Periodic and chaotic dynamical systems follow deterministic equations such as Newton's laws of motion. To distinguish the difference between two systems, the initial conditions have an important role. Chaotic behaviors or dynamics are characterized by sensitivity to initial conditions. Mathematically, a chaotic system is defined as a system very sensitive to initial conditions. A small difference in initial conditions causes unpredictability in the final outcome. If error is measured from the initial state, the relative error grows exponentially. Prediction becomes impossible and finally, chaotic systems can come to become stochastic system. To make chaotic motion, the number of variables in the system should be above three and there should be non-linear terms coupling several of the variables in the equation of motion. Phase space is defined as the space spanned by the coordinate and velocity vectors. In our case, mixing zone is phase space. With the above characteristics - the initial condition sensitivity of a chaotic system, our plan is to find most efficient chaotic stirrer. In this thesis, we present four methods to measure mixing state based on the chaotic dynamics theory. The Lyapunov exponent is a measure of the sensitivity to initial conditions and can be used to calculate chaotic strength. We can decide the chaotic state with one real number and measure efficiency of the chaotic mixer and find the optimum frequency. The Poincare section method provides a means for viewing the phase space diagram so that the motion is observed periodically. To do this, the trajectory is sectioned at regular intervals. With the Poincare section method, we can find 'islands' considered as bad mixed zones so that the mixing state can be measured qualitatively. With the chaotic dynamics theory, the initial length of the interface can grow exponentially in a chaotic system. We will show the above characteristics of the chaotic system to prove as fact that our model is an efficient chaotic mixer. The final goal for making chaotic stirrer is how to implement efficient dispersed particles. The box counting method is focused on measurement of the particles dispersing state. We use snap shots of the mixing process and with these snap shots, we devise a plan to measure particles' dispersing rate using the box-counting method.

Thesis (M.A.)--University of Hong Kong, 2002. / Includes bibliographical references (leaves 94-100).

In this dissertation we present four papers as chapters. In Chapter 2, we extended the techniques used for the Klein-Gordon Chain by Iooss, Kirchgässner, James, and Sire, to chains with non-nearest neighbor interactions. We look for travelling waves by reducing the Klein-Gordon chain with second nearest neighbor interaction to an advance-delay equation. Then we reduce the equation to a finite dimensional center manifold for some parameter regimes. By using the normal form expansion on the center manifold we were able to prove the existence of three different types of travelling solutions for the Klein Gordon Chain: periodic, quasi-periodic and homoclinic to periodic orbits with exponentially small amplitude. In Chapter 3 we include numerical methods for computing quasi-periodic solutions. We developed very efficient algorithms to compute smooth quasiperiodic equilibrium states of models in 1-D statistical mechanics models allowing non-nearest neighbor interactions. If we discretize a hull function using N Fourier coefficients, the algorithms require O(N) storage and a Newton step for the equilibrium equation requires only O(N log(N)) arithmetic operations. This numerical methods give rise to a criterion for the breakdown of quasi-periodic solutions. This criterion is presented in Chapter 4. In Chapter 5, we justify rigorously the criterion in Chapter 4. The justification of the criterion uses both Numerical KAM algorithms and rigorous results. The hypotheses of the theorem concern bounds on the Sobolev norms of a hull function and can be verified rigorously by the computer. The argument works with small modifications in all cases where there is an a posteriori KAM theorem. / text

Cette thèse est divisée en trois parties. Dans une première partie, on donne une description nouvelle des points récurrents par chaînes d'un système dynamique comme ensemble d'Aubry projeté d'une barrière ultramétrique. Cette approche permet de munir l'ensemble des composantes transitives par chaînes d'une structure d'espace ultramétrique expliquant leur topologie totalement discontinue, et de retrouver un théorème célèbre de Charles Conley concernant l'existence de fonctions de Lyapunov décroissant strictement le long des orbites non-récurrentes par chaînes. Dans une deuxième partie, on développe une théorie d'Aubry-Mather pour les homéomorphismes d'un espace métrique compact. On introduit dans ce cadre un ensemble d'Aubry métrique, puis topologique, ainsi qu'un ensemble de Mañé. Ces notions, plus fines que la récurrence par chaînes, permettent de mieux comprendre les fonctions de Lyapunov d'un tel système dynamique. Dans une dernière partie, on montre un résultat général de densité de certains contre-exemples au théorème de Sard pour lesquels l'ensemble des points critiques est un arc topologique et on donne des applications dynamiques de ce résultat. Celles-ci sont liées à des problèmes d'unicité, à constantes près, des solutions KAM faibles (ou solutions de viscosité) de certaines équations d'Hamilton-Jacobi.

À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance.

La memòria recull contribucions a diversos aspectes del problema de l'estabilitat en sistemes hamiltonians quasi-integrables. Aquests aspectes inclouen resultats d'estabilitat efectiva, que comporten el confinament de trajectòries durant un interval de temps molt gran, i també resultats que estableixen l'existència de tors invariants, entre els quals distingim els tors KAM i tors de dimensió inferior.Considerem un sistema hamiltonià quasi-integrable, amb n graus de llibertat, en el qual la mida de la pertorbació és "Epsilon". Malgrat la possibilitat de difusió en aquest tipus de sistemes, els teoremes de Nekhoroshev i KAM (Kolmogorov-Arnol'd-Moser) són resultats molt valuosos que asseguren certs tipus d'estabilitat. Amb tot, les proves habituals d'aquests teoremes no posen en relleu la profunda relació que existeix entre els diferents tipus d'estabilitat a què donen lloc. Gran part de la memòria és dedicada doncs a donar un enfocament unificat per als dos teoremes.Després d'un capítol d'introducció, al capítol 2 descrivim el mètode seguit per a la prova d'ambdós teoremes, consistent a construir iterativament una transformació canònica que porti el hamiltonià de partida a una forma normal que depengui de menys angles. Per a l'obtenció de la forma normal fem ús del formalisme de les sèries de Lie, que descrivim a la secció 2.1. Aquest és un procediment molt apropiat per a aplicacions pràctiques, perquè permet dur a terme càlculs explícits en exemples concrets, i pot ésser directament implementat en ordinadors. Per tal d'evitar l'efecte causat pels petits divisors, prop de la ressonància associada a un mòdul fixat acceptem que la forma normal pugui dependre de certes combinacions d'angles. De fet només cal considerar ressonàncies fins a un ordre finit apropiat, ja que l'efecte de les ressonàncies d'ordre més alt és exponencialment petit. Basant-nos en el mètode de les sèries de Lie, construïm el procés iteratiu, el qual és finit en la prova del teorema de Nekhoroshev i infinit per al teorema KAM (en aquest darrer cas, sempre prenem el mòdul nul). De fet, descrivim un algorisme lineal i un de quadràtic. Tot i que l'algorisme lineal és d'aparença més senzilla, mostrem que el càlcul explícit de la forma normal podria ésser una mica més ràpid usant l'algorisme quadràtic.A les seccions 2.3 i 2.4 obtenim les versions lineal i quadràtica del lema iteratiu, que ens donen les fites per a un pas concret del procés iteratiu en cadascun dels dos algorismes. Utilitzem una norma per a camps vectorials hamiltonians (introduïda a la secció 2.2), la qual ens permet d'optimitzar les fites respecte les d'altres autors. Duent a terme un nombre adequat de passos, i aplicant reiteradament el lema iteratiu (en qualsevol de les seves dues versions), obtenim a la secció 2.5 el teorema de la forma normal, en el qual la fita de la resta és exponencialment petita. La prova d'aquest resultat esdevé molt simple degut al fet que el lema iteratiu ha estat optimitzat.Al capítol 3 obtenim, a partir del teorema de la forma normal, la prova del teorema de Nekhoroshev en el cas quasiconvex. En primer lloc, donem a les seccions 3.1 i 3.2 fites d'estabilitat vàlides sobre regions no ressonants i regions ressonants, respectivament (per al cas ressonant imposem la condició de quasiconvexitat). A la secció 3.3 recobrim tot l'espai de fases amb una família de conjunts, que reben el nom de blocs, associats a diferents mòduls de ressonàncies. Així obtenim a la secció 3.4 un temps d'estabilitat exponencialment gran en 1/Epsilon. per a totes les trajectòries, completant la prova del teorema de Nekhoroshev amb l'exponent òptim 1/2n.Obtenim també al capítol 3 altres resultats sobre estabilitat efectiva. Hem considerat a la secció 3.1 una pertorbació d'un sistema de n oscil·ladors harmònics amb freqüències satisfent una condició diofàntica. En aquest cas l'exponent de les fites és 1/(Tau + 1), essent Tau l'exponent de la condició diofàntica. A la secció 3.5 veiem que podem millorar les fites de Nekhoroshev si ens restringim a un entorn de la ressonància associada a un mòdul fixat, i obtenim uns exponents d'estabilitat particulars, que depenen de la dimensió del mòdul. A més, apliquem aquestes fites al conegut exemple d'Arnol'd.Al capítol 4 provem la versió isoenergèica de teorema KAM de manera directa sense usar aplicació de Poincaré) i introduïm la noció de tor quasi-invariant. Comencem veient a la secció 4.1 les dificultats que sorgeixen en el cas isoenergètic, i les resolem amb els lemes tècnics que donem a la secció 4.2. El mètode iteratiu que usem per a provar el teorema KAM isoenergètic és paral·lel, en línies generals, al que usa Arnol'd en el cas ordinari. A la secció 4.3 donem fites per a un pas concret del procés a partir del lema iteratiu. A la secció 4.4 completem la prova del teorema KAM isoenergètic, veient que les restes tendeixen ràpidament cap a zero i obtenint tors invariants n-dimensionals (tors KAM), però només sobre un conjunt cantorià que ve donat per freqüències diofàntiques.A més, obtenim a la secció 4.5 un resultat d'estabilitat que constitueix un pont entre els teoremes KAM i de Nekhoroshev. Cal considerar les freqüències que satisfan aproximadament una condició diofàntica, fins una precisió donada r. Aquestes freqüències donen lloc a tors quasi-invariants, noció que expressa que les trajectòries que parteixen d'un d'aquests tors hi romanen a prop durant un temps exponencialment gran en 1/r. Així, la precisió r passa a constituir el paràmetre de pertorbació (per a r = 0 tenim els tors KAM). Obtenim aquest resultat dins del mateix esquema iteratiu usat per al teorema KAM però aturant-lo en el moment adequat, en comptes de dur-lo fins al límit. El resultat és molt proper, des del punt de vista quantitatiu, al teorema KAM. Qualitativament, sacrifiquem l'estabilitat perpètua dels tors KAM però, en canvi, tenim un resultat més significatiu des del punt de vista pràctic, ja que per tal d'associar un tor quasi-invariant a una freqüència donada només cal comprovar la condició diofàntica aproximadament. Aquest resultat és lleugerament diferent dels d'altres autors, que estableixen que els tors KAM són "enganxosos" (prenent com a paràmetre la distància a un tor KAM fixat). El nostre resultat és més útil a la pràctica, car no requerim l'existència prèvia d'un tor KAM.Estudiem a la secció 4.6 l'existència de tors invariants per a un hamiltonià a l'entorn d'un punt fix el·líptic. Sota les condicions adequades, el teorema KAM ens diu que en un entorn de radi r existeix un gran nombre de tors invariants. Fins i tot, si les freqüències del punt el·líptic satisfan una condició diofàntica, llavors la mesura del complementari dels tors invariants és exponencialment petita en 1/r.Al capítol 5 estudiem els tors invariants de dimensió inferior prop de la ressonància associada a un mòdul de dimensió d < n. La localització d'aquests tors, especialment els tors hiperbòlics, és important com a primer pas per a establir l'existència de difusió d'Arnol'd al llarg d'una cadena de transició. En primer lloc, posem el hamiltonià en forma normal respecte el mòdul fixat i la resta és petita. Fent un canvi canònic lineal (secció 5.2), podem suposar que la part en forma normal només depèn de d angles. Menyspreant la resta, fem un estudi de la forma normal, la qual constitueix un sistema intermedi entre el hamiltonià no pertorbat i el hamiltonià pertorbat. A la secció 5.1 donem condicions per tal que la forma normal tingui tors invariants de dimensio n-d, els quals poden ésser el·líptics, hiperbòlics i d'altres categories. Considerem a la secció 5.3 el cas d'una ressonància simple (d=1), en el qual la forma normal és integrable i per tant podem dur a terme un estudi complet de les varietats invariants dels tors hiperbòlics i les connexions homoclíniques que tenen lloc. Remarquem que, si bé l'existència dels tors hiperbòlics per al sistema original ha estat establerta per altres autors, cal esperar que aquests tors es trobin molt a prop dels de la forma normal si aquesta ha estat obtinguda fins un ordre prou alt. Llavors podem obtenir més informació sobre les varietats invariants. / The main results concerning stability in nearly-integrable Hamiltonian systems are revisited: Nekhoroshev theorem (effective stability) and KAM theorem (existence of invariant tori). We prove both theorems using a common method, which allows to stress the close relationship between them.The method consists of bringing our Hamiltonian to normal form using an iterative procedure based on Lie series. We describe two algorithms (linear and quadratic) which can both be directly implemented in computers. To give estimates for the remainder of the normal form along the iterative process, we use a vectorfield norm which allows to optimize the estimates.Iterating these estimates an appropiate (finite) number of steps, we get an exponentially small remainder. Assuming quasiconvexity, we get Nekhoroshev theorem (with the optimal exponent). Further results on effective stability are also obtained.We prove the isoenergetic version of KAM theorem in a direct way (without using a Poincaré map). In this case, in order to make the remainder tend to zero, we consider an infinite iterative process. In this way the majority of trajectories lie in invariant tori, but these tori fill a Cantorian set given by Diophantine frequencies. Moreover, we introduce the notion of nearly-invariant torus by stopping the process at an appropiate step. We associate a nearly-invariant torus to the frequencies satisfying, up to a given precision, a Diophantine condition (the precision becomes the parameter of perturbation). We also prove the existence of a large number of invariant tori near an elliptic fixed point with Diophantine frequencies: we give for the complement of the invariant tori an exponentially small estimate.Finally, we study low dimensional tori near resonances and the invariant manifolds of hyperbolic tori near simple resonances. This constitutes a first step towards finding Arnol'd diffusion in nearly-integrable Hamiltonian systems.

Thesis (M. Sc.(Urb. Plan.))--University of Hong Kong, 1995. / Includes bibliographical references (leaf 119-124).

Thesis (M. Sc.)--University of Hong Kong, 1993. / "Workshop report." Includes bibliographical references (leaves 129-135).

Thesis (M. Sc.)--University of Hong Kong, 1999. / Includes bibliographical references.

Thesis (M. Sc.)--University of Hong Kong, 1999. / Includes bibliographical references (leaves 83-84).