'objets dans une catégorie triangulée, et on relie les propriétés de h-détection à l'estimation de la v1-torsion de la K-théorie réelle connexe. On étudie ensuite l'obstruction pour qu'une tour vérifie la propriété de h-détection, pour h = 1 ou 2. On montre ensuite que l'obstruction pour que la tour des tranches de la K-théorie réelle vérifie la propriété de 2-détection est contrôlée par Ext(F2,HF2^{\star}(BV )), qu'on a calculé précédemment. Le résultat précédent concernant la v1-torsion de la K-théorie réelle des 2-groupes abéliens élémentaires suit. Une des applications de ce résultat est une détermination explicite de kR^{\star}(BV ).

Dans cette thèse, nous établissons un résultat de symétrie miroir dans une gamme de cas pour lesquelles les techniques habituelles reposant sur la concavité ou sur la convexité ne fonctionnent pas. Plus précisément, nous travaillons sur la théorie quantique des singularités développée par Fan,Jarvis, Ruan et Witten, et vue comme un analogue de la théorie de Gromov--Witten via la correspondance LG/CY. Notre résultat principal donne une formule explicite pour le cycle virtuel de Polishchuk et Vaintrob en genre zéro. Dans les cas non-concaves des polynômes dits inversibles, elle nous procure un théorème de compatibilité entre le cycle virtuel de Fan--Jarvis--Ruan--Witten et celui de Polishchuk--Vaintrob. Pour les polynômes qui sont de plus de type chaine, nous obtenons une preuve d'un théorème de symétrie miroir pour la théorie FJRW. Enfin, nous généralisons notre résultat principal et calculons le produit d'intersection entre la classe de Chern maximale du fibré de Hodge et le cycle virtuel en genre quelconque. Spécifié au cas de la théorie des courbes $3$-spin, ceci mène à la preuve d'une conjecture de Buryak sur l'équivalence entre la hiérarchie DR et la hiérarchie $3$-KdV. / In this thesis, we provide a mirror symmetry theorem in a range of cases where the state-of-the-art techniques relying on concavity or convexity do not apply. More specifically, we work on a family of FJRW potentials named after Fan, Jarvis, Ruan, and Witten's quantum singularity theory and viewed as the counterpart of a non-convex Gromov--Witten potential via the physical LG/CY correspondence. The main result provides an explicit formula for Polishchuk and Vaintrob's virtual cycle in genus zero. In the non-concave case of the so-called chain invertible polynomials, it yields a compatibility theorem with the FJRW virtual cycle and a proof of mirror symmetry for FJRW theory. At last, we generalize our main theorem to the computation of intersection numbers between the top Chern class of the Hodge bundle and the virtual cycle in arbitrary genus. In the case of $3$-spin theory, it leads to a proof of Buryak's conjecture on the equivalence between double ramification hierarchy and $3$-KdV hierarchy.

Le but de ce travail est de présenter des résultats à propos des noyaux sauvages étales. Soit $p$ un nombre premier. Les noyaux sauvages étales d'un corps de nombres $F$ (qui sont dénotés par $WK^{ét}_{2i}(F)$ avec $i\in \mathbb{Z}$) sont des généralisations cohomologiques de la $p$-partie du noyau sauvage classique $WK_{2}(F)$, qui est le sous-groupe de $K_2(F)$ constitué par les symboles qui sont triviaux pour tout symbole de Hilbert local. Ces noyaux sauvages étales sont des $\mathbb{Z}_p$-modules et l'on sait qu'ils sont finis lorsque $i\geq 1$ (et même, suivant les conventions, si $i=0$) : on conjecture en plus qu'ils soient toujours finis (conjecture de Schneider). Dans la suite, on va supposer que cette conjecture est satisfaite. On va s'intéresser en particulier à deux problèmes. Le premier, qui est étudié dans les Chapitres 2 et 3, est la déterminations des structures de groupe qui sont réalisables comme noyaux sauvages étales. En d'autres termes, si l'on se donne un corps de nombres $F$, un $p$-groupe abélien fini $X$ et un nombre entier $i\in\mathbb{Z}$, on peut se demander s'il existe une extension finie $E/F$ telle que $WK^{ét}_{2i}(E)\cong X$. Une question semblable a été étudiée pour les $p$-groupes des classes et il y a un relation précise entre les $p$-groupes des classes et les noyaux sauvages étales. Par conséquent, on peut espérer traduire les résultats classiques dans le contexte des noyaux sauvages étales. Peut-être est-il intéressant de donner ici une courte récapitulation sur le problème de réalisation classique pour les $p$-groupes des classes. Essentiellement, deux techniques sont utilisées. D'un coté, pour un corps de nombres $F$ fixé, l'on étudie la $p$-tour des corps des classes de Hilbert de $F$ : Yahagi a montré que cette tour est infinie si et seulement s'il n'y a pas d'extensions finies $E/F$ dont le $p$-groupe des classes soit trivial. De plus, si la tour est finie, alors toute structure de $p$-groupe abélien apparaît comme $p$-groupe des classes pour quelque extension finie $E/F$. De l'autre coté, une fois que l'on sait que pour un corps de nombres $F$ fixé, il existe une extension finie dont le $p$-groupe de classes est trivial, alors on peut se servir de la théorie du corps des classes et de la théorie des genres pour trouver, pour n'importe quel $p$-groupe abélien fini $X$, une extension finie $E/F$ telle que le $p$-groupe des classes de $E$ est isomorphe à $X$. En effet, la traduction du résultat de Yahagi dans le contexte des noyaux sauvages étales n'est pas tout à fait immédiate : la relation entre le groupe des classes et le noyau sauvage étale d'un corps de nombres $F$ s'écrit dans le langage de $\Gamma$-modules, où $\Gamma$ est le groupe de Galois sur $F$ de la $\mathbb{Z}_p$-extension cyclotomique de $F(\mu_p)$. La façon la plus naturelle pour s'approcher du problème est donc de considérer le problème de réalisabilité pour les modules d'Iwasawa. Ce problème a été étudié (parmi d'autres auteurs) par Ozaki : il a montré que pour tout $\Lambda$-module fini $X$, il existe un corps de nombres $k$ tel que le module d'Iwasawa de $k$ (c'est à dire la limite projective des $p$-groupes des classes le long de la tour cyclotomique) est isomorphe à $X$. Les techniques utilisées sont inspirées à celles de Yahagi et en fait elles s'appuient d'une façon fondamentale du fait que $p$ ne divise pas le nombre des classes de $\mathbb{Q}$. Pour obtenir la traduction de ce résultat en termes de noyaux sauvages étales il faut considérer plutôt $\mathbb{Q}(\mu_p)$ -plus précisément un sous-corps convenable de $\mathbb{Q}(\mu_p)$. Bien entendu, le nombre des classes de ce sous-corps n'est plus premier avec $p$ (du moment que $p$ peut être irrégulier). D'autre part, si $p$ est régulier, la preuve d'Ozaki peut être adaptée (comme l'on montre dans le Chapitre 2). / The aim of the present work is to prove some results about étale wild kernels. Let $p$ be an odd prime. Etale wild kernels of a number field $F$ (which are denoted $WK^{ét}_{2i}(F)$ for $i\in \mathbb{Z}$) are cohomological generalizations of the $p$-part of the classical wild kernel $WK_{2}(F)$, which is the subgroup of $K_2(F)$ made up by symbols which are trivial for any local Hilbert symbol. Etale wild kernels are $\mathbb{Z}_p$-modules which are known to be finite if $i\geq1$ (and even if $i=0$, depending on the chosen convention): actually they are conjectured to be always finite (the Schneider conjecture). In the following we will suppose that this is always the case. Two problems are studied in detail. The first, which is analyzed in Chapter 2 and Chapter 3, is to determine which group structures are realizable for étale wild kernels. In other words, given a number field $F$, a finite abelian $p$-group $X$ and $i\in \mathbb{Z}$, one can ask if there exists a finite extension $E/F$ such that $WK^{ét}_{2i}(E)\cong X$. A similar problem has been studied for $p$-class groups and there are precise relations between the $p$-class group and étale wild kernels. Therefore one may expect to translate results from $p$-class groups to étale wild kernels. It is maybe useful to give here a short account on the classical realizability problem for $p$-class groups. Essentially two kind of techniques are used. On the one hand, for a fixed number field $F$, one studies the Hilbert $p$-class field tower of $F$: it has been shown by Yahagi that the Hilbert $p$-class tower of $F$ is infinite if and only if there is no finite extension $E/F$ whose $p$-class group is trivial. Furthermore, if the Hilbert $p$-class tower of $F$ is finite, then every finite abelian $p$-group structure appears as $p$-class group of some finite extension $E/F$. On the other hand, once we know that for a fixed number field $F$ there exists a finite extension whose $p$-class group is trivial, then class field theory and genus theory are used to exhibit, for any finite abelian $p$-group $X$, a finite extension $E/F$ such that the $p$-class group of $E$ is isomorphic to $X$. Actually, the translation of Yahagi's result in terms of étale wild kernels is not immediate: the relation between the class groups and étale wild kernels of a number field $F$ is expressed in terms of $\Gamma$-modules structures, where $\Gamma$ is the Galois group over $F$ of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of $F(\mu_p)$. The most natural way to approach the problem is then to consider the realizability problem for Iwasawa modules. This problem is studied (among many others) by Ozaki: he proved that for any finite $\Lambda$-module $X$, there exists a number field $k$ such that the Iwasawa module of $k$ (i.e. the projective limit of $p$-class groups along the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension) is isomorphic to $X$. The techniques used are inspired to those by Yahagi and actually Ozaki makes fundamental use of the fact that $p$ does not divide the class number of $\mathbb{Q}$. To get the translation of this result in terms of étale wild kernels one has to consider $\mathbb{Q}(\mu_p)$ -more precisely a suitable subfield of $\mathbb{Q}(\mu_p)$ depending on $i$- instead of $\mathbb{Q}$. Here the problem is that the class number of this suitable subfield is no more coprime with $p$ (as $p$ may be irregular). If this is not the case anyway, the proof of Ozaki can be adapted as it is shown in Chapter 2.

Le cadre du travail présenté dans cette thèse est celui de la théorie équivariante des courbes, c'est-à-dire l'étude des courbes munies d'une action d'un groupe G, qu'on considère toujours fini. Le résultat essentiel est un théorème de Riemann-Roch à valeurs dans l'anneau des caractères du groupe considéré, et qui relève le théorème classique. Il est obtenu pour des G-faisceaux de rang quelconque grâce à l'introduction d'un groupe de diviseurs à coefficients équivariants qui permet en particulier de définir le déterminant et le degré d'un tel faisceau. On applique ce théorème au calcul de structures galoisiennes d'origine géométrique.

Le cadre de cette étude est une variété fermée de dimension au moins six qui est munie d'une classe de cohomologie de De Rham non-nulle. L'objectif de la thèse est de créer des outils pour répondre au problème de savoir si deux 1-formes fermées non-singulières (sans zéro) dans la classe fixée sont toujours isotopes. La réponse générale à la question est non, et une obstruction de type K-théorique est attendue. Il est toujours possible de relier deux 1-formes fermées non singulières par un chemin qui reste dans la classe de cohomologie ; l'isotopie des extrêmes du chemin équivaut à déformer le chemin par une homotopie relative en un autre constitué de 1-formes non-singulières. On introduit deux sortes de pseudo-gradients pour chaque nombre L positif : ceux avec une liaison L-élémentaire et ceux que nous appelons L-transverses. Ils forment une classe de champs de vecteurs adaptés aux 1-formes qui permettent de faire une lecture algébrique associée au chemin. Cette lecture est analogue à celle qui est faite dans la théorie de Hatcher-Wagoner qui traitait le problème d'isotopie pour les fonctions à valeurs réelles sans point critique. On réussit à trouver un nombre L assez grand pour déformer un chemin de 1-formes à deux indices critiques en un autre chemin muni d'un équipement L-transverse qui est sous forme normale. Les zéros d'un tel chemin de 1-formes qui sont nés ensemble, s'éliminent ensemble et de plus le graphique de Cerf-Novikov associé se ferme : la lecture algébrique citée appartient à un certain K_2, ce qui est au point de départ de la définition d'une obstruction à l'isotopie des 1-formes fermées non-singulières.