In the design of digital signal processing systems, where single-precision results are required, the power dissipation and area of parallel multipliers can be significantly reduced by truncating the less significant columns and compensating to produce an approximate rounded product. This dissertation presents the design of truncated multiplications of signed inputs utilizing a new number system, the negative fractional two's complement number system which solves an inherent problem of the conventional two's complement number system. This research also presents a new truncated multiplication method to reduce the errors with only slightly more hardware. Error, area, delay and dynamic power estimates are performed at the structural HDL level. The new method is also applied to various conventional number systems. For division, which is the slowest and most complex of the arithmetic operations, a new truncated division method is described that yields the same errors as those of true rounding without additional execution time that is normally required for true rounding. The new method is also applied to various conventional number systems.

Στην παρούσα διπλωματική εργασία έγινε υλοποίηση και πειραματική αξιολόγηση μιας μεθοδολογίας η οποία έχει αναπτυχθεί στο Εργαστήριο Ολοκληρωμένων Κυκλωμάτων και αφορά τη βελτιστοποίηση του Πολλαπλασιασμού Πίνακα επί Διάνυσμα (ΠΠΔ) σε μονοπύρηνους και πολυπύρηνους επεξεργαστές. Η μεθοδολογία εκμεταλλεύεται το σύνολο των χαρακτηριστικών της αρχιτεκτονικής που χρησιμοποιείται και συγκεκριμένα (α) την ιεραρχία της μνήμης, (β) το μέγεθος της κρυφής μνήμης, (γ) το βαθμό συσχέτισης κάθε επιπέδου της κρυφής μνήμης, (δ) την καθυστέρηση της μνήμης και (ε) το πλήθος των πυρήνων. Είναι η πρώτη φορά που λαμβάνεται υπόψη ο βαθμός συσχέτισης της μνήμης. Σκοπός της μεθοδολογίας είναι η βελτιστοποίηση με βάση όλες τις παραμέτρους μαζί και όχι καθεμία ξεχωριστά. Για να βελτιωθεί η απόδοση προτείνεται διαφορετικός χρονοπρογραμματισμός ανάλογα με το μέγεθος του πίνακα. Για την πειραματική αξιολόγηση χρησιμοποιήθηκαν οι επεξεργαστές γενικού σκοπού Intel Core 2 Duo E6065 και Τ6600, ο Intel i7-3930K και ο ενσωματωμένος επεξεργαστής ειδικού σκοπού Microblaze από το Virtex-5 FPGA (Xilinx). Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με την state-of-the-art βιβλιοθήκη ATLAS (Automatically Tuned Linear Algebra Software) και παρουσιάζουν βελτίωση 30%. Από τα πειραματικά αποτελέσματα είναι φανερό ότι η κύρια μνήμη είναι το bottleneck του προβλήματος. Επίσης, η απόδοση βελτιώνεται όταν αλλάζει το layout του πίνακα τόσο σε μονοπύρηνες όσο σε πολυπύρηνες αρχιτεκτονικές. Όσον αφορά τη μέθοδο του tiling τα πειραματικά αποτελέσματα δείχνουν ότι η μείωση των αστοχιών δεν βελτιώνει πάντα την απόδοση γιατί υπάρχει trade-off ανάμεσα στο μέγεθος του tile και στις εντολές διευθυνσιοδότησης. Επίσης, είναι φανερό ότι στις πολυπύρηνες αρχιτεκτονικές δεν υπάρχει γραμμική σχέση της απόδοσης και του πλήθους των πυρήνων που χρησιμοποιούνται. Αυτό οφείλεται στο περιορισμένο εύρος ζώνης της μνήμης. / The subject of this MSc Thesis is the implementation and the experimental evaluation of a methodology that has been developed at the Laboratory of Integrated Circuits and optimizes the Matrix Vector Multiplication (MVM) in single-core and multi-core processors. The methodology fully exploits the characteristics of the architecture. Specifically, it exploits (a) the hierarchy of the memory, (b) the cache size, (c) the cache associativity, (d) the memory latency and (e) the number of the cores. It is the first time that the cache associativity is taken into account. The methodology optimizes all the parameters together as one problem and not separately. A different scheduling is proposed according to the size of the matrix. The general purpose processors Intel Core 2 Duo E6065, Intel Core 2 Duo T6600 and Intel i7-3930K and the embedded processor Virtex-5 Microblaze have been used. The results have been compared with the state-of-the-art library ATLAS (Automatically Tuned Linear Algebra Software) and the performance is improved by 30%. According to the experimental results, it is obvious that the bottleneck is the memory latency. Moreover, the performance is increased when a new way of saving the matrix in the main memory (data array layout) is used in both single-core and multi-core architectures. As far as the tiling is concerned, the experimental results indicate that the decrease of the misses does not always improve the performance because there is a trade-off between the tile size and the addressing instructions. According to the experimental results, as far as multicore architectures are concerned, there is no linear relation between the performance and the number of the cores, because of the limited memory bandwidth.

Η παρούσα διπλωματική εργασία αφορά στη μελέτη της ανάπτυξης της πολλαπλασιαστικής σκέψης των μαθητών του Δημοτικού Σχολείου. Σκοπός της έρευνας ήταν η αξιολόγηση της επίδοσης των μαθητών των δύο τελευταίων τάξεων του Δημοτικού Σχολείου σε προβλήματα αναλογίας, ως χαρακτηριστικό παράδειγμα προβλημάτων πολλαπλασιαστικής σκέψης, όσο και η διερεύνηση των μαθηματικών στρατηγικών που χρησιμοποιούν για την επίλυση αυτών. Η πολλαπλασιαστική σκέψη αποτελεί μία ιδιαίτερα σημαντική ικανότητα που παρέχει τη δυνατότητα στους μαθητές να σχεδιάζουν εύστοχες στρατηγικές λύσης σε κατηγορίες προβλημάτων που έχουν αυξημένες δυσκολίες δομής και περιεχομένου. Τα δεδομένα που συλλέχθηκαν συγκρίθηκαν μεταξύ των μαθητών των δύο τάξεων και διαπιστώθηκαν οι διαφορές μεταξύ αυτών. Με τον τρόπο αυτό, ερμηνεύθηκε ο ρόλος της ηλικίας των μαθητών, ως παράγοντας που συνδέεται με την ανάπτυξη της πολλαπλασιαστικής σκέψης. Η έρευνα έδειξε ότι οι μαθητές και των δύο τάξεων παρουσιάζουν ιδιαίτερα σημαντικές δυσκολίες στην επίλυση προβλημάτων αναλογίας. Ταυτόχρονα, φαίνεται ότι οι μεγαλύτεροι σε ηλικία μαθητές έχουν μεγαλύτερη ικανότητα στη λύση των προβλημάτων. Τέλος, η έρευνα δείχνει ότι η δομή και το περιεχόμενο των προβλημάτων αυτών αποτελούν παράγοντες που επηρεάζουν τους μαθητές στη διαδικασία επίλυσης που επιλέγουν να εφαρμόσουν. / This thesis concerns the study of the development of multiplicative thinking of primary school students. The purpose of this study was to evaluate the performance of grade 5 and grade 6 students on proportional problems, as an example of multiplicative thinking problems, and exploring mathematical strategies used to solve them. The multiplicative thinking is a very important skill that enables students to design targeted strategies in different categories of proportional problems which have increased difficulties in structure and content. The collected data were compared between students of the two grades and found the differences between them. In this way interpreted the role of students’ age, as a factor associated with the development of multiplicative thinking. The survey shows that the students of both grades have substantial difficulties in solving proportional problems. At the same time, the survey appears that the older students have greater ability in problem solving. Finally, research shows that the structure and the content of these problems are factors that affect students in the process of resolving which they choose to apply.

Η προσασρμοστική μάθηση (adaptive learning) είναι μια εκπαιδευτική μέθοδος η οποία χρησιμοποιεί κάποιο υπολογιστικό σύστημα ως διαδραστική συσκευή διδασκαλίας αναλαμβάνοντας να προσαρμόσει την παρουσίαση του εκπαιδευτικού υλικού σύμφωνα με τις ανάγκες των μαθητών, όπως αυτές προκύπτουν από τις απαντήσεις τους στις ερωτήσεις και τις εργασίες αλλά και γενικότερα παρατηρώντας παραμέτρους της συμπεριφοράς τους στο σύστημα. Η τεχνολογία που υποστηρίζει τη συγκεκριμένη εκπαιδευτική μέθοδο περιλαμβάνει τις πτυχές που προέρχονται από διάφορους επιστημονικούς τομείς όπως η επιστήμη των υπολογιστών, η εκπαίδευση και η ψυχολογία. Η προσαρμοστικής μάθηση έχει οδηγηθεί εν μέρει από τη συνειδητοποίηση ότι προσωπική μάθηση δεν μπορεί να επιτευχθεί σε μια μεγάλη κλίμακα χρησιμοποιώντας παραδοσιακές, μη-προσαρμοστικές προσεγγίσεις. Τα συστήματα προσαρμοστικής μάθησης στοχεύουν στο να μετατρέψουν τον μαθητή από παθητικό δέκτη πληροφοριών σε συνεργαζόμενο και ενεργό μέλος στην εκπαιδευτική διαδικασία. Ενώ μπορεί να υπάρχουν εξαιρέσεις, τα συστήματα προσαρμοστικής μάθησης είναι γενικά χτισμένα με τρία βασικά στοιχεία: ένα μοντέλο εμπειρογνώμονα ή περιεχομένου, ένα μοντέλο μαθητή, και ένα εκπαιδευτικό ή διδασκαλικό μοντέλο. Στα πλαίσια της διπλωματικής αυτής εργασίας μεταπτυχιακής ειδίκευσης αναπτύχθηκε ένα ηλεκτρονικό εκπαιδευτικό παιχνίδι για φορητή συσκευή το οποίο απευθύνεται σε μαθητές επιπέδου δημοτικού σχολείου και υιοθετεί τις αρχές της προσαρμοστικής μάθησης. Στόχος του παιχνιδιού είναι η εξάσκηση και η σταδιακή βελτίωση εκμάθησης της προπαίδειας. Το εκπαιδευτικό παιχνίδι υλοποιήθηκε σε LUA (Corona SDK) και δοκιμάστηκε σε Android συσκευές. Για να καθοριστούν οι λειτουργικές προδιαγραφές διερευνήθηκαν και καταγράφηκαν ήδη υπάρχοντα αντίστοιχα εκπαιδευτικά παιχνίδια, πραγματοποιήθηκε συνέντευξη με έμπειρη εκπαιδευτικό ώστε να προσαρμοστεί ο σχεδιασμός του σεναρίου του παιχνιδιού στην εκπαιδευτική πρακτική που εφαρμόζεται στο σχολείο, ενώ αφού ολοκληρώθηκε η υλοποίηση πραγματοποιήθηκαν δοκιμές με μαθητές α’, β’, γ’ δημοτικού ώστε να διερευνηθεί η αποτελεσματικότητα του εκπαιδευτικού παιχνιδιού. / Adaptive learning is an educational method that uses a computer system as an interactive teaching apparatus undertaking to adjust the presentation of educational material according to the needs of students, as reflected by their answers to the questions and work well generally observing aspects of their behavior in the system. The technology that supports this educational method includes aspects from different disciplines such as computer science, education and psychology. Adaptive learning has been driven in part by the realization that personal learning can not be achieved on a large scale using traditional non-adaptive approaches. Adaptive learning systems aim to transform the student from passive recipient of information at a partner and active member in the educational process. While there may be exceptions, adaptive learning systems are generally built with three key elements: a model expert or content, a user model, and an educational teaching model. As part of this thesis postgraduate specialization developed an online educational game for mobile device which is aimed at primary school level students and adopts the principles of adaptive learning. The objective of the game is to practice and the gradual improvement of learning the multiplication tables. The educational game implemented in LUA (Corona SDK) and tested on Android devices. To determine the functional specifications were investigated and recorded existing respective educational games, interviewed by experienced teacher to fit the design of the scenario of the game in the educational practice at school, and after the completed implementation was tested with students a, b, c grade to investigate the effectiveness of educational game.

Πολλές εφαρμογές ψηφιακής επεξεργασίας σημάτων (DSP) και πολυμέσων μπορούν να ωφεληθούν από τη χρήση ενός αριθμητικού συστήματος υπολοίπων (RNS). Ανάμεσα στους πιο συχνά χρησιμοποιούμενους διαιρέτες σε τέτοια συστήματα είναι αυτοί της μορφής 2^n - 1 και 2^n + 1, ενώ ανάμεσα στις πιο συχνά χρησιμοποιούμενες λειτουργίες βρίσκονται ο πολλαπλασιασμός και το άθροισμα τετραγώνων. Οι λειτουργίες αυτές προς το παρόν υλοποιούνται με τη χρήση ξεχωριστών μονάδων και συνεχόμενων κύκλων μηχανής. Στην παρούσα εργασία προτείνονται δύο αρχιτεκτονικές για μονάδες οι οποίες μπορούν να εκτελέσουν είτε το X * Y είτε το X^2 + Y^2, ανάλογα με την τιμή ενός σήματος ελέγχου. Εξετάζεται τόσο η modulo 2^n - 1, όσο και η ελαττωμένη κατά ένα modulo 2^n + 1 αριθμητική. / Digital signal processing (DSP) and multimedia applications often profit from the use of a Residue Number System (RNS). Among the most commonly used moduli in such systems are those of 2^n - 1 and 2^n + 1 form and among the most commonly used operations are multiplication and sum-of-squares. These operations are currently performed using distinct design units and consecutive machine cycles. In this paper, we propose two architectures for units that perform either the X * Y or the X^2 + Y^2 operation depending on the value of a control signal. Both modulo 2^n - 1 and diminished-1 2^n + 1 arithmetic is considered.

Στόχος της εργασίας είναι η μελέτη πιθανοτικών αλγορίθμων για προσεγγιστική επίλυση προβλημάτων του επιστημονικού υπολογισμού. Τα προβλήματα τα οποία θα μας απασχολήσουν είναι ο πολλαπλασιασμός μητρών, ο υπολογισμός της διάσπασης ιδιαζουσών τιμών (SVD) ενός μητρώου και ο υπολογισμός μιας "συμπιεσμένης" διάσπασης ενός μητρώου. / -

This study revolves around operators defined by conditional expectations and operators generated by random measures. Studies of operators in function spaces defined by conditional expectations first appeared in the mid 1950's by S-T.C. Moy [22] and S. Sidak [26]. N. Kalton studied them in the setting of Lp-spaces 0 < p < 1 in [15, 131 and in L1-spaces, [14], while W. Arveson [5] studied them in L2-spaces. Their averaging properties were studied by P.G. Dodds and C.B. Huijsmans and B. de Pagter in [7] and C.B. Huijsmans and B. de Pagter in [lo]. A. Lambert [17] studied their relationship with multiplication operators in C*-modules. It was shown by J.J. Grobler and B. de Pagter [8] that partial integral operators that were studied A.S. Kalitvin et a1 in [2, 4, 3, 11, 121 and the special cases of kernel operators that were, inter alia, studied by A.R. Schep in [25] were special cases of conditional expectation operators. On the other hand, operators generated by random measures or pseudo-integral operators were studied by A. Sourour [28, 271 and L.W. Weis [29,30], building on the studies of W. Arveson [5] and N. Kalton [14, 151, in the late 1970's and early 1980's. In this thesis we extend the work of J.J. Grobler and B. de Pagter [8] on Multiplication Conditional Expectation-representable (MCE-representable) operators. We also generalize the result of A. Sourour [27] and show that order continuous linear maps between ideals of almost everywhere finite measurable functions on u-finite measure spaces are MCE-representable. This fact enables us to easily deduce that sums and compositions of MCE-representable operators are again MCE-representable operators. We also show that operators generated by random measures are MCE-representable. The first chapter gathers the definitions and introduces notions and concepts that are used throughout. In particular, we introduce Riesz spaces and operators therein, Riesz and Boolean homomorphisms, conditional expectation operators, kernel and absolute T-kernel operators. In Chapter 2 we look at MCE-operators where we give a definition different from that given by J.J. Grobler and B. de Pagter in [8], but which we show to be equivalent. Chapter 3 involves random measures and operators generated by random measures. We solve the problem (positively) that was posed by A. Sourour in [28] about the relationship of the lattice properties of operators generated by random measures and the lattice properties of their generating random measures. We show that the total variation of a random signed measure representing an order bounded operator T, it being the difference of two random measures, is again a random measure and represents ITI. We also show that the set of all operators generated by a random measure is a band in the Riesz space of all order bounded operators. In Chapter 4 we investigate the relationship between operators generated by random measures and MCE-representable operators. It was shown by A. Sourour in [28, 271 that every order bounded order continuous linear operator acting between ideals of almost everywhere measurable functions is generated by a random measure, provided that the measure spaces involved are standard measure spaces. We prove an analogue of this theorem for the general case where the underlying measure spaces are a-finite. We also, in this general setting, prove that every order continuous linear operator is MCE-representable. This rather surprising result enables us to easily show that sums, products and compositions of MCE-representable operator are again MCE-representable. Key words: Riesz spaces, conditional expectations, multiplication conditional expectation-representable operators, random measures. / Thesis (Ph.D. (Mathematics))--North-West University, Potchefstroom Campus, 2004.

A number of interventional procedures such as cardiac catheterization, angiography and the deployment of endovascular devices are routinely performed using x-ray fluoroscopy. To minimize the patient’s exposure to ionizing radiation, each fluoroscopic image is acquired using a very low x-ray exposure (~ 1 uR at the detector). At such an exposure, most semiconductor-based digital flat panel detectors (FPD) are not x-ray quantum noise limited (QNL) due to the presence of electronic noise which substantially degrades their imaging performance. The goal of this thesis was to investigate how a FPD based on amorphous selenium (a-Se) with internal avalanche multiplication gain could be used for QNL fluoroscopic imaging at the lowest clinical exposures while satisfying all of the requirements of a FPD for interventional radiology. Towards this end, it was first determined whether a-Se can reliably provide avalanche multiplication gain in the solid-state. An experimental method was developed which enabled the application of sufficiently large electric field strengths across the a-Se. This method resulted in avalanche gains as high as 10000 at an applied field of 105 V/um using optical excitation. This was the first time such high avalanche gains have been reported in a solid-state detector based on an amorphous material. Secondly, it was investigated how the solid-state a-Se avalanche detector could be used to image X-rays at diagnostic radiographic energies (~ 75 kVp). A dual-layered direct-conversion FPD architecture was proposed. It consisted of an x-ray drift region and a charge avalanche multiplication region and was found to eliminate depth-dependent gain fluctuation noise. It was shown that electric field strength non-uniformities in the a-Se do not degrade the detective quantum efficiency (DQE). Lastly, it was determined whether the solid-state a-Se avalanche detector satisfies all of the requirements of interventional radiology. Experimental results have shown that the total noise produced by the detector is negligible and that QNL operation at the lowest fluoroscopic exposures is indeed possible without any adverse effects occurring at much larger radiographic exposures. In conclusion, no fundamental obstacles were found preventing the use of avalanche a-Se in next-generation solid-state QNL FPDs for use in interventional radiology.

Darbe analizuojamos slankaus kablelio daugybos apskaičiavimo problemos. Pirmame darbo skyriuje analizuojamas slankaus kablelio vertimas iš dešimtainės sistemos į dvejetainę sistemą ir atvirkščiai. Tai reikalinga atlikti tam, kad išryškėtų nagrinėjamos problemos aktualumas. Jau verčiant dešimtainį didelio tikslumo skaičių į dvejetainį ir atgal į dešimtainį, nukenčia jo tikslumas, o dar labiau tai išryškėja vykdant veiksmus. Taip pat pirmame skyriuje paskutiniame poskyryje pateikiau keletą istorinių katastrofų faktų, kurie kilo būtent dėl slankiojo kablelio tikslumo problemų. Antrame darbo skyriuje analizuojamos aparatūrinės ir programinės įrangos problemos, kylančios realizuojant slankiojo kablelio daugybą. Šiame skyriuje gvildenta aparatūrinės įrangos įtaka algoritmų spartai, taip pat programinės įrangos įtaka gautam rezultato tikslumui ir apskaičiavimo spartai. Šiame skyriuje taip pat aprašyti ir keli slankiojo kablelio realizacijos algoritmai. Trečiame skyriuje pateikti algoritmo realizacijos reikalavimai, aprašytos pagrindinės problemos, su kuriomis buvo susidurta vykdant algoritmo realizaciją. Apibendrinti pateikiami ir rezultatai. Darbo gale pateikiamos darbo išvados, o prieduose pateikta algoritmo realizacija – programinio kodo fragmentai ir jų komentarai. / The paper analyzes the calculation of floating-point multiplication problems. The first chapter analyzes the translation of the floating-point decimal system to binary system and vice versa. It is necessary to make certain that the issue is clearly brought problem. High-precision decimal numbers translating into binary and back to decimal numbers. Even after these actions we have a loss of accuracy, and even more so come on in action. It is also the first chapter of the last section I presented some of the historical catastrophe of the facts that have arisen precisely because of the floating point precision problems. The second chapter analyzes the hardware and software problems for the realization of floating-point multiplication. This chapter examined the influence of algorithms hardware speed, as well as a software power and accuracy of the results obtained in calculating the rates. It also includes a description and a few floating-point realization algorithms. The third section of the Algorithm Implementation Requirements, described the main problems encountered in the realization of the algorithm. And summarize the results. Work at the end of the conclusions and annexes of the algorithm implementation - programming code snippets and comments.

Undervisning om multiplikationstabellen består främst av lärande genom repetition eller strategi. Syftet med litteraturstudien är att utifrån forskning undersöka och jämföra inlärning av multiplikationstabellen genom strategi- och repetitionsbaserad undervisning. Studien avgränsas till elever i årskurs 1 till 6. Materialet samlades in genom en iterativ sökning på åtta databaser för vetenskapliga publikationer. Det insamlade materialet bestod av sjutton vetenskapliga publikationer. Resultatet visade att både lärande genom repetition och lärande genom strategi möjliggör för elever att automatisera multiplikationstabellen. Resultatet visade också att lärande genom strategi gör att elever kan använda sina kunskaper i nya matematiska sammanhang. En nackdel med lärande genom repetition är att det är svårt att lära sig multiplikationstabellen utan att använda mönster och samband. Strategi- och repetitionsbaserad undervisning leder till olika felsvar. Felsvaren förklaras bland annat med att eleven övat för lite eller att de har en bristande taluppfattning. Forskningen presenterar en stadieteori som beskriver lärandet av multiplikationstabellen och två olika teorier som beskriver hur multiplikationskombinationer memoreras. Kombinationerna memoreras som enskilda enheter eller som system av sammankopplade erfarenheter. / Teaching of the multiplication table mainly consists of learning through drill or learning through strategy. The aim of this literature study is to investigate and compare the learning of the multiplication table through strategy and drill. The study is an analysis of previous research and limited to research on pupils in grade 1 to 6. The material was collected through an iterative search in eight databases of scientific literature. The retrieved material contained seventeen scientific publications. The analysis showed that both learning through drill as well as learning through strategy make pupils develop automaticity of the multiplication table. It also showed that learning based on strategies enable pupils to use acquired knowledge in new mathematical areas. A disadvantage of learning through drill is that it is difficult to learn multiplication facts without utilizing patterns and connections. Pupils make different errors depending on whether they have been taught through strategies or through drill. Errors are explained with a variety of factors, for instance a lack of practice or a lack of number sense. Previous research present three phases that pupils go through in order to master the multiplication table and two different theo-ries of how the multiplication facts are memorized. The multiplication facts are memorized either as separate entities or as a system of interrelated experiences.