Le but de cette thèse est d'étudier lagravité quantique bidimensionnelle. Nousnous intéressons plus particulièrement auxapproches dans le continu. Ces dernièresreposent principalement sur l'action deLiouville qui décrit le couplage entre théorieconforme et gravité. Si cette action, bienconnue, est très bien comprise, la mesure del'intégrale fonctionnelle sur l'espace desmétriques pose plus de problèmes. Toutefois,sous l'hypothèse simplificatrice d'une mesurede champ libre, la dépendance en l'aire de lafonction de partition de la gravité quantiqueen présence de matière conforme a pu êtreétablie. Malgré l'hypothèse assez forte sur lamesure d'intégration, cette formule (diteKPZ), a été confirmée par des calculs issusde méthodes discrètes, et ce dans plusieurscas particuliers. Grâce à une nouvelle méthode derégularisation spectrale en espace courbe,cette mesure d'intégration a récemment puêtre proprement définie. Dans cette thèse,un calcul perturbatif de la fonction departition à aire fixée est mené, jusqu'à troisboucles, en considérant l'action de Liouvilleet des surfaces de Kähler de genrequelconque (qui coïncident avec l'ensembledes surfaces à deux dimensions). Desdivergences apparaissant dans les calculs, ilest nécessaire de renormaliser les actions.Cette renormalisation peut être interprétéecomme une renormalisation de la mesured'intégration. Nos résultats à deux bouclessont finis, indépendants de la régularisationet compatibles avec le résultat KPZ, maisdépendent d'un paramètre libre. L'étude àtrois boucles suggère que la théorie resterenormalisable aux ordres supérieurs maisdépend de nouveaux paramètres à chaqueordre. Ces résultats ont été généralisé dansle cas du tore au couplage à de la matièrenon-conforme. / Nowadays, two-dimensional quantumgravity can be studied in two differentapproaches, one involving discrete theories(triangulation, matrix model...), the othercontinuous ones, mainly based on the socalled Liouville action which universallydescribes the coupling of any conformal fieldtheory to gravity. While the Liouville action isrelatively well understood, the appropriatefunctional integral measure is however rathercomplicated. Nevertheless, a formula for thearea dependence of the quantum gravitypartition function in the presence of conformalmatter has been obtained, under thesimplifying assumption of a free-fieldmeasure. Notwithstanding its non-rigorousderivation, this formula, often referred to asthe KPZ formula, has since been verified inmany instances and has scored manysuccesses. Recent developments of efficient multiloopregularization methods on curved spacetimesopened the way for a precise and welldefinedperturbative computation of the fixedareapartition function in the Kählerformalism. In this work, a first-principlescomputation of the fixed-area partitionfunction in the Liouville theory is performed,up to three loops. Among other things, therole of the non-trivial quantum gravityintegration measure is highlighted.Renormalization is required and may beinterpreted as a renormalization of theintegration measure. This leads to a finite andregularization-independent result at two loops,that is more general than the KPZ result,although compatible. Finiteness andregularization-independence seem alsopossible at three loops. These results aregeneralized to the coupling to non-conformalmatter on the torus.

Cette thèse est dédiée à l'étude mathématique de l'approximation de champ-moyen des gaz de bosons. En physique quantique une telle approximation est vue comme la première approche permettant d'expliquer le comportement collectif apparaissant dans les systèmes quantiques à grand nombre de particules et illustre des phénomènes fondamentaux comme la condensation de Bose-Einstein et la superfluidité. Dans cette thèse, l'exactitude de l'approximation de champ-moyen est obtenue de manière générale comme seule conséquence de principes de symétries et de renormalisations d'échelles. Nous recouvrons l'essentiel des résultats déjà connus sur le sujet et de nouveaux sont prouvés, particulièrement pour les systèmes quantiques sur réseau, incluant le modèle de Bose-Hubbard. D'autre part, notre étude établit un lien entre les équations aux hiérarchies de Gross-Pitaevskii et de Hartree, issues des méthodes BBGKY de la physique statistique, et certaines équations de transport ou de Liouville dans des espaces de dimension infinie. Résultant de cela, les propriétés d'unicité pour de telles équations aux hiérarchies sont prouvées en toute généralité utilisant seulement les caractéristiques génériques de problèmes aux valeurs initiales liés à de telles équations. Egalement, de nouveaux résultats de caractères bien posés et un contre-exemple à l'unicité d'une hiérarchie de Gross-Pitaevskii sont prouvés. L’originalité de nos travaux réside dans l'utilisation d'équations de Liouville et de puissantes techniques de transport étendues à des espaces fonctionnels de dimension infinie et jointes aux mesures de Wigner, ainsi qu'à une approche utilisant les outils de la seconde quantification. Notre contribution peut être vue comme l'aboutissement d'idées initiées par Z. Ammari, F. Nier et Q. Liard autour de la théorie de champ-moyen. / This thesis is dedicated to the mathematical study of the mean-field approximation of Bose gases. In quantum physics such approximation is regarded as the primary approach explaining the collective behavior appearing in large quantum systems and reflecting fundamental phenomena as the Bose-Einstein condensation and superfluidity. In this thesis, the accuracy of the mean-field approximation is proved in full generality as a consequence only of scaling and symmetry principles. Essentially all the known results in the subject are recovered and new ones are proved specifically for quantum lattice systems including the Bose-Hubbard model. On the other hand, our study sets a bridge between the Gross-Pitaevskii and Hartree hierarchies related to the BBGKY method of statistical physics with certain transport or Liouville's equations in infinite dimensional spaces. As an outcome, the uniqueness property for these hierarchies is proved in full generality using only generic features of some related initial value problems. Again, several new well-posedness results as well as a counterexample to uniqueness for the Gross-Pitaevskii hierarchy equation are proved. The originality in our works lies in the use of Liouville's equations and powerful transport techniques extended to infinite dimensional functional spaces together with Wigner probability measures and a second quantization approach. Our contributions can be regarded as the culmination of the ideas initiated by Z. Ammari, F. Nier and Q. Liard in the mean-field theory.

Dans cette thèse, nous nous intéressons par des approches probabilistes à la gravité quantique de Liouville, introduite par Polyakov en 1981 sous la forme d'une intégrale de chemin sur les surfaces 2d. Pour définir cette intégrale de chemin avec interaction exponentielle, nous partons du chaos multiplicatif Gaussien, l'outil fondamental pour définir l'exponentielle des champs Gaussiens de corrélation logarithmique. Dans un premier temps, nous généralisons la construction de la gravité quantique de Liouville sur la sphère de Riemann à une autre géométrie avec bord, celle du disque unité. La nouveauté de ce travail réalisé en collaboration avec R.Rhodes et V.Vargas, est d'analyser avec soin le terme du bord dans l'intégrale de chemin ainsi que l'interaction entre la mesure du bord et la mesure du disque. Nous établissons rigoureusement les formules de la théorie conforme des champs en physique, telles que la covariance conforme, la formule KPZ, l'anomalie de Weyl ainsi que la borne de Seiberg. Une borne de Seiberg relaxée dans le cas de la gravité de Liouville à volume total fixé sur le disque est aussi formulée et étudiée. Dans la seconde moitié de cette thèse, nous comparons cette construction à la Polyakov avec une autre approche de la gravité quantique de Liouville. En collaboration avec deux autres jeunes chercheurs J.Aru et X.Sun, nous fournissons une correspondance entre ces deux approches dans un cas simple et important, celui de la sphère de Riemann avec trois points marqués. En mélangeant les techniques de ces deux approches, nous fournissons une nouvelle procédure d'approximation qui permet de relier ces deux différentes approches. / In this thesis, we study the theory of Liouville Quantum Gravity via probabilist approach, introduced in the seminal paper of Polyakov in 1981, using path integral formalism on 2d surfaces. To define this path integral with exponential interaction, we started from the theory of Gaussian Multiplicative Chaos in order to define exponential of log-correlated Gaussian fields. In the first part, we generalise the construction of Liouville Quantum Gravity on the Riemann sphere to another geometry, the one of the unit disk. The novelty of this work, in collaboration with R.Rhodes and V.Vargas, is to analyse carefully the boundary term in the path integral formalism and its interaction with the bulk measure. We establish rigorously formulae from Conformal Field Theory in Physics, such as conformal covariance, KPZ relation, conformal anomaly and Seiberg bounds. A relaxed Seiberg bound in the unit volume case of Liouville Quantum Gravity on the disk is also announced and studied. In the second part of this thesis, we compare this construction in the spirit of Polyakov to another approach to the Liouville Quantum Gravity. In collaboration with two other young researchers, J.Aru and X.Sun, we give a correspondance between these two approaches in a simple but conceptually important case, namely the one on the Riemann sphere with three marked points. Using technics coming from these two approches, we give a new way of regularisation procedure that eventually allow us to link these two pictures.

Cette thèse explore divers aspects des cartes aléatoires par l'étude de trois modèles. Dans un premier temps, nous examinons les propriétés d’une mesure définie sur l’ensemble des triangulations de Delaunay planaires comportant n sommets, qui est un modèle de cartes où les arêtes sont décorées par des angles. Nous montrons ainsi que la mesure est égale à la mesure de Weil-Petersson sur l’espace des modules des surfaces de Riemann planaires marquées. Sont aussi montrées deux propriétés de la mesures, premiers pas d'une étude de la limite continue de ce modèle. Dans un deuxième temps, nous définissons des fonctions de corrélations sur les graphes de Strebel planaires isopérimétriques à n faces, qui sont des cartes métriques trivalentes. Les périmètres des faces sont fixés. Nous recourons au théorème de Kontsevich pour calculer les fonctions de corrélations en termes de nombres d’intersection de classes de Chern sur l’espace des modules des surfaces de Riemann. Pour la fonction à une face marquée, la limite des grandes cartes est examinée via l’approximation du point-selle, pour différents régimes du périmètre de la face marquée, et nous déduisons le régime où le comportement de la fonction de corrélation n’est pas trivial. Les fonctions de corrélations peuvent être calculées de manière systématique par la récurrence topologique. Partant, nous calculons la courbe spectrale de notre modèle, ce qui nous permet de montrer qu’il existe une courbe spectrale critique. Nous déduisons de cette courbe critique que la limite continue des graphes de Strebel isopérimétriques est un modèle minimal de type (3,2), habillé par la théorie de Liouville. Cela correspond bien à la gravité pure. Enfin, nous abordons la question des symétries dans le modèle d’Ising sur cartes aléatoires. Certaines fonctions de corrélations de ce modèle comptent le nombre de cartes bicolores avec des faces marquées, les bords, ayant des conditions aux bords mixtes, calculées par récurrence à partir de la courbe spectrale du modèle. Nous prouvons ici que, pour des courbes spectrales génériques, les fonctions de corrélations des cartes à un bord mixte sont symétriques par rotation et par inversion du bord mixte. Nous décrivons ensuite les conséquences de telles symétries, suggérant une possible reformulation du modèle en termes de chaînes de spins. / This thesis explore several aspects of random maps through the study of three models. First, we examine the properties of a measure defined on the set of planar Delaunay triangulations with n vertices, a model in which the edges of the maps are decorated with angles. We show that the measure is the Weil-Petersson volume form on the moduli space of planar Riemann surfaces having n marked points. Two other properties, first steps toward the continuous limit study of the model, are also shown. Second, we define correlation functions on isoperimetric planar Strebel graphs with n faces, which are trivalent maps whose edges are decorated by positive lengths, and whose faces have a fixed perimeter. Kontsevich's theorem allows us to compute the correlation functions in terms of the intersection numbers of Chern classes of moduli space of Riemann surfaces. The continuous limit of the one-point function is computed in different regimes for the perimeter of the marked face via the saddle-point approximation. We identify the regime in which the behaviour of the one-point function is not trivial. The correlation functions can be computed in a systematic way by the Topological Recursion. To do so, we compute the spectral curve of the model, and show that there exists a critical spectral curve. We deduce from the latter that the continuous limit of isoperimetric Strebel graphs is a (3,2) minimal model dressed by Liouville theory: it corresponds to pure gravity. Last, we address the problem of symmetries in the Ising model on random maps. Some correlation functions of this model count the bi-colored maps with marked faces having mixed boundary conditions. They are computed via a recursive formula and the spectral curve of the model. We prove here that the correlation functions of maps with one mixed boundary, computed from the recursive relation with generic spectral curve, are invariant under rotation and inversion of the mixed boundary. We describe the consequences of such symmetries, suggesting a possible reformulation of the model in terms of spin chains.

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Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / Esta tesis esta dividida en seis partes. La primera parte está dedicada a probar propiedades de Hadamard y teoremas del tipo de Liouville para soluciones viscosas de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales con término gradiente \begin{equation}\label{eq06-10-13 1} \mathcal{M}^{-}(|x|,D^2u)+\sigma(|x|)|Du|+f(x,u)\leq 0,\quad \ x\in\Omega, \end{equation} donde $\Omega=\mathbb{R}^N$ o un dominio exterior, las funciones $\sigma:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ y $f:\Omega\times (0,\infty)\to (0,\infty)$ son continuas las cuales satisfacen algunas condiciones extras. En la segunda parte se estudia la existencia de soluciones que explotan en la frontera para ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales \begin{equation}\label{eq06-10-13 2} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=h(x),\quad & x\in\Omega,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\bar\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} \ } \lim_{x\in\Omega, x\to\partial\Omega}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$, $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, el operador $(-\Delta)^{\alpha}$ con $\alpha\in(0,1)$ es el Laplaciano fraccionario y $h:\Omega\to\R$ es una función continua la cual satisface algunas condiciones extras. Por otra parte, analizamos la unicidad y el comportamiento asimptótico de soluciones al problema (\ref{eq06-10-13 2}). El objetivo principal de la tercera parte es investigar soluciones positivas para ecuaciones elípticas fraccionarias \begin{equation}\label{eq06-10-13 3} \arraycolsep=1pt \begin{array}{lll} (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}u(x)=0,\quad & x\in\Omega\setminus\mathcal{C},\\[2mm] \phantom{ (-\Delta)^{\alpha} u(x)+|u|^{p-1}} u(x)=0,\quad & x\in\Omega^c,\\[2mm] \phantom{ (-\Delta) \ } \lim_{x\in\Omega\setminus\mathcal{C}, \ x\to\mathcal{C}}u(x)=+\infty, \end{array} \end{equation} donde $p>1$ y $\Omega$ es un dominio abierto acotado $C^2$ de $\mathbb{R}^N(N\geq2)$, $\mathcal{C}\subset \Omega$ es el frontera de dominio $G$ que es $C^2$ y satisface $\bar G\subset\Omega$. Consideramos la existencia de soluciones positivas para el problema (\ref{eq06-10-13 3}). Mas aún, analizamos la unicidad, el comportamiento asimptótico y la no existencia al problema (\ref{eq06-10-13 3}). En la cuarta parte, estudiamos la existencia de soluciones débiles de (F) $ (-\Delta)^\alpha u+g(u)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$ el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\alpha\in(0,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g$ es una función no decreciente satisfaciendo algunas hipótesis extras. Cuando $g$ satisface una condición de integrabilidad subcrítica, probamos la existencia y unicidad de una solución débil para el problema (F) para cualquier medida. En el caso donde $\nu$ es una masa de Dirac, caracterizamos el comportamiento asimptótico de soluciones a (F). Asimismo, cuando $g(r)=|r|^{k-1}r$ con $k$ supercrítico, mostramos que una condición de absoluta continuidad de la medida con respecto a alguna capacidad de Bessel es una condición necesaria y suficiente para que (F) sea resuelta. El propósito de la quinta parte es investigar soluciones singulares débiles y fuertes de ecuaciones elípticas fraccionarias semilineales. Sean $p\in(0,\frac{N}{N-2\alpha})$, $\alpha\in(0,1)$, $k>0$ y $\Omega\subset \R^N(N\geq2)$ un dominio abierto acotado $C^2$ conteniendo a $0$ y $\delta_0$ la masa de Dirac en $0$, estudiamos que la solución débil de $(E)_k$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=k\delta_0 $ en $\Omega$ la cual se desvanece en $\Omega^c$ es una solución débil singular de $(E^*)$ $ (-\Delta)^\alpha u+u^p=0 $ en $\Omega\setminus\{0\}$ con el mismo dato externo. Por otra parte, estudiamos el límite de soluciones débiles de $(E)_k$ cuando $k\to\infty$. Para $p\in(0, 1+\frac{2\alpha}{N}]$, el límite es infinito en $\Omega$. Para $p\in(1+\frac{2\alpha}N,\frac{N}{N-2\alpha})$, el límite es una solución fuertemente singular de $(E^*)$. Finalmente, en la sexta parte estudiamos la ecuación elíptica fraccionaria semilineal (E1) $(-\Delta)^\alpha u+\epsilon g(|\nabla u|)=\nu $ en un dominio $\Omega$ abierto acotado $C^2$ de $\R^N (N\ge2)$, el cual se desvanece en $\Omega^c$, donde $\epsilon=\pm1$, $\alpha\in(1/2,1)$, $\nu$ es una medida de Radon y $g:\R_+\mapsto\R_+$ es una funci\'on continua. Probamos la existencia de soluciones débiles para el problema (E1) cuando $g$ es subcrítico. Además, el comportamiento asimptótico y la unicidad de soluciones son descritas cuando $\epsilon=1$, $\nu$ es una masa de Dirac y $g(s)=s^p$ con $p\in(0,\frac)$.

Orientador: Marta Cilene Gadotti / Banca: Suzete Maria Silva Afonso / Banca: Katia Andreia Gonçalves de Azevedo / Resumo: Este texto aborda os principais resultados sobre a Teoria de Sturm-Liouville assim como os pré-requisitos necessários para construí-los, entre eles o Teorema Espectral para Operadores Compactos e a Teoria de Fredholm. Também são apresentados alguns exemplos e uma aplicação envolvendo uma equação diferencial parcial que modela o problema da corda vibrante / Abastract: This research approaches the main results on the Sturm-Liouville Theory, as well the necessary prerequisites for constructing them, including the Spectral Theorem for Compact Operators and Fredholm Theory. It is also presented some examples and an application involving a partial differential equation that models the vibrating string problem / Mestre

We study several unbounded operators with view to extending von Neumann's theory of deficiency indices for single Hermitian operators with dense domain in Hilbert space. If the operators are non-commuting, the problems are difficult, but special cases may be understood with the use representation theory. We will further study the partial derivative operators in the coordinate directions on the L2 space on various covering surfaces of the punctured plane. The operators are defined on the common dense domain of C∞ functions with compact support, and they separately are essentially selfadjoint, but the unique selfadjoint extensions will be non-commuting. This problem is of a geometric flavor, and we study an index formulation for its solution. The applications include the study of vector fields, the theory of Dirichlet problems for second order partial differential operators (PDOs), Sturm-Liouville problems, H.Weyl's limit-point/limit-circle theory, Schrödinger equations, and more.

We present a new spectral problem, a generalization of the D-Kaup-Newell spectral problem, associated with the Lie algebra sl(2,R). Zero curvature equations furnish the soliton hierarchy. The trace identity produces the Hamiltonian structure for the hierarchy. Lastly, a reduction of the spectral problem is shown to have a different soliton hierarchy with a bi-Hamiltonian structure. The first major motivation of this dissertation is to present spectral problems that generate two soliton hierarchies with infinitely many commuting conservation laws and high-order symmetries, i.e., they are Liouville integrable. We use the soliton hierarchies and a non-seimisimple matrix loop Lie algebra in order to construct integrable couplings. An enlarged spectral problem is presented starting from a generalization of the D-Kaup-Newell spectral problem. Then the enlarged zero curvature equations are solved from a series of Lax pairs producing the desired integrable couplings. A reduction is made of the original enlarged spectral problem generating a second integrable coupling system. Next, we discuss how to compute bilinear forms that are symmetric, ad-invariant, and non-degenerate on the given non-semisimple matrix Lie algebra to employ the variational identity. The variational identity is applied to the original integrable couplings of a generalized D-Kaup-Newell soliton hierarchy to furnish its Hamiltonian structures. Then we apply the variational identity to the reduced integrable couplings. The reduced coupling system has a bi-Hamiltonian structure. Both integrable coupling systems retain the properties of infinitely many commuting high-order symmetries and conserved densities of their original subsystems and, again, are Liouville integrable. In order to find solutions to a generalized D-Kaup-Newell integrable coupling system, a theory of Darboux transformations on integrable couplings is formulated. The theory pertains to a spectral problem where the spectral matrix is a polynomial in lambda of any order. An application to a generalized D-Kaup-Newell integrable couplings system is worked out, along with an explicit formula for the associated Bäcklund transformation. Precise one-soliton-like solutions are given for the m-th order generalized D-Kaup-Newell integrable coupling system.