Texte remanié de: Th. doct.--Sci. écon. / Bibliogr. p. 549-554. Index.

Les travaux présentés dans cette thèse s'intéressent à la géométrie fractale de processus stochastiques à travers le prisme d'un outil appelé l'analyse 2-microlocale. Ce dernier est issu d'une autre branche des mathématiques, l'analyse fonctionnelle et l'étude des équations aux dérivées partielles, et s'est avéré être pertinent pour décrire la géométrie fine de fonctions déterministes ou de processus aléatoires, généralisant notamment les exposants de Hölder classiques. Nous envisageons ainsi dans ce manuscrit différentes classes de processus, traitant en premier lieu le cas des martingales continues et de l'intégrale stochastique d'Ito. La régularité 2-microlocale de ces derniers fait notamment apparaître un autre concept, la pseudo frontière 2-microlocale, étroitement lié à son aîné. Nous appliquons également ce formalisme d'étude à une classe de processus gaussiens : le mouvement brownien multifractionnaire. Nous caractérisons ainsi sa régularité 2-microlocale et hölderienne, et déterminons dans un deuxième temps la forme générale de la dimension fractale de ses trajectoires. Dans notre étude portant sur les processus de Lévy, nous combinons le formalisme 2-microlocale à l'analyse multifractale, permettant alors de mettre en évidence des comportements géométriques n'étant pas captés par les outils usuels. Nous obtenons également en corollaire le spectre multifractal des processus fractionnaires de Lévy. Enfin, dans une dernière partie, nous nous intéressons à la définition et aux propriétés de certains processus de Markov multiparamètres, pouvant être plus généralement indicés par des ensembles.

Dans ce travail, nous nous sommes intéressés d'une part à la théorie du chaos multiplicatif Gaussien introduite par Kahane en 1985 et d'autre part à la théorie des matrices aléatoires dont les pionniers sont Wigner, Wishart et Dyson. La première partie de ce manuscrit contient une brève introduction à ces deux théories ainsi que les contributions personnelles de ce manuscrit expliquées rapidement. Les parties suivantes contiennent les textes des articles publiés [1], [2], [3], [4], [5] et pré-publiés [6], [7], [8] sur ces résultats dans lesquels le lecteur pourra trouver des développements plus détaillés

Dans cette thèse nous étudions le phénomène d'effondrement de différents modèles d'homopolymères. Nous étudions une marche aléatoire partiellement dirigée en dimension 1+1, auto-évitante et en auto-interaction, connue sous l'acronyme anglais IPDSAW. Il est établi que le modèle IPDSAW a une transition de phase d'effondrement en un paramètre critique $\beta_c$. Pour étudier la fonction de partition de ce modèle, nous développons une nouvelle méthode qui nous permet d'en déduire une formule variationnelle pour son énergie libre. Cette formule variationnelle peut être utilisée pour prouver l'existence de la transition d'effondrement et pour identifier simplement le point critique. Nous donnons une asymptotique précise de l'énergie libre au voisinage du point critique. Ensuite, nous établissons plusieurs propriétés trajectorielles de notre marche aléatoire à l'intérieur de la phase effondrée ($\beta>\beta_c$). Finalement, nous étudions le modèle IPDSAW soumis à une force extérieure. Nous montrons comment détecter la présence d'un phénomène de ré-entrance sans toutefois résoudre intégralement le modèle.

Cette thèse porte sur l'existence de champs browniens fractionnaires indexés par des variétés riemanniennes. Ces objets héritent des propriétés qui font le succès du mouvement brownien fractionnaire classique (H-autosimilarité des trajectoires ajustable, accroissements stationnaires), mais autorisent à considérer des applications où les données sont portées par un espace qui peut par exemple être courbé ou troué. L'existence de ces champs n'est assurée que lorsque la quantité 2H est inférieure à l'indice fractionnaire de la variété, qui n'est connu que dans un petit nombre d'exemples. Dans un premier temps nous donnons une condition nécessaire pour l'existence de champ brownien fractionnaire. Dans le cas du champ brownien (correspondant à H=1/2) indexé par des variétés qui ont des géodésiques fermées minimales, cette condition s'avère très contraignante : nous donnons des résultats de non-existence dans ce cadre, et montrons notamment qu'il n'existe pas de champ brownien indexé par une variété compacte non simplement connexe. La condition nécessaire donne également une preuve courte d'un fait attendu qui est la non-dégénérescence du champ brownien indexé par les espaces hyperboliques réels. Dans un second temps nous montrons que l'indice fractionnaire du cylindre est nul, ce qui constitue un exemple totalement dégénéré. Nous en déduisons que l'indice fractionnaire d'un espace métrique n'est pas continu par rapport à la convergence de Gromov-Hausdorff. Nous généralisons ce résultat sur le cylindre à un produit cartésien qui possède une géodésique fermée minimale, et donnons une majoration de l'indice fractionnaire de surfaces asymptotiquement proches du cylindre au voisinage d'une géodésique fermée minimale. / The aim of the thesis is the study of the existence of fractional Brownian fields indexed by Riemannian manifolds. Those fields inherit key properties of the classical fractional Brownian motion (sample paths with self-similarity of adjustable parameter H, stationary increments), while allowing to consider applications with data indexed by a space which can be for example curved or with a hole. The existence of those fields is only insured when the quantity 2H is inferior or equal to the fractional index of the manifold, which is known only in a few cases. In a first part we give a necessary condition for the fractional Brownian field to exist. In the case of the Brownian field (corresponding to H=1/2) indexed by a manifold with minimal closed geodesics this condition happens to be very restrictive. We give several nonexistence results in this situation. In particular we show that there exists no Brownian field indexed by a nonsimply connected compact manifold. Our necessary condition also gives a short proof of an expected result: we prove the nondegeneracy of fractional Brownian fields indexed by the real hyperbolic spaces. In a second part we show that the fractional index of the cylinder is null, which gives a totally degenerate case. We deduce from this result that the fractional index of a metric space is noncontinuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence. We generalise this result about the cylinder to a Cartesian product with a closed minimal geodesic. Furthermore we give a bound of the fractional index of surfaces asymptotically close to the cylinder in the neighbourhood of a closed minimal geodesic.

Ce travail de thèse porte sur la modélisation et la simulation numérique de la collision et l'agglomération de particules colloïdales dans un écoulement fluide turbulent par une nouvelle méthode. Ces particules sont sensibles dans une même mesure aux effets brownien et turbulent. La première partie du travail concerne la modélisation du phénomène physique,allant du transport des particules jusqu'à la modélisation des forces d'adhésion physico-chimiques en passant par l'étape cruciale qui est la détection des interactions entre les particules (collisions). Cette détection des collisions est dans un premier temps étudiée par rapport aux algorithmes classiques existants dans la littérature. Bien que très efficaces dans le cadre de particules soumises à l'agitation turbulente, les conclusions de cette partie exposent les limites des méthodes existantes en termes de coûts numériques, pour le traitement d'un ensemble de colloïdes soumis au mouvement brownien. La seconde partie du travail oriente alors les travaux vers une vision novatrice du phénomène physique considéré. Le caractère diffusif aléatoire est alors considéré d'un point de vu stochastique, comme un processus conditionné dans l'espace et dans le temps. Ainsi, une nouvelle méthode de détection et de traitement des collisions de particules soumises exclusivement à un mouvement diffusif est présentée et validée, exposant un gain considérable en termes de coûts numériques. Le potentiel de cette nouvelle approche est validé et ouvre de nombreuses pistes de réflexion dans l'utilisation des méthodes stochastiques appliqués à la représentation de la physique / Ph.D thesis focuses on modeling and numerical simulation of collision and agglomeration of colloidal particles in a turbulent flow by using a new method. These particles are affected by both Brownian and turbulent effects. The first part of the work deals with current models of the physical phenomenon, from the transport of single particles to a model for physico-chemical adhesive forces, and points out the critical step which is the detection of interactions between particles (collisions). This detection is initially studied by applying classical algorithms existing in the literature. Although they are very efficient in the context of particles subject to turbulent agitation, first conclusions show the limitations of these existing methods in terms of numerical costs, considering the treatment of colloids subject to the Brownian motion. The second part of this work proposes a new vision of the physical phenomenon focusing on the random diffusive behaviour. This issue is adressed from a stochastic point of view as a process conditionned in space and time. Thus, a new method for the detection and treatment of collisions is presented and validated, which represents considerable gain in terms of numerical cost. The potential of this new approach is validated and opens new opportunities for the use of stochastic methods applied to the representation of physics

La diffusion latérale des lipides et des protéines transmembranaires est essentielle pour les fonctions biologiques. Dans le contexte cellulaire, la fraction surfacique des protéines membranaires est élevée, atteignant environ de 50 à 70% selon le type de membrane. La diffusion se fait donc dans un milieu très encombré. Le but de ce travail est d'étudier in vitro l'effet de l'encombrement des protéines sur la diffusion des protéines et des lipides. Jusqu'à présent, les mesures de diffusion latérale ont généralement été réalisées à faible densité de protéines, et l'effet de l'encombrement des inclusions membranaires ou des protéines membranaires a été peu étudié expérimentalement. Nous avons utilisé une méthode de suivi de particules uniques (SPT) pour suivre les trajectoires de la pompe à protons Bactériorhodopsine (BR) et de lipides marqués avec des quantum dots au bas de vésicules unilamellaires géantes (GUVs) en fonction de la fraction de surface totale (Ф) de BR reconstituée dans la membrane constituée par ailleurs de 1,2-Dioleoyl-sn-glycéro-3-phosphocholine (DOPC). / Lateral diffusion of lipids and transmembrane proteins is essential for biological functions. In the cellular context, the surface fraction of membrane proteins is high, reaching approximately 50 to 70% depending on the membrane type. Therefore, diffusion occurs in a very crowded environment. The aim of this work is to study in vitro the effect of protein crowding on their own diffusion and on those of the surrounding lipids. So far, lateral diffusion measurements generally have been carried out at low protein density, and the effect of proteins crowding has not been much studied experimentally. We used a single particle tracking (SPT) method to track the trajectories of the Bacterorhodopsin (BR) proton pump and of lipids labeled with quantum dots at the bottom of giant unilamellar vesicles (GUVs) as a function of the total surface fraction (Ф) of BR reconstituted in 1,2-Dioleoyl-sn-glycero-3-phosphocholine (DOPC) membrane.

Cette thèse étudie certaines propriétés fractales et trajectorielles de processus de branchement en temps et espace continus. De façon informelle, ce type de processus est obtenu en considérant l'évolution d'une population où les individus se reproduisent et meurent au cours du temps, et ce de manière aléatoire. Le premier chapitre concerne la classe des processus de branchement avec immigration. On donne une formule semi-explicite pour la transformée de Laplace des temps d'atteinte ainsi qu'une condition nécessaire et suffisante de récurrence-transience. Ces deux résultats illustrent la compétition branchement/immigration. Le second chapitre considère l'arbre Brownien et ses mesures de temps local, dites mesures de niveau. On montre que celles-ci s'obtiennent comme restriction, à une constante près explicitée, d'une certaine mesure de Hausdorff sur l'arbre. Le résultat est montré simultanément pour tous niveaux. Le troisième chapitre étudie le Super-mouvement Brownien associé à un mécanisme de branchement général. Sa mesure d'occupation totale est obtenue comme restriction d'une certaine mesure de packing dans l'espace euclidien. Le résultat est valable en grande dimension. La condition sur la dimension de l'espace ambiant est discutée à travers le calcul, sous des hypothèse de régularité faibles pour le mécanisme de branchement, de la dimension de packing du range total du processus. / This thesis investigates some fractal and pathwise properties of branching processes with continuous time and state-space. Informally, this kind of process can be described by considering the evolution of a population where individuals reproduce and die over time, randomly. The first chapter deals with the class of continuous branching processes with immigration. We provide a semi-explicit formula for the hitting times and a necessary and sufficient condition for the process to be recurrent or transient. Those two results illustrate the competition between branching and immigration. The second chapter deals with the Brownian tree and its local time measures : the level-sets measures. We show that they can be obtained as the restriction, with an explicit multiplicative constant, of a Hausdorff measure on the tree. The result holds uniformly for all levels. The third chapter study the Super-Brownian motion associated with a general branching mechanism. Its total occupation measure is obtained as the restriction to the total range, of a given packing measure on the euclidean space. The result is valid for large dimensions. The condition on the dimension is discussed by computing the packing dimension of the total range. This is done under a weak assumption on the regularity of the branching mechanism.

Ce travail est consacré à l'étude de limites d'échelle de différentes fonctionnelles de marches aléatoires sur un arbre de Galton-Watson, potentiellement en milieu aléatoire. La marche aléatoire que nous considérons sur cet arbre est une marche aux plus proches voisins récurrente nulle, dont les probabilités de transition dépendent de l'environnement. Plus particulièrement, nous étudions la trace de la marche, c'est-à-dire le sous-arbre constitué des sommets visités par celle-ci. Nous considérons d'abord le cas où dans un certain sens l'environnement est à variance finie, et nous montrons que bien renormalisée la trace converge vers la forêt brownienne. Nous considérons ensuite des hypothèses plus faibles, et nous montrons que la fonction de hauteur de la marche (c'est-à-dire la suite des hauteurs prises par la marche) converge vers le processus de hauteur en temps continu d'un processus de Lévy spectralement positif strictement stable, et que la trace de la marche converge vers l'arbre réel codé par ce même processus. La stratégie employée pour établir ces résultats repose sur l'étude d'un type d'arbres que nous introduisons dans cette thèse : ceux-ci sont des arbres de Galton-Watson à deux types, l'un des types étant stérile, et à longueur d'arête. Notre principal résultat concernant ces arbres assure que leur fonction de hauteur satisfait un principe d'invariance, similaire à celui vérifié par les arbres de Galton-Watson simples. Ces arbres trouvent également une application directe dans les arbres de Galton-Watson multitype à infinité de types, un lien explicite entre les deux nous permettant de montrer qu'ils satisfont également le même principe d'invariance. / This work is devoted to the study of scaling limits of different functionals of random walks on a Galton-Watson tree, potentially in random environment. The randow walk we consider is a null recurrent nearest-neigbout random walk, the probability transition of which depend on the environment. More precisely, we study the trace of the walk, that is the sub-tree made up of the vertices visited by the walk. We first consider the case where in a certain sense the environment has finite variance, and we show that when well-renormalised, the trace converges towards the Brownian forest. We then consider hypotheses of regular variation on the environement, and we show that the height function of the walk (that is the sequence of heights in the tree of the walk) converges towards the continuous time height process of a spectrally positive strictly stable Lévy process, and that the trace of the walk converges towards the real tree coded by this very process. The strategy used to prove these two results is based on the study of a certain kind of trees that we introduce in this thesis: they are Galton-Watson trees with two types, one of which being sterile, and with edge lengths. Our main result about these trees states that their height functions satisfies an invariance principle, similar to that verified by simple Galton-Watson trees. These trees also find a direct application in multitype Galton-Watson trees with infinitely many types, as an explicit link between these two kind of trees allow us to show that they satisfy also the same invariance principle.

Le fil conducteur de cette thèse, composée de trois parties, est la notion de branchement.Le premier chapitre est consacré à l'arbre de Yule et à l'arbre binaire de recherche. Nous obtenons des résultats d'oscillations asymptotiques de l'espérance, de la variance et de la distribution de la hauteur de ces arbres, confirmant ainsi une conjecture de Drmota. Par ailleurs, l'arbre de Yule pouvant être vu comme une marche aléatoire branchante évoluant sur un réseau, nos résultats permettent de mieux comprendre ce genre de processus.Dans le second chapitre, nous étudions le nombre de particules tuées en 0 d'un mouvement brownien branchant avec dérive surcritique conditionné à s'éteindre. Nous ferons enfin apparaître une nouvelle phase de transition pour la queue de distribution de ces variables.L'objet du dernier chapitre est le graphe d'Erdős–Rényi dans le cas critique : $G(n,1/n)$. En introduisant un couplage et un changement d'échelle, nous montrerons que, lorsque $n$ augmente les composantes de ce graphe évoluent asymptotiquement selon un processus de coalescence-fragmentation qui agit sur des graphes réels. La partie coalescence sera de type multiplicatif et les fragmentations se produiront selon un processus ponctuel de Poisson sur ces objets. / This thesis is composed by three chapters and its main theme is branching processes.The first chapter is devoted to the study of the Yule tree and the binary search tree. We obtain oscillation results on the expectation, the variance and the distribution of the height of these trees and confirm a Drmota's conjecture. Moreover, the Yule tree can be seen as a particular instance of lattice branching random walk, our results thus allow a better understanding of these processes.In the second chapter, we study the number of particles killed at 0 for a Brownian motion with supercritical drift conditioned to extinction. We finally highlight a new phase transition in terms of the drift for the tail of the distributions of these variables.The main object of the last chapter is the Erdős–Rényi graph in the critical case: $G(n,1/n)$. By using coupling and scaling, we show that, when $n$ grows, the scaling process is asymptotically a coalescence-fragmentation process which acts on real graphs. The coalescent part is of multiplicative type and the fragmentations happen according a certain Poisson point process.