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Existência de uma solução não trivial para uma classe de problemas elípticos super quadrático / Existence of a nontrivial solution for a class of elliptic problems super quadraticCavalcante, Thiago Rodrigues 13 December 2013 (has links)
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Previous issue date: 2013-12-13 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this dissertation we analyze questions of existence of a weak solution for a class
of superlineares elliptic Dirichlet problems. Here we do not consider the Ambrosseti
Rabinovitz condition , which restricts some nonlinearities. We obtain main results of
this dissertation via Variational Methods, such as Mountain Pass Theorem and Linking
Theorem. Furthermore, weusePalais-Smalecondition(P.S.) or Cerami condition(Ce) / Nesta dissertação analisamos questões de existência de uma solução fraca para uma classe de problemas de Dirichlet elípticos superlineares. Aqui não consideramos a condição deAmbrosetti-Rabinowitz,a qual restringealgumasfunçõesnão lineares. Obtemos os principais resultados desta dissertação via Métodos variacionais, tais como o Teorema do Passo da Montanha e um Teorema de Linking. Além disso, utilizamos a
TeoriaEspectral e ascondições dePalais-Smale(P.S.) eCerami(Ce).
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Equações de Schrödinger Semilineares com Potencial Não-Regular no InfinitoLima, Eudes Leite de 14 June 2014 (has links)
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Previous issue date: 2014-06-14 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this work, we study issues related the existence, nonexistence and regularity of solutions to
semilinear Schrödinger equations of type
u + a(x)u = jujp2u; u 2 H1(RN);
where N 2, p > 2 if N = 2 and 2 < p < 2N=(N 2) if N 3 and the potential a(x) is a
positive function that belongs to L1(RN). To obtain the results, we use a Linking Theorem and
the Principle of Symmetric Criticality. / Neste trabalho, estudamos questões relacionadas a existência, não-existência e regularidade de
soluções para equações de Schrödinger semilineares do tipo
u + a(x)u = jujp2u; u 2 H1(RN);
onde N 2, p > 2 se N = 2 e 2 < p < 2N=(N 2) se N 3 e o potencial a(x) é uma função positiva que pertence a L1(RN). Para obtenção dos resultados, usamos um Teorema de Linking e o Princípio da Criticalidade Simétrica.
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Sistemas de Equações de Poisson Acopladas com Crescimento Crítico em domínios não - limitados: uma aplicação do Teorema de Kryszewki e Szulkin / Systems of Poisson Equations Coupled with critical growth in non - limited domains: an application of Kryszewki 's and Szulkin' s Theorem.NÓBREGA, Alânnio Barbosa. 19 July 2018 (has links)
Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-19T13:42:19Z
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ALÂNNIO BARBOSA NÓBREGA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2008..pdf: 544710 bytes, checksum: 3a29bbca0618e68075cdfc926fdc6a64 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-19T13:42:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1
ALÂNNIO BARBOSA NÓBREGA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2008..pdf: 544710 bytes, checksum: 3a29bbca0618e68075cdfc926fdc6a64 (MD5)
Previous issue date: 2008-01 / Neste trabalho, estudamos um devido a Kryszewi e Szulkin, o qual completa o
bem conhecido resultado devido a Rabinowitz, no sentido que, é possivel considerar
uma decomposição do tipoX=Y⊕Z comY eZ tendo dimensão infinita. Usando
o Teorema do Linking Generalizado acima, iremos provar a existência de solução nãotrivial para dois sistemas de equações de Poisson acopladas com crescimento crítico em domínios não-limitados. / In this work, we study a Generalized LinkingT heorem due Kryszewi and Szulkin,
which complets a well know result due Rabinowitz, in the sense that, it is possible
to consider a decomposition of the typeX=Y⊕Z, withY andZ have infinite
dimensional. Using the above Generalized Linking Theorem, we prove the existence of
nontrivial solutions to two systems of coupled Poisson equations with critical growth
in unbounded domains.
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Equações elípticas semilineares e quasilineares com potenciais que mudam de sinalOliveira Junior, José Carlos de 24 September 2015 (has links)
Neste trabalho, consideramos o problema autônomo {(-∆u+V(x)u=f(u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ em que N≥3, a função V é não periódica, radialmente simétrica e muda de sinal e a não linearidade f é assintoticamente linear. Além disso, impomos que V possui um limite positivo no infinito e que o espectro do operador L≔-∆+V tem ínfimo negativo. Sob essas condições, baseando-se em interações entre soluções transladadas do problema no infinito associado, é possível mostrar que tal problema satisfaz a geometria do teorema de linking clássico e garantir a existência de uma solução fraca não trivial. Em seguida, estabelecemos a existência de uma solução não trivial para o problema não autônomo {(-∆u+V(x)u=f(x,u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ sob hipóteses similares ao problema anterior, admitindo também que f(x,u)=f(|x|,u) dentre outras condições. Aplicamos novamente o teorema de linking para garantir que tal problema possui uma solução não trivial. Por fim, provamos que o problema quasilinear {(-∆u+V(x)u-u∆(u^2)=g(x,u) em R^3,@u∈H^1 (R^3)\\{0},)┤ em que o potencial V muda de sinal, podendo ser não limitado inferiormente, e a não linearidade g(x,u), quando |x|→∞, possui um certo tipo de monotonicidade, possui uma solução não trivial. A existência de tal solução é provada por meio de uma mudança de variável que transforma o problema num problema semilinear, nos permitindo, assim, empregar o teorema do passo da montanha combinado com o lema splitting. / In this work, we consider the autonomous problem {(-∆u+V(x)u=f(u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ where N≥3, V is a non-periodic radially symmetric function that changes sign and the nonlinearity f is asymptotically linear. Furthermore, we impose that V has a positive limit at infinity and the spectrum of the operator L≔-∆+V has negative infimum. Under these conditions, employing interaction between translated solutions of the problem at infinity, it is possible to show that such problem satisfies the geometry of the classical linking theorem and garantee the existence of a nontrivial weak solution. After that, we establish the existence of a nontrivial weak solution for the nonautonomous problem {(-∆u+V(x)u=f(x,u) em R^N,@u∈H^1 (R^N)\\{0},)┤ under similar hyphoteses to the previous problem, assuming also that f(x,u)=f(|x|,u) among others conditions. We apply again the classical linking theorem to ensure that such problem possesses a nontrivial weak solution. Finally, we prove that the quasilinear problem {(-∆u+V(x)u-u∆(u^2)=g(x,u) em R^3,@u∈H^1 (R^3)\\{0},)┤ where the potential V changes sign and may be unbounded from below and the nonlinearity g(x,u), as|x|→∞, has a kind of monotonicity, has a nontrivial weak solution. The existence of such solution is proved by means of a change of variables that makes the problem become a semilinear problem and hence allow us apply the mountain pass theorem combined with splitting lemma.
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Sobre um Sistema do tipo Schrödinger-PoissonBatista, Alex de Moura 26 April 2012 (has links)
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Previous issue date: 2012-04-26 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In this dissertation, we study the existence of two types of non-negative weak solutions
for a class of problems of Schrodinger-Poisson type. This kind of problem models, for
example, several physical phenomena in quantum mechanics. Initially, by minimization
arguments, Splitting Lemma and the Variational Principle of Ekeland we find a weak
solution that minimizes the minimum energy level associated to the variety of Nehari
N. This is the so-called ground state solution. Afterwards we will find, by using the
Linking Theorem, a strictly positive weak solution which is not a ground state solution:
the so-called bound state solution. / Nesta dissertação, estudaremos a existência de dois tipos de soluções fracas não
negativas para uma classe de problemas do tipo Schrödinger-Poisson, os quais modelam
fenômenos físicos, por exemplo, em Mecânica Quântica. Inicialmente, encontraremos
através de argumentos de minimização, do Lema Splitting e do Princípio Variacional de
Ekeland, uma solução fraca que minimiza o nível de energia mínima associado a variedade
de Nehari N. Tal solução é denominada do tipo ground state. Em seguida, encontraremos
através do Teorema de Linking, uma solução fraca estritamente positiva que não é do tipo
ground state. Tal solução é denominada do tipo bound state.
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Multiplicidade de soluções para uma classe de problemas elípticos de quarta ordem com condição de contorno de Navier / Multiplicity of solutions for a class of fourth-order elliptic problems under Navier conditionsCavalcante, Thiago Rodrigues 27 February 2018 (has links)
Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2018-03-23T22:13:05Z
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Previous issue date: 2018-02-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In the first two chapters, we consider the following problem
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{rcll}
\alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & f(x,u)\, & \mbox{in}\,\, \Omega \\
u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{on } \,\,\, \partial \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
where $\displaystyle{\Delta^{2} u = \Delta(\Delta u)-\,\mbox{biharmonic (fourth-order
operator)}}$,
$\alpha > 0$ and $ \beta \in \R.$ The subset $\displaystyle{ \Omega \subset \mathbb{R}^{N}\,
(N \geq 4)}$ is as somooth bounded domain and $\displaystyle{ f \in C(\overline{\Omega}
\times \mathbb{R},\mathbb{R}) }.$ In each of the results obtained, we will consider different
technical hypotheses and characteristics for the nonlinear function $f$ e for the value of the
constant $ \beta. $
In the third chapter, we study an equation of the concave type super linear, of the form:
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{rcll}
\alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & a(x)|u|^{s-2}u + f(x,u)\, & \mbox{in}\,\, \Omega \\
u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{on} \,\,\, \partial \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation}
where $\beta \in (-\infty, \alpha \lambda_{1}).$ We consider that the function $a \in L^{\infty}
(\Omega)$ and $s \in (1,2).$
Finally, in the last chapter we will consider a fourth order problem in which nonlinearity is also of
the convex concave type. More precisely, we study the following class of equations:
\begin{equation}
\left\{ \begin{aligned}
\alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = \mu a(x)|u|^{q-2}u + b(x)|u|^{p-2}u&\,\,\,\,\
&\mbox{in}\,\, \Omega \\
u = \Delta u & = 0 & \,\,\,\,&\mbox{on} \,\, \partial \Omega,
\end{aligned}
\right.
\end{equation}
where the parameter $ \mu > 0 $, the powers $ 1 <q <2 <p <2 N / (N - 4) $. In addition we assume
that the functions $ \displaystyle {a, b: \Omega \rightarrow \mathbb {R}}$ are continuous that can
change signal and, $ a ^{+}, b ^{+} \neq 0. $ / Nos dois primeiros Capítulos, consideramos a seguinte classe de problemas:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{rcll}
\alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & f(x,u)\, & \mbox{em}\,\, \Omega \\
u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{sobre } \,\,\, \partial \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
onde $\displaystyle{\Delta^{2} u = \Delta(\Delta u)-\,\mbox{biharmônico},}$
$\alpha > 0$ e $ \beta \in \R.$ O subconjunto $\displaystyle{ \Omega \subset
\mathbb{R}^{N}\,(N \geq 4)}$ será um domínio limitado e a não linearidade $\displaystyle{
f \in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R},\mathbb{R}) }.$ Em cada um dos resultados
obtidos, consideraremos hipóteses técnicas e características diferentes para a função não
linear $f$ e para o valor da constante $\beta.$
No terceiro Capítulo, estudamos uma equação do tipo côncavo super linear, da forma:
\begin{equation*}
\left \{
\begin{array}{rcll}
\alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & a(x)|u|^{s-2}u + f(x,u)\, & \mbox{em}\,\,
\Omega \\
u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{sobre } \,\,\, \partial \Omega,
\end{array}
\right.
\end{equation*}
onde $\alpha > 0$ e $\beta \in (-\infty, \alpha \lambda_{1})$. Consideramos que a função
$a \in L^{\infty}(\Omega)$ e que $s \in (1,2).$
Por fim, no último Capítulo vamos considerar um problema de quarta ordem no qual a não
linearidade é do tipo côncavo-convexa. Mais precisamente, estudamos a seguinte classe de
equações:
\begin{equation*}
\left\{ \begin{aligned}
\alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = \mu a(x)|u|^{q-2}u + b(x)|u|^{p-2}u&\,\,\,\,\
&\mbox{em}\,\, \Omega \\
u = \Delta u & = 0 & \,\,\,\,&\mbox{sobre} \,\, \partial \Omega,
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
onde o parâmetro $\mu > 0$ e as potências $ 1 < q < 2 < p < 2 N /(N - 4)$. Adicionalmente
supomos que as funções $\displaystyle{a, b : \Omega \rightarrow \mathbb{R} }$ sejam
contínuas podendo trocar de sinal em $\Omega$ e que $a^{+},b^{+} \neq 0.$
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