Neste trabalho, estudamos o problema de encontrar grafos extremais com rela c~ao a energia laplaciana sem sinal. Mais especi camente, procuramos grafos com a maior energia laplaciana sem sinal em determinadas classes. Nesse sentido, conjecturamos que o grafo unic clico conexo com a maior energia laplaciana sem sinal e o grafo formado por um tri^angulo com v ertices pendentes distribu dos balanceadamente e provamos parcialmente essa conjectura. Tal resultado foi provado tamb em para a energia laplaciana. Al em disso, conjecturamos que o grafo com a maior energia laplaciana sem sinal dentre todos os grafos com n v ertices e o grafo split completo com uma clique de [n+1/ 3] v ertices e provamos tal conjectura para algumas classes de grafos, em particular, para arvores, grafos unic clicos e bic clicos. / In this work, we study the problem of nding extremal graphs with relation to the signless Laplacian energy. More speci cally, we look for graphs with the largest signless Laplacian energy inside certains classes. In this sense, we conjecture that the connected unicyclic graph with the largest signless Laplacian energy is the graph consisting of a triangle with balanced distributed pendent vertices and we partially prove this conjecture. This result was also proved for the Laplacian energy. Moreover we conjecture that the graph with the largest signless Laplacian energy among all graphs with n vertices is the complete split graph with a clique of [n+1/ 3] vertices and we prove this conjecture for some classes of graphs, in particular, for trees, for unicyclic and bicyclic graphs.

Neste trabalho, apresentamos um algoritmo que determina o número de autovalores de uma matriz simétrica qualquer que representa uma árvore, num dado intervalo real. Várias aplicações são obtidas em relação à distribuição dos autovalores da matriz laplaciana perturbada, uma matriz de representação de grafos que inclui, como casos particulares, a matriz de adjacências, a matriz laplaciana combinatória, a matriz laplaciana sem sinal e a matriz laplaciana normalizada, amplamente estudadas em Teoria Espectral de Grafos. Além disso, desenvolvemos também um algoritmo de localização de autovalores da matriz de adjacências de um grafo unicíclico. Este procedimento permite obter propriedades espectrais de grafos unicíclicos denominados centopeias unicíclicas. / In this work, we present an algorithm that computes the number of eigenvalues of any symmetric matrix that represents a tree, in a given real interval. Several applications are obtained about the distribution of the eigenvalues of the perturbed Laplacian matrix, which is a matrix representation of graphs that includes, as special cases, the adjacency matrix, the combinatorial Laplacian matrix, the signless Laplacian matrix and the normalized Laplacian matrix, widely studied in Spectral Graph Theory. In addition, we also develop an algorithm that locates the eigenvalues of the adjacency matrix of a unicyclic graph. This procedure allows us to obtain spectral properties of unicyclic caterpillars.

Este trabalho apresenta um estudo sobre segmentação de volumes médicos e uma solução para se obter malhas poligonais de pacientes específicos para uso em simulações de cirurgia. Malhas de pacientes específicos são importantes para planejamento de intervenções cirúrgicas e permitem uma melhor visualização de condições patológicas em um paciente, coisa não obtível em malhas geradas artisticamente. Nós analisamos quais são os fatores complicantes para se obter estas malhas de um paciente específico usando apenas imagens médicas obtidas em exames padrões. Para isso, nós revisamos diversos métodos existentes para segmentação de volumes médicos. Isso nos levou a definir os problemas com as técnicas existentes, e a desenvolver um método que não sofra destes problemas, utilizando pouca interação humana e não tendo dependências de mais dados que não o exame do paciente. Nosso alvo para obter malhas especificas foram órgãos de tecido mole, que são um caso especialmente complicado da área, graças a várias questões relacionadas às imagens médicas e à anatomia humana. Atacamos esse problema aplicando modificações geométricas em malhas especiais, que deformam até atingir a forma dos órgãos que se deseja segmentar. Os resultados mostram que nossa técnica conseguiu obter malhas específicas de pacientes a partir de volumes médicos com qualidade superior a de outros algoritmos de mesma classe. Graças a simplicidade do método desenvolvido, nossos resultados são facilmente implementáveis e reproduzidos. / This work presents a study about medical-volume segmentation and a solution to generate patient-specific meshes to use in patient-specific surgery simulations. Patientspecific meshes are useful assets for surgery planning and to allow better visualization of certain pathological conditions of a given patient, which are not obtainable by artistically designed meshes. We analyzed what are the complications to obtain a patient-specific mesh using only standard medical imagery exams. For that, we reviewed several medical volume segmentation techniques. It led us to define the problems within the existing techniques and to develop a method that does not suffer from these problems, with the least possible user interaction or relying on any other data other then the patient exam. Our target for obtaining specific meshes were soft tissue organs, which are a specially complicated case due to various issues related to the medical images and human anatomy. This is accomplished by geometrical operations over special meshes that deform until achieving the shape of the desired organ. Results show that our technique was able to obtain patient-specific meshes from medical images with superior quality than algorithms of the same class. Thanks to the simplicity of the developed approach, its also easy to implement and to reproduce our obtained results.

Propriedades do primeiro autovalor e da primeira autofunção do operador laplaciano em variedades riemannianas são estudadas. Para variedades em que se pode estimar o laplaciano de funções distância, estimativas explícitas para o primeiro autovalor do laplaciano em domínios duplamente conexos são obtidas. Então observamos que hipóteses sobre as curvaturas da variedade e do bordo do domínio permitem estimar o laplaciano da distância. Além disso, autofunções em domínios não compactos do espaço hiperbólico EI" são estudadas. Mostramos que donn'nios contidos em horobolas não admitem autofunções limitadas associadas ao autovalor A(HIn), mas se o fecho assintótico do domínio contém um aberto de (9ooIHIn, então ele admite uma autofunção positiva que se anula em dfí U dooQ. A existência e o perfil de autofunções de autovalor A(IHI") em EI", em IHIn\Sr(o), em horobolas, em hiperbolas e no complementar de horobolas são analisados. Para alguns desses domínios apresentamos uma expressão explícita para a autofunção que depende apenas da distância à fronteira. Finalmente, técnicas de simetrização de Schwarz são adaptadas para variedades permitindo-nos obter estimativas para normas de autofunções. Primeiro um argumento de comparação demonstra que variedades mais simétricas maximizam certas normas. Obtenios também uma estimativa diretamente da função isoperimétrica da variedade. / Some properties of the first eigenvalue A and the first eigenfunction of the Laplace operator in a Riemannian manifold are studied. Assuming a bound for the Laplacian of the distance function, exphcit estimates for the first eigenvalue of a doubly counected domain are presented. Then some assumptions on the curvatures of the manifold and its boundary are made in order to have an estimate for the Laplacian of the distance function. Furthermore eigenfunctions of non compact domains in the hyperbohc space EIn are studied. We prove that a domain contained in a horoball does not admit a bounded eigenfunction of eigenvalue A(lHIn), but if the closure of the domain contains an open set of then it admits a positive eigenfunction that vanishes on dQ U daoíl. The existence and the profile of eigenfunctions of eigenvalue A(E[n ) in H71, in H [ r i \ 5 r ( o ) , in horoballs, hiperballs and in the complement of a horoball are analysed. For some of these domains we present an explicit expression for the eigenfunction that depends only on the distance to the boundary. Finally Schwarz symmetrization techniques are adapted for manifolds implying in estimates for the norm of the eigenfunctions. First a comparison argument proves that highly symmetric manifolds maximize some norm and then an estimated obtained directly from the isoperimetric function of the manifold is presented.

FundaÃÃo Cearense de Apoio ao Desenvolvimento Cientifico e TecnolÃgico / O objetivo deste trabalho à estudarmos o primeiro autovalor nÃo nulo do operador Laplaciano de hipersuperfÃcies compactas com curvatura mÃdia constante imersas na esfera unitÃria contida no espaÃo Euclidiano. Vamos mostrar que para o caso mÃnimo, teremos uma de trÃs possÃveis estimativas para este primeiro autovalor e, como consequÃncia de um possÃvel autovalor, esta hipersuperfÃcie serà isomÃtrica à uma esfera. / The aim of this work is we study the first nonzero eigenvalue of the Laplacian operator compact hypersurfaces with constant mean curvature immersed in the unit sphere contained in Euclidean space. We will show that for the minimal case, we will have one of three possible estimates for the first eigenvalue and, as a consequence of a possible eigenvalue, this hypersurface will be isometric to sphere.

Neste trabalho, apresentamos um algoritmo que determina o número de autovalores de uma matriz simétrica qualquer que representa uma árvore, num dado intervalo real. Várias aplicações são obtidas em relação à distribuição dos autovalores da matriz laplaciana perturbada, uma matriz de representação de grafos que inclui, como casos particulares, a matriz de adjacências, a matriz laplaciana combinatória, a matriz laplaciana sem sinal e a matriz laplaciana normalizada, amplamente estudadas em Teoria Espectral de Grafos. Além disso, desenvolvemos também um algoritmo de localização de autovalores da matriz de adjacências de um grafo unicíclico. Este procedimento permite obter propriedades espectrais de grafos unicíclicos denominados centopeias unicíclicas. / In this work, we present an algorithm that computes the number of eigenvalues of any symmetric matrix that represents a tree, in a given real interval. Several applications are obtained about the distribution of the eigenvalues of the perturbed Laplacian matrix, which is a matrix representation of graphs that includes, as special cases, the adjacency matrix, the combinatorial Laplacian matrix, the signless Laplacian matrix and the normalized Laplacian matrix, widely studied in Spectral Graph Theory. In addition, we also develop an algorithm that locates the eigenvalues of the adjacency matrix of a unicyclic graph. This procedure allows us to obtain spectral properties of unicyclic caterpillars.

Propriedades do primeiro autovalor e da primeira autofunção do operador laplaciano em variedades riemannianas são estudadas. Para variedades em que se pode estimar o laplaciano de funções distância, estimativas explícitas para o primeiro autovalor do laplaciano em domínios duplamente conexos são obtidas. Então observamos que hipóteses sobre as curvaturas da variedade e do bordo do domínio permitem estimar o laplaciano da distância. Além disso, autofunções em domínios não compactos do espaço hiperbólico EI" são estudadas. Mostramos que donn'nios contidos em horobolas não admitem autofunções limitadas associadas ao autovalor A(HIn), mas se o fecho assintótico do domínio contém um aberto de (9ooIHIn, então ele admite uma autofunção positiva que se anula em dfí U dooQ. A existência e o perfil de autofunções de autovalor A(IHI") em EI", em IHIn\Sr(o), em horobolas, em hiperbolas e no complementar de horobolas são analisados. Para alguns desses domínios apresentamos uma expressão explícita para a autofunção que depende apenas da distância à fronteira. Finalmente, técnicas de simetrização de Schwarz são adaptadas para variedades permitindo-nos obter estimativas para normas de autofunções. Primeiro um argumento de comparação demonstra que variedades mais simétricas maximizam certas normas. Obtenios também uma estimativa diretamente da função isoperimétrica da variedade. / Some properties of the first eigenvalue A and the first eigenfunction of the Laplace operator in a Riemannian manifold are studied. Assuming a bound for the Laplacian of the distance function, exphcit estimates for the first eigenvalue of a doubly counected domain are presented. Then some assumptions on the curvatures of the manifold and its boundary are made in order to have an estimate for the Laplacian of the distance function. Furthermore eigenfunctions of non compact domains in the hyperbohc space EIn are studied. We prove that a domain contained in a horoball does not admit a bounded eigenfunction of eigenvalue A(lHIn), but if the closure of the domain contains an open set of then it admits a positive eigenfunction that vanishes on dQ U daoíl. The existence and the profile of eigenfunctions of eigenvalue A(E[n ) in H71, in H [ r i \ 5 r ( o ) , in horoballs, hiperballs and in the complement of a horoball are analysed. For some of these domains we present an explicit expression for the eigenfunction that depends only on the distance to the boundary. Finally Schwarz symmetrization techniques are adapted for manifolds implying in estimates for the norm of the eigenfunctions. First a comparison argument proves that highly symmetric manifolds maximize some norm and then an estimated obtained directly from the isoperimetric function of the manifold is presented.

Consideraremos o problema elípitco $-\\Delta u + \\alpha\\chi_Du = \\lambda u$ em $\\Omega$, onde $\\Omega$ é um domínio de R^n com fronteira regular, e $D\\subset \\Omega$ é um subconjunto fechado de medida de Lebesgue fixada. A motivação para este problema vem da Mecânica, onde esta equação é encontrada no estudo de vibrações de uma membrana composta. Seja $\\lambda_1(D)$ o primeiro autovalor do problema, como função do conjunto D. Nesse trabalho mostraremos que $\\lambda_1$ é um autovalor simples, e estudaremos o problema de minimizar $\\lambda_1$ ao variarmos D no conjunto de todos os subconjuntos de medida fixada de $\\Omega$. Mais especificamente, determinaremos fórmulas para a variação primeira e segunda de $\\lambda_1$. / We will consider the elliptic problem $-\\Delta u + \\alpha\\chi_Du = \\lambda u in $\\Omega$, where $\\Omega$ is a domain in R^n with regular boundary, and $D \\subset\\Omega$ is a closed subset with prescribed Lebesgue measure. The motivation for this problem comes from Mechanics, where this equation models the vibrations of a composite membrane. Let $\\lambda_1(D)$ be the first eigenvalue of the problem, which is seen as a function of the set D. In this work, we will show that $\\lambda_1$ is a simple eigenvalue, and we will study the problem of minimizing $\\lambda_1(D)$ when D varies in the family of all closed subsets of $\\Omega$ with a given Lebesgue measure. More precisely, we will determine formulas for the first and the second variation of $\\lambda_1$.

In this paper, we investigate the question of the spectrally equivalence of the so- called Pseudo-Laplacian to the usual discrete Laplacian in order to use hierarchical preconditioners for this more complicate matrix. The spectral equivalence is shown to be equivalent to a Brezzi-type inequality, which is fulfilled for the finite element spaces considered here.

This thesis investigates the possibility of improving black box fault diagnosis by a process called manifold learning, which simply stated is a way of finding patterns in recorded sensor data. The idea is that there is more information in the data than is exploited when using simple classification algorithms such as k-Nearest Neighbor and Support Vector Machines, and that this additional information can be found by using manifold learning methods. To test the idea of using manifold learning, data from two different fault diagnosis scenarios is used: A Scania truck engine and an electrical system called Adapt. Two linear and one non-linear manifold learning methods are used: Principal Component Analysis and Linear Discriminant Analysis (linear) and Laplacian Eigenmaps (non-linear).Some improvements are achieved given certain conditions on the diagnosis scenarios. The improvements for different methods correspond to the systems in which they are achieved in terms of linearity. The positive results for the relatively linear electrical system are achieved mainly by the linear methods Principal Component Analysis and Linear Discriminant Analysis and the positive results for the non-linear Scania system are achieved by the non-linear method Laplacian Eigenmaps.The results for scenarios without these special conditions are not improved however, and it is uncertain wether the improvements in special condition scenarios are due to gained information or to the nature of the cases themselves.