Made available in DSpace on 2014-06-12T17:36:16Z (GMT). No. of bitstreams: 2 arquivo2388_1.pdf: 5220341 bytes, checksum: e4cb80712af74d888ff6811318069861 (MD5) license.txt: 1748 bytes, checksum: 8a4605be74aa9ea9d79846c1fba20a33 (MD5) Previous issue date: 2009 / Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Pernambuco / O aumento contínuo da população, o desenvolvimento vertiginoso da tecnologia e a necessidade de adaptação dos grandes centros urbanos a essas mudanças, exigem dos engenheiros projetistas de estruturas, cada vez mais conhecimento sobre o comportamento estrutural, de forma a desenvolver projetos que permitam liberdade à criatividade arquitetônica sem comprometimento da segurança e da viabilidade econômica. Com essa preocupação, este trabalho apresenta uma metodologia para avaliação do comportamento estrutural de edifícios altos em concreto armado, baseada em indicadores que contemplam desde análises elásticas lineares até análises não lineares, tanto físicas quanto geométricas, e análises dinâmicas. A metodologia é aplicada a três estruturas reais impondo-lhes diferentes condições de apoio: apoios indeslocáveis, muito utilizada em escritórios de projeto, e apoios deslocáveis, para a qual se considera a interação solo-estrutura. Os resultados apresentados mostram que edifícios altos devem ser concebidos e analisados segundo critérios rigorosos que vão desde a concepção arquitetônica e o lançamento estrutural, passando pela análise da estabilidade global e da capacidade do material, até a verificação do conforto humano quanto às vibrações

O objetivo desta tese consiste na elaboração de dois estudos empíricos. No primeiro, estuda-se as propriedades da estrutura a termo das taxas de juros e em particular testa-se a validade da hipótese de expectativas a dados brasileiros e americanos. Os melhores resultados foram obtidos para os dados americanos. No segundo estudo pesquisa-se os determinantes da volatilidade dos títulos de dívida soberana de quatro países – Brasil, Argentina, Rússia e México. Os modelos utilizados são multivariados da família GARCH. Avalia-se em que medida as crises financeiras pelas quais passaram os países citados implicaram em algum tipo de contágio aos demais. Há evidência favorável à hipótese de contágio de muitos dos eventos estudados. / The thesis is composed by two empirical studies. In the first it’s analyzed the proprieties of the interest rate term structure and, in particular, it’s investigated whether or not the expectation hypothesis is a good description of Brazilian and American data. The results are better for American data. In the second study it’s investigated the sovereign debt bonds volatility of four countries – Brazil, Mexico, Russia and Argentine. The volatility was analyzed by the estimation of multivariate GARCH models. The existence of financial crises contagion was investigated and tested. There is some evidence in favor of the contagion hypothesis.

Made available in DSpace on 2016-06-02T20:27:37Z (GMT). No. of bitstreams: 1 2301.pdf: 713998 bytes, checksum: 2baba1cd3305100cc67f3aa41ede2aed (MD5) Previous issue date: 2009-03-20 / Financiadora de Estudos e Projetos / The aim of this work is to give some suficient conditions for the existence and multiplicity of the solutions for a class of elliptic problems with sign-changing weight function in unbounded domains, using for this variational techniques. Specifically, in the semilinear case we use the minimization arguments on the Nehari manifold. For the quasilinear case, as in the scalar case as in the system, we use the minimization arguments and a variant of the mountain pass Theorem without the Palais-Smale condition. / O objetivo deste trabalho é apresentar condições suficientes para a existência e multiplicidade de soluções para uma classe de problemas elípticos com função peso mudando de sinal em domínios ilimitados, utilizando para isso argumentos variacionais. Especificamente, no caso semilinear utilizamos argumentos de minimização sobre a variedade de Nehari. Para o caso quase linear, tanto para o caso escalar bem como para o sistema, utilizamos argumentos de minimização e uma variante do Teorema do passo da montanha sem a condição de Palais-Smale.

Submitted by Fransber Santade null (rebsnarf@yahoo.com.br) on 2017-09-22T14:48:21Z No. of bitstreams: 1 SANTADE, F - TESE FINAL.pdf: 14558958 bytes, checksum: 9a0972774c5e2f391f09848d2c7b5b88 (MD5) / Approved for entry into archive by LUIZA DE MENEZES ROMANETTO (luizamenezes@reitoria.unesp.br) on 2017-09-25T18:18:49Z (GMT) No. of bitstreams: 1 santade_f_dr_bauru.pdf: 14558958 bytes, checksum: 9a0972774c5e2f391f09848d2c7b5b88 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-25T18:18:49Z (GMT). No. of bitstreams: 1 santade_f_dr_bauru.pdf: 14558958 bytes, checksum: 9a0972774c5e2f391f09848d2c7b5b88 (MD5) Previous issue date: 2017-07-28 / Fundação para o Desenvolvimento da UNESP (FUNDUNESP) / O objetivo principal desta tese é a análise de amortecedores não lineares, incluindo os efeitos da folga, assimetria e histerese. A tese também apresenta um estudo sobre a influência da temperatura sobre esses efeitos. O estudo baseia-se em testes experimentais realizados em três diferentes amortecedores, incluindo um de atrito seco, um hidráulico e um do tipo magnetoreológico. Esses amortecedores foram testados em uma máquina de teste universal utilizando excitação cíclica para diferentes condições de amplitude, frequência e corrente elétrica no caso do amortecedor magnetoreológico. Três modelos paramétricos foram utilizados para representar as forças de amortecimento que foram medidas durante os ensaios experimentais, onde os parâmetros que definem esses modelos foram ajustados utilizando um algoritmo de otimização. A tese propõe uma contribuição para o campo de engenharia ao representar fenômenos não lineares típicos de amortecedores através de testes experimentais e descrevendo uma metodologia para representar as forças de amortecimento não linear e os efeitos da temperatura nestes modelos. / The main objective of this thesis is the analysis of nonlinear dampers including the effects of clearance, asymmetry and hysteresis. The thesis also presents a study on the temperature influence over these effects. The study is based on experimental tests performed on three different damping devices (dashpots), including a dry friction, a hydraulic and a magnetorheological dashpots. Theses dampers were tested on an universal testing machine using cyclic excitation for different conditions of amplitude, frequency and current in the case of the magnetorheological damper. Three parametric models have been used to represent the damping forces that were measured during the experimental testes, where the parameters defining these models were adjusted using an optimization algorithm. The thesis proposes a contribution to the engineering field by representing typical nonlinear phenomena of dampers through experimental tests and describing a methodology to represent the nonlinear damping forces and the effects of temperature on these models.

O objetivo desta tese consiste na elaboração de dois estudos empíricos. No primeiro, estuda-se as propriedades da estrutura a termo das taxas de juros e em particular testa-se a validade da hipótese de expectativas a dados brasileiros e americanos. Os melhores resultados foram obtidos para os dados americanos. No segundo estudo pesquisa-se os determinantes da volatilidade dos títulos de dívida soberana de quatro países – Brasil, Argentina, Rússia e México. Os modelos utilizados são multivariados da família GARCH. Avalia-se em que medida as crises financeiras pelas quais passaram os países citados implicaram em algum tipo de contágio aos demais. Há evidência favorável à hipótese de contágio de muitos dos eventos estudados. / The thesis is composed by two empirical studies. In the first it’s analyzed the proprieties of the interest rate term structure and, in particular, it’s investigated whether or not the expectation hypothesis is a good description of Brazilian and American data. The results are better for American data. In the second study it’s investigated the sovereign debt bonds volatility of four countries – Brazil, Mexico, Russia and Argentine. The volatility was analyzed by the estimation of multivariate GARCH models. The existence of financial crises contagion was investigated and tested. There is some evidence in favor of the contagion hypothesis.

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2017-03-03T18:04:36Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Karla Carolina Vicente de Sousa 2017.pdf: 802534 bytes, checksum: b021fd17684c91eaed58191b3674afd7 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2017-03-06T10:40:35Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Karla Carolina Vicente de Sousa 2017.pdf: 802534 bytes, checksum: b021fd17684c91eaed58191b3674afd7 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2017-03-06T10:40:35Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Karla Carolina Vicente de Sousa 2017.pdf: 802534 bytes, checksum: b021fd17684c91eaed58191b3674afd7 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2017-03-01 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / In this work we study the existence of positive solutions for the following semilinear elliptic problem with concave-convex nonlinearities    −∆u = λa(x)u q +b(x)u p , x ∈ Ω u = 0, x ∈ ∂Ω where Ω is a bounded domain in R N with smooth boundary and 0 < q < 1 < p < 2 ∗−1 (where 2∗−1 = +∞, if N = 1 or N = 2 and 2∗−1 = N+2 N−2 , where N ≥ 3). Furthermore, λ > 0 is a parameter and a,b : Ω → R are continuous functions which are somewhere positives, however, such functions may change sign in Ω. / Neste trabalho estudaremos a existência de soluções positivas para o seguinte problema elíptico semilinear com não linearidades do tipo côncavo-conexo    −∆u = λa(x)u q +b(x)u p , x ∈ Ω u = 0, x ∈ ∂Ω onde Ω é uma domínio limitado de R N , com bordo regular e 0 < q < 1 < p < 2 ∗ −1 (onde 2∗ −1 = +∞, se N = 1 ou N = 2 e 2∗ −1 = N+2 N−2 , quando N ≥ 3). Além disso, λ > 0 é um parâmetro e a,b : Ω → R são funções contínuas que assumem valores positivos, porém, tais funções podem mudar de sinal em Ω.

A ABNT NBR 6118:2014 &#8211; Projeto de Estruturas de Concreto apresenta quatro métodos para dimensionamento de pilares, sendo necessário o uso de envoltórias de momentos quando houver flexão composta oblíqua. Devido à complexidade, não se considera de forma adequada a não linearidade física, a verificação de flexão composta oblíqua e as imperfeições geométricas locais. Este trabalho apresenta diretrizes para o dimensionamento de pilares retangulares de concreto com armadura simétrica, submetidos à flexão composta oblíqua, empregando-se as envoltórias mínimas e resistentes para verificação da armadura. São feitas análises de como as não linearidades influem no estado-limite último de instabilidade e como elas devem ser consideradas nos métodos de dimensionamento. São indicadas duas situações que podem ser críticas para o pré-dimensionamento. São elaborados roteiros para determinação das envoltórias solicitantes, para cada método de dimensionamento, e das envoltórias resistentes, por meio do cálculo direto ou com o uso de ábacos para flexão composta normal. Há, também, dois apêndices, um sobre a determinação dos diagramas momento fletor &#8211; força normal &#8211; curvatura para qualquer tipo de seção, e outro sobre obtenção dos diagramas de interação (Nu, Mu), construção de ábacos para flexão composta normal e definição da taxa mecânica de armadura &#969;, sem o uso de ábacos para concretos de classe até C50. Concluindo, este trabalho constitui uma bibliografia atualizada para o projeto de pilares seguros e economicamente viáveis, esclarecendo conceitos tais como momento fletor resistente, envoltórias solicitantes e resistentes e utilização das não linearidades nos métodos de dimensionamento. / The Brazilian Code ABNT NBR 6118:2014 &#8211; Design of concrete structures presents four methods for columns dimensioning, requiring the use of envelopment of moments when there is biaxial bending. Due to complexity, do not accurately consider physical nonlinearity, biaxial bending and local geometric imperfections. This work presents guidelines for the design of concrete rectangular columns with symmetrical reinforcement, subjected to biaxial bending, employing the minimum and resisting envelopment curves for the verification of the reinforcement. Analysis are made of how nonlinearities influence in the ultimate limit state of instability and how they should be considered in design methods. Two situations are indicated that can be critical for the pre-dimensioning of the reinforcement. Procedures are developed to determine the envelopment of acting moments, for each design method, as well as the envelopment of resisting moments by means of either direct method or use of abacuses for eccentrical compression. There is also two appendixes, one about the determination of the diagrams bending moment &#8211; normal force &#8211; curvature for any kind of section, and another one about getting interaction diagrams (Nu, Mu), construction of abacuses for eccentrical compression and definition of &#969;, the reinforcement mechanical rate, without the use of abacuses for C50 concrete class or below. In conclusion, this constitutes an updated bibliography for the safe and economically viable columns project, clarifying concepts such as resistant moment, envelopments of acting and resisting moments, and the use of nonlinearities in the design methods.

A ABNT NBR 6118:2014 &#8211; Projeto de Estruturas de Concreto apresenta quatro métodos para dimensionamento de pilares, sendo necessário o uso de envoltórias de momentos quando houver flexão composta oblíqua. Devido à complexidade, não se considera de forma adequada a não linearidade física, a verificação de flexão composta oblíqua e as imperfeições geométricas locais. Este trabalho apresenta diretrizes para o dimensionamento de pilares retangulares de concreto com armadura simétrica, submetidos à flexão composta oblíqua, empregando-se as envoltórias mínimas e resistentes para verificação da armadura. São feitas análises de como as não linearidades influem no estado-limite último de instabilidade e como elas devem ser consideradas nos métodos de dimensionamento. São indicadas duas situações que podem ser críticas para o pré-dimensionamento. São elaborados roteiros para determinação das envoltórias solicitantes, para cada método de dimensionamento, e das envoltórias resistentes, por meio do cálculo direto ou com o uso de ábacos para flexão composta normal. Há, também, dois apêndices, um sobre a determinação dos diagramas momento fletor &#8211; força normal &#8211; curvatura para qualquer tipo de seção, e outro sobre obtenção dos diagramas de interação (Nu, Mu), construção de ábacos para flexão composta normal e definição da taxa mecânica de armadura &#969;, sem o uso de ábacos para concretos de classe até C50. Concluindo, este trabalho constitui uma bibliografia atualizada para o projeto de pilares seguros e economicamente viáveis, esclarecendo conceitos tais como momento fletor resistente, envoltórias solicitantes e resistentes e utilização das não linearidades nos métodos de dimensionamento. / The Brazilian Code ABNT NBR 6118:2014 &#8211; Design of concrete structures presents four methods for columns dimensioning, requiring the use of envelopment of moments when there is biaxial bending. Due to complexity, do not accurately consider physical nonlinearity, biaxial bending and local geometric imperfections. This work presents guidelines for the design of concrete rectangular columns with symmetrical reinforcement, subjected to biaxial bending, employing the minimum and resisting envelopment curves for the verification of the reinforcement. Analysis are made of how nonlinearities influence in the ultimate limit state of instability and how they should be considered in design methods. Two situations are indicated that can be critical for the pre-dimensioning of the reinforcement. Procedures are developed to determine the envelopment of acting moments, for each design method, as well as the envelopment of resisting moments by means of either direct method or use of abacuses for eccentrical compression. There is also two appendixes, one about the determination of the diagrams bending moment &#8211; normal force &#8211; curvature for any kind of section, and another one about getting interaction diagrams (Nu, Mu), construction of abacuses for eccentrical compression and definition of &#969;, the reinforcement mechanical rate, without the use of abacuses for C50 concrete class or below. In conclusion, this constitutes an updated bibliography for the safe and economically viable columns project, clarifying concepts such as resistant moment, envelopments of acting and resisting moments, and the use of nonlinearities in the design methods.

Submitted by JÚLIO HEBER SILVA (julioheber@yahoo.com.br) on 2016-12-08T17:49:42Z No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel Ferreira Gonçalves - 2016.pdf: 6039771 bytes, checksum: 9dd76bacc79e08f02f565c3a309abedd (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Jaqueline Silva (jtas29@gmail.com) on 2016-12-13T18:06:03Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel Ferreira Gonçalves - 2016.pdf: 6039771 bytes, checksum: 9dd76bacc79e08f02f565c3a309abedd (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2016-12-13T18:06:03Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Dissertação - Daniel Ferreira Gonçalves - 2016.pdf: 6039771 bytes, checksum: 9dd76bacc79e08f02f565c3a309abedd (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2016-03-11 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / Studies focused on modeling and mechanical system behavior prediction are relevant to the avoidance of excessive deflections and structural failures. Most of these systems are discretized by finite element models which are constituted by a large number of degrees of freedom, making it quite expensive computationally. In this context, the application of models reduction methods becomes particularly prominent because it provides a greater saving in time, keeping the solution quality. This work aims to study methods of reducing models applied to nonlinear dynamical systems. Among the methods aimed at reducing models, there is the Guyan method, Improved Reduction System (IRS), Iterative Improved Reduction System (IIRS) System Equivalent Reduction Expansion Process (SEREP), Component Mode Synthesis (CMS) and method of modal projection. In order to verify the efficiency of the models reduction methods when applied to nonlinear systems is presented in this paper a study where the system responses are analyzed by checking the computational cost and quality of the reduced solution of the problem for each of the mentioned methods. / Estudos voltados à modelagem e previsão do comportamento de sistemas mecânicos são relevantes na coibição de deflexões excessivas e falhas estruturais. A maioria destes sistemas são discretizados por elementos finitos cujos modelos são constituídos por elevado número de graus de liberdade tornando-se bastante oneroso computacionalmente. Neste contexto, a aplicação de métodos de redução de modelos ganha destaque especial pois proporciona maior economia de tempo, mantendo a qualidade de solução. Este trabalho tem por objetivo o estudo de métodos de redução de modelos aplicados a sistemas dinâmicos não lineares. Dentre os métodos voltados à redução de modelos, destaca-se o método de Guyan, Improved Reduction System (IRS), Iterative Improved Reduction System (IIRS), System Equivalent Reduction Expansion Process (SEREP), Component Mode Synthesis (CMS) e método da Base Modal. Com o objetivo de verificar a eficiência dos métodos de redução de modelos quando aplicados em sistemas não lineares, é apresentado neste trabalho um estudo onde são analisadas as respostas do sistema, verificando o custo computacional e a qualidade da solução do problema reduzido para cada um dos métodos citados.

Submitted by Erika Demachki (erikademachki@gmail.com) on 2018-03-23T22:13:05Z No. of bitstreams: 2 Tese - Thiago Rodrigues Cavalcante - 2018.pdf: 2200622 bytes, checksum: 39118adda6b7ceff14825da442b5be57 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Approved for entry into archive by Luciana Ferreira (lucgeral@gmail.com) on 2018-03-26T12:16:44Z (GMT) No. of bitstreams: 2 Tese - Thiago Rodrigues Cavalcante - 2018.pdf: 2200622 bytes, checksum: 39118adda6b7ceff14825da442b5be57 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) / Made available in DSpace on 2018-03-26T12:16:44Z (GMT). No. of bitstreams: 2 Tese - Thiago Rodrigues Cavalcante - 2018.pdf: 2200622 bytes, checksum: 39118adda6b7ceff14825da442b5be57 (MD5) license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Previous issue date: 2018-02-27 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / In the first two chapters, we consider the following problem \begin{equation*} \left \{ \begin{array}{rcll} \alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & f(x,u)\, & \mbox{in}\,\, \Omega \\ u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{on } \,\,\, \partial \Omega, \end{array} \right. \end{equation*} where $\displaystyle{\Delta^{2} u = \Delta(\Delta u)-\,\mbox{biharmonic (fourth-order operator)}}$, $\alpha > 0$ and $ \beta \in \R.$ The subset $\displaystyle{ \Omega \subset \mathbb{R}^{N}\, (N \geq 4)}$ is as somooth bounded domain and $\displaystyle{ f \in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R},\mathbb{R}) }.$ In each of the results obtained, we will consider different technical hypotheses and characteristics for the nonlinear function $f$ e for the value of the constant $ \beta. $ In the third chapter, we study an equation of the concave type super linear, of the form: \begin{equation} \left \{ \begin{array}{rcll} \alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & a(x)|u|^{s-2}u + f(x,u)\, & \mbox{in}\,\, \Omega \\ u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{on} \,\,\, \partial \Omega, \end{array} \right. \end{equation} where $\beta \in (-\infty, \alpha \lambda_{1}).$ We consider that the function $a \in L^{\infty} (\Omega)$ and $s \in (1,2).$ Finally, in the last chapter we will consider a fourth order problem in which nonlinearity is also of the convex concave type. More precisely, we study the following class of equations: \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} \alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = \mu a(x)|u|^{q-2}u + b(x)|u|^{p-2}u&\,\,\,\,\ &\mbox{in}\,\, \Omega \\ u = \Delta u & = 0 & \,\,\,\,&\mbox{on} \,\, \partial \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation} where the parameter $ \mu > 0 $, the powers $ 1 <q <2 <p <2 N / (N - 4) $. In addition we assume that the functions $ \displaystyle {a, b: \Omega \rightarrow \mathbb {R}}$ are continuous that can change signal and, $ a ^{+}, b ^{+} \neq 0. $ / Nos dois primeiros Capítulos, consideramos a seguinte classe de problemas: \begin{equation*} \left \{ \begin{array}{rcll} \alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & f(x,u)\, & \mbox{em}\,\, \Omega \\ u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{sobre } \,\,\, \partial \Omega, \end{array} \right. \end{equation*} onde $\displaystyle{\Delta^{2} u = \Delta(\Delta u)-\,\mbox{biharmônico},}$ $\alpha > 0$ e $ \beta \in \R.$ O subconjunto $\displaystyle{ \Omega \subset \mathbb{R}^{N}\,(N \geq 4)}$ será um domínio limitado e a não linearidade $\displaystyle{ f \in C(\overline{\Omega} \times \mathbb{R},\mathbb{R}) }.$ Em cada um dos resultados obtidos, consideraremos hipóteses técnicas e características diferentes para a função não linear $f$ e para o valor da constante $\beta.$ No terceiro Capítulo, estudamos uma equação do tipo côncavo super linear, da forma: \begin{equation*} \left \{ \begin{array}{rcll} \alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = & a(x)|u|^{s-2}u + f(x,u)\, & \mbox{em}\,\, \Omega \\ u = \Delta u & = & 0 \, &\mbox{sobre } \,\,\, \partial \Omega, \end{array} \right. \end{equation*} onde $\alpha > 0$ e $\beta \in (-\infty, \alpha \lambda_{1})$. Consideramos que a função $a \in L^{\infty}(\Omega)$ e que $s \in (1,2).$ Por fim, no último Capítulo vamos considerar um problema de quarta ordem no qual a não linearidade é do tipo côncavo-convexa. Mais precisamente, estudamos a seguinte classe de equações: \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} \alpha \Delta^{2} u + \beta \Delta u & = \mu a(x)|u|^{q-2}u + b(x)|u|^{p-2}u&\,\,\,\,\ &\mbox{em}\,\, \Omega \\ u = \Delta u & = 0 & \,\,\,\,&\mbox{sobre} \,\, \partial \Omega, \end{aligned} \right. \end{equation*} onde o parâmetro $\mu > 0$ e as potências $ 1 < q < 2 < p < 2 N /(N - 4)$. Adicionalmente supomos que as funções $\displaystyle{a, b : \Omega \rightarrow \mathbb{R} }$ sejam contínuas podendo trocar de sinal em $\Omega$ e que $a^{+},b^{+} \neq 0.$