Les objectifs de la recherche atmosphérique sont principalement la compréhension des processus de transfert et de transformation d'énergie, qui déterminent l'évolution du milieu atmosphérique, interagissent avec l'évolution météorologique et climatique et conditionnent leur prévisibilité. Ces objectifs de recherche se trouvent en amont et contribuent fortement aux besoins d'amélioration des prévisions météorologiques et climatiques. La tendance actuelle vers les études de petite échelle permet en outre d'aborder plus efficacement que par le passé des questions d'intérêt sociétal: l'étude des divers risques naturels engendrés par l'atmosphère (tempêtes, inondations,...), la qualité de l'air, la prévision à l'échelle locale, ... Dans ce contexte, la couche limite atmosphérique (CLA), à l'interface entre la surface terrestre et la troposphère libre, est une région particulièrement importante car elle est le siège de transferts d'énergie, d'humidité et de matière entre la surface et l'atmosphère libre, dont dépend la distribution horizontale et verticale des champs de vapeur d'eau, de nuages et d'aérosols. La compréhension globale des phénomènes qui se produisent dans la CLA et leur influence sur la grande échelle reste un sujet ouvert, et la prise en compte des processus les plus importants dans les modèles méso-échelle et dans les modèles de circulation générale constitue un enjeu majeur pour la compréhension du climat et de son évolution en relation avec l'activité humaine.<br /><br />Si les principaux processus physiques atmosphériques ont été identifiés et analysés depuis plusieurs décennies, l'amélioration des modèles météorologiques nécessite un ré-examen de ces processus pour quantifier plus précisément leurs effets, affiner les paramétrisations sous mailles nécessaires pour la modélisation climatique et évaluer les transports des constituants chimiques dans l'atmosphère. J'ai donc focalisé prioritairement mes actions de recherche sur la dynamique de la CLA et son impact à l'échelle régionale en couvrant un spectre large d'échelles spatio-temporelles, de l'échelle métrique, associée à la turbulence atmosphérique, à la centaine de kilomètres associée aux systèmes dynamiques de méso-échelle. En particulier, j'ai étudié:<br />1. les mécanismes d'échanges turbulents entre la surface et la CLA en concentrant mon effort de recherche sur la structure et paramétrisation de la turbulence à proximité de la surface;<br />2. les effets du relief et des héterogéneités de surface (contraste terre/mer, contraste urbain/périurbain, ...) sur l'atmosphère.<br />J'ai par ailleurs contribué aux développements instrumentaux et méthodologiques par lidar nécessaires à la documentation de la dynamique de la CLA sur la gamme d'échelles étudiée.<br /><br />Ces choix résultent d'un manque de connaissances scientifiques sur de nombreux mécanismes contrôlant la dynamique de l'écoulement atmosphérique à ces échelles dû en partie à l'inadaptation des moyens d'investigation expérimentaux et numériques de l'époque. Le développement récent de modèles numériques de recherche ou de prévisions opérationnels à fine échelle (de l'échelle de la turbulence à la méso-échelle), et de moyens d'observations de plus en plus résolus, spatialement et temporellement, que cela soit depuis le sol, une plateforme aéroporté, sous ballons ou depuis l'espace m'a permis d'étudier avec un "oeil nouveau" des mécanismes que l'on supposaient compris. La turbulence en est l'exemple le plus frappant puisqu'étudiée depuis des décennies avec, en 1941, l'avénement de la théorie de la turbulence homogène isotrope par Kolmogorov (Kolmogorov, 1941). Cette théorie universelle constitue les fondements de notre connaissance de la turbulence atmosphérique et est la base de toutes les paramétrisations sous-mailles dans les modèles météorologiques. Les nouveaux moyens d'observation et de simulation des mécanismes turbulents m'ont permis de rendre compte du caractère fortement anisotrope de la turbulence atmosphérique, de la structure du champ turbulent et de son impact sur l'intensité des échanges entre la surface et la CLA et sur sa paramérisation dans les modèles météorologiques.<br /><br />A l'autre bout du spectre, sur des échelles de la centaine de kilomètres, nous connaissons sur le plan quantitatif, les effets des hétérogéneités de la surface sur l'écoulement atmosphérique, que cette hétérogéneité prenne la forme de contrastes thermiques en surface (contraste terre/mer par exemple, voir Simpson, 1994, 1997 pour des revues) ou de montagnes (voir Smith, 1989 et Durran, 1990 pour des revues). Ainsi les résultats de l'expérience PYREX (1990) ont permis des progrès notables dans la compréhension et la modélisation des ondes de gravité et la réévaluation de la paramétrisation du relief dans les modèles de climat et de prévision numérique. Néanmoins, ces études ont porté sur des perturbations de l'écoulement à l'échelle du massif et sont donc apparues comme la continuité des travaux théoriques conduits dans la première moitié du 20ème siècle (e.g. Queney, 1948). J'ai donc étudié la structure fine de l'écoulement atmosphérique perturbé à des échelles variées par la surface, dont la complexité n'avait jusqu'alors pas été appréhendée faute de moyens d'observations et de modélisation adaptés: j'ai analysé la circulation atmosphérique dans les vallées et réseaux complexes de vallées et leur sillage, les interactions entre brise et écoulements de vallées, les aspects instationnaires et tridimensionels de ces écoulements en m'appuyant sur les nouveaux outils d'observations tels que les lidars au développement desquels j'ai largement contribué, et de modélisation à fine échelle (e.g. Méso-NH, MM5). J'ai conduit ces études dans le cadre des programmes MAP (Mesoscale Alpine Programme, 1999) et ESCOMPTE (Expérience sur Site pour COntraindre les Modèles de Pollution atmosphérique et de Transport d'Emissions, 2001).

Cette thèse porte sur la simulation numérique d'un écoulement interne compressible, ins- tationnaire et turbulent à l'aide de la Simulation des Grandes Echelles (SGE). Dans cette approche, les grandes échelles énergétiques et instationnaires de l'écoulement sont calcu- lées, tandis que les petites échelles sont modélisées. L'objectif de ce travail, réalisé en collaboration avec le Consortium Industrie-Recherche dans les Turbomachines (CIRT) et le LEMFI, est d'analyser les potentialités de la SGE pour le calcul d'écoulements confinés en géométrie 3D en vue d'applications aux turboma- chines. Le cas d'étude retenu pour la validation de la méthodologie est l'écoulement dans une tuyère 3D transsonique pour lequel il existe de nombreux résultats statistiques (LEMFI) et expérimentaux (ONERA). La tuyère est caractérisée par une bosse en flèche sur la paroi basse génératrice d'effets 3D. L'écoulement, sans rotation, présente cependant les phénomènes physiques complexes d'interaction onde de choc/couche limite et de large dé- collement, comme ceux rencontrés au sein des turbomachines. La SGE est obtenue à partir d'un modèle de sous maille d'échelles mixtes développé au LIMSI-CNRS. La discrétisa- tion temporelle des équations est réalisée par un schéma de Runge-Kutta explicite d'ordre deux. Les flux Euler sont discrétisés par un schéma TVD d'Harten-Yee d'ordre deux tandis que les flux visqueux le sont par un schéma centré. La SGE a permis d'obtenir des informations instationnaires sur l'écoulement, et de mettre en évidence la formation et le lâcher de tourbillons dans la tuyère. La solution insta- tionnaire est différente de la solution stationnaire RANS obtenue avec une modélisation statistique classique et montre l'oscillation du choc et la déstabilisation du décollement au cours du temps. Les résultats de la SGE obtenus sur le nombre de Mach isentropique, les profils de la vitesse moyenne et les tensions de Reynolds sont discutés et comparés aux résultats expérimentaux (ONERA) et statistiques, obtenus avec le modèle de Launder- Shima (LEMFI). Le bilan de l'énergie cinétique turbulente (k) est analysé et comparé à celui donné par la modélisation statistique, dans le décollement. Les résultats de la SGE montrent des différences notables avec les résultats statistiques dans le c÷ur de la tuyère : les termes de fluctuations de pression importants mesurés dans le choc sont pris en compte par la SGE.

L'objectif principal de ce travail de thèse concerne l'étude mathématique et la résolution numérique de modèles quantiques de transport électronique dans les nanostructures semiconductrices. Le modèle quantique que nous utilisons est celui de Schrödinger. On a pris en considération deux approches. Une première approche monobande où deux modèles unidimensionnels stationnaires sont étudiés. Le premier que nous abordons prend en compte la variation de la masse effective en fonction du matériau semi-conducteur. C'est le modèle Schrödinger avec masse variable. Le second est un modèle où les effets non paraboliques dans la relation de dispersion vecteur d'onde-énergie sont pris en compte. C'est le modèle Kohn-Luttinger. La deuxième approche est de type bibande obtenue à partir du modèle de Kane qui lui aussi découle de la méthode k.P. On le notepar le modèle Schrödinger deux bandes. La partie théorique renferme des résultats d'existence de solutions ( l'aide du théorème de point fixe de Leray Schauder) et de comportement asymptotique. Dans les différents cas, nous avons dérivé des conditions aux bords transparentes. Nous avons établi un résultat concernant la limite semiclassique lorsque $\hbar $ tend vers zéro du modèle stationnaire unidimensionnel Schrödinger avec masse variable. Nous avons montré l'existence et l'unicité de solutions sauf peut-être pour une suite de valeurs d'énergie correspondant à des valeurs propres du spectre discret de l'opérateur de Kohn-Luttinger. Nous montrons l'existence de solutions du modèle Schrödinger à deux bandes dans le cas non-linéaire (le champ électrostatique est calculé auto-consistant). Finalement, dans la partie numérique, nous avons utilisé des éléments finis Hermitiens pour Kohn-Luttinger et une méthode de différences finies pour le modèle Schrödinger à deux bandes. Dans les deux cas, pour le système couplé nous avons utilisé un schéma itératif type Gummel. Nous avons pu réaliser des simulations numériques de dispositifs type diode à effet tunnel résonnant intra-bande RTD ( resp. inter-bande RITD) pour décrire l'approche monobande (resp. bibande). Nous avons obtenu les caractéristiques courant-tension, les coefficients de transmission et le profil des densités de charge électronique.

Le sujet de la thèse se situe dans le cadre de l'étude des équations différentielles ordinaires et des systèmes dynamiques non linéaires. La thèse présente une étude des attracteurs des systèmes dynamiques dissipatifs. En particulier, l'attracteur chaotique de Lorenz et les cycles limites des systèmes de Liénard. La première partie est dédiée au système de Lorenz. Ce système est obtenu par simplication des équations de Boussinesq fourmulées dans la cadre de la convection de Rayleigh-Bénard. Le système de Lorenz est important car il est le premier à avoir exhibé un comportement chaotique. On utilise des sections transverses (courbes ou surfaces qui ne sont traversées par le flot que dans un seul sens sur toute leur étendue) pour acquerir de l'information sur l'attracteur chaotique du système. Pour cela, on utilise les formes algébriques des intégrales du mouvement pour trouver des équations de sections tranverses. L'existance des ces sections transverses pour des plages de valeurs des paramètres nous permet de donner des limites algébriques à l'attracteur chaotique du systeme quand celui ci existe mais aussi de donner des plages de valeur des paramètres pour lesquelles il n'y a pas de comportement chaotique possible. La deuxième partie de la thèse présente un algorithme formel qui donne accès au nombre de cycles limites des systèmes de Liénard. En plus du nombre, on obtient une approximation algébrique de l'equation ainsi que la multiplicité de chacun de ces cycles. Le grand intérêt de cet algorithme est qu'il ne repose pas sur l'existence d'un petit paramètre (l'algorithme n'est pas perturbatif) et qu'il change le problème initial de résoudre une équation differentielle nonlinéaire en un problème algébrique de compter les racines d'un polynôme à une variable. On obtient aussi grâce à cet algorithme des approximations algébriques des courbes de bifurcations (de Hopf, saddle-node, hétérocline) des systèmes de Liénard.

Le but de cette thèse est de décrire en détail la dynamique linéaire et non linéaire d'une couche limite attachée sur une plaque plane à bas nombre de Reynolds. La dynamique linéaire, pilotée par les interactions entre les vecteurs propres non-orthogonaux, est étudiée à travers deux méthodes différentes d'instabilité globale : une analyse globale aux vecteurs propres et une optimisation directe-adjointe. Dans ces analyses globales, aucune structure spatiale n'est imposée à priori pour la perturbation, les effets convectifs dus au fort non parallélisme de l'écoulement sont pris en compte. Pour le cas de la couche limite décollée, le déclenchement des instationnarités a été clarifié : i) pour une forte amplification des perturbations de nature convective et bidimensionnelle ; ii) pour des effets de non normalité longitudinale engendrant le phénomène du flapping ; iii) pour une forte sensibilité vis-à-vis d'un forçage harmonique ; iv) pour un monde tridimensionnel globalement instable. Pour une couche limite attachée, le but a été d'identifier les perturbations localisées caractérisées par des fréquences multiples dans les directions longitudinales et transversales de l'écoulement, induisant une amplification de l'énergie des perturbations. Pour évaluer les effets les effets de la non linéarité dans les mécanismes d'instabilité identifiés par les analyses de stabilité globale, des simulations numériques directes ont été réalisées pour les écoulements de couche limite attachées ou décollées, bidimensionnelles et tridimensionnelles. La dynamique des perturbations permettant une plus rapide vers la turbulence a été étudiée. Différents scénarios de transition ont été observés, les différents mécanismes de transition ont été analysés.

Dans cette thèse nous nous concentrons sur l'établissement de certains théorèmes limite et l'approximations probabilistes. Un théorème limite est un résultat indiquant que la structure à grande échelle de certains systèmes aléatoires peut être véritablement approchée par une distribution de probabilité typique. Les exemples classiques sont le Théorème Central Limite , le principe d'invariance de Donsker, etc. D'autre part, nous appelons approximation probabiliste toute formalation mathématique permettant d'évaluer des distances entre les lois de deux éléments aléatoires. Lorsque l'une des distributions est gaussienne, on parle d'approximation normale. Le TCL et l'approximation normale associée sont l'un des thèmes récurrents de toute la théorie des probabilités. Au cours des cinq dernières années, I. Nourdin, G. Peccati et d'autres auteurs ont développé une nouvelle théorie d'approximations normales et non normales pour des variables aléatoires sur l'espace de Wiener, qui est basée sur l'utilisation d'un calcul de variations de dimension infinie, connu sous le nom de ''calcul de Malliavin'', ainsi que la célèbre ''méthode de Stein'' pour les approximations probabilistes. Leur travail généralise les résultats précédents par D. Nualart et G. Peccati à propos de théorèmes limite portant sur les chaos de Wiener. Après cela, G. Peccati, J. L. Solé, M.S. Taqqu et F. Utzet ont étendu cette méthode pour obtenir des approximations normales sur l'espace de Poisson. L'objectif de cette thèse est d'obtenir des TCLs multi-dimensionnels sur l'espace de Poisson, ainsi que plusieurs extensions.

Les milieux périodiques présentent des propriétés intéressantes dans un grand nombre d'applications (les cristaux photoniques en optique, les matériaux composites en mécanique,...). Dans ces applications, on rencontre souvent ces milieux présentant des défauts localisés, c'est-à-dire des milieux qui diffèrent de milieux périodiques dans des régions bornées. Il nous semble intéressant de proposer des méthodes mathématiques et numériques nouvelles spécifiques au traitement des structures périodiques de grande taille, pouvant présenter des défauts localisés. Les caractéristiques du problème rendant très souvent les méthodes d'homogénéisation inapplicables, l'idée est d'exploiter la structure particulière des milieux périodiques pour restreindre les calculs au voisinage du défaut. Nous avons donc approfondi la question de trouver des conditions aux bords parfaitement transparentes. C'est pourquoi nous avons cherché à généraliser les techniques de conditions transparentes non locales, de type Neumann-to-Dirichlet, bien établies pour les milieux homogènes à l'extérieur de la perturbation. La difficulté est que lorsque le milieu extérieur est homogène, on ne dispose plus d'une représentation explicite de la solution. Nous traitons successivement trois situations de difficulté croissante : le cas mono-dimensionnel qui est un cas classique mais dont l'étude a des vertus pédagogiques, le problème du guide périodique localement perturbé et le problème plus complexe du milieu périodique dans les deux dimensions. Pour chaque situation, la démarche est la même : elle consiste tout d'abord à résoudre le problème pour un milieu absorbant puis pour un milieu non absorbant par absorption limite. Nous pouvons alors montrer que les opérateurs DtN peuvent être caractérisés en utilisant la solution de problèmes de cellule locaux, l'utilisation d'outils mathématiques tels que la Transformée de Floquet-Bloch et la solution d'équations quadratiques et linéaires à valeurs et inconnus opérateurs.

Ce travail de thèse expérimental étudie les instabilités et la transition de la couche limite produite par un disque en rotation. Pour l'écoulement naturel (c.-à-d. sans forçage extérieur), les mesures des profils de vitesse moyenne, de spectres en fréquence et de moyennes de phase des séries temporelles de vitesse ont permis de distinguer différents régimes en fonction de la distance adimensionnelle R à l'axe du disque. Pour les faibles valeurs de R, les profils de vitesse moyenne suivent la solution de von Kármán. Pour des valeurs plus importantes de R, des écarts à cette solution analytique sont observés et augmentent avec R. Ces écarts sont dus à la croissance spatiale de modes instables de la couche limite (vortex .cross-flow.), et la mesure du taux de croissance spatiale de ces modes correspond bien aux prédictions théoriques de l'analyse de stabilité linéaire. Dans cet écoulement, la transition se produit vers R ≈ 530 et la turbulence pleinement développée s'installe vers R ≈ 600. Les profils dans la région pleinement turbulente suivent la loi logarithmique des couches limites turbulentes et les spectres de vitesse présentent une loi en puissance de type Kolmogorov. Pour étudier la réponse au forçage, un dispositif expérimental a été mis au point qui permet d'exciter des perturbations stationnaires (dans le référentiel du laboratoire) ou en rotation à une fréquence qui peut être réglée indépendamment de la fréquence de rotation du disque. La réponse de l'écoulement à ces deux types de forçage et avec deux formes différentes pour l'élément de forçage a été étudiée. Un forçage stationnaire produit un sillage qui décroît avec la distance à l'élément de forçage, en accord avec la théorie. Le forçage avec des éléments en rotation peut produire un paquet d'ondes amplifié qui, bien que non linéaire, suit des trajectoires proches de celles prédites par la théorie linéaire.

Le problème de la dissipation par les écoulements macroscopiques est abordé par l'entremise de deux de ses manifestations les plus représentatives, la dissipation par les écoulements plasmas dans la limite de faible collisionalité, et la dissipation par les écoulements fluides dans la limite de faible viscosité. On part du principe que la dissipation peut avoir deux causes distinctes, soit l'effet résiduel d'un paramètre de couplage au niveau microscopique, soit l'effet purement macroscopique du mélange non-linéaire. La combinaison de ces deux phénomènes rend le problème impossible à traiter par les méthodes habituelles qui ont été appliquées avec succès aux systèmes conservatifs, et soulève des questions mathématiques fondamentales. De plus, le calcul explicite à toutes les échelles de tels écoulements n'est pas encore envisageable dut fait des limitations actuelles de la taille mémoire et de la vitesse des opérations. Il est donc communément admis que de nouvelles méthodes doivent être développées. Dans ce but, on explore le potentiel d'une approche multi-échelles en ondelettes. Tout d'abord, les équations aux dérivées partielles décrivant l'écoulement doivent être reformulées dans le cadre d'une représentation discrète en ondelettes qui reste compatible avec les mécanismes dissipatifs soulignés plus haut. Cette étape, appelée régularisation, fait l'objet de deux chapitres de cette thèse, concernant les cas particuliers des équations de Vlasov-Poisson d'une part, et des équations d'Euler bi-dimensionelles incompressibles d'autre part. On évalue la faisabilité d'un calcul des écoulements en utilisant les schémas ainsi développés, et on compare ces derniers à d'autres schémas proposés précédemment. Pour aller plus loin, il faut remonter aux origines de la dissipation résiduelle et la relier aux propriétés mathématiques des solutions. On obtient quelques éléments allant dans cette direction en étudiant numériquement le phénomène de collision d'un dipôle de vorticité avec une paroi dans la limite de faible viscosité. Lorque les solutions se comportent bien mathématiquement, comme c'est le cas pour les écoulements turbulents bi-dimensionels homogènes que nous abordons ensuite, on peut dors et déjà passer à l'étape suivante qui est la définition de la dissipation macroscopique dans la représentation en ondelettes. Finalement, on présente une analyse en ondelettes d'un écoulement turbulent tri-dimensionel dans une couche limite, ce qui ouvre des perspectives pour l'extension de la méthode.

Ce travail est une étude expérimentale de l'influence du nombre de Reynolds sur les caractéristiques des tourbillons longitudinaux et transverses de la turbulence de paroi. Une campagne de mesure par PIV stéréoscopique est réalisée dans des plans longitudinaux/normaux à la paroi (XY), et dans des plans normaux/transversaux (YZ) des couches limites de la soufflerie du LML et du tunnel à eau du LTRAC, à six nombre de Reynolds compris entre Re_\theta=1300 et Re_\theta=18950. Les mesures ont une bonne résolution spatiale et une faible incertitude. La base de données est validée au travers de l'analyse de grandeurs statistiques de l'écoulement (moyenne et RMS de la vitesse, histogramme des fluctuations, spectres de puissance) , comparées à des profils de référence issus de la théorie, de mesures fils-chauds ou de données DNS. Une détection de tourbillon, basée sur le fit d'un tourbillon d'Oseen autour des maxima de "swirling strength", est ensuite entreprise sur les données stéréo-PIV ainsi que sur des données DNS à Re_\tau=950. L'évolution des caractéristiques des tourbillons (rayon, vorticité, circulation, vitesse de convection) avec la distance "y" à la paroi est ensuite analysée dans deux représentions adimensionnées: l'une en unités de paroi, et l'autre en unités de Kolmogorov. Une bonne universalité en nombre de Reynolds est obtenue en unités de paroi dans la zone tampon et la zone logarithmique, mais pas dans la zone externe de l'écoulement. Les unités de Kolmogorov permettent d'obtenir une bonne universalité dans les trois zones étudiées, à la fois en Reynolds et en "y". Finalement, les mécanismes responsables de la génération des tourbillons sont discutés