Ce travail porte sur le problème des partitions minimales, à l'interface entre théorie spectrale et optimisation de forme. Une introduction générale précise le problème et présente des résultats, principalement dûs à B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof et S. Terracini, qui sont utilisés dans le reste de la thèse.Le premier chapitre est une étude spectrale asymptotique du laplacien de Dirichlet sur une famille de domaines en dimension deux qui tend vers un segment. L'objectif est d'obtenir une localisation des lignes nodales dans la limite des domaines minces. En appliquant les résultats de Helffer, Hoffmann-Ostenhof et Terracini, on montre ainsi que les domaines nodaux des premières fonctions propres forment des partitions minimales.Le deuxième chapitre étudie les valeurs propres de certains opérateurs de Schrödinger sur un domaine plan avec condition au bord de Dirichlet. On considère des opérateurs qui ont un potentiel électrique nul et un potentiel magnétique d'un type particulier, dit d'Aharonov-Bohm, avec des singularités en un nombre fini de points appelés pôles. On démontre que les valeurs propres dépendent continuement des pôles. Dans le cas de pôles distincts et éloignés du bord, on prouve que cette dépendance est analytique lorsque la valeur propre est simple. On exprime de plus une condition suffisante pour que la fonction qui aux pôles associe une valeur propre présente un point critique. On utilise alors la caractérisation magnétique des partitions minimales pour montrer que l'énergie minimale est une valeur critique d'une de ces fonctions.Le troisième chapitre est un article écrit en collaboration avec Virginie Bonnaillie-Noël. Il porte sur une famille d'exemples, les secteurs angulaires de rayon unité et d'ouverture variable, dont on tente de déterminer les partitions minimales. On applique pour cela les théorèmes généraux rappelés dans l'introduction afin de déterminer les partitions nodales qui sont minimales. On s'intéresse plus particulièrement aux partitions minimales en trois domaines. En appliquant les idées du deuxième chapitre, on montre que pour certaines valeur de l'angle, il n'existe aucune partition minimale qui soit symétrique par rapport à la bissectrice du domaine. D'un point de vue quantitatif, on obtient des encadrements précis de l'énergie minimale.Le quatrième chapitre consiste en l'étude des partitions minimales de tores plats dont on fait varier le rapport entre longueur et largeur. On utilise une méthode numérique très différente de celle du troisième chapitre, basée sur un article de B. Bourdin, D. Bucur et É. Oudet. Elle consiste en une relaxation suivie d'une optimisation par un algorithme de gradient projeté. On peut ainsi tester des résultats théoriques antérieurs. Les résultats présentés suggèrent de plus la construction explicite de familles de partitions (en liaison avec des pavages du tore) qui donnent une nouvelle majoration de l'énergie minimale.Un dernier chapitre de perspectives présente plusieurs applications possibles des méthodes décrites dans la thèse. / This work is concerned with the problem of minimal partitions, at the interface between spectral theory and shape optimization. A general introduction gives a precise statement of the problem and recall results, mainly due to B. Helffer, T. Hoffmann-Ostenhof and S.Terracini, that are used in the rest of the thesis.The first chapter is an asymptotic spectral study of the Dirichlet Laplacian on a familly of two-dimensional domains converging to a line segment. The aim is to localize the nodal lines when the domains become very thin. With the help of the results of Helffer, Hoffmann-Ostenhof, and Terracini, we then show that the nodal domains of the first eigenfunctions give minimal partitions.The second chapter studies the eigenvalues of some Schrödinger operators on a domain with Dirichlet boundary conditions. We consider operators that have no electric potential and a so-called Aharonov-Bohm magnetic potential, which has singularities at a finite number of points called poles. We prove that the eigenvalues are continuous functions of the poles. When the poles are distinct and far from the boundary, we prove that this function is analytic, assuming the eigenvalue is simple. We also give a sufficient condition for the function to have a critical point. Using the magnetic characterization of minimal partitions, we show that the minimal enery is a critical value for one of these functions.The third chapter in an article written in collaboration with Virginie Bonnaillie-Noël. It studies minimal partitions for sectors of unit radius with a variable angular opening. We apply the general results presented in the introduction, together with numerical computations, to determine nodal partitions that are minimal. We focus on partitions into three domains. Using ideas from the second chapter, we show that, for some values of the angle, there is no minimal partition that is symmetric with respect to the bisector. Form a quantitative point of view, we obtain precise bounds on the minimal energy.The fourth chapter studies the minimal partitions of flat tori in function of the ratio between width and length. We use a numerical method that is quite different from chapter three, and is based on an article by B. Bourdin, D. Bucur, and É. Oudet. It consists in a relaxation of the problem, followed by optimization with the help of a projected gradient algorithm. The results shown here additionally suggest explicit families of partitions, which consist in tilings of tori by polygons, that give upper bounds on the minimal energy. In the last chapter we consider several possible applications of the methods described in the thesis.

Une dégradation des propriétés mécaniques des arcs surperélastiques en alliages à mémoire de forme à base NiTi, utilisés dans les traitements orthodontiques, a été observée après absorption d'hydrogène. L’effet de l’hydrogène a été étudié, dans un premier temps, sur le comportement global des arcs à l’aide des essais de traction et dans un deuxième temps, sur le comportement local à l’aide des essais de nanoindentation. Pour modéliser le comportement des AMFs après absorption d'hydrogène, une première approche a été proposée, en introduisant la dépendance des paramètres de la transformation martensitique à la concentration moyenne d'hydrogène, observée dans les courbes contrainte-déformation obtenues, dans un modèle existant dédié aux AMFs. Une deuxième approche consiste à proposer un modèle thermomécanochimique couplé. Pour ce faire, un nouveau potentiel thermodynamique est défini en introduisant la déformation chimique due à la présence de l'hydrogène et l'interaction de ce dernier avec les variantes de martensite. Des forces thermodynamiques sont déduites de ce potentiel et équilibrées en faisant intervenir les phénomènes dissipatifs : mécanique, thermique et chimique. L'exploitation du modèle proposé a nécessité le développement d'un élément fini spécifique adoptant la concentration d'hydrogène comme un degré de liberté supplémentaire qui prend en compte le couplage complet et la formulation proposée de l'équilibre thermique et chimique / A degradation of the mechanical properties of NiTi-based shape memory alloys superelastic archs, used in orthodontic treatments, was observed after hydrogen absorption. The effect of hydrogen was first investigated on the global behaviour of archs using tensile tests and secondly on the local behaviour using nanoindentation tests. A first approach to model the behavior of AMFs after hydrogen absorption has been proposed, by introducing the dependence of martensitic transformation parameters on the average hydrogen concentration, observed in the stress-strain curves obtained, in an existing dedicated model to SMA. A second approach is to propose a coupled thermomechanical model. A new thermodynamic potential is defined by introducing the chemical strain due to the presence of hydrogen and the interaction of the latter with martensite variants. Thermodynamic forces are deduced from this potential and balanced by involving mechanical, thermal and chemical dissipative phenomena. The exploitation of the proposed model required the development of a special finite element adopting the hydrogen concentration as an additional degree of freedom that takes into account the thermomechanical coupling and the proposed formulation of the thermal and chemical equilibrium

Nous présentons dans cette thèse nos travaux sur la réduction d'ordre appliquée à des simulations d'aérothermie. Nous considérons le couplage entre les équations de Navier-Stokes et une équations d'énergie de type advection-diffusion. Les paramètres physiques considérés nous obligent à considéré l'introduction d'opérateurs de stabilisation de type SUPG ou GLS. Le but étant d'ajouter une diffusion numérique dans la direction du champs de convection, afin de supprimer les oscillations non-phyisques. Nous présentons également notre stratégie de résolution basée sur la méthode des bases réduite (RBM). Afin de retrouver une décomposition affine, essentielle pour l'application de la RBM, nous avons implémenté une version discrète de la méthode d'interpolation empirique (EIM). Cette variante permet de la construction d'approximation affine pour des opérateurs complexes. Nous utilisons notamment cette méthode pour la réduction des opérateurs de stabilisations. Cependant, la construction des bases EIM pour des problèmes non-linéaires implique un grand nombre de résolution éléments finis. Pour pallier à ce problème, nous mettons en oeuvre les récents développement de l'algorithme de coconstruction entre EIM et RBM (SER). / We present in this thesis our work on model order reduction for aerothermal simulations. We consider the coupling between the incompressible Navier-Stokes equations and an advection-diffusion equation for the temperature. Since the physical parameters induce high Reynolds and Peclet numbers, we have to introduce stabilization operators in the formulation to deal with the well known numerical stability issue. The chosen stabilization, applied to both fluid and heat equations, is the usual Streamline-Upwind/Petrov-Galerkin (SUPG) which add artificial diffusivity in the direction of the convection field. We also introduce our order reduction strategy for this model, based on the Reduced Basis Method (RBM). To recover an affine decomposition for this complex model, we implemented a discrete variation of the Empirical Interpolation Method (EIM) which is a discrete version of the original EIM. This variant allows building an approximated affine decomposition for complex operators such as in the case of SUPG. We also use this method for the non-linear operators induced by the shock capturing method. The construction of an EIM basis for non-linear operators involves a potentially huge number of non-linear FEM resolutions - depending on the size of the sampling. Even if this basis is built during an offline phase, we usually can not afford such expensive computational cost. We took advantage of the recent development of the Simultaneous EIM Reduced basis algorithm (SER) to tackle this issue.

Electromagnetic coupling phenomena between overhead power transmission lines and other nearby structures are inevitable, especially in densely populated areas. The undesired effects resulting from this proximity are manifold and range from the establishment of hazardous potentials to the outbreak of alternate current corrosion phenomena. The study of this class of problems is necessary for ensuring security in the vicinities of the interaction zone and also to preserve the integrity of the equipment and of the devices there present. However, the complete modeling of this type of application requires the three- -dimensional representation of the region of interest and needs specific numerical methods for field computation. In this work, the modeling of problems arising from the flow of electrical currents in the ground (the so-called conductive coupling) will be addressed with the finite element method. Those resulting from the time variation of the electromagnetic fields (the so-called inductive coupling) will be considered as well, and they will be treated with the generalized PEEC (Partial Element Equivalent Circuit) method. More specifically, a special boundary condition on the electric potential is proposed for truncating the computational domain in the finite element analysis of conductive coupling problems, and a complete PEEC formulation for modeling inductive coupling problems is presented. Test configurations of increasing complexities are considered for validating the foregoing approaches. These works aim to provide a contribution to the modeling of this class of problems, which tend to become common with the expansion of power grids. / Les phénomènes de couplage électromagnétique entre les lignes aé- riennes de transmission d\'énergie et des structures voisines sont inévitables, surtout dans les zones densément peuplées. Les effets indésirables découlants de cette proximité sont variés, allant de l\'établissement des tensions dangereuses à l\'apparition de phénomènes de corrosion dus au courant alternatif. L\'étude de cette classe de problèmes est nécessaire pour assurer la sécurité dans les alentours de la zone d\'interaction et aussi pour préserver l\'intégrité des équipements et des dispositifs présents. Cependant, la modélisation compl ète de ce type d\'application implique la représentation tridimensionnelle de la région d\'intérêt et nécessite des méthodes numériques de calcul de champs spécifiques. Dans ces travaux, des problèmes liés à la circulation de courants électriques dans le sol (ou de couplage dit conductif) seront abordés avec la méthode des éléments finis. D\'autres problèmes résultants de la variation temporelle des champs électromagnétiques (ou de couplage dit inductif) seront aussi considérés et traités avec la méthode PEEC (Partial Element Equivalent Circuit) généralisée. Plus précisément, une condition limite particulière sur le potentiel électrique est proposée pour tronquer le domaine de calcul dans l\'analyse par éléments finis des problèmes de couplage conductif et une formulation PEEC complète pour la modélisation de problèmes de couplage inductif est présentée. Des con gurations tests de complexités croissantes sont considérées pour valider les approches précédentes. Ces travaux visent ainsi à apporter une contribution à la modélisation de cette classe de problèmes, qui tendent à devenir communs avec l\'expansion des réseaux électriques.

Cette thèse s'intéresse à la génération, à l'utilisation et à l'évaluation des maillages hex-dominants, composés d'hexaèdres et de tétraèdres, dans la cadre de la simulation numérique par la méthode des éléments finis. Les éléments finis hexaédriques sont souvent préférés aux éléments tétraédriques car ils offrent un meilleur ratio entre précision et temps de calcul dans un certain nombre de situations. Cependant, si la génération automatique de maillages tétraédriques est aujourd'hui un domaine bien maîtrisé, ce n'est pas le cas de la génération de maillages hexaédriques alignés avec le bord, qui reste un problème largement ouvert. En l'absence de progrès significatifs, les approches actuelles se contentent de maillages hex-dominants afin de tirer parti des performances supérieures des hexaèdres et de la flexibilité géométrique des tétraèdres, qui rend possible le maillage automatique. Dans une première partie, nous développons des algorithmes robustes pour la génération de maillages hex-dominants à partir de champs de directions, notamment pour l'isolement et le remplissage des régions difficiles à mailler (singularités et autres dégénérescences). Dans la seconde partie, nous essayons de déterminer dans quelles situations et dans quelle mesure les maillages hexaédriques, et hex-dominants générés précédemment, sont plus intéressants que les maillages tétraédriques. Ceci implique spécifiquement d'étudier plusieurs manières d'effectuer des simulations par éléments finis avec les maillages hybrides, dont une approche où nous utilisons des contraintes de continuité pour maillages non-conformes. Pour mesurer l'influence du maillage sur l'approximation des solutions, nous proposons une nouvelle méthode d'échantillonnage pour calculer très efficacement des distances globales entre solutions éléments finis définies sur des domaines compliqués / This thesis focuses on generation, usage and evaluation of hex-dominant meshes, which are made of hexaehedra and tetrahedra, in the context of the finite element method. Hexahedron finite elements are often preferred to tetrahedron elements because they offer a better compromise between accuracy and computation time in certain situations. However, if tetrahedral meshing is a well mastered subject, it is not the case of hexahedral meshing. Generating hexahedral meshes with elements aligned to the borders is still an open and difficult problem. Meanwhile, current automated approaches can use hex-dominant meshes in order to take advantage of both hexahedron accuracy and geometrical flexibility of tetrahedra. In the first part, we develop robust algorithms for the generation of hex-dominant meshes with elements aligned with the borders. Specifically, we propose a method to extract and fill the areas where hexahedral meshing is difficult (singularities and degeneracies). In the second part, we try to identify and to quantify the advantages of hexahedral and hex-dominant meshes over tetrehedral ones. This requires to study various ways to apply the finite element method on hybrid meshes, including one in which we propose to use continuity constraints on hexahedral-tetrahedral non-conforming meshes. To measure the impact of meshes on the finite element accuracy, we develop a new sampling method which allows to compute efficiently global distances between finite element solutions defined on complicated 3D domains

Le forgeage à chaud est un procédé de formage des métaux utilisé pour former des matériaux qui sont difficiles à former à froid ainsi que pour réaliser des géométries complexes. La réduction de la limite d’élasticité à haute température et une augmentation subséquente de l’aptitude à la mise en forme constituent le principal mécanisme à l’origine du procédé. Les méthodes numériques constituent un moyen efficace de prédire les états de contrainte / déformation du produit à différentes étapes de la mise en forme. Bien que les méthodes classiques soient suffisamment précises pour fournir une représentation appropriée du procédé, elles ont tendance à être coûteuses en ressources informatiques. Cela limite leur utilisation dans des cas concret, en particulier pour des études d’optimisation du procédé. L’approche pseudo inverse (API), développée dans le contexte du forgeage à froid 2D axisymétrique, fournit une estimation rapide des champs de contrainte et de contrainte dans le produit final pour une forme initiale donnée. Dans ce travail, l’API est étendue pour inclure les effets thermiques et visco-plastiques dans le procédé de forgeage ainsi que dans le cas général 3D. Les résultats sont comparés aux codes commerciaux disponibles basés sur les approches classiques pour montrer l’efficacité et les limites de l’API. Les résultats obtenus indiquent que l’API est un outil assez efficace pouvant être utilisé à la fois pour des simulations 2D et 3D du forgeage à chaud. / Hot forging is a metal forming process used to form difficult-to-form materials as well as to achieve complex geometries. The reduction of yield stress at high temperatures and a subsequent increase in formability is the primary mechanism that drives the process. Numerical methods provide an efficient means to predict the material yield and the stress/strain states of the product at different stages of forming. Although classical methods are accurate enough to provide a suitable representation of the process, they tend to be computationally expensive. This limits its use in practical cases especially for process optimization. Pseudo Inverse Approach (PIA) developed in the context of 2D axisymmetric cold forming, provides a quick estimate of the stress and strain fields in the final product for a given initial shape. In this work, the PIA is extended to include the thermal and viscoplastic effects on the forging process as well as to the general 3D case. The results are compared with commercially available software, based on the classical approaches, to show the efficiency and the limitations of PIA. The results obtained indicate that PIA is a quite effective tool that can be used for both 2D and 3D simulations of hot forging.

Le but du travail présenté est la compréhension puis la simulation numérique des mécanismes d'érosion des augets de turbine Pelton par impacts répétés de gouttes d'eau dans le but de prédire la durée de vie des composants. Tout d'abord, les phénomènes de propagation d'ondes dans les milieux fluide et solide sont étudiés. Cela permet de mettre en lumière l'évolution temporelle et la distribution spatiale des pressions de contact, et l'apparition de microjets par éjection supersonique du fluide au contact. Les études expérimentales de l'érosion par gouttes d'eau traduisent un dommage basé sur la fissuration par fatigue. Des simulations numériques en dynamique rapide couplées fluide-structure sont alors effectuées. Le domaine solide est discrétisé par la Méthode des éléments Finis (MEF), et le domaine fluide par la méthode Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), qui est une méthode particulaire (sans maillage) particulièrement adaptée aux grandes distorsions et au suivi des surfaces libres. L'analyse des états de contraintes vient corroborer la nature cyclique de l'endommagement. La simulation d'érosion est alors réalisée à l'aide de critères de fatigue multiaxiaux. Le choix se porte vers un premier critère général de l'American Society of Mechanical Engineers (ASME), utilisant les valeurs principales des différences de contraintes au cours du temps. Le second choix concerne un critère à plan critique : le critère de Dang Van 2. Il traite séparément la contrainte hydrostatique et le cisaillement alterné maximal local. Ces critères permettent de définir les régions érodées du solide au bout d'un nombre d'impact donné, ce qui fait de cette démarche une méthode prédictive. Une étude paramétrique pour différentes tailles de gouttes et vitesses d'impact est ensuite réalisée, puis on évalue l'influence de la présence d'une couche de coating. / The goal of this work is the comprehension and the numerical simulation of erosion caused by repeated droplet impact on Pelton turbine buckets, to predict the lifetime of these components. First, waves propagation phenomenon inside fluid and solid domains are presented, which allows determining the time evolution and spatial distribution of contact pressure, and the birth of lateral microjets by supersonic ejection of the fluid on the contact. Experimental studies of erosion by droplet impact highlight a fatigue cracking-based erosion mechanism. Then, coupled FSI computation are performed. The solid subdomain is discretized by the Finite Element Method (FEM), and the fluid subdomain by the Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH), which is a particle method (meshless) effectively recommended for large distortions and free surface tracking. Stress analysis confirms the cyclic nature of the damage mechanism, and erosion simulation is performed using multiaxial fatigue criteria. The first selected criterion is a general one from the American Society of Mechanical Engineers (ASME) using principal values of stress differences over time. The second one is the Dang van 2 criterion, belonging to the family of critical plane criteria. This criterion considers separately the effects due to hydrostatic stress on one hand, and the ones induced by maximum local shear on the other. These two criteria are used to building the equivalent eroded zones of the solid subdomain for a given number of impacts, which allows to qualify this procedure as a predictive predictive. Finally, a parametric study for different droplet sizes and velocites is computed, and the effects of a coating layer are investigated.

Les Structures atomiques Quasi-périodiques (QP) possèdent des propriétés particulières, notamment dans le domaine vibrationnel. Il pourrait être intéressant de pouvoir transférer ces propriétés à des méta-matériaux macroscopiques. Des réseaux de poutres quasi-périodiques 2D sont étudiés dans cette thèse dans le cadre du modèle élément finis (EF) poutre Euler Bernoulli. Ces réseaux de poutres peuvent facilement être produits par fabrication additive ou par découpe laser. Il est possible de faire varier l'élancement des poutres (le ratio hauteur sur longueur) qui est un paramètre intéressant pour modifier la réponse mécanique du réseau. En utilisant la méthode EF, l'influence de l'élancement des poutres sur la réponse vibratoire des réseaux de poutres QP est étudiée. La méthode numérique Kernel Polynomial (KPM) est adaptée avec succès de la dynamique moléculaire aux réseaux de poutres pour étudier leurs modes de vibration sans avoir à diagonaliser complètement la matrice dynamique. Les réseaux de poutres QP présentent des propriétés similaires à leur compère atomique: en particulier la localisation de modes sur des sous-structures et une relation de dispersion hiérarchisée. Le comportement à la fracture est aussi étudié étant donné que les symétries présentes dans les QP pourraient permettre des réseaux de poutres ne présentant pas de plans faibles pour la propagation de fissures. Cela a été démontré d'après des calculs EF statiques avec un critère de fracture fragile sur l'énergie de déformation. Les simulations statiques ne suffisent pas car elles ne peuvent pas capturer les phénomènes dynamiques complexes qui apparaissent lors de la fissuration fragile. Les propriétés de vibration du QP pourraient aussi avoir un impact sur la propagation dynamique de fissure. Un modèle dynamique de fissuration est développé afin d'étudier l'impact de l'élancement sur la capacité des réseaux de poutres QP à dissiper de l'énergie par fissuration. Finalement une méthode Coarse Graining est développée pour identifier un milieu Cosserat continu équivalant au réseau de poutres QP pour différentes échelles. Cette méthode permet d'identifier la densité, les déformations, les contraintes et donc les modules d'élasticité du milieu Cosserat équivalent, permettant ainsi une meilleure compréhension du rôle des sous structures précédemment identifiées. / Quasi periodic (QP) structures have shown peculiar properties in the atomistic domain, especially the vibrational one. It could be interesting to be able to transpose these properties in macroscopic meta-materials. Quasi periodic 2D beam lattices are studied in this thesis due to the simplicity of the Euler Bernoulli finite element (FE) model. These beam lattices can easily be produced by additive manufacturing or by laser cutting. It is possible to vary the beam slenderness (i.e the ratio of height over length) that is a interesting parameter to modify the mechanical response of the lattice. Using finite element method, the influence of the beam slenderness over the vibration behavior of the QP beam lattices will be studied. The Kernel Polynomial numerical Method (KPM) is successfully adapted from molecular dynamics simulations in order to study vibrational modes of FE beam lattices without having to fully diagonalize the dynamical matrix. The QP lattices show similar properties as their atomic counterpart e.g mode localization over sub-stuctures and hierarchical dispersion relation. The fracture behavior is also studied, as the special symmetries allowed by the quasi periodicity could result in beam lattices without weak planes for crack propagation. It was proved to be true from static FE simulations with a brittle strain energy breaking criterion. Static simulations were not enough and do not grasp the complex dynamical phenomena taking place in brittle fracture. A dynamic crack propagation model was thus developed. The vibrational properties of quasi periodic structures could also have an impact on the dynamic crack propagation. Several simulations are run in order to study the impact of the slenderness on the energy dissipated by fracture of QP lattices. Finally, a coarse graining method (CG) was developed to identify a continuous Cosserat medium at different scales from the FE beam model. This CG method allows to identify, density, strain, stress and elastic moduli of an equivalent continuous Cosserat. This allows a better understanding of the role of previously identified characteristic sub structures.

Pour l’évaluation de la résistance ultime des ouvrages l’ingénieur de génie civil fait appel à différentes méthodes plus ou moins empiriques, dont de nombreuses manuelles, du fait de la lourdeur excessive des méthodes par éléments finis non-linéaires mises en œuvre dans les logiciels de calcul à sa disposition. Le calcul à la rupture, théorisé par J. Salençon, indique la voie de méthodes rigoureuses, tout à fait adaptées à cette problématique, mais dont la mise en œuvre systématique dans un logiciel a longtemps buté sur l’absence de méthodes numériques efficaces. Ce verrou de mathématique numérique a été levé récemment (Algorithme de point intérieur).Dans ce contexte l’objectif de la présente thèse est de mettre au point les méthodes permettant d’analyser, au moyen du calcul à la rupture, la capacité ultime d’éléments en béton armé tridimensionnels. Les deux approches du calcul à la rupture, que sont les approches statique et cinématiques, seront mises en œuvre numériquement sous la forme d’un problème d’optimisation résolu à l’aide d’un solveur mathématique dans le cadre de la programmation semi définie positive (SDP).Une large partie du travail sera consacré à la modélisation des différents matériaux constituant le béton armé. Le choix du critère pour modéliser la résistance du béton sera discuté, tout comme la méthode pour prendre en compte le renforcement. La méthode d’homogénéisation sera utilisée dans le cas de renforcement périodique et une adaptation de cette méthode sera utilisée dans le cas de renforts isolés. Enfin, les capacités et le potentiel de l’outil développé et mis en œuvre au cours de cette thèse seront exposés au travers d’exemples d’application sur des structures massives / To evaluate the load bearing capacity of structures, civil engineers often make use of empirical methods, which are often manuals, instead of nonlinear finite element methods available in existing civil engineering softwares, which are long to process and difficult to handle. Yield design (or limit analysis) approach, formalized by J. Salençon, is a rigorous method to evaluate the capacity of structures and can be used to answer the question of structural failure. It was, yet, not possible to take advantage of these theoretical methods due to the lack of efficient numerical methods. Recent progress in this field and notably in interior point algorithms allows one to rethink this opportunity. Therefore, the main objective of this thesis is to develop a numerical model, based on the yield design approach, to evaluate the ultimate capacity of massive (3D) reinforced concrete structural elements. Both static and kinematic approaches are implemented and expressed as an optimization problem that can be solved by a mathematical optimization solver in the framework of Semi-Definite Programming (SDP).A large part of this work is on modelling the resistance of the different components of the reinforced concrete composite material. The modelling assumptions taken to model the resistance of concrete are discussed. And the method used to model reinforcement is also questioned. The homogenization method is used to model periodic reinforcement and an adaptation of this technique is developed for isolated rebars. To conclude this work, a last part is dedicated to illustrate the power and potentialities of the numerical tool developed during this PhD thesis through various examples of massive structures

Le chapitre 1 porte sur une équation des ondes monodimensionnelle soumise à une condition aux limites unilatérale. Sous des hypothèses de régularité appropriées sur les données initiales, une nouvelle preuve d’existence et d’unicité est proposée. La méthode de redistribution de masse qui repose sur une redistribution de la masse d’un corps de telle sorte qu’il n’y ait pas d’inertie au niveau du nœud de contact est introduite et sa convergence est prouvée. Une approximation de ce problème d’évolution combinant la méthode des éléments finis ainsi que la méthode de redistribution de masse est analysée dans le chapitre 2. Puis deux problèmes ainsi que leurs solutions analytiques respectives (l’une étant nouvelle) sont présentés et des discrétisations possibles en utilisant différentes méthodes d’intégration en temps sont décrites. Enfin, des simulations numériques de ces problèmes sont reportées. Dans le chapitre 3, la masse des nœuds de contact est redistribuée sur les autres nœuds et sa convergence ainsi qu’une estimation de l’erreur en temps sont établies. Ensuite, une solution analytique déjà introduite dans le chapitre 3 est comparée aux approximations obtenues pour plusieurs redistributions de masse possibles mettant ainsi en évidence que plus une redistribution de masse d’un corps se fait à proximité des nœuds de contact meilleures sont les solutions approchées obtenues. Les problèmes de contact élastodynamique en dimension d’espace deux et trois sont étudiés dans le chapitre 4. Comme pour les problèmes de contact monodimensionnels, une solution approchée combinant les éléments finis et la redistribution de masse est exposée. Quelques simulations numériques utilisant des méthodes d’intégration en temps mettent en évidence les propriétés de convergence de la méthode de redistribution de masse. / The chapter 1 focuses on a one–dimensional wave equation being subjected to a unilateral boundary condition. Under appropriate regularity assumptions on the initial data, a new proof of existence and uniqueness results is proposed. The mass redistribution method based on a redistribution of the body mass such that there is no inertia at the contact node is introduced and its convergence is proved. An approximation of this evolutionary problem combining the finite element method as well as the mass redistribution method is analyzed in chapter 2. Then two benchmark problems (one being new) with their analytical solutions are presented and some possible discretizations using different time–integration schemes are described. Finally, numerical experiments for these benchmark problems are reported. In chapter 3, the mass of the contact nodes is redistributed on the other nodes and its convergence as well as an error estimate in time are established. Then an analytical solution already introduced in chapter 3 is compared to approximate ones obtained for different choices of mass redistribution highlighting that more a mass redistribution of the body is done near the contact nodes better the approximate solutions are obtained. The two and three–dimensional elastodynamic contact problems are studied in chapter 4. As for the one–dimensional contact problems, an approximated solution combining the finite element and mass redistribution methods is exhibited. Some numerical experiments using time–integration methods highlighted the convergence properties of the mass redistribution method.