Cette thèse est consacrée à l'étude des matrices aléatoires et à quelques unes de leurs applications en physique, en particulier en physique statistique et en physique quantique.C'est un travail essentiellement analytique complété par quelques simulations numériques Monte Carlo. Dans un premier temps j'introduis la théorie des matrices aléatoires de façon assez générale : je définis les principaux ensembles de matrices aléatoires (en particulier gaussiens) et décris leurs propriétés fondamentales (distribution des valeurs propres, densité, etc). Dans un second temps je m'intéresse à des systèmes physiques d'interfaces à l'équilibre qui peuvent être modélisés par des marcheurs ``vicieux'', c'est-à-dire des marcheurs aléatoires conditionnés à ne pas se croiser. On peut montrer que la distribution des positions des marcheurs à un temps donné est exactement celle des valeurs propres d'une matrice aléatoire. J'étudie ensuite un problème physique qui relève d'un domaine très différent, celui de l'information quantique, mais qui est également étroitement relié aux matrices aléatoires: celui de l'intrication pour des états aléatoires dans un système quantique bipartite (fait de deux sous-parties) de grande taille. Enfin je m'intéresse à certaines propriétés des matrices aléatoires comme la distribution du nombre de valeurs propres positives ou encore la distribution de la valeur propre maximale (loi de Tracy-Widom près de la moyenne et grandes déviations loin de la moyenne). / This thesis presents a study of random matrices and some applications in physics, in particular in statistical physics and quantum physics. This work is mostly analytic, but I also performed some Monte Carlo numerical simulations. First I introduce random matrix theory: I define the main random matrix ensembles (in particular Gaussian ensembles) and describe their fundamental properties (distribution of the eigenvalues, density...). Then I study a physical system of interfaces at equilibrium that can be modeled by ``vicious walkers'', ie random walkers that can not meet each other.One can show that the distribution of the positions of the walkers at a given time is the same as the distribution of the eigenvalues of a random matrix. I also consider a problem coming from a very different field, the field of quantum information theory, but that is also closely related to random matrices: the distribution of entanglement for random states in a large bipartite quatum system (made of two parts). Finally I study some properties of random matrices such as the distribution of the number of positive eigenvalues or the one of the maximal eigenvalue (Tracy-Widom and large deviations).

Thèse numérisée par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Cette thèse est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique. Dans la première partie nous démontrons de nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions variationnelles globales et locales à des problèmes avec des conditions aux bords de type Neumann pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques non-autonomes. Les équations que nous considérons sont définies sur des domaines non bornés de l’espace euclidien qui satisfont à certaines conditions géométriques, et sont dirigées par un bruit multiplicatif dérivé d’un processus de Wiener fractionnaire infini-dimensionnel caractérisé par une suite de paramètres de Hurst H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). Ces paramètres sont en fait soumis à d’autres contraintes intimement liées à la nature de la non-linéarité dans le terme stochastique des équations, et au choix des espaces fonctionnels dans lesquels le problème à résoudre est bien posé. Notre méthode de preuve repose essentiellement sur des arguments d’injections compactes. Dans la seconde partie, nous étudions la possibilité de l’explosion de solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaire avec des conditions aux bords de type Dirichlet, perturbées par un mélange d’un mouvement brownien et d’un mouvement brownien fractionnaire et dirigées par une classe d’opérateurs différentiels non autonomes contenant des processus de diffusions et des processus de Lévy. Notre but est de comprendre l’influence de la partie stochastique et de l’opérateur différentiel sur le comportement d’explosion des solutions. En particulier, nous donnons des expressions explicites pour des bornes inférieures et supérieures du temps de l’explosion de la solution, et des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution globale positive. Nous estimons également la probabilité d’une explosion en temps fini et la loi d’une borne supérieur du temps d’explosion de la solution / This thesis is concerned with stochastic partial differential equations of parabolic type. In the first part we prove new results regarding the existence and the uniqueness of global and local variational solutions to a Neumann initial-boundary value problem for a class of non-autonomous stochastic parabolic partial differential equations. The equations we consider are defined on unbounded open domains in Euclidean space satisfying certain geometric conditions, and are driven by a multiplicative noise derived from an infinite-dimensional fractional Wiener process characterized by a sequence of Hurst parameters H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). These parameters are in fact subject to further constraints that are intimately tied up with the nature of the nonlinearity in the stochastic term of the equations, and with the choice of the functional spaces in which the problem at hand is well-posed. Our method of proof rests on compactness arguments in an essential way. The second part is devoted to the study of the blowup behavior of solutions to semilinear stochastic partial differential equations with Dirichlet boundary conditions driven by a class of differential operators including (not necessarily symmetric) Lévy processes and diffusion processes, and perturbed by a mixture of Brownian and fractional Brownian motions. Our aim is to understand the influence of the stochastic part and that of the differential operator on the blowup behavior of the solutions. In particular we derive explicit expressions for an upper and a lower bound of the blowup time of the solution and provide a sufficient condition for the existence of global positive solutions. Furthermore, we give estimates of the probability of finite time blowup and for the tail probabilities of an upper bound for the blowup time of the solutions

Ce document contient la synthèse des travaux de recherche effectués <br />entre 1996 et 2005, après la thèse de doctorat de l'auteur, et concerne l'étude fine de <br />certains processus stochastiques : mouvement brownien linéaire ou plan, processus de diffusion, <br />mouvement brownien fractionnaire, solutions d'équations différentielles stochastiques ou <br />d'équations aux dérivées partielles stochastiques.<br />La thèse d'habilitation s'articule en six chapitres correspondant aux thèmes <br />suivants : étude des intégrales par rapport aux temps locaux de certaines diffusions, <br />grandes déviations pour un processus obtenu par perturbation brownienne d'un système <br />dynamique dépourvu de la propriété d'unicité des solutions, calcul stochastique <br />pour le processus gaussien non-markovien non-semimartingale mouvement brownien fractionnaire, <br />étude des formules de type Itô et Tanaka pour l'équation de la chaleur stochastique, <br />étude de la durée de vie du mouvement brownien plan réfléchi dans un domaine à<br />frontière absorbante et enfin, estimation non-paramétrique et construction d'un <br />test d'adéquation à partir d'observations discrètes pour le coefficient de diffusion d'une <br />équation différentielle stochastique. <br />Les approches de tous ces thèmes sont probabilistes et basées sur l'analyse stochastique. <br />On utilise aussi des outils d'équations différentielles, d'équations aux dérivées partielles <br />et de l'analyse.

Le sujet principal de ce mémoire est l'étude de la distribution asymptotique de la fonction f_m qui compte le nombre de diviseurs premiers distincts parmi les nombres premiers $p_1,...,p_m$. Au premier chapitre, nous présentons les sept résultats qui seront démontrés au chapitre 4. Parmi ceux-ci figurent l'analogue du théorème d'Erdos-Kac et un résultat sur les grandes déviations. Au second chapitre, nous définissons les espaces de probabilités qui serviront à calculer les probabilités asymptotiques des événements considérés, et éventuellement à calculer les densités qui leur correspondent. Le troisième chapitre est la partie centrale du mémoire. On y définit la promenade aléatoire qui, une fois normalisée, convergera vers le mouvement brownien. De là, découleront les résultats qui formeront la base des démonstrations de ceux chapitre 1. / The main topic of this masters thesis is the study of the asymptotic distribution of the fonction f_m which counts the number of distinct prime divisors among the first $m$ prime numbers, i.e. $p_1,...,p_m$. The first chapter provides the seven main results which will later on be proved in chapter 4. Among these we find the analogue of the Erdos-Kac central limit theorem and a result on large deviations. In the following chapter, we define several probability spaces on which we will calculate asymptotic probabilities of specific events. These will become necessary for calculating their corresponding densities. The third chapter is the main part of this masters thesis. In it, we introduce a random walk which, when suitably normalized, will converge to the Brownian motion. We will then obtain results which will form the basis of the proofs of those of chapiter 1.

La connaissance et la maîtrise de la présence d’un biofilm représentent aujourd’hui un challenge important. Dans le contexte d’étude des capacités de développement des biofilms, BioFilm Control fait figure de pionnier grâce à leur test nommé Biofilm Ring Test. Basé sur une sollicitation du biofilm via l’attraction, par un aimant, de microbilles magnétiques au centre du puits, le test évalue la présence de biofilm par l’absence de regroupement des billes au centre du puits à un instant donné. L’enjeu de ce travail est de décliner le BioFilm Ring Test® en un examen dynamique, non destructif et à l’échelle microscopique. Dans le biofilm, la matrice polymérique assure la cohésion entre cellules et confère une protection aux bactéries qui vivent au sein du biofilm. Les propriétés mécaniques de la matrice sont donc un indicateur de l’état local du biofilm. La recherche de ces paramètres permet de pouvoir prédire et contrôler la formation, l’accumulation et la dissémination de bactéries propageant les infections et/ou l’encrassement. Néanmoins, la détermination des propriétés mécaniques des biofilms nécessite des précautions et l’usage d’un vocabulaire homogénéisé et de méthodes unifiées au sein de la communauté. Pour cela, une première partie de ce travail de thèse consiste en la proposition d’un guide de bonnes pratiques quant à la caractérisation mécanique du matériau biofilm. Dans la deuxième partie de ce travail de thèse, une méthodologie pour le suivi de particules micrométriques au sein d’un matériau vivant est développée. Le recours à des techniques d’imagerie telle que la corrélation d’images numériques permet de remonter à la cinématique du mouvement de chacune des microbilles, qui servent de marqueurs au sein des images traitées, par une mesure sans contact. Cette méthode est ensuite appliquée à l’étude de la formation de biofilm. L’originalité de ce travail repose sur la caractérisation de l’évolution de la typologie du mouvement des microbilles métalliques lors de la formation des biofilms. Il s’agit là de discriminer des comportements de billes révélateurs de la genèse d’un biofilm. En tirant parti de l’observation du mouvement de microbilles inertes introduites dans le milieu bactérien, on détecte des changements de typologies de trajectoires qui semblent être reliés à l’activité de bactéries sessiles, adhésion ou formation de matériel extracellulaire. Les résultats montrent que les diverses étapes de la formation de biofilms sont caractérisées, ce qui permet notamment de discriminer la présence ou non d’antibiotiques mélangés avec les bactéries et d’apprécier leur efficacité. Dans une dernière partie, des recherches encore en phase de développement sont exposées. Elles s’intéressent au comportement du biofilm sous sollicitation volumique. Il s’agit dans ce cas d’observer le biofilm en champ lointain et de suivre le déplacement ou la déformation d’un marquage constitué d’un agglomérat de microbilles, plongées dans un champ magnétique. Ces premiers travaux pourront servir d’ébauche à des travaux futurs dans le but de caractériser quantitativement le matériau biofilm. / The control of biofilm formation constitutes an important challenge in many industrial and biomedical applications. In this context, BioFilm Control is a pioneer thanks to its test named BioFilm Ring Test. Based on the immobilisation of magnetic microbeads by adherent cells, the assay allows to detect the presence of biofilm at a given time. The aim of this phD project is to translate the BioFilm Ring Test® into a dynamic, non-destructive and microscopic examination of the biofilm state. Whithin the biofilm, the matrix provides a strong cohesion between cells and therefore increases their resistance against chemical or mechanical stress in comparison to their planktonic counterparts. The mechanical properties of the matrix are therefore an indicator of the local state of the biofilm. The search for these parameters makes it possible to predict and control the formation, accumulation and spread of bacteria that propagate infections and/or biofouling. Nevertheless, the determination of the mechanical properties of biofilms requires precautions and the use of an homogenized vocabulary and methods that are unified within the community. To this end, a first part of this thesis work consists in proposing a guide of good practices for the mechanical characterization of biofilm material. In the second part of this work, a methodology for tracking of micrometric particles within a living material is developed. The use of full field measurement method such as digital image correlation makes it possible to trace the kinematics of the motion of each particle, which is a probe of the local environment. This method is then applied to the study of the biofilm formation, by non-contact measurement. The originality of this work is based on the characterization of the change in the microbeads movement during the biofilm formation steps. The aim is to discriminate bead behaviours that reveal the genesis of a biofilm. By taking advantage of the observation of the movement of inert microbeads embedded into the bacterial environment, we detect changes of type of trajectories which seem to be correlated to the activity of sessiles bacteria, adhesion or formation of extracellular material. The results show that the various stages of the biofilm formation are characterized by a non-destructive test. Especially, It allows to appreciate the efficiency of an antibiotic. In the last part, research still in a development phase is presented. It concerns the behaviour of biofilm under mechanical solicitation. This involves observing the biofilm in the far field and following the displacement or deformation of a pattern consisting of an agglomerate of microbeads immersed in a magnetic field. This initial work can be used as a draft for future work to quantitatively characterize the biofilm material.

Dans le cadre de cette thèse, nous nous intéressons à ”l’exposant de Lyapu-nov” pour deux modèles en milieu aléatoire : la marche aléatoire en potentiel aléatoire, le mouvement brownien en potentiel poissonnien.Dans la première partie de la thèse (chapitre II), on étudie une marche aléatoire dans un potentiel aléatoire donné par une famille de variables aléa¬toires i.i.d. non-négatives. La continuité des exposants de Lyapunov par rap¬port à la loi du potentiel est démontrée dans le cas transient, c’est-à-dire en dimension d ≥ 3 ou en dimension 2 pour un potentiel borné inférieurement. On poursuit avec l’étude des exposants critiques : l’exposant de volume ξ et l’exposant de fluctuation X. On obtient l’une des inégalités suggérée par la conjecture de KPZ sous une condition de courbure de la forme asymptotique. Les exposants de Lyapunov jouent un rôle important dans cette étude.La deuxième partie de la thèse (chapitre III) est surtout consacrée à l’étude du brownien dans un potentiel aléatoire de longue portée. On débute cependant par un potentiel classique à portée finie. Sznitman (1987-1998) a étudié plusieurs aspects de ce modèle. Un premier résultat de cette partie est la continuité des exposants de Lyapunov par rapport au paramètre du pro¬cessus de Poisson. On étudie ensuite le modèle proposé par Lacoin (2012) qui est un modèle avec un potentiel à longue portée. Il a obtenu des estimations des exposants critiques sensiblement différentes de celles de Wüthrich (1998) pour le modèle de Sznitman. Dans cette thèse, on poursuit l’étude du modèle de Lacoin. On montre l’existence des exposants de Lyapunov, le théorème de la forme limite et une estimation de grandes déviations. / In this thesis, we are interested in Lyapunov exponent for two models in random media : random walk in random potential, Brownian motion in Poisson potential.In the first part (chapter II), we study a random walk in a random potential given by a family of i.i.d random non-negative variables. The continuity of Lyapunov exponents with respect to the law of potential is shown in the case transient, that is, in the dimension d ≥ 3 or in the dimension d = 2 for a lower bounded potential. Next, we consider the critical exponents : the exponent of volume ξ and the exponent of fluctuation X. We give an inequality suggested by the KPZ conjecture under a condition of asymptotic form. Lyapunov exponents play an important role in this work.The second part (chapter III) is mainly devoted to the study Brownian motion in a long-range random potential. However, we begin with a classical finite-range potential. Sznitman (1987-1998) investigated several aspects of this model. The first result of this part is the continuity of the Lyapunov exponents with respect to the parameter of the Poisson process. Then, we study the model proposed by Lacoin (2012) which is a long-range potential model. He obtained some estimations of critical exponents that are significantly different from those of Wüthrich (1998) for the model of Sznitman.In this thesis, we pursue the study of Lacoin model. We show the existence of Lyapunov exponents, the shape limit theorem and an estimation of large deviations

La première partie de cette thèse porte sur les automates cellulaires probabilistes (ACP) sur la ligne et à deux voisins. Pour un ACP donné, nous cherchons l'ensemble de ces lois invariantes. Pour des raisons expliquées en détail dans la thèse, ceci est à l'heure actuelle inenvisageable de toutes les obtenir et nous nous concentrons, dans cette thèse, surles lois invariantes markoviennes. Nous établissons, tout d'abord, un théorème de nature algébrique qui donne des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'un ACP admette une ou plusieurs lois invariantes markoviennes dans le cas où l'alphabet E est fini. Par la suite, nous généralisons ce résultat au cas d'un alphabet E polonais après avoir clarifié les difficultés topologiques rencontrées. Enfin, nous calculons la fonction de corrélation du modèleà 8 sommets pour certaines valeurs des paramètres du modèle en utilisant une partie desrésultats précédents. / The first part of this thesis is about probabilistic cellular automata (PCA) on the line and with two neighbors. For a given PCA, we look for the set of its invariant distributions. Due to reasons explained in detail in this thesis, it is nowadays unthinkable to get all of them and we concentrate our reections on the invariant Markovian distributions. We establish, first, an algebraic theorem that gives a necessary and sufficient condition for a PCA to have one or more invariant Markovian distributions when the alphabet E is finite. Then, we generalize this result to the case of a polish alphabet E once we have clarified the encountered topological difficulties. Finally, we calculate the 8-vertex model's correlation function for some parameters values using previous results.The second part of this thesis is about infinite iterations of stochastic processes. We establish the convergence of the finite dimensional distributions of the α-stable processes iterated n times, when n goes to infinite, according to parameter of stability and to drift r. Then, we describe the limit distributions. In the iterated Brownian motion case, we show that the limit distributions are linked with iterated functions system.

Cette thèse porte sur l'étude d'équations différentielles de type frottement, c'est à dire d'équations de type attractive, avec un unique point stable 0, caractérisant la vitesse d'un objet soumis à une force de frottement. La vitesse de cet objet subit des perturbations aléatoires de type Lévy. Dans une première partie, nous nous intéressons aux propriétés fondamentales de ces EDS : existence et unicité de la solution, caractère markovien et ergodique de celle-ci et plus particulièrement le cas des processus de Lévy stable. Dans une deuxième partie, nous étudions la stabilité de la solution de ces EDS lorsque la perturbation est un processus de Lévy stable qui tend vers 0. En effet, nous démontrons l'existence d'un développement limité d'ordre un autour de la solution déterministe pour la vitesse et la position de l'objet. Dans une troisième partie, nous étudions le comportement asymptotique des solutions lorsque la vitesse initiale est nulle et que la perturbation est un processus de Lévy stable symétrique. Nous prouvons dans cette partie que l'accumulation de perturbations entraîne un comportement asymptotique gaussien de la position de l'objet, à condition que l'indice de stabilité du processus de Lévy et la croissance du potentiel soient suffisamment grand. Dans une quatrième partie, nous levons l'hypothèse de symétrie de la perturbation en démontrant le même résultat que dans la troisième partie mais avec une dérive. Pour cela, nous étudions tout d'abord la queue de distribution de la mesure invariante associée à la vitesse de l'objet. Enfin dans une dernière partie, nous nous intéressons au résultat de la troisième partie lorsque la perturbation est la somme d'un mouvement brownien et d'un processus de Lévy purement à sauts. Puis nous commençons l'étude de la dimension deux en traitant le cas où les équations sont découplées mais où les mouvement brownien directeurs sont dépendants. / This thesis deals with the study of friction type differential equations, in other words, attractive equations, with a unique stable point 0, describing the speed of an object submitted to a frictional force. This object's speed is disturbed by Lévy type random perturbations. In a first part, one is interested in fondamental properties of these SDE: existence and unicity of a solution, Markov and ergodic properties, and more particularly the case of stable Lévy processes.In a second part, one study the stability of the solution of these SDE when the perturbation is an stable Lévy process that tends to 0. In fact, one proves the existence of a Taylor expansion of order one around the deterministic solution for the object's speed and position. In a third part, one study the asymptotic behaviour of the solutions when the initial speed is 0 and the perturbation is a symmetric stable Lévy process. One proves that the amount of perturbations, if the stability's index of the Lévy process and the increasing of the potential are big enough, leads to a gaussian asymptotic behaviour for the object's position.In a forth part, one relaxes the assumption of symmetry of the perturbation by proving the same result as in the third part but with a drift. To do so, one first studies the tail of the invariant measure of the object's speed.Finally, in a last part, one is interested in the same result as in the third part when the perturbation is the sum of the Brownian motion and a pure jump stable Lévy process. Then, one begins the study of the dimension two by considering the case where the equations are separated but where the driving Brownian motions are dependent.

Nous présentons une expérience de mesure optique ultrasensible de petits déplacements d'un miroir placé dans une cavité Fabry-Perot de grande finesse, avec une sensibilité au niveau de l'attomètre. <br />Nous avons mesuré le bruit thermique du miroir et suivi son évolution temporelle dans l'espace des phases. Nous avons refroidi le miroir en exerçant une force de friction froide et obtenu une compression du bruit thermique dans l'espace des phases. <br />Une étude spatiale des modes acoustiques internes a été réalisée pour différentes géométries du miroir, en balayant une force de pression de radiation sur la surface du miroir. Les résultats valident les modèles théoriques utilisés pour les interféromètres gravitationnels et permet de définir une géométrie favorable à la démonstration des effets quantiques du couplage optomécanique. <br />Nous présentons également une étude théorique des bruits thermiques et quantiques dans un nouveau type d'antenne gravitationnelle, constituée de deux sphères imbriquées.