We study a random homogenization problem concerning the flow of a viscous fluid through a permeable membrane with a highly oscillatory geometry and nonlinear boundary condition on it. Along an interface we consider a periodic distribution of small permeable obstacles with a random geometry. Leak boundary conditions of threshold type are considered on the obstacle part of the membrane: the normal velocity of the fluid is zero until the jump of the normal component of the stress acting on it reaches a certain limit, and then the fluid may pass freely. The problem is studied first in the deterministic case, and then in the random case, for which assumptions on the randomness of the solid obstacles are needed in order to obtain a limiting behaviour. The description of the obstacles is given in terms of a random set-valued variable defined on a probability space and a dynamical system acting on it. Effective boundary conditions for the fluid are derived, and these depend on the relative size of the obstacles. We establish two major cases, in one of them we obtain an effective permeability across the membrane and in the critical case a slip boundary condition of Navier type. If the dynamical system is assumed to be ergodic, the limiting behaviour of the fluid is deterministic. The approach is based on the Mosco convergence, which also allows us to pass from the stationary case to the time dependent case via the convergence of the associated semigroups.

The better understanding of the behavior of emulsions and suspensions is important in many applications. In general, emulsions allow the delivery of insoluble agents to be uniformly distributed in a more efficient way. At the same time suspensions of rigid particles are used as “smart materialsâ€� as their properties can be changed by the interaction with a magnetic or electric field. In the first part of the talk we consider a periodic emulsion formed by two Newtonian fluids in which one fluid is dispersed under the form of droplets of arbitrary shape, in the presence of surface tension. We assume the droplets have fixed centers of mass and are only allowed to rotate. We are interested in the time-dependent, dilute case when the characteristic size of the droplets aε, of arbitrary shape, is much smaller than the period length ε. We obtain a Brinkman type of fluid flow for the critical size aε = O(ε3) as a replacement of the Stokes flow of the emulsion. Additionally, using Mosco convergence and semigroup theory we extend the convergence to the parabolic case. For the case when the droplets convect with the flow, it can be shown again using Mosco-convergence that, as the size of the droplets converges to zero faster than the distance between the droplets, the emulsion behaves in the limit like the continuous phase and no “strangeâ€� term appears. Moreover, we determine the rate of convergence of the velocity field for the emulsion to that of the velocity for the one fluid problem in both the H1 and L2 norms. Additionally, a second order approximation is determined in terms of the bulk and surface polarization tensors for the cases of uniform and non-uniform surface tension. The second part of the talk is devoted to the study of MR fluids. We consider a suspension of rigid magnetizable particles in a non-conducting, viscous fluid with an applied external magnetic field. Thus, we use the quasi-static Maxwell equations coupled with the Stokes equations to capture the magnetorheological effect. We upscale using two scale asymptotic expansions to obtain the effective equations consisting of a coupled nonlinear system in a connected phase domain as well as the new constitutive laws. The proposed model generalizes the model of Rosenweig by coupling the velocity of the fluid and the magnetic field intensity. Using the finite element method we compute the effective coefficients for the MR fluid. We analyze the resulting MR model for Poiseuille and Couette flows and compare with experimental data for validation.

L'objectif de cette thèse est l'identification de toutes les limites possibles, vis-à-vis de la Mosco-convergence, des suites de fonctionnelles de diffusion ou de l'élasticité linéaire isotrope. Bien que chaque élément de ces suites soit une fonctionnelle fortement locale, il est bien connu que, sans hypothèse de majoration uniforme sur les coefficients de diffusion, dans le cas scalaire, ou d'élasticité dans le cas vectoriel, la limite peut contenir un terme non-local et un terme étrange. Dans le cas vectoriel, il peut même arriver que la fonctionnelle limite dépende du second gradient du déplacement. D'un point de vue mécanique, les propriétés effectives d'un matériau composite peuvent radicalement différer de celles de ces différents constituants. Umberto Mosco a montré que toute limite d'une suite de fonctionnelles de diffusion est une forme de Dirichlet. La contribution des travaux présentés dans la première partie de cette thèse apporte une réponse positive au problème inverse. Nous montrons que toute forme de Dirichlet est limite d'une suite de fonctionnelles de diffusion. Une étape cruciale consiste en la construction explicite d'un matériau composite dont les propriétés effectives contiennent une interaction non-locale élémentaire. Puis, on obtient progressivement des interactions plus complexes, pour finalement atteindre toutes les formes de Dirichlet. La deuxième partie de nos travaux traite du cas vectoriel. On y démontre que la fermeture des fonctionnelles de l'élasticité linéaire isotrope est l'ensemble de toutes les formes quadratiques positives, objectives et semi-continues inférieurement. La preuve de ce résultat qui est loin d'être une simple généralisation du cas scalaire s'appuie, au départ, sur un résultat comparable au cas scalaire. Elle nécessite ensuite une approche complétement différente.

Nous nous intéressons dans cette thèse à l' étude de trois dynamiques en dimension infinie, liées à des problèmes d'interface aléatoire. Il s'agira de résoudre une équation aux dérivées partielles stochastiques paraboliques avec différents potentiels singuliers. Trois types de potentiel sont étudiés, dans un premier temps nous considérons l' équation de la chaleur stochastique avec un potentiel convexe sur R^d, correspondant a l' évolution d'une corde aléatoire dans un ensemble convexe O inclus dans R^d et se réfléchissant sur le bord de O. La mesure de réflexion, vue comme la fonctionnelle additive d'un processus de Hunt, est étudiée au travers de sa mesure de Revuz. L'unicité trajectorielle et l'existence d'une solution forte continue sont prouvées. Pour cela nous utilisons des résultats récents sur la convergence étroite de processus de Markov avec une mesure invariante log-concave. Nous étudions ensuite l' équation de la chaleur avec un bruit blanc espace-temps, et un potentiel singulier faisant apparaître un temps local en espace. Cette fois le processus de Markov étudié possède une mesure invariante de type mesure de Gibbs mais avec un potentiel non convexe. L'existence d'une solution est prouvée, ainsi que la convergence, vers une solution stationnaire, d'une suite d'approximation, construite par projections sur des espaces de dimension nie. une étude du semigroupe permet d'obtenir des solutions non-stationnaires Nous combinons enfin les deux précédents modèles. L'existence d'une solution stationnaire est prouvée ainsi que la convergence d'un schéma d'approximation comme précédemment.

Der Grenzwert kleiner Deformationen in Anwesenheit eines gegebenen Risses wird in drei verschiedenen kontinuumsmechanischen Modellen betrachtet. Erstens wird für rein statische Elastizität mit finiter Spannung im Grenzwert kleiner Belastung bewiesen, dass die Nebenbedingung globaler Injektivität im Sinne der Gamma-Konvergenz eine lokale Nichtdurchdringungsbedingung auf dem Riss ergibt. Zweitens wird Deformationsplastizität mit finiten Spannungen und multiplikativer Zerlegung des Spannungstensors behandelt und die Gamma-Konvergenz zu linearisierter Deformationsplastizität mit Rissbedingungen gezeigt. Drittens wird die ratenunabhängige Evolution der Elastoplastizität betrachtet mit einer allgemeineren Klasse globaler Injektivitätsbedingungen für den finiten Fall. Hierbei wird einerseits die evolutionäre Gamma-Konvergenz unter Vernachlässigung der Nebenbedinung gezeigt, andererseits eine Vermutung aufgestellt, unter deren Voraussetzung die evolutionäre Gamma-Konvergenz auch mit Rissbedingungen gilt. / The small-deformation limit in presence of a given crack is considered in three distinct continuummechanical models. First, a purely static finite-strain elasticity model is considered in the limit of small loading, where the constraint of global injectivity is shown to converge in the sense of Gamma-convergence to a local constraint of non-interpenetration along the crack. Second, finitestrain deformation plasticity based on the multiplicative decomposition of the strain tensor is shown to Gamma-converge to linearized deformation elastoplasticity with crack conditions. Third, the rate-independent evolution of elastoplasticity is considered with a generalized class of global injectivity constraints for the finite-strain model. On the one hand, neglecting the constraints the evolutionary Gamma-converge to linearized elastoplasticity is proven. On the other hand, a conjecture is made, subject to which the evolutionary Gamma-convergence with constraints still holds.