[pt] Métodos da teoria de martingais tem sido amplamente utilizados em matemática nos últimos decênios. Mais recentemente, eles também vêm sendo usados em matemática atuarial. Nesta tese discutimos um exemplo de aplicação desta metodologia na demonstração do teorema clássico de Cramér-Lundberg para o problema da ruína. / [en] In the last decades martingale theory tools have been extensively in mathematical finance. More recently, they have also been used in actuarial mathematics. In this thesis we illustrate this methodology in the proof of the classical Lundberg-Crámer theorem for the ruin problem.

[pt] Esta dissertação é dedicada ao estudo das taxas de convergência no Teorema Central do Limite para Martingais. Começamos a primeira parte da tese apresentando a Teoria de Martingais, introduzindo o conceito de esperança condicional e suas propriedades. Desta forma poderemos descrever o que é um Martingal, mostraremos alguns exemplos, e exporemos alguns dos seus principais teoremas. Na segunda parte da tese vamos analisar o Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias, apresentando os conceitos de função característica e convergência em distribuição, que serão utilizados nas provas de diferentes versões do Teorema Central do Limite. Demonstraremos três formas do Teorema Central do Limite, para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, a de Lindeberg-Feller e para uma Poisson. Após, apresentaremos o Teorema Central do Limite para Martingais, demonstrando uma forma mais geral e depois enunciaremos uma forma mais específica a qual focaremos o resto da tese. Por fim iremos discutir as taxas de convergência no Teorema Central do Limite, com foco nas taxas de convergência no Teorema Central do Limite para Martingais. Em particular, exporemos o resultado de [4], o qual determina, até uma constante multiplicativa, a dependência ótima da taxa de um certo parâmetro do martingal. / [en] This dissertation is devoted to the study of the rates of convergence in the Martingale Central Limit Theorem. We begin the first part presenting the Martingale Theory, introducing the concept of conditional expectation and its properties. In this way we can describe what a martingale is, present examples of martingales, and state some of the principal theorems and results about them. In the second part we will analyze the Central Limit Theorem for random variables, presenting the concepts of characteristic function and the convergence in distribution, which will be used in the proof of various versions of the Central Limit Theorem. We will demonstrate three different forms of the Central Limit Theorem, for independent and identically distributed random variables, Lindeberg-Feller and for a Poisson distribution. After that we can introduce the Martingale Central Limit Theorem, demonstrating a more general form and then stating a more specific form on which we shall focus. Lastly, we will discuss rates of convergence in the Central Limit Theorems, with a focus on the rates of convergence in the Martingale Central Limit Theorem. In particular, we state results of [4], which determine, up to a multiplicative constant, the optimal dependence of the rate on a certain parameter of the martingale.

Neste trabalho, estudamos o passeio aleatório do elefante introduzido em (SCHUTZ; TRIMPER, 2004). Um processo estocástico não Markoviano com memória de alcance ilimitada que apresenta transição de fase. Nosso objetivo é demonstrar a convergência quase certa do passeio aleatório do elefante nos casos subcrítico e crítico. Além destes resultado, também apresentamos a demonstração do Teorema Central do Limite para ambos os regimes. Para o caso supercrítico, vamos demonstrar a convergência do passeio aleatório do elefante para uma variável aleatória não normal com base nos artigos (BAUR; BERTOIN, 2016), (BERCU, 2018) e (COLETTI; GAVA; SCHUTZ, 2017b). / In this work we study the elephant random walk introduced in (SCHUTZ; TRIMPER, 2004), a discrete time, non-Markovian stochastic process with unlimited range memory that presents phase transition. Our objective is to proof the almost sure convergence for the subcritical and critical regimes of the model. We also present a demonstration of the Central Limit Theorem for both regimes. For the supercritical regime we proof the convergence of the elephant random walk to a non-normal random variable based on the articles (BAUR; BERTOIN, 2016), (BERCU, 2018) and (COLETTI; GAVA; SCHUTZ, 2017b).

Neste trabalho, estudamos o passeio aleatório do elefante introduzido em (SCHUTZ; TRIMPER, 2004). Um processo estocástico não Markoviano com memória de alcance ilimitada que apresenta transição de fase. Nosso objetivo é demonstrar a convergência quase certa do passeio aleatório do elefante nos casos subcrítico e crítico. Além destes resultado, também apresentamos a demonstração do Teorema Central do Limite para ambos os regimes. Para o caso supercrítico, vamos demonstrar a convergência do passeio aleatório do elefante para uma variável aleatória não normal com base nos artigos (BAUR; BERTOIN, 2016), (BERCU, 2018) e (COLETTI; GAVA; SCHUTZ, 2017b). / In this work we study the elephant random walk introduced in (SCHUTZ; TRIMPER, 2004), a discrete time, non-Markovian stochastic process with unlimited range memory that presents phase transition. Our objective is to proof the almost sure convergence for the subcritical and critical regimes of the model. We also present a demonstration of the Central Limit Theorem for both regimes. For the supercritical regime we proof the convergence of the elephant random walk to a non-normal random variable based on the articles (BAUR; BERTOIN, 2016), (BERCU, 2018) and (COLETTI; GAVA; SCHUTZ, 2017b).

[pt] O trabalho tem como objetivo ser uma introdução ao estudo de mercados financeiros tratados em tempo discreto com horizonte finito, bem como a dinâmica dos ativos financeiros principais. Descrevemos os tipos de ativos negociados em nosso mercado, dando enfoque aos contratos. Elaboraremos a hipótese central do modelo, a ausência de arbitragem e assim mostraremos como poderemos encontrar um preço correto ou então apresentaremos um intervalo de preços para os contratos. Posteriormente, mostraremos resultados gerais relativos à correta precificação de contratos, usando para isso os instrumentos de processos estocásticos e martingais. Apresentaremos alguns exemplos a título de ilustração. / [en] The dissertation aims to be an introduction to the study of financial markets in discrete time with finite horizon, as well as the dynamics of the main financial assets. We describe the types of assets traded in the market, focusing on contracts. We will elaborate the central hypothesis of the model, the absence of arbitrage and thus show how we can find a correct price or, at least, a range of prices of the contracts. Subsequently, we will show general results regarding how to find correct prices for contracts, using the machinery of stochastic processes and martingales.As an illustration, we present some examples.

[pt] Na primeira parte dessa tese, estudamos o desvio no número de triângulos com respeito à média em ambos os modelos de grafos aleatórios G(n,m) e G(n, p). Focamos no caso em que o grafo aleatório é esparso, no qual a densidade de arestas vai para zero quando o número de vértices cresce para o infinito. Nosso foco também reside no caso de desvios moderados, i.e., aqueles cuja ordem está entre o desvio padrão e a média. Além disso, também derivamos o mesmo tipo de resultado para cerejas (caminhos de comprimento dois). Na segunda parte dessa tese, estudamos a desigualdade de Freedman. Essa desigualdade fornece limitantes para a probabilidade de desvio de um martingal limitado usando sua variância condicional. No nosso trabalho, obtemos uma versão mais forte da desigualdade de Freedman, impondo condições adicionais de simetria nos incrementos do processo martingal. / [en] In the first part of this thesis, we study the deviation of the number of triangles with respect to its mean in both the random graph models G(n,m) and G(n, p). We focus on the case where the random graph is sparse, in which the edge density goes to zero as the number of vertices increases to infinity. Also, our focus is in the case of moderate deviations, i.e., those of order in between the standard deviation and the mean. In addition, we derive the same kind of results for cherries (paths of length two). In the second part of this thesis, we study Freedman s inequality. This inequality gives bounds on the probability of the deviation of a bounded martingale using its conditional variance. In our work, we obtain a strengthening of Freedman s inequality, under additional symmetry conditions on the increments of the martingale process.

[pt] Nesta dissertação fazemos uma exposição do Teorema Fundamental do Apreçamento para modelos em tempo discreto, o qual afirma que, sob certas hipóteses, a ausência de oportunidades de arbitragem equivale a existência de uma medida de martingal equivalente. Discutimos inicialmente o resultado no caso de espaços amostrais finitos e posteriormente o caso geral, através da técnica da Transformada de Esscher. / [en] This dissertation is concerned with the Fundamental Asset Pricing Theorem for discrete-time models which asserts that, under suitable hypothesis, absence of arbitrage opportunities is equivalent to the existence of an equivalent martingale measure. We first discuss the case of finite sample spaces and then the general case, by the use of the Esscher Transform technique.

Nós consideramos decomposições de estatísticas $U$ para obter testes para componentes de variância. As distribuições assintóticas das estatísticas de testes sob a hipótese nula são obtidas supondo apenas a existência do quarto momento do erro condicional e do segundo momento dos efeitos aleatórios. Isso permite sua utilização em uma classe bastante ampla de distribuições. Sob a suposição adicional de existência do quarto momento dos efeitos aleatórios, obtemos também a distribuição assintótica das estatísticas sob uma seqüência de hipóteses alternativas locais. Comparamos a eficiência dos testes propostos com aqueles dos testes clássicos, obtidos sob suposição de normalidade, por meio de estudos de simu-lação. Os testes propostos se mostram mais adequados nas situações em que a amostra é de tamanho moderado ou grande, independentemente da distribuição das fontes de variação, e nas situações em que existe fortes afastamentos da normalidade. / We consider decompositions of U-statistics to obtain tests for null variance components in linear mixed models. Their asymptotic distributions under the null hypothesis are obtained only assuming the existence of the first four moments of the conditional error distribution and the existence of the first two moments of the random effects distribution. Thus, the proposed U-tests may be employed in a large class of models. Under the additional assumption of the existence of the fourth moment of the distribution of the random effects, we also obtain the asymptotic distribution of the U-tests under a sequence of local hypothesis. We compare their efficiency with that of classical tests derived under the assumption of normality, through simulation studies. The proposed tests are more efficient in situations where the sample size is moderate or large, independently of the distribution of the sources of variation; they also perform better in situations where the underlying distributions are far from normal.

Nós consideramos decomposições de estatísticas $U$ para obter testes para componentes de variância. As distribuições assintóticas das estatísticas de testes sob a hipótese nula são obtidas supondo apenas a existência do quarto momento do erro condicional e do segundo momento dos efeitos aleatórios. Isso permite sua utilização em uma classe bastante ampla de distribuições. Sob a suposição adicional de existência do quarto momento dos efeitos aleatórios, obtemos também a distribuição assintótica das estatísticas sob uma seqüência de hipóteses alternativas locais. Comparamos a eficiência dos testes propostos com aqueles dos testes clássicos, obtidos sob suposição de normalidade, por meio de estudos de simu-lação. Os testes propostos se mostram mais adequados nas situações em que a amostra é de tamanho moderado ou grande, independentemente da distribuição das fontes de variação, e nas situações em que existe fortes afastamentos da normalidade. / We consider decompositions of U-statistics to obtain tests for null variance components in linear mixed models. Their asymptotic distributions under the null hypothesis are obtained only assuming the existence of the first four moments of the conditional error distribution and the existence of the first two moments of the random effects distribution. Thus, the proposed U-tests may be employed in a large class of models. Under the additional assumption of the existence of the fourth moment of the distribution of the random effects, we also obtain the asymptotic distribution of the U-tests under a sequence of local hypothesis. We compare their efficiency with that of classical tests derived under the assumption of normality, through simulation studies. The proposed tests are more efficient in situations where the sample size is moderate or large, independently of the distribution of the sources of variation; they also perform better in situations where the underlying distributions are far from normal.

[pt] Nesta tese de Doutorado, nós estudamos cotas para as probabilidades de desvio de uma variável aleatória X que conta o número de arestas de um hipergrafo induzido por um subconjunto aleatório de m elementos do seu conjunto de vértices. Nós consideramos dois contextos: o primeiro corresponde a hipergrafos que possuem certo tipo de regularidade, ao passo que o segundo lida com hipergrafos que são, em algum sentido, longe de serem regulares. É possível aplicar estes resultados a estruturas discretas, como o conjunto de progressões aritméticas de tamanho k no grupo aditivo de inteiros módulo um primo e também no conjunto dos N primeiros inteiros positivos. Além disso, também deduzimos resultados para o caso em que o subconjunto aleatório é gerado incluindo cada vértice do hipergrafo independentemente com probabilidade p. / [en] In this Ph.D. thesis, we study bounds for the deviation probabilities of a random variable X that counts the number of edges of a hypergraph induced by a random m–element subset of its vertex set. We consider two contexts: the first corresponds to hypergraphs with some kind of regularity, whereas the second addresses hypergraphs that are in some sense far from being regular. It is possible to apply these results to discrete structures such as the set of k–term arithmetic progressions in the additive group of integers modulo a prime and in the set of the first N positive integers. Furthermore, we also deduce results for the case when the random subset is generated by including each vertex of the hypergraph independently with probability p.