Dans cette thèse nous présenterons un travail relatif à la théorie des (a,b)-modules. Nous nous intéresserons en particulier à trois problèmes liés à la dualité des (a,b)-modules: l'existence de formes hermitiennes, la symétrie des suites de Jordan-Hölder et la relation avec les "higher residue pairings" de K. Saito. Dans la première partie on étudie les équivalents des concepts de conjugué, adjoint et de forme hermitienne dans le contexte des (a,b)-modules. Dans notre analyse des formes hermitiennes nous sont amenés à définir la notion de (a,b)-module indécomposable et à montrer l'analogue du théorème de Krull-Schmidt dans la théorie des modules sur un anneau commutatif. On montre par la suite l'existence de formes ou bien hermitiennes ou anti-hermitiennes sur les modules réguliers indécomposables auto-adjoints et on donne un exemple non trivial de rang 4 admettant uniquement une forme anti-hermitienne. Suit une étude des suites de Jordan-Hölder de (a,b)-modules auto-adjoints. L'intérêt se porte en particulier sur les suites de Jordan-Hölder dites elles aussi auto-adjointes et on en montre l'existence, pour tout (a,b)-module régulier auto-adjoint. En guise de conclusion on applique les résultats obtenus aux (a,b)-modules associés à une hypersurface à singularité isolée, c'est-à-dire au complété formel de son module de Brieskorn. On montre que le symétrisé de l'isomorphisme avec l'adjoint donné par R. Belgrade satisfait aux axiomes donnés par K. Saito dans la présentation de ses "higher residue pairings".

Le but de cette thèse est d'utiliser plusieurs résultats profonds de géométrie diophantienne et de géométrie algébrique pour obtenir des applications à la factorisation des polynômes lacunaires. Dans la première partie, on décrit un algorithme qui détermine une représentation des points de torsion d'une sous-variété de Gn m définie par des polynômes lacunaires. La complexité de cet algorithme est quasilinéaire en le logarithme du degré des polynômes définissant cette sous-variété. Dans la seconde partie, on s'intéresse à des systèmes surdéterminés d'équations polynomiales. On décrit un algorithme qui permet d'écrire les zéros communs de trois polynômes à deux variables comme une réunion finie d'intersections complètes en dehors d'un ouvert de A2. La complexité de cet algorithme est encore quasi-linéaire en le logarithme du degré des polynômes en entrée mais cet algorithme dépend de la validité de la conjecture de Zilber qui est encore à ce jour un problème ouvert.

La segmentation d'image avec a priori de forme a fait l'objet d'une attention particulière ces dernières années. La plupart des travaux existants reposent sur des espaces de formes linéarisés avec de petits modes de déformations autour d'une forme moyenne. Cette approche n'est pertinente que lorsque les formes sont relativement similaires. Dans cette thèse, nous introduisons un nouveau cadre dans lequel il est possible de manipuler des a priori de formes plus généraux. Nous modélisons une catégorie de formes comme une variété de dimension finie, la variété des formes a priori, que nous analysons à l'aide d'échantillons de formes en utilisant des techniques de réduction de dimension telles que les diffusion maps. Un plongement dans un espace réduit est alors appris à partir des échantillons. Cependant, ce modèle ne fournit pas d'opérateur de projection explicite sur la variété sous-jacente et nous nous attaquons à ce problème. Les contributions de ce travail se divisent en trois parties. Tout d'abord, nous proposons différentes solutions au problème des "out-of-sample" et nous définissons trois forces attirantes dirigées vers la variété. 1. Projection vers le point le plus proche; 2. Projection ayant la même valeur de plongement; 3. Projection à valeur de plongement constant. Ensuite, nous introduisons un terme d'a-priori de formes pour les coutours/régions actifs/ves. Un terme d'énergie non-linéaire est alors construit pour attirer les formes vers la variété. Enfin, nous décrivons un cadre variationnel pour le debruitage de variété. Des résultats sur des objets réels tels que des silhouettes de voitures ou des structures anatomiques montrent les possibilités de notre méthode.

On parle d'identification lorsqu'une personne ou un objet communicant présente un élément qui permet sa reconnaissance automatique. Ce mode s'oppose traditionnellement à l'authentification, dans laquelle on prouve une identité annoncée. Nous nous intéressons ici à l'identification biométrique d'une part, et à l'identification d'objets communicants sans-fil d'autre part. Les questions de la sécurité et du respect de la vie privée sont posées. Il y a sécurité si on peut s'assurer de la certitude que l'identification produit le bon résultat, et la vie privée est respectée si une personne extérieure au système ne peut pas déduire d'information à partir d'éléments publics. Nous montrons que dans le cas biométrique, le maillon le plus sensible du système se situe au niveau du stockage des données, alors que dans le cas de communications sans-fil, c'est le contenu des messages qui doit être protégé. Nous proposons plusieurs protocoles d'identification biométrique qui respectent la vie privée des utilisateurs; ces protocoles utilisent un certain nombre de primitives cryptographiques. Nous montrons par ailleurs comment l'utilisation de codes d'identification permet de mettre en oeuvre des protocoles d'interrogation d'objets communicants.

Dans ce travail de thèse, nous nous intéressons à l'étude mathématique du transport dans les systèmes de Hall quantiques en milieu désordonné. Plus précisément nous commençons par étudier la théorie de la réponse linéaire dans le cas continu pour un opérateur de Schrödinger magnétique aléatoire. Nous exploitons le formalisme de l'intégration non commutative pour développer une théorie de la réponse linéaire adaptée au problème et obtenir une formule de Kubo-Středa. Dans un deuxième temps nous nous intéressons à la quantification des courants de bord créés par un mur magnétique modélisé par un Hamiltonien d'Iwatsuka. Nous démontrons la stabilité de cette quantification sous certaines perturbations magnétiques. Enfin nous achevons ce travail de thèse par une discussion plus approfondie sur le formalisme développé dans la première partie, de manière à permettre une généralisation future de la théorie de la réponse linéaire.

L'adaptation de maillage pour l'approximation des fonctions par éléments finis permet d'adapter localement la résolution en la raffinant dans les lieux de variations rapides de la fonction. Cette méthode intervient dans de nombreux domaines du calcul scientifique. L'utilisation de triangles anisotropes permet d'améliorer l'efficacité du maillage en introduisant des triangles longs et fins épousant notamment les directions des courbes de discontinuité. Etant donnée une norme d'intérêt et une fonction f à approcher, nous formulons le problème de l'adaptation optimale de maillage, comme la minimisation de l'erreur d'approximation par éléments finis de degré k donné parmi toutes les triangulations (potentiellement anisotropes) de cardinalité donnée N du domaine de définition de f. Nous étudions ce problème sous l'angle des quatre questions ci dessous: I. Comment l'erreur d'approximation se comporte-t-elle dans le régime asymptotique où le nombre N de triangles tend vers l'infini, lorsque f est une fonction suffisamment régulière? II. Quelles classes de fonctions gouvernent la vitesse de décroissance de l'erreur d'approximation lorsque N augmente, et sont en ce sens naturellement liées au problème d'adaptation optimale de maillage? III. Ce problème d'optimisation, qui porte sur les triangulations de cardinalité donnée N, peut-il être remplacé par un problème équivalent portant sur un objet continu? IV. Est-il possible de construire une suite quasi-optimale de triangulations en utilisant une procédure hiérarchique de raffinement?

The linear Boltzmann equation describes neutron transport in nuclear systems. We consider discretization methods for the time-independent mono-energetic transport equation, and focus on mixed-hybrid primal and dual formulations obtained through an even- and odd-parity flux decomposition. A finite element technique discretizes the spatial variable, and a PN spherical harmonic technique discretizes the angular variable. Mixed-hybrid methods combine attractive features of both mixed and hybrid methods, namely the simultaneous approximation of even- and odd-parity fluxes (thus of flux and current) and the use of Lagrange multipliers to enforce interface regularity constraints. While their study provides insight into purely mixed and purely hybrid methods, mixed-hybrid methods can also be used as such. Mixed and mixed-hybrid methods, so far restricted to diffusion theory, are here generalized to higher order angular approximations. We first adapt existing second-order elliptic mixed-hybrid theory to the lowest-order spherical harmonic approximation, i.e., the P1 approximation. Then, we introduce a mathematical setting and provide well-posedness proofs for the general PN spherical harmonic approximation. Well-posedness theory in the transport case has thus far been restricted to the first-order (integro-differential) form of the transport equation. Proceeding from P1 to PN , the primal/dual distinction related to the spatial variable is supplemented by an even-/odd-order PN distinction in the expansion of the angular variable. The spatial rank condition is supplemented by an angular rank condition satisfied using interface angular expansions corresponding to the Rumyantsev conditions, for which we establish a new derivation using the Wigner coefficients. Demonstration of the practical use of even-order PN approximations is in itself a significant achievement. Our numerical results exhibit an interesting enclosing property when both even- and odd-order PN approximations are employed.

L'objectif de cette thèse est l'obtention de principes de grandes déviations autonormalisés, essentiellement pour des modèles markoviens. L'autonormalisation permet d'affaiblir les hypothèses requises pour assurer l'existence d'un Principe de grandes déviations portant par exemple sur les moyennes empiriques d'une suite de variables aléatoires. La démarche suivie est la recherche d'un principe de grandes déviations partiel pour certains couples de variables aléatoires à partir d'un principe de grandes déviations vague et d'une propriété de tension exponentielle partielle. Des techniques de transports sont développées pour établir des PGD vagues relatifs à des suites du type $(\int f dL_n)_n$, à partir de PGD pour des suites de lois empiriques $(L_n)_n$. On aboutit entre autres à des résultats autonormalisés dans un cadre markovien, généralisant ainsi les travaux de Dembo et Shao dans le cas i.i.d.

In this thesis, we have investigated some interesting dynamical problems in microstructural continuum using Eringen's polar theory. These problems are pertaining to surface waves in a microstretch plate, Stoneley waves at an interface between two different microstretch half-spaces, surface waves in a micropolar cylindrical borehole filled with micropolar fluid, reflection and transmission of elastic waves at a liquid/solid half-space and reflection of elastic waves from a micropolar mixture porous half-space.

L'étude de phénomènes d'irrégularité à l'aide des catégories de Baire date du début des années 1930. Cette notion de généricité donnée par Baire est de nature purement topologique et ne permet donc pas de quantifier la taille d'un ensemble. C'est pour remédier à cette lacune que Christensen définit une autre notion de généricité basée sur la théorie de la mesure, la prévalence. D'autres notions de généricité liées à ces deux premières ont vu le jour. Cette thèse a deux buts. Tout d'abord, regarder la régularité des fonctions d'un espace de Sobolev dans le cadre de la prévalence. Nous montrons que presque-toutes les fonctions sont multifractales, leur exposant de Hölder varie en effet d'un point à un autre. Le même résultat dans des espaces de Besov nous donne le formalisme multifractal utilisé dans les applications. Dans un second temps, nous comparons les différentes notions de généricité en les appliquant au problème déjà cité ou à des problèmes classiques d'analyse fonctionnelle.