Dans la première partie de cette thèse, on présente des inégalités de concentration convexe pour des intégrales stochastiques. Ces résultats sont obtenus par calcul stochastique e tpar calcul de Malliavin forward/backward. On présente également des inégalités de déviation pour les exponentielles martingales à saut.Dans une deuxième partie on présente des théorèmes limites pour le conditionnement du mouvement brownien. / In the first part of this thesis, we present some convex concentration inequalities for stochastic integrals. These results are obtained by forward/backward stochastic calculus combined with Malliavin calculus. We also present deviation inequalities for exponentialjump-diffusion.In the second part, we present some limit theorems for the conditionning of Brownian motion.

Cette thèse comporte deux chapitres principaux. Deux problèmes indépendants de Modélisation Mathématique y sont étudiés. Au chapitre 1, on étudiera le problème de l’existence et de l’unicité des distributions quasi-stationnaires (DQS) pour un mouvement Brownien avec dérive, tué en zéro dans le cas où la frontière d’entrée est l’infini et la frontière de sortie est zéro selon la classification de Feller.Ce travail est lié à l’article pionnier dans ce sujet  par Cattiaux, Collet, Lambert, Martínez, Méléard, San Martín; où certaines conditions suffisantes ont été établies pour prouver l’existence et l’unicité de DQS dans le contexte d’une famille de Modèles de Dynamique des Populations.Dans ce chapitre, nous généralisons les théorèmes les plus importants de ce travail pionnier, la partie technique est basée dans la théorie de Sturm-Liouville sur la demi-droite positive. Au chapitre 2, on étudiera le problème d’obtenir des bornes inférieures optimales sur l’Hamiltonien du Modèle d’Ising avec interactions à longue portée, l’interaction entre deux spins situés à distance d décroissant comme d^(2-a), où a ϵ[0,1).Ce travail est lié à l’article publié en 2005 par Cassandro, Ferrari, Merola, Presutti où les bornes inférieures optimales sont obtenues dans le cas où a est dans [0,(log3/log2)-1) en termes de structures hiérarchiques appelées triangles et contours.Les principaux théorèmes obtenus dans cette thèse peuvent être résumés de la façon suivante:1. Il n’existe pas de borne inférieure optimale pour l’Hamiltonien en termes de triangles pour a dans ϵ[log2/log3,1). 2. Il existe une borne optimale pour l’Hamiltonien en termes de contours pour a dans a ϵ [0,1). / This thesis contains two main Chapters, where we study two independent problems of Mathematical Modelling : In Chapter 1, we study the existence and uniqueness of Quasi Stationary Distributions (QSD) for a drifted Browian Motion killed at zero, when $+infty$ is an entrance Boundary and zero is an exit Boundary according to Feller's classification. The work is related to the previous paper published in 2009 by { Cattiaux, P., Collet, P., Lambert, A., Martínez, S., Méléard, S., San Martín, where some sufficient conditions were provided to prove the existence and uniqueness of QSD in the context of a family of Population Dynamic Models. This work generalizes the most important theorems of this work, since no extra conditions are imposed to get the existence, uniqueness of QSD and the existence of a Yaglom limit. The technical part is based on the Sturm Liouville theory on the half line. In Chapter 2, we study the problem of getting quasi additive bounds on the Hamiltonian for the Long Range Ising Model when the interaction term decays according to d^{2-a}, a ϵ[0,1). This work is based on the previous paper written by Cassandro, Ferrari, Merola, Presutti, where quasi-additive bounds for the Hamiltonian were obtained for a in [0,(log3/log2)-1) in terms of hierarchical structures called triangles and Contours. The main theorems of this work can be summarized as follows: 1 There does not exist a quasi additive bound for the Hamiltonian in terms of triangles when a ϵ [0,(log3/log2)-1), 2. There exists a quasi additive bound for the Hamiltonian in terms of Contours for a in [0,1).

Dans cette thèse, nous étudions les propriétés d’un mouvement de diffusion intermittent dans un milieu confiné.Dans ce but, nous considérons un modèle minimal de catalyse hétérogène, mettant en jeu une particule soumise à un mouvement de diffusion “surface-mediated”, alternant des phases de diffusion volumique à l’intérieur d’un disque, et des phases de diffusion surfacique sur le pourtour du disque. Pour un tel mouvement, nous obtenons des résultats pour plusieurs observables de premier passage (i) le temps moyen de premier passage d'atteindre une cible, (ii) la probabilité de splitting d’atteindre une cible spécifique, (iii) le territoire exploré avant de sortir du disque (iv) la probabilité de réaction avec des sites catalytiques. Selon la position relative de départ de de ces quantités vis-à-vis du temps d'adsorption moyen sur la surface. Nous avons montré que des excursions volumiques peuvent minimiser le temps de recherche d’une cible, même si celle-ci est située sur la surface. Nous présentons également un modèle simple de milieu poreux ordonné, constitué d’un réseau hypercubique de cavités identiques. Nous présentons deux modèles : (i) pour un mouvement brownien simple, (ii) pour un mouvement intermittent, en introduisant un paramètre de persistance. Nous montrons que ces deux modèles, dans la limite de non-persistance, converge vers le même résultat. Nous avons aussi etudié le comportement et l’optimisation du coefficient de diffusion vis-à-vis du temps moyen d’adsorption. Pour évaluer nos résultats théoriques, nous utilisons des simulations de Monte-Carlo et des résolutions numériques par le méthode des éléments finis. / In this thesis, we study first-passage properties for an intermittent Brownian motion inside a confining domain. We consider a minimal model of heterogenous catalysis in which a molecule performs surface-mediated diffusion inside a confining domain whose boundary contains catalytic sites. We obtain results for several observables : (i) the mean first-passage time to reach a target, (ii) the splitting probabilities that the molecule reach a specific target, (iii) the covered territory on the confining surface before the molecule exits the domain, (iv) the probability of reacting with catalytic sites. These results are exact for point like-targets, and are shown to be accurate also for extended targets, located on the surface or inside the bulk. Depending of the relative positions of the entrance and exit points, very different behaviors with respect to the mean adsorption time of the molecule on the surface are found. Although non-intuitive for bulk targets, it is found that boundary excursions, can minimize the search time. We also present a simple model of an ordered porous media. We present two models : (i) for a simple Brownian motion, (ii) for a surface-mediated diffusion with a parameter of persistence b. This model leads to a less simple result for the efficient diffusion coefficient. Our main result shows that in the limit of non persistence (b=0), both results are the same. We also provide an analysis of the behaviors of the efficient diffusion coefficient with respect to the mean adsorption time, showing optimisation possibilities. Numericals Monte-Carlo simulations and finite element solver have been used to evaluate our theoretical results.

Une interface est une zone de l'espace qui sépare deux régions possédant des propriétés physiques différentes. La plupart des interfaces de la nature résultent d'un processus de croissance, mêlant une composante aléatoire et une dynamique déterministe régie par les symétries du problème. Le résultat du processus de croissance est un objet présentant des corrélations à longue portée. Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier la statistique d'extrême de différents types d'interfaces. Une première motivation est de raffiner la compréhension géométrique de tels objets, via leur maximum. Une seconde motivation s'inscrit dans la démarche plus générale de la statistique d'extrême de variables aléatoires fortement corrélées. A l'aide de méthodes analytiques d'intégrales de chemin nous analysons la distribution du maximum d'interfaces à l'équilibre, dont l'énergie es t purement élastique à courte portée. Nous attaquons ensuite le problème d'interfaces élastiques en milieu désordonné, principalement à l'aide de simulations numériques. Enfin nous étudierons une interface hors-équilibre dans son régime de croissance. L'équivalence de ce type d'interface avec le polymère dirigé en milieu aléatoire, un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés, donne une portée étendue aux résultats concernant la statistique du maximum de l'interface. Nous exposerons les résultats que nous avons obtenus sur un modèle de mouvements browniens qui ne se croisent pas, tout en explicitant le lien entre ce modèle, l'interface en croissance et le polymère dirigé. / An interface is an area of space that separates two regions having different physical properties. Most interfaces in nature are the result of a growth process, mixing a random behavior and a deterministic dynamic derived from the symmetries of the problem. This growth process gives an object with extended correlations. In this thesis, we focus on the study of the extremum of different kinds of interfaces. A first motivation is to refine the geometric properties of such objects, looking at their maximum. A second motivation is to explore the extreme value statistics of strongly correlated random variables. Using path integral techniques we analyse the probability distribution of the maximum of equilibrium interfaces, possessing short range elastic energy. We then extend this to elastic interfaces in random media, with essentially numerical simulations. Finally we study a particular type of out-of-equilibrium interface, in its growing regime. Such interface is equivalent to the directed polymer in random media, a paradigm of the statistical mechanics of disordered systems. This equivalence reinforces the interest in the extreme value statistics of the interface. We will show the exact results we obtained for a non-intersecting Brownian motion model, explaining precisely the link with the growing interface and the directed polymer.

Nous considérons le cas d’un assureur qui doit indemniser une banque à la suite de pertes liées à un défaut de remboursement de ses emprunteurs. Les modèles couramment utilisés sont collectifs et ne permettent pas de prendre en compte les comportements individuels des emprunteurs. Dans une première partie nous définissons un modèle pour étudier le montant des pertes liées à ces défauts de paiement (provision) pour une période donnée. La quantité clé de notre modèle est le montant d’un défaut. Pour un emprunteur j et une date de fin de prêt Tj , ce montant vaut max(Sj Tj -Rj Tj ; 0), où Sj Tj est le montant dû par l’emprunteur et dépend de la durée et du montant du prêt, et Rj Tj est le montant de la revente du bien immobilier financé par le prêt. Rj Tj est proportionnel au montant emprunté; le coefficient de proportionnalité est modélisé par un mouvement Brownien géométrique et représente les fluctuations des prix de l’immobilier. La loi des couples (Date de fin du prêt, Durée du prêt) est modélisée par un processus ponctuel de Poisson. La provision Ph, où h est la durée maximale des contrats considérés, est alors définie comme la somme d’un nombre aléatoire de montants de défauts individuels. Nous pouvons ainsi calculer l’espérance et la variance de la provision mais aussi donner un algorithme de simulation. Il est également possible d’estimer les paramètres liés au modèle et de fournir une valeur numérique aux quantiles de la provision. Dans une deuxième partie nous nous intéresserons au besoin de solvabilité associé au risque de provisionnement (problématique imposée par la réforme européenne Solvabilité 2). La question se ramène à étudier le comportement asymptotique de Ph lorsque h ! +1. Nous montrons que Ph, convenablement normalisée, converge en loi vers une variable aléatoire qui est la somme de deux variables dont l’une est gaussienne / We consider an insurance company which has to indemnify a bank against losses related to a borrower defaulting on payments. Models normally used by insurers are collectives and do not allows to take into account the personal characteristics of borrowers. In a first part, we defined a model to evaluate potential future default amounts (provision) over a fixed period.The amount of default is the key to our model. For a borrower j and an associated maturity Tj, this amount is max(Sj Tj -Rj Tj ; 0), where Sj Tj is the outstanding amount owed by the borrower and depends on the borrowed amount and the term of the loan, and Rj Tj is the property sale amount. Rj Tj is proportionate to the borrowed amount; the proportionality coefficient is modeled by a geometric Brownian motion and represents the fluctuation price of real estate. The couples (Maturity of the loan, Term of the loan) are modeled by a Poisson point process. The provision Ph, where h is the maximum duration of the loans, is defined as the sum of the random number of individual defaults amounts. We can calculate the mean and the variance of the provision and also give an algorithm to simulate the provision. It is also possible to estimate the parameters of our model and then give a numerical value of the provision quantile. In the second part we will focus on the solvency need due to provisioning risk (topic imposed by the european Solvency 2 reform). The question will be to study the asymptotic behaviour of Ph when h ! +1. We will show that Ph, well renormalized, converges in law to a random variable which is the sum of two random variables whose one is a Gaussian

Dans le domaine des machines moléculaires, la recherche d'un système produisant un mouvement orienté fait l'objet d'intenses recherches. Des résultats ont déjà été obtenus en ce sens mais n'exploitant pas le mouvement brownien comme le font les systèmes trouvés dans la nature comme la myosine. Nous proposons donc la synthèse d'une roue à rochet avec pour but de mimer ce phénomène, si besoin avec une activation de faible énergie. La première partie de ce travail a consisté en la conception par modélisation de l'équivalent synthétique d'une roue à rochet, basiquement constituée d'une roue crantée et d'un cliquet en vue d'étudier si une telle molécule pourrait produire une rotation orientée. Ce système est constitué d'un motif bishomoinositol fonctionnalisé en tant que roue et d'un cycloadduit de l'anthracène comme cliquet, liés par des bras espaceurs. La synthèse d'un système modèle dans lequel un motif bicyclo[2.2.2]octane joue le rôle de roue simplifiée a été menée afin de valider les différentes stratégies de synthèse. A cette occasion, une méthode alternative de la synthèse du diacide bicyclo[2.2.2]octanoïque a été mise au point ainsi qu'une méthodologie d'estérification compatible avec cet acide ainsi que le diacide 9,10-anthracènedioïque. Nous sommes ainsi parvenus à obtenir le produit de macrolactonisation, avec de possibles application comme roue de nanovéhicules. La synthèse du modèle a été l'occasion de pointer certaines impossibilités synthétiques au niveau des espaceurs (éthers, amides, triazoles, tétrazoles, alcènes) dans le système original. Un nouveau travail de modélisation a permis d'aboutir à une cible accessible synthétiquement conservant le comportement de roue à rochet. Dans cette optique, la synthèse du bishomoinositol fonctionnalisé par des acides en tête de pont a été entreprise par une première voie incluant ces groupements au départ de la synthèse, une seconde voie introduisant ces groupements en fin de séquence. / In the field of molecular machines, systems producing an oriented motion have been intensely looked for. Results, obtained toward this goal, do not exploit Brownian motion whereas it happens in natural systems such as myosin. Hereby we propose the synthesis of a molecular ratchet aiming to mimic this phenomenon or to be able to act as a molecular motor through low energy activation. The first part of this work consisted in the design by modelisation of a synthetic equivalent of a ratchet, basically consisting of a toothed wheel and a pawl. This study aim at determining if such a molecule could produce an oriented motion by simple Brownian motion. This system is consisting of a functionalized bishomoinositol moiety as the wheel and a cycloadduct of anthracene as the pawl, linked by spacers allowing the adjustment of the energy barriers. The synthesis of a model where a bicyclo[2.2.2]octane moiety plays the role of a simplified wheel has been conducted in order to validate various synthetic strategies. This gave the opportunity to develop an alternative method of the synthesis of the bicyclo[2.2.2]octanedicarboxylic diacid as well as an esterification methodology compatible with the bulkiness or low solubility of both partners. The macrolactonization product could be obtained and opens some possible applications as nanovehicle wheels. The synthesis of the model was the occasion to highlight synthetic limitations concerning the spacers (ethers) in the original system. A new series of targets taking into account the synthetic restrictions while keeping the ratchet behavior were designed. The discovery of another synthetic difficulties (amides, triazoles, tetrazoles and alkenes) yielded a single refined target. Toward this goal, the synthesis of the bishomoinositol functionalized in the bridgehead position was engaged in a first pathway including these functions at the beginning of the synthesis, the second way introducing them on the bishomoinositol at the end of the sequence.

Le travail présenté dans cette thèse consiste à modéliser les transports de particules dans un écoulement de Stokes en tenant compte des caractéristiques des particules, du régime d’écoulement de fluide qui les transporte et de l’effet de confinement qui pourrait être lié par exemple à la prise en compte d’une structure d’un milieu poreux. Le phénomène de transport que nous étudions est basé sur le mécanisme d’effet cliquet qui apparaît quand on soumet le système à un pompage alternatif dans le temps. L’étude de la dynamique de la particule est effectuée en utilisant la méthode de continuation qui permet de suivre la solution périodique selon le paramètre désiré et d’identifier les types de bifurcation ainsi que les lieux de ces points critiques. Cette étude nécessite la connaissance de la force de traînée exercée sur la particule et que nous calculons en utilisant la méthode des équations intégrales de frontières. / The work presented in this Phd Thesis is the modelling of particle transport in a Stokes flow taking into account the characteristics of the particle, the regime flow, and the effect of the confinement which could be related for example to the consideration of a porous media structure. The phenomena of the transport is based on the mecansim of ratchet effect which appears when the system is undergoes an alternative pumping. The study of the particle dynamics is performed using the continuation method which allows to follow the periodic solutions according to the desired parameter, to identify the types of bifurcation and critical points. This study requires the knowledge of the drag force exerted on the particle and which we compute using the boundary integral equation.

Les MEMS et NEMS (Micro et Nano ElectroMechanical Systems) connaissent un développement important notamment dans le cadre de la Nanomécanique. Le bon fonctionnement de ces MEMS/NEMS est soumis au contrôle des interactions de surfaces séparées par des distances de l'ordre de 100 nm à 1 Μm. A cette échelle, les forces dominantes peuvent être de nature variée (Van der Waals, Casimir, électrostatique, magnétique,...). Ce travail de thèse est consacré à l'étude expérimentale par AFM des interactions électrostatiques et de Van der Waals/Casimir entre une microsphère et une surface d'or. Une attention particulière a été apportée à la préparation et à la caractérisation des sondes (microsphère collée sur un microlevier). Ensuite, à partir de l'analyse du bruit et de la sensibilité du système de mesure, nous avons pu montrer notre capacité à mesurer des forces faibles avec une résolution inférieure au piconewton. Par une détection statique, nous avons mesuré précisément des forces capacitives de l'ordre de quelques dizaines de piconewton et pour des distances comprises entre 100 et 500 nm. Nous avons mesuré et quantifié les effets de la déflexion du microlevier sur la détermination de la distance sphère-surface. Par des mesures dynamiques, nous avons étudié le couplage entre un oscillateur (sphère-microlevier) excité mécaniquement ou thermiquement et une surface sous l'effet de la force de Casimir. Enfin, les mesures en mode dynamique, nous ont permis d'aborder l'étude des mécanismes de dissipation associés aux interactions à longue distance. Nous avons ainsi observé la dissipation par couplage électromécanique.

Nous étudions théoriquement et expérimentalement le couplage optomécanique induit par la pression de radiation entre un faisceau lumineux et un objet macroscopique tel qu'un miroir. Nous présentons une étude théorique des effets quantiques induits par la pression de radiation dans une cavité optique dont un miroir est mobile. Le miroir peut se déplacer sous l'effet de la pression de radiation et ce mouvement change la phase du champ réfléchi par la cavité. Ce couplage optomécanique induit un déphasage du champ équivalent à un effet Kerr optique. Un tel dispositif peut être utilisé pour produire des états comprimés ou réaliser une mesure quantique non destructive.<br />Nous présentons les résultats obtenus dans notre expérience où un faisceau laser est envoyé dans une cavité à une seule entrée-sortie, dont le miroir mobile est déposé sur un résonateur mécanique. Nous avons observé le mouvement Brownien du miroir. Nous avons aussi utilisé un second faisceau modulé en intensité afin d'exciter les modes acoustiques du résonateur. Ceci permet de caractériser la réponse mécanique du résonateur et le couplage entre la lumière et les modes acoustiques. Nous avons enfin démontré l'efficacité de notre dispositif pour la mesure de petits déplacements du miroir. Le plus petit déplacement observable est égale à 2x10^(-19) m/Hz(1/2), en bon accord avec la prédiction théorique.

Cette thèse, composée de trois parties, est centrée sur l'application du calcul de \text{Malliavin} à différents domaines de l'analyse stochastique, tels que les théorèmes limites, le calcul stochastique fractionnaire et la régularité des solutions d'équations différentielles stochastiques. La première partie porte sur l'étude asymptotique de modèles de regression fractionnaire et fait appel au calcul stochastique par rapport au mouvement Brownien fractionnaire et au calcul de Malliavin. La deuxième partie est centrée sur la méthode de Stein sur l'espace de Wiener et présente des résultats ayant attrait aux théorèmes limites pour des fonctionnelles de champs Gaussiens (processus moyenne mobile à mémoire longue, sommes autonormalisées) ainsi que des résultats portant sur des propriétés de déconvolution de la loi Gamma. La troisième et dernière partie a pour objet l'étude, par le calcul de Malliavin, des solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, et en particulier l'existence de densité ainsi que d'estimées de densité pour ces solutions.