Dans les langages fonctionnels, l'efficacité dépend crucialement du choix de la stratégie d'évaluation et d'un modèle d'implantation adapté. Nous développons d'abord un λ-calcul avec substitutions explicites qui évite les problèmes habituels liés à la substitution et à l'α-conversion, dans lequel on peut définir les stratégies usuelles, mais aussi des stratégies avec un meilleur partage de calcul. Ensuite, nous développons un modèle d'implantation efficace pour ce calcul. Pour cela, nous proposons une représentation innnovante des variables libres, d'abord dans le cadre très général de la récriture d'ordre supérieur, puis avec plus de détails dans notre cas particulier. Nous obtenons ainsi un λ-calcul avec substitutions explicites sans noms ni indices, dans lequel les te! rmes sont annotés avec de l'information qui indique comment les substitutions doivent être propagées, et qui constitue un modèle d'implantation efficace pour nos stratégies. Des machines abstraites sont alors définies, implantées et comparées expérimentalement aux meilleurs évaluateurs connus. Finalement, nous étudions les relations entre machines abstraites traditionnelles et réseaux d'interaction, deux modèles d'implantation courants mais très différents. Plus précisément, nous montrons comment certaines stratégies peuvent être implantées dans les réseaux d'interaction d'une façon très naturelle, rapprochant ainsi deux modèles utilisés pour l'implantation de stratégies efficaces.

Cette thèse s'articule autour de l'utilisation de stratégies totales pour la représentation des preuves. La première partie porte sur le cadre finitaire. L'analyse commence dans un univers syntaxique : on définit un lambda-calcul unaire fortement normalisant, pour lequel on rappelle la machine à pointeurs (PAM). On réduit le problème de préservation de la totalité par composition à un problème de finitude sur des objets appelés structures de pointeurs. On donne trois preuves différentes de ce résultat de finitude. La première se ramène via la PAM à la normalisation du lambda-calcul unaire, la seconde passe par l'extraction d'une réduction simple sur les arbres d'entiers et la troisième s'inspire d'un argument combinatoire de Coquand. La seconde partie traite d'un calcul de séquents mu-LJ équipé de définitions inductives et coinductives, dans lequel on donne une simulation du système T. On définit les catégories mu-fermées, formant une classe de modèles de mu-LJ. Dans le cadre des jeux on définit les arènes ouvertes, munies de variables de type libres. À chacune de ces arènes ouvertes est associé un foncteur ouvert sur la catégorie des stratégies innocentes. On décrit ensuite sur les arènes ouvertes une construction de boucle dont on montre qu'elle rejoint le modèle de McCusker des types récursifs. Les boucles sont alors enrichies par des conditions de gain inspirées des jeux de parité, ce qui équipe les foncteurs ouverts d'algèbres initiales et coalgèbres terminales et construit une catégorie mu-fermée. On propose finalement une extension de mu-LJ à une syntaxe infinie, pour laquelle le modèle est pleinement complet.

Contrôler la consommation en ressources des programmes informatiques est d'importance capitale, non seulement pour des raisons de performance, mais aussi pour des questions de sécurité quand par exemple certains systèmes mobiles ou embarqués disposent de quantités limitées de ressources. Dans cette thèse, nous développons des critères statiques pour contrôler la consommation en ressources de programmes concurrents d'ordre supérieur. Nous prenons comme point de départ le cadre des Logiques Light qui a été étudié afin de contrôler la complexité de programmes fonctionnels d'ordre supérieur au moyen de la correspondance preuves-programmes. La contribution de cette thèse est d'étendre ce cadre aux programmes concurrents d'ordre supérieur. Plus généralement, cette thèse s'inscrit dans le domaine de la complexité implicite qui cherche à caractériser des classes de complexité par des principes logiques ou des restrictions de langage. Les critères que nous proposons sont purement syntaxiques et sont développés graduellement afin de contrôler le temps de calcul des programmes de plus en plus finement: dans un premier temps nous montrons comment garantir la terminaison des programmes (temps fini), puis nous montrons comment garantir la terminaison des programmes en temps élémentaire, et enfin nous montrons comment garantir la terminaison des programmes en temps polynomial. Nous introduisons également des systèmes de types tels que les programmes bien typés terminent en temps borné et retournent des valeurs. Enfin, nous montrons que ces systèmes de types capturent des programmes concurrents intéressants qui itèrent des fonctions produisant des effets de bord sur des structures de données inductives. Dans la dernière partie, nous étudions une méthode sémantique alternative afin de contrôler la consommation en ressources de programmes impératifs d'ordre supérieur. Cette méthode est basée sur la réalisabilité quantitative de Dal Lago et Hofmann et permet d'obtenir plusieurs bornes de complexité de manière uniforme. Cette dernière partie est un travail en collaboration avec Aloïs Brunel.

Ces dernières années, on a assisté au développement du<br />calcul de réécriture, encore appelé rho-calcul, qui intègre de<br />façon uniforme la réécriture de premier ordre et le lambda-calcul.<br />Cette thèse est dédiée à l'étude des capacités d'expression du calcul de réécriture, avec un intérêt particulier pour la réécriture d'ordre supérieur et la possibilité de manipuler des graphes.<br /><br />Dans la première partie de cette thèse, la relation entre le calcul de réécriture et la réécriture d'ordre supérieur, en particulier les Combinatory Reduction Systems (CRSs), est étudiée.<br />Nous présentons d'abord un algorithme de filtrage original<br />pour les CRSs qui utilise une traduction des termes CRS en<br />lambda-termes et le filtrage d'ordre supérieur classique du lambda-calcul. Nous proposons ensuite un encodage des CRSs dans le rho-calcul<br />basé sur la traduction de chaque réduction CRS<br />en une réduction correspondante dans le rho-calcul.<br />Dans la deuxième partie, nous présentons une extension du rho-calcul,<br />appelé calcul de réécriture de graphes (ou Rg-calcul),<br />qui gère des termes avec partage et cycles.<br />Le calcul sur les termes est généralisé de manière naturelle en utilisant des contraintes d'unification en plus des contraintes de filtrage standard du rho-calcul.<br /><br />Le Rg-calcul est alors montré confluent sur des classes<br />d'équivalence de termes, sous certaines restrictions de linéarité sur les motifs, et assez<br />expressif pour simuler la réécriture de termes graphes et le<br />lambda-calcul cyclique.

Nous étudions les propriétés, en particulier la terminaison, des systèmes de types dépendants pour le lambda-calcul et la réécriture.

Issue des travaux sur la logique linéaire et l'analyse calculatoire de la logique classique, la notion de polarités semble jouer un rôle essentiel dans l'étude actuelle des systèmes logiques. La polarisation est une contrainte qui simplifie les objets tout en conservant une expressivité suffisante d'un point de vue informatique.<br /><br />L'objet de cette thèse est d'étudier et d'exploiter cette nouvelle structure afin en particulier de mettre à jour les relations entre la logique classique et la logique linéaire (LL). L'introduction des polarités dans LL permet de mieux appréhender ce vaste système et de prolonger le développement de différents outils trop complexes en l'absence de cette contrainte. Nous définissons ainsi, pour la logique linéaire polarisée (LLP), des réseaux de preuve intégrant les connecteurs additifs de manière satisfaisante, une sémantique des jeux polarisés qui réconcilie jeux et dualité, une géométrie de l'interaction parallèle et d'autres sémantiques dénotationnelles basées sur des notions connues (espaces de corrélation, catégories de contrôle).<br /><br />Il est important de montrer que malgré cette contrainte, LLP reste un système suffisamment expressif. Pour cela nous étudions en détail les traductions des différents systèmes de logique classique déterministe connus (LC, lambda-mu calcul, ...) aussi bien en appel par nom qu'en appel par valeur. De surcroît, les traductions obtenues pour ces systèmes sont plus simples que celles vers LL.<br /><br />Enfin la souplesse de ces traductions nous permet d'analyser plus finement certaines propriétés de la logique classique tout comme LL permet d'analyser la logique intuitionniste. On peut ainsi étudier un équivalent linéaire des CPS-traductions.

L'objectif de cette thèse est de développer une théorie de types pour le λ-calcul linéaire-algébrique, une extension du λ-calcul motivé par l'informatique quantique. Cette extension algébrique comprend tous les termes du λ-calcul plus leurs combinaisons linéaires, donc si t et r sont des termes, α.t+β.r est aussi un terme, avec α et β des scalaires pris dans un anneau. L'idée principale et le défi de cette thèse était d'introduire un système de types où les types, de la même façon que les termes, constituent un espace vectoriel, permettant la mise en évidence de la structure de la forme normale d'un terme. Cette thèse présente le système Lineal , ainsi que trois systèmes intermédiaires, également intéressants en eux-même : Scalar, Additive et λCA, chacun avec leurs preuves de préservation de type et de normalisation forte.

Les comportements des processus concurrents peuvent être exprimés en utilisant des calculs de processus, des langages formels simples qui permettent de démontrer des résultats mathématiques précis sur les interactions entre processus. Un exemple très simple est CCS, un autre exemple est le pi-calcul, plus expressif grâce à un mécanisme de communication de canaux. Dans ce dernier, on peut instaurer un système de types (pour raffiner l'analyse aux environnements plus contraints) et encoder le lambda-calcul (qui représente les calculs séquentiels).Certains de ces calculs, comme CCS ou des variantes du pi-calcul comme les calculs de fusions, ont une certaine propriété de symétrie. On utilise dans un premier temps cette symétrie comme un outil, pour prouver que deux encodages du lambda-calcul dans le pi-calcul sont en fait équivalents.Cette preuve nécessitant un système de types et une forme de symétrie, on se pose la question de l'existence d'un système de types pour les autres calculs symétriques, notamment les calculs de fusion, à laquelle on répond par la négative avec un théorème d'impossibilité.En analysant ce théorème, on découvre un contrainte fondamentale de ces calculs qui empêche l'utilisation des types, à savoir la présence d'une notion de relation d'équivalence entre les canaux de communication. Le relâchement de cette contrainte pour obtenir une relation de pré-ordre engendre un calcul intéressant qui recouvre des notions importantes du pi-calcul, absentes dans les calculs de fusion : les types et les noms privés. La première partie de la thèse se concentre sur l'étude de ce calcul.La deuxième partie de la thèse se concentre sur la bisimulation, une méthode pour établir l'équivalence de deux agents dans des langages d'ordre supérieur, par exemple le pi-calcul ou le lambda-calcul. Une amélioration de cette méthode est la théorie des techniques modulo, très puissante, mais qui malheureusement s'applique uniquement aux systèmes de premier ordre, comme les automates ou CCS.Cette thèse s'applique alors à décrire les langages d'ordre supérieur en tant que systèmes du premier ordre. On récupère ainsi la théorie générale des techniques modulo pour ces langages, en prouvant correctes la correspondance induite et les techniques spécifiques à chaque langage. On détaille les tenants et aboutissants de cette approche, pour fournir les outils nécessaires à son utilisation pour d'autres langages d'ordre supérieur. / The behaviours of concurrent processes can be expressed using process calculi, which are simple formal languages that let us establish precise mathematical results on the behaviours and interactions between processes. A very simple example is CCS, another one is the pi-calculus, which is more expressive thanks to a name-passing mechanism. The pi-calculus supports the addition of type systems (to refine the analysis to more subtle environments) and the encoding of the lambda-calculus (which represents sequential computations).Some of these calculi, like CCS or variants of the pi-calculus such as fusion calculi, enjoy a property of symmetry. First, we use this symmetry as a tool to prove that two encodings of the lambda-calculus in the pi-calculus are in fact equivalent.This proof using a type system and a form of symmetry, we wonder if other existing symmetric calculi can support the addition of type systems. We answer negatively to this question with an impossibility theorem.Investigating this theorem leads us to a fundamental constraint of these calculi that forbids types: they induce an equivalence relation on names. Relaxing this constraint to make it a preorder relation yields another calculus that recovers important notions of the pi-calculus, that fusion calculi do not satisfy: the notions of types and of privacy of names. The first part of this thesis focuses on the study of this calculus, a pi-calculus with preorders on names.The second part of this thesis focuses on bisimulation, a proof method for equivalence of agents in higher-order languages, like the pi- or the lambda-calculi. An enhancement of this method is the powerful theory of bisimulations up to, which unfortunately only applies for first-order systems, like automata or CCS.We then proceed to describe higher-order languages as first-order systems. This way, we inherit the general theory of up-to techniques for these languages, by proving correct the translations and up-to techniques that are specific to each language. We give details on the approach, to provide the necessary tools for future applications of this method to other higher-order languages.

Cette thèse porte sur les propriétés opérationnelles de deux extensions quantitatives du λ-calcul pur : le λ-calcul algébrique et le λ-calcul probabiliste.Dans la première partie, nous étudions la théorie de la β-réduction dans le λ-calcul algébrique. Ce calcul permet la formation de combinaisons linéaires finies de λ-termes. Bien que le système obtenu jouisse de la propriété de Church-Rosser, la relation de réduction devient triviale en présence de coefficients négatifs, ce qui la rend impropre à définir une notion de forme normale. Nous proposons une solution qui permet la définition d'une relation d'équivalence sur les termes, partielle mais cohérente. Nous introduisons une variante de la β-réduction, restreinte aux termes canoniques, dont nous montrons qu'elle caractérise en partie la notion de forme normale précédemment établie, démontrant au passage un théorème de factorisation.Dans la seconde partie, nous étudions la bisimulation et l'équivalence contextuelle dans un λ-calcul muni d'un choix probabliste. Nous donnons une technique pour établir que la bisimilarité applicative probabiliste est une congruence. Bien que notre méthode soit adaptée de celle de Howe, certains points techniques sont assez différents, et s'appuient sur des propriétés non triviales de « désintrication » sur les ensembles de nombres réels. Nous démontrons finalement que, bien que la bisimilarité soit en général strictement plus fine que l'équivalence contextuelle, elles coïncident sur les λ-termes purs. L'égalité correspondante est celle induite par les arbres de Lévy-Longo, généralement considérés comme l'équivalence extensionnelle la plus fine pour les λ-termes en évaluation paresseuse. / In this thesis we deal with the operational behaviours of two quantitative extensions of pure λ-calculus, namely the algebraic λ-calculus and the probabilistic λ-calculus.In the first part, we study the β-reduction theory of the algebraic λ-calculus, a calculus allowing formal finite linear combinations of λ-terms to be expressed. Although the system enjoys the Church-Rosser property, reduction collapses in presence of negative coefficients. We exhibit a solution to the consequent loss of the notion of (unique) normal form, allowing the definition of a partial, but consistent, term equivalence. We then introduce a variant of β-reduction defined on canonical terms only, which we show partially characterises the previously established notion of normal form. In the process, we prove a factorisation theorem.In the second part, we study bisimulation and context equivalence in a λ-calculus endowed with a probabilistic choice. We show a technique for proving congruence of probabilistic applicative bisimilarity. While the technique follows Howe's method, some of the technicalities are quite different, relying on non-trivial "disentangling" properties for sets of real numbers. Finally we show that, while bisimilarity is in general strictly finer than context equivalence, coincidence between the two relations is achieved on pure λ-terms. The resulting equality is that induced by Lévy-Longo trees, generally accepted as the finest extensional equivalence on pure λ-terms under a lazy regime.

Le travail présenté dans cette thèse concerne l'étude de la notion de conversion inhérente à tous système de types dépendants. Plusieurs présentations de ces systèmes ont été étudiées pour des usages variés: typage, recherche de preuve, cohérence de logique... Chacune de ces représentation est accompagnée d'une notion d'égalité différente, suivant les besoins du moment. Mais il n'est pas certains que toutes ces représentations parlent en fin de compte d'une seule et même logique. Nous nous intéressons ici à une famille assez conséquente de systèmes de types, appelés Systèmes de Types Purs, et nous allons prouver que pour ces systèmes, toutes les représentations habituellement utilisées sont en fait équivalentes, c'est à dire qu'il existe des traductions constructives entre chacune de ces présentations. Ces traductions reposent toutes sur la manière de porter une égalité d'un système à l'autre. Ce travail se concentre donc sur les mécanismes de ces égalités, et prouve qu'il est possible de typer n'importe quelle égalité syntaxique en égalité sémantique, et ainsi qu'il est donc possible de passer d'un système à l'autre. L'intégralité de cette thèse a en outre été vérifiée et certifiée correcte à l'aide de l'assistant à la preuve Coq, qui a activement été utilisé tout au long de l'élaboration des preuves. ~