Cette thèse est composée de deux parties indépendantes : la première partie traite des équations différentielles stochastiques dans le cadre de la G-espérance, tandis que la deuxième partie présente les résultats obtenus pour les équations différentielles stochastiques du seconde ordre. Dans un premier temps, on considère les intégrales stochastiques par rapport à un processus croissant, et on donne une extension de la formule d'Itô dans le cadre de la G-espérance. Ensuite, on étudie une classe d'équations différentielles stochastiques réfléchies unidimensionnelles dirigées par un G-mouvement brownien. Dans la suite, en utilisant une méthode de localisation, on prouve l'existence et l'unicité de solutions pour les équations différentielles stochastiques dirigées par un G-mouvement brownien, dont les coefficients sont localement lipschitziens. Enfin, dans le même cadre, on discute des problèmes de réflexion multidimensionnelle et on fournit quelques résultats de convergence. Dans un deuxième temps, on étudie une classe d'équations différentielles stochastiques rétrogrades du seconde ordre à croissance quadratique. Le but de ce travail est de généraliser le résultat obtenu par Possamaï et Zhou en 2012. On montre aussi l'existence et l'unicité des solutions pour ces équations, mais sous des hypothèses plus faibles. De plus, ce résultat théorique est appliqué aux problèmes de maximisation robuste de l'utilité du portefeuille en finance.

Aujourd’hui la prédiction des défaillances de certains systèmes industriels est devenue indispensable pour l’amélioration de la fiabilité et de la rentabilité de ces derniers. Cette prédiction s’appuie principalement sur l’analyse d’évolution du niveau de dégradation du système. Pour les systèmes dont l’état de détérioration n’est pas directement observable, la définition d’indicateurs de santé mesurables est nécessaire. Une modélisation du processus de dégradation à partir de ces données peut être ensuite effectuée. Dans cette thèse, nous considérons un ensemble d’indicateurs non-monotones pour un système opérant dans un environnement dynamique. Compte tenu des principales caractéristiques des données ainsi que de l’impact des conditions environnementales et de leur instabilité, une modélisation stochastique de l’évolution de ces indicateurs est proposée. Les modèles proposés se basent principalement sur une combinaison d’un processus de Wiener et de processus de sauts. Les motivations, les méthodes de calibration, l’utilité et les limites de chaque modèle sont discutées. Nous proposons ensuite une approche pour l’aide à la décision concernant les actions de maintenance préventive. Cette approche consiste à évaluer la valeur d’une option réelle qui présente la possibilité d’«Attendre avant d’Agir» suite à un signal d’avertissement sur une défaillance probable. Une application de cette approche pour le cas d'une éolienne équipée d’un système de surveillance et de gestion est traitée / A major concern for engineers and managers nowadays is to make high quality products and highly reliable systems. In this context, reliability analysis and failure prediction, besides of efficient maintenance decision-making are strongly required. Deterioration modeling and analysis is a fundamental step for the understanding and the anticipation of system behavior. Consider a functional system operating in unstable conditions or environment where the deterioration level is not observable and could not be determined by direct measures. For this system a set of measurable health indicator that indirectly reflects the system working conditions and deterioration level can be defined and examined. Considering these indicators, the development of a mathematical model describing the system behavior is required.In this thesis, we consider a set of non-monotone indicators evolving in a dynamic environment. Taking into account the major features of the data evolution as well as the impact of dynamic environment consequences and potential shocks, stochastic models based on Wiener and jump processes are proposed for these indicators. Each model is calibrated and tested, and their limits are discussed. A decision-making approach for preventive maintenance strategies is then proposed. In this approach, knowing the RUL of the system, a simulation-based real options analysis is used in order to determine the best date to maintain. Considering a case study of a wind turbine with PHM structure, the decision optimization approach is described

L'eau est un liquide omniprésent, son omniprésence n'a d'équivalence que la multitude de ses secrets. En effet, dans le cas de l'eau, le comportement de nombreuses grandeurs thermodynamiques et dynamiques se différencie de celui des liquides « standard ». Cette différence est d'autant plus importante dans l'état dit surfondue. Dans cette thèse, on s'intéresse à la viscosité de l'eau légère et lourde dans l'état surfondue à pression atmosphérique. Pour ce faire, nous avons utilisé la méthode de microscopie dynamique différentielle. Nous avons ainsi pu mesurer la viscosité jusqu'à -34°C pour l'eau légère et -25°C pour l'eau lourde. Ces mesures de viscosité corrélées à des mesures de coefficient d'auto-diffusion nous ont permis de confirmer l'existence d'une anomalie dite violation de Stokes-Einstein / Water is an omnipresent liquid, indeed secrets of water are uncountable. In the water case, the behaviour of many thermodynamical and dynamicalquantities is very different from other standard liquids. This difference is more important in the supercooled state. In this thesis we focus on the viscosity of the heavy and light water into the supercooled state at atmospheric pressure. To do this we use the differential dynamic microscopy method. We were able to measure the viscosity to -34 C for light water and -25°C for heavy water. These viscosity measurements correlated to measurements of self-diffusion coefficient allowed us to confirm the existence of a so-called anomaly violation Stokes-Einstein

L'objet de cette thèse est l'étude de l'auto-organisation dans les automates cellulaires unidimensionnels.Les automates cellulaires sont un système dynamique discret ainsi qu'un modèle de calcul massivement parallèle, ces deux aspects s'influençant mutuellement. L'auto-organisation est un phénomène où un comportement organisé est observé asymptotiquement, indépendamment de la configuration initiale. Typiquement, nous considérons que le point initial est tiré aléatoirement: étant donnée une mesure de probabilité décrivant une distribution de configurations initiales, nous étudions son évolution sous l'action de l'automate, le comportement asymptotique étant décrit par la(les) mesure(s) limite(s).Notre étude présente deux aspects. D'abord, nous caractérisons les mesures qui peuvent être atteintes à la limite par les automates cellulaires; ceci correspond aux différents comportements asymptotiques pouvant apparaître en simulation. Cette approche rejoint divers résultats récents caractérisant des paramètres de systèmes dynamiques par des conditions de calculabilité, utilisant des outils d'analyse calculable. Il s'agit également d'une description de la puissance de calcul des automates cellulaires sur les mesures.Ensuite, nous proposons des outils pour létude de l'auto-organisation dans des classes restreintes. Nous introduisons un cadre d'étude d'automates pouvant être vus comme un ensemble de particules en interaction, afin d'en déduire des propriétés sur leur comportement asymptotique. Une dernière direction de recherche concerne les automates convergeant vers la mesure uniforme sur une large classe de mesures initiales (phénomène de randomisation). / The subject of this thesis is the study of self-organization in one-dimensional cellular automata.Cellular automata are a discrete dynamical system as well as a massively parallel model of computation, both theseaspects influencing each other. Self-organisation is a phenomenon where an organised behaviour is observed asymptotically, regardless of the initial configuration. Typically, we consider that the initial point is sampled at random; that is, we consider a probability measure describing the distribution of theinitial configurations, and we study its evolution under the action of the automaton, the asymptoticbehaviour being described by the limit measure(s).Our work is two-sided. On the one hand, we characterise measures that can bereached as limit measures by cellular automata; this corresponds to the possible kinds of asymptoticbehaviours that can arise in simulations. This approach is similar to several recent results characterising someparameters of dynamical systems by computability conditions, using tools from computable analysis. Thisresult is also a description of the measure-theoretical computational power of cellular automata.On the other hand, we provided tools for the practical study of self-organization in restricted classes of cellularautomata. We introduced a frameworkfor cellular automata that can be seen as a set of interacting particles, in order todeduce properties concerning their asymptotic behaviour. Another ongoing research direction focus on cellular automata that converge to the uniform measurefor a wide class of initial measures (randomization phenomenon).

Cette thèse porte sur l’étude de la mémoire longue de la volatilité des rendements d’actions. Dans une première partie, nous apportons une interprétation de la mémoire longue en termes de comportement d’agents grâce à un modèle de volatilité à mémoire longue dont les paramètres sont reliés aux comportements hétérogènes des agents pouvant être rationnels ou à rationalité limitée. Nous déterminons de manière théorique les conditions nécessaires à l’obtention de mémoire longue. Puis nous calibrons notre modèle à partir des séries de volatilité réalisée journalière d’actions américaines de moyennes et grandes capitalisations et observons le changement de comportement des agents entre la période précédant l’éclatement de la bulle internet et celle qui la suit. La deuxième partie est consacrée à la prise en compte de la mémoire longue en gestion de portefeuille. Nous commençons par proposer un modèle de choix de portefeuille à volatilité stochastique dans lequel la dynamique de la log-volatilité est caractérisée par un processus d’Ornstein-Uhlenbeck. Nous montrons que l’augmentation du niveau d’incertitude sur la volatilité future induit une révision du plan de consommation et d’investissement. Puis dans un deuxième modèle, nous introduisons la mémoire longue grâce au mouvement brownien fractionnaire. Cela a pour conséquence de transposer le système économique d’un cadre markovien à un cadre non-markovien. Nous fournissons donc une nouvelle méthode de résolution fondée sur la technique de Monte Carlo. Puis, nous montrons toute l’importance de modéliser correctement la volatilité et mettons en garde le gérant de portefeuille contre les erreurs de spécification de modèle. / This PhD thesis is about the study of the long memory of the volatility of asset returns. In a first part, we bring an interpretation of long memory in terms of agents’ behavior through a long memory volatility model whose parameters are linked with the bounded rational agents’ heterogeneous behavior. We determine theoretically the necessary condition to get long memory. Then we calibrate our model from the daily realized volatility series of middle and large American capitalization stocks. Eventually, we observe the change in the agents’ behavior between the period before the internet bubble burst and the one after. The second part is devoted to the consideration of long memory in portfolio management. We start by suggesting a stochastic volatility portfolio model in which the dynamics of the log-volatility is characterized by an Ornstein-Uhlenbeck process. We show that when the uncertainty of the future volatility level increases, it induces the revision of the consumption and investment plan. Then in a second model, we introduce a long memory component by the use of a fractional Brownian motion. As a consequence, it transposes the economic system from a Markovian framework to a non-Markovian one. So we provide a new resolution method based on Monte Carlo technique. Then we show the high importance to well model the volatility and warn the portfolio manager against the misspecification errors of the model.

Cette thèse s'intéresse à une étude variée des EDSRs. Une grande partie des résultats sont obtenus sous l'hypothèse d'une croissance de type quadratique du générateur en sa dernière variable. Un premier lien entre EDSRs quadratiques unidimensionnelles et théorie des jeux nous amène à développer des résultats avec générateurs convexes. La théorie du contrôle optimal nécessite quant à elle de traiter du cas multidimensionnel, dans lequel existence et unicité globales ne sont obtenues que pour des générateurs diagonalement quadratiques. Les résultats majeurs sur les EDSRs réfléchies (dont la solution est contrainte à rester dans un domaine) concernent des générateurs Lipschitziens. C'est dans ce cadre que nous développons un résultat de propagation du chaos, avec une contrainte portant sur la loi de la solution plutôt que sur sa trajectoire. Nous dressons enfin un pont entre EDSRs quadratiques et EDSRs réfléchies grâce aux EDSRs quadratiques de type champ moyen. Nous donnons plusieurs nouveaux résultats sur la possibilité de résoudre une équation quadratique dont le générateur dépend également de la moyenne des deux variables. / In this thesis, we are interested in studying variously Backward Stochastic Differential Equations. A large proportion of the results are obtained under the assumption that the driver is of quadratic growth in its last variable. A first link between one-dimensional quadratic BSDEs and game theory leads us to develop results with convex drivers. Optimal control theory requires as for it to deal with the multidimensional case, in which global existence and uniqueness are obtained only for diagonaly quadratic drivers. Major achievements in reflected BSDEs (whose solution is constrained to remain in a domain) are reached for Lipschitz drivers. We develop a result of chaos propagation in this setting, with a constraint on the law of the solution rather than on its path. We finaly build bridge between quadratic BSDEs and reflected BSDEs thanks to mean field quadratic BSDEs. We give several new results on solvability of a quadratic BSDE whose driver depends also on the mean of both variables.

On s'intéresse dans cette thèse à l'étude de variables aléatoires sur les groupes de Lie compacts classiques. On donne une déformation du calcul de Weingarten tel qu'il a été introduit par B. Collins et P. Sniady. On fait une étude asymptotique du mouvement brownien sur les groupes de Lie compacts de grande dimension en obtenant des nouveaux résultats de fluctuations. Deux nouveaux objets, que l'on appelle champ maître gaussien planaire et champ maître orienté planaire, sont introduits pour décrire le comportement asymptotique des mesures de Yang-Mills pour des groupes de structure de grande dimension. / In the following text, we are interested in the study of Lie-groups valued random variables. We give a deformation of the Weingarten calculus introduced by Benoît Collins and Piotr Sniady. We study the asymptotic behavior of Brownian motion on compact Lie groups in high dimensions and obtain new fluctuations results. Two new objects called the planar gaussian master field and the planar oriented master field are introduced here to describe the asymptotic behavior of the Yang-Mills measure as the dimension of the structure group is large.

<p>Dans ce travail nous abordons deux problèmes non résolus en Probabilité appliquée. Nous les approchons tous deux sous un angle nouveau, en utilisant des outils aussi variés que les chaînes de Markov, les mouvements Browniens, les transformations de Schwarz-Christoffel, les processus de Poisson et la théorie des temps d'arrêts optimaux. <p><p>Problème de la ruine pour N joueurs<p><p>Le problème de la ruine pour $N$ joueurs est un problème célèbre dont la solution pour $N=2$ est connue depuis longtemps. Nous l'abordons premièrement en toute généralité, en le modélisant comme un problème d'absorption pour une chaîne de Markov. Nous obtenons les distributions associées à ce problème et nous décrivons un algorithme (appelé {it folding algorithm}) permettant de diminuer considérablement le nombre d'opérations nécessaires à une résolution complète. Cette étude nous permet de mettre en avant un certain nombres de relations de récurrence satisfaites par les probabilités de ruines associées à chaque état de la chaîne de Markov. Nous étudions ensuite une version asymptotique du problème de la ruine pour 3 joueurs. Nous utilisons les propriétés d'invariance des mouvements Browniens par transformations conformes pour décrire une résolution de ce problème via les transformations de Schwarz-Christoffel. Cette méthode dépasse le cadre strict du problème de la ruine pour 3 joueurs et s'applique à d'autres problèmes de temps d'atteinte d'un bord par un mouvement Brownien. <p><p>Problème de Robbins<p><p>Ce problème s'inscrit dans le cadre de la théorie des temps d'arrêts optimaux. C'est un problème d'analyse séquentielle dans lequel un observateur examine $n$ variables aléatoires indépendantes de manière séquentielle et doit en sélectionner exactement une sans rappel. L'objectif est de déterminer une stratégie qui permette de minimiser le rang moyen de l'observation sélectionnée. <p><p> Nous décrivons un modèle alternatif de ce problème, dans lequel le décideur observe un nombre aléatoire d'arrivées distribuées suivant un processus de Poisson homogène sur un horizon fixe $t$. Nous prouvons l'existence d'une stratégie optimale pour chaque horizon, et nous montrons que la fonction de perte associée à cette stratégie est uniformément continue sur $R$. Nous décrivons une fonction de perte restreinte qui permet d'obtenir une estimation de la valeur asymptotique du problème, et nous obtenons la valeur asymptotique associée à des stratégies spécifiques. Nous obtenons ensuite une équation intégro-diffférentielle sur la fonction de perte associée à la stratégie optimale. Finalement nous étudions les valeurs asymptotiques du problème et nous les comparons à celles du problème en temps discret. Nous concluons cette thèse en décrivant des stratégies spécifiques qui permettent d'obtenir des estimations sur le comportement asymptotique de la fonction de perte. <p><p> / Doctorat en Sciences / info:eu-repo/semantics/nonPublished

Ce travail, à la frontière de l’analyse et des probabilités, s’intéresse à l’étude de systèmes différentiels a priori mal posés. Nous cherchons, grâce à des techniques issues de la théorie des chemins rugueux et de l’étude trajectorielle des processus stochastiques, à donner un sens à de tels systèmes puis à les résoudre, tout en montrant que les notions proposées ici étendent bien les notions classiques de solutions. Cette thèse se décompose en trois chapitres. Le premier traite des systèmes différentiels ordinaires perturbés additivement par des processus irréguliers éventuellement stochastiques ainsi que des effets de régularisation de tels processus. Le deuxième chapitre concerne l’équation de transport linéaire perturbée multiplicativement par des chemins rugueux ; enfin, le dernier chapitre s’intéresse à une équation de la chaleur non linéaire perturbée par un bruit blanc espace-temps, l’équation de quantisation stochastique phi4 en dimension 3. / In this work we investigate a priori ill-posed differential systems from an analytic and probabilistic point of view. Thanks to technics inspired by the rough path theory and pathwise study of stochastic processes, we want to define those ill-posed systems and then study them. The first chapter of this thesis is related to ordinary differential equations perturbed by some irregular (stochastic) processes and the effects induced by the regularization of such processes. The second chapter deals with the linear transport equation multiplicatively perturbed by a rough path. Finally, in the last chapter we investigate the stochastic quantization equation Phi4 in three dimensions.

L’objet de cette thèse est d’étudier plusieurs modèles probabilistes reliant les marches aléatoires et les arbres aléatoires issus de processus de branchement critiques.Dans la première partie, nous nous intéressons au modèle de marche aléatoire à valeurs dans un réseau euclidien et indexée par un arbre de Galton–Watson critique conditionné par la taille. Sous certaines hypothèses sur la loi de reproduction critique et la loi de saut centrée, nous obtenons, dans toutes les dimensions, la vitesse de croissance asymptotique du nombre de points visités par cette marche, lorsque la taille de l’arbre tend vers l’infini. Ces résultats nous permettent aussi de décrire le comportement asymptotique du nombre de points visités par une marche aléatoire branchante, quand la taille de la population initiale tend vers l’infini. Nous traitons également en parallèle certains cas où la marche aléatoire possède une dérive constante non nulle.Dans la deuxième partie, nous nous concentrons sur les propriétés fractales de la mesure harmonique des grands arbres de Galton–Watson critiques. On comprend par mesure harmonique la distribution de sortie, hors d’une boule centrée à la racine de l’arbre, d’une marche aléatoire simple sur cet arbre. Lorsque la loi de reproduction critique appartient au domaine d’attraction d’une loi stable, nous prouvons que la masse de la mesure harmonique est asymptotiquement concentrée sur une partie de la frontière, cette partie ayant une taille négligeable par rapport à celle de la frontière. En supposant que la loi de reproduction critique a une variance finie, nous arrivons à évaluer la masse de la mesure harmonique portée par un sommet de la frontière choisi uniformément au hasard. / The aim of this Ph. D. thesis is to study several probabilistic models linking the random walks and the random trees arising from critical branching processes.In the first part, we consider the model of random walk taking values in a Euclidean lattice and indexed by a critical Galton–Watson tree conditioned by the total progeny. Under some assumptions on the critical offspring distribution and the centered jump distribution, we obtain, in all dimensions, the asymptotic growth rate of the range of this random walk, when the size of the tree tends to infinity. These results also allow us to describe the asymptotic behavior of the range of a branching random walk, when the size of the initial population goes to infinity. In parallel, we treat likewise some cases where the random walk has a non-zero constant drift.In the second part, we focus on the fractal properties of the harmonic measure on large critical Galton–Watson trees. By harmonic measure, we mean the exit distribution from a ball centered at the root of the tree by simple random walk on this tree. If the critical offspring distribution is in the domain of attraction of a stable distribution, we prove that the mass of the harmonic measure is asymptotically concentrated on a boundary subset of negligible size with respect to that of the boundary. Assuming that the critical offspring distribution has a finite variance, we are able to calculate the mass of the harmonic measure carried by a random vertex uniformly chosen from the boundary.