Submitted by Vasti Diniz (vastijpa@hotmail.com) on 2017-09-12T12:40:16Z No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 10835500 bytes, checksum: 1e6ccb78ae2f66141a0c4ac238f0245c (MD5) / Made available in DSpace on 2017-09-12T12:40:16Z (GMT). No. of bitstreams: 1 arquivototal.pdf: 10835500 bytes, checksum: 1e6ccb78ae2f66141a0c4ac238f0245c (MD5) Previous issue date: 2016-08-12 / Conselho Nacional de Pesquisa e Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq / This work is a computational mapping of the phase space of iterated maps. Initially, a review of the real Hénon map is presented, aiming at the identification of patterns in the stability regions of the parameter space. Then, the algorithm developed is extended to allow complex variables, while still requiring parameters to be real. This procedure permits the observation of different stable loci in phase space. Finally, developed tools and observations are applied in a comparative study of the generalized cubic Hénon map. / Este trabalho lida com o mapeamento computacional do espaço de fase de mapas iterativos. Inicialmente é feita uma revisão sobre o mapa de Hénon real, tendo por objetivo a identificação de padrões nas regiões de estabilidade de seu espaço de parâmetros. Em seguida, o algoritmo desenvolvido para tal intento é estendido para o caso em que as variáveis da transformação são considerados como números complexos. Os parâmetros, contudo, serão mantidos no domínio dos reais durante esse processo. Esse procedimento permitirá a observação de áreas estáveis antes não encontradas no espaço de fase. Por fim, as ferramentas e observações feitas serão utilizadas para o estudo do mapa generalizado de Hénon de ordem cúbica.

Esta tese foca no problema de estimação de estado e de identificação de parâametros para modelos afins por partes. Modelos afins por partes são obtidos quando o domínio do estado ou da entrada do sistema e particionado em regiões e, para cada região, um submodelo linear ou afim e utilizado para descrever a dinâmica do sistema. Propomos um algoritmo para estimação recursiva de estados e um algoritmo de identificação de parâmetros para uma classe de modelos afins por partes. Propomos um estimador de estados Bayesiano que utiliza o filtro de Kalman em cada um dos submodelos. Neste estimador, a função distribuição cumulativa e utilizada para calcular a distribuição a posteriori do estado assim como a probabilidade de cada submodelo. Já o método de identificação proposto utiliza o algoritmo EM (Expectation Maximization algorithm) para identificar os parâmetros do modelo. A função distribuição cumulativa e utilizada para calcular a probabilidade de cada submodelo a partir da medida do sistema. Em seguida, utilizamos o filtro de Kalman suavizado para estimar o estado e calcular uma função substituta da função likelihood. Tal função e então utilizada para identificar os parâmetros do modelo. O estimador proposto foi utilizado para estimar o estado do modelo não linear para vibrações causadas por folgas. Foram realizadas simulações, onde comparamos o método proposto ao filtro de Kalman estendido e o filtro de partículas. O algoritmo de identificação foi utilizado para identificar os parâmetros do modelo do jato JAS 39 Gripen, assim como, o modelos não linear de vibrações causadas por folgas. / This thesis focuses on the state estimation and parameter identi cation problems of piecewise a ne models. Piecewise a ne models are obtained when the state domain or the input domain are partitioned into regions and, for each region, a linear or a ne submodel is used to describe the system dynamics. We propose a recursive state estimation algorithm and a parameter identi cation algorithm to a class of piecewise a ne models. We propose a Bayesian state estimate which uses the Kalman lter in each submodel. In the this estimator, the cumulative distribution is used to compute the posterior distribution of the state as well as the probability of each submodel. On the other hand, the proposed identi cation method uses the Expectation Maximization (EM) algorithm to identify the model parameters. We use the cumulative distribution to compute the probability of each submodel based on the system measurements. Subsequently, we use the Kalman smoother to estimate the state and compute a surrogate function for the likelihood function. This function is used to estimate the model parameters. The proposed estimator was used to estimate the state of the nonlinear model for vibrations caused by clearances. Numerical simulations were performed, where we have compared the proposed method to the extended Kalman lter and the particle lter. The identi cation algorithm was used to identify the model parameters of the JAS 39 Gripen aircraft as well as the nonlinear model for vibrations caused by clearances.

Este trabalho aborda o problema de análise de estabilidade e estabilização de sistemas não-lineares racionais sujeitos a saturação. A abordagem utilizada neste estudo é baseada em representações algébricas diferenciais (DAR) de sistemas racionais e na versão modificada da condição de setor generalizada para lidar com a saturação. Inicialmente, métodos para caracterizar a estabilidade de sistemas em tempo discreto sujeitos a perturbações são propostos. Neste contexto, apresentam-se abordagens na forma de desigualdades matriciais lineares (do inglês, Linear Matrix Inequalities) para o cálculo de estimativas da região de atração do sistema, bem como limites para uma classe de perturbações admissíveis ℓ2 de forma a garantir que as trajetórias sejam limitadas e estimativas do ganho ℓ2 do sistema. Duas abordagens são consideradas: a primeira é baseada em uma única função de Lyapunov quadrática e a segunda considerando funções de Lyapunov quadráticas por partes. Em seguida, técnicas para síntese de compensadores anti-windup são propostas com o objetivo de aumentar a região de atração de sistemas em tempo contínuo. As condições são desenvolvidas e incorporadas em um algoritmo iterativo, sendo que a cada iteração é resolvido um problema de otimização convexa com restrições na forma de LMIs. Tais resultados são estendidos para lidar com sistemas incertos e sistemas sujeitos a perturbações. Com o objetivo de evitar métodos iterativos e facilitar a aplicação em sistemas multivariáveis propõe-se uma nova abordagem para sintetizar este tipo de compensador (diretamente na forma de LMIs). Extensões dos resultados são apresentadas para tratar sistemas em tempo discreto. Por fim, é apresentada uma abordagem para síntese de realimentação estática de estados. Estes métodos são baseados em condições de estabilização local permitindo, simultaneamente, calcular o ganho de realimentação de estados e uma função de Lyapunov que leva a uma estimativa maximizada da região de atração do sistema em malha fechada. Propõe-se também uma extensão dos resultados abordando sistemas em tempo discreto. Exemplos numéricos são apresentados com o objetivo de ilustrar a aplicação e verificar a eficiência dos métodos propostos. / This work addresses the problem of stability analysis and stabilization of nonlinear rational systems subject to saturation. The approach used in this study is based on the differential algebraic representation (DAR) of rational systems and on a modified version of the generalized sector condition to deal with saturation. First, methods to characterize the stability of discrete-time systems subject to disturbances are proposed. In this context, approaches based on linear matrix inequalities to compute estimates of the region of attraction of the system, as well as limits for a class of admissible ℓ2 disturbances to ensure bounded trajectories and estimates of the ℓ2-gain of the system are presented. Two approaches are considered: the first one based on a single quadratic Lyapunov function and the second one considering piecewise quadratic Lyapunov functions. Then, techniques for the synthesis of anti-windup compensators are proposed in order to enlarge the region of attraction of continuous-time systems. The conditions are developed and incorporated into an iterative algorithm, where at each iteration, a convex optimization problem with LMI constraints is solved. These results are extended to deal with uncertain systems and systems subject to disturbances. In order to avoid iterative methods and facilitate the application to multivariable systems, a new approach to synthesize this type of compensator (directly in terms of LMI) is proposed. Extensions of the results are also presented to deal with discrete-time systems. Finally, a method for the synthesis of static state feedback gains is proposed. This method is based on local stabilization conditions which allow to calculate the state feedback gain and a Lyapunov function leading to a maximized estimate of the region of attraction of the closed-loop system. The extension of these results for the case of discrete-time systems is also addressed. Numerical examples are presented in order to illustrate the application and to verify the efficiency of the proposed methods.

Este trabalho aborda o problema de análise de estabilidade e estabilização de sistemas não-lineares racionais sujeitos a saturação. A abordagem utilizada neste estudo é baseada em representações algébricas diferenciais (DAR) de sistemas racionais e na versão modificada da condição de setor generalizada para lidar com a saturação. Inicialmente, métodos para caracterizar a estabilidade de sistemas em tempo discreto sujeitos a perturbações são propostos. Neste contexto, apresentam-se abordagens na forma de desigualdades matriciais lineares (do inglês, Linear Matrix Inequalities) para o cálculo de estimativas da região de atração do sistema, bem como limites para uma classe de perturbações admissíveis ℓ2 de forma a garantir que as trajetórias sejam limitadas e estimativas do ganho ℓ2 do sistema. Duas abordagens são consideradas: a primeira é baseada em uma única função de Lyapunov quadrática e a segunda considerando funções de Lyapunov quadráticas por partes. Em seguida, técnicas para síntese de compensadores anti-windup são propostas com o objetivo de aumentar a região de atração de sistemas em tempo contínuo. As condições são desenvolvidas e incorporadas em um algoritmo iterativo, sendo que a cada iteração é resolvido um problema de otimização convexa com restrições na forma de LMIs. Tais resultados são estendidos para lidar com sistemas incertos e sistemas sujeitos a perturbações. Com o objetivo de evitar métodos iterativos e facilitar a aplicação em sistemas multivariáveis propõe-se uma nova abordagem para sintetizar este tipo de compensador (diretamente na forma de LMIs). Extensões dos resultados são apresentadas para tratar sistemas em tempo discreto. Por fim, é apresentada uma abordagem para síntese de realimentação estática de estados. Estes métodos são baseados em condições de estabilização local permitindo, simultaneamente, calcular o ganho de realimentação de estados e uma função de Lyapunov que leva a uma estimativa maximizada da região de atração do sistema em malha fechada. Propõe-se também uma extensão dos resultados abordando sistemas em tempo discreto. Exemplos numéricos são apresentados com o objetivo de ilustrar a aplicação e verificar a eficiência dos métodos propostos. / This work addresses the problem of stability analysis and stabilization of nonlinear rational systems subject to saturation. The approach used in this study is based on the differential algebraic representation (DAR) of rational systems and on a modified version of the generalized sector condition to deal with saturation. First, methods to characterize the stability of discrete-time systems subject to disturbances are proposed. In this context, approaches based on linear matrix inequalities to compute estimates of the region of attraction of the system, as well as limits for a class of admissible ℓ2 disturbances to ensure bounded trajectories and estimates of the ℓ2-gain of the system are presented. Two approaches are considered: the first one based on a single quadratic Lyapunov function and the second one considering piecewise quadratic Lyapunov functions. Then, techniques for the synthesis of anti-windup compensators are proposed in order to enlarge the region of attraction of continuous-time systems. The conditions are developed and incorporated into an iterative algorithm, where at each iteration, a convex optimization problem with LMI constraints is solved. These results are extended to deal with uncertain systems and systems subject to disturbances. In order to avoid iterative methods and facilitate the application to multivariable systems, a new approach to synthesize this type of compensator (directly in terms of LMI) is proposed. Extensions of the results are also presented to deal with discrete-time systems. Finally, a method for the synthesis of static state feedback gains is proposed. This method is based on local stabilization conditions which allow to calculate the state feedback gain and a Lyapunov function leading to a maximized estimate of the region of attraction of the closed-loop system. The extension of these results for the case of discrete-time systems is also addressed. Numerical examples are presented in order to illustrate the application and to verify the efficiency of the proposed methods.

Orientador: Maria Aparecida Diniz Ehrhardt / Dissertação (mestrado profissional) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica / Made available in DSpace on 2018-08-16T22:41:08Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Sassi_Carlos_M.pdf: 2431422 bytes, checksum: 7e2d7456777a9a43cc62a5524d3fca93 (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Iniciamos este trabalho com o estudo de equações não lineares, transcendentais de uma única variável, com o objetivo principal de abordar sistemas de equações não lineares, analisar os métodos, algoritmos e realizar testes computacionais, embasados na plataforma MatLab "The Language of Technical computer - R2008a - version 7.6.0.324_. Os algoritmos tratados se referem ao método de Newton, métodos Quase-Newton, método Secante e aplicações, com enfoque na H-equação de Chandrasekhar. Estudamos aspectos de convergência de cada um destes métodos que puderam ser analisados na prática, a partir dos experimentos numéricos realizados / Abstract: This work begins with the study of nonlinear and transcendental equations, with only one variable, which has the main purpose to study systems of nonlinear equations, methods and algoritms, in order to accomplish computational tests using MatLab Codes "The Language of Technical computer - R2008a - version 7.6.0.324". These algoritms were concerned to Newton's method, Quasi-Newton method, Secant method, and the main application was the Chandrasekhar H-Equation. Convergence studies for these methods were analysed with the applied numerical methods / Mestrado / Matematica / Mestre em Matemática

Orientadores: Wagner Caradori do Amaral, Ricardo Jose Grabrielli Barreto Campello / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-17T11:25:48Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Machado_JeremiasBarbosa_D.pdf: 2223883 bytes, checksum: 7d80c9cb7424fcd634de89e7d64765f8 (MD5) Previous issue date: 2011 / Resumo: Este trabalho enfoca a modelagem e identificação de sistemas dinâmicos não-lineares estáveis através de modelos fuzzy Takagi-Sugeno (TS) e/ou Volterra, ambos com estruturas formadas por bases de funções ortonormais (BFO), principalmente as bases de funções ortonormais generalizadas (GOBF - Generalized Orthonormal Basis Functions) com funções internas. As GOBF¿s com funções internas modelam sistemas dinâmicos com múltiplos modos através de uma parametrização que utiliza somente valores reais, sejam os polos do sistema reais e/ou complexos. Uma das principais contribuições desta tese concentra-se na proposta da otimização e ajuste fino dos parâmetros destes modelos não-lineares. Realiza-se a identificação dos modelos fuzzy TS-BFO utilizando-se de medidas dos sinais de entrada e saída do sistema a ser modelado. Os modelos fuzzy TS-BFO são inicialmente determinados utilizando-se uma técnica de agrupamento fuzzy (fuzzy clustering) e simplificados por algoritmos que eliminam eventuais redundâncias. Em sequência desenvolve-se o cálculo analítico dos gradientes da saída do modelo TS-BFO em relação aos parâmetros do modelo (polos da BFO, coeficientes da expansão da BFO e parâmetros das funções de pertinência). Utilizando-se técnicas de otimização não-linear e o valor dos gradientes, realiza-se a sintonia fina dos parâmetros dos modelos inicialmente obtidos. Para os modelos de Volterra-GOBF desenvolve-se uma nova abordagem utilizando-se GOBF com funções internas nos kernels dos modelos. São calculados os gradientes analíticos da saída do modelo de Volterra-GOBF, seja com kernels simétricos ou não simétricos, com relação aos parâmetros a serem determinados. Estes valores são utilizados em algoritmos de otimização que possibilitam a obtenção de modelos mais precisos do sistema sem nenhum conhecimento a priori de suas características. Além da identificação de sistemas não-lineares por modelos BFO, abordou-se também, nesta tese, uma nova metodologia para a otimização de modelos lineares BFO no domínio da frequência. Neste contexto, destaca-se como principal contribuição o desenvolvimento, no domínio da frequência, do cálculo analítico dos gradientes da resposta em frequência das funções de Kautz e Laguerre, com relação aos seus parâmetros de projeto. Os valores dos gradientes fornecem a direção de busca dos parâmetros dos modelos em processos de otimização não-linear. Também foram otimizados os modelos GOBF com funções internas, com o cálculo numérico dos seus gradientes, pois, ainda não foi possível estabelecer uma fórmula genérica para o cálculo analítico dos gradientes dos modelos GOBF, de qualquer ordem, em relação aos parâmetros a serem determinados. Exemplos ilustram a aplicação e eficiência dos métodos de identificação e otimização propostos na modelagem de sistemas lineares (domínio do tempo e da frequência) e não-lineares utilizando BFO¿s. / Abstract: This work is concerned with the modeling and identification of stable nonlinear dynamic systems using Takagi-Sugeno fuzzy and Volterra models within the framework of orthonormal basis functions (OBF), mainly ladder-structured generalized orthonormal basis functions (GOBF). The ladderstructured GOBFs allows to model dynamic systems with multiple modes, real and/or complex poles, through a parameterization, which uses only real values. The main contribution of this thesis is the optimization and fine tuning of the parameters of OBF nonlinear models. The GOBF models identification are performed using only input and output measurements. The initial GOBF-TS fuzzy model is obtained using a fuzzy clustering technique and simplified by algorithms that eliminate any redundancies. Next, the analytical calculation of the gradients of GOBF-TS model concerning model parameters (GOBF poles, OBF expansion coefficients and the parameters of membership functions) is developed. A fine tuning of the model parameters is obtained by using a nonlinear optimization technique and the calculated gradients. For Volterra-GOBF models a new approach using kernels with ladder-structured GOBF is also proposed. Furthermore, Volterra-GOBF model optimization, with symmetrical or asymmetrical kernels, using an analytical gradients calculation of the output model regarding their parameters is presented. Following, a new approach for linear OBF models optimization, in frequency domain, is also addressed. In this context, the analytical calculation of the gradients of the Laguerre and Kautz frequency response concerning its parameters is presented The ladder-structured GOBF models optimization, in the frequency domain, is performed using only numerical calculation of its gradients, as it has not yet been possible to derive a generic analytical gradients. Examples illustrate the performance and effectiveness of identification methods proposed here in the modeling and optimization of linear (time domain and frequency) and non-linear systems. / Doutorado / Automação / Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Pedro Luis Dias Peres / Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Eletrica e de Computação / Made available in DSpace on 2018-08-14T19:01:41Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Tognetti_TaisCalliero_D.pdf: 1438301 bytes, checksum: 87c3292b4b408bcddec959f4f9e45317 (MD5) Previous issue date: 2009 / Resumo: Esta tese apresenta contribuições para a solução de problemas de análise de estabilidade e síntese de controladores por realimentação de estados de sistemas dinâmicos que possuem elementos não-lineares, por meio de condições na forma de desigualdades matriciais lineares e funções de Lyapunov. Para sistemas chaveados sujeitos a saturação nos atuadores, são fornecidas condições convexas para o cálculo de ganhos chaveados e robustos. A saturação é modelada como uma não-linearidade de setor e uma estimativa do domínio de estabilidade é determinada. Para sistemas lineares com incertezas politópicas e não-linearidades pertencentes a setores, são fornecidas condições convexas de dimensão finita para construir funções de Lur'e com dependência polinomial homogênea nos parâmetros. Se satisfeitas, as condições garantem a estabilidade para todo o domínio de incertezas e para todas as não-linearidades pertencentes ao setor e permitem o cômputo de controladores estabilizantes robustos por realimentação linear e não-linear. Para sistemas bilineares instáveis, contínuos e discretos no tempo, é proposto um procedimento para calcular um ganho estabilizante de controle por realimentação de estados. O método baseia-se na solução alternada de dois problemas de otimização convexa descritos por desigualdades matriciais lineares, fornecendo uma estimativa do domínio de estabilidade. Extensões para tratar controladores robustos e lineares variantes com parâmetros são também apresentadas. / Abstract: This thesis presents contributions to the solution of the problems of stability analysis and synthesis of state feedback controllers for dynamic systems with non-linear elements, by means of conditions based on linear matrix inequalities and Lyapunov functions. For switched systems subject to saturation in the actuators, convex conditions to design switched and robust controllers are presented. The saturation is modeled as a sector non-linearity and an estimate of the domain of stability is determined. For linear systems with polytopic uncertainties and sector non-linearities, convex conditions of finite dimension to build Lur'e functions with homogeneous polynomially parameter dependence are provided. If satisfied, the conditions guarantee the stability of the entire domain of uncertainty for all sector non-linearities, allowing the design of linear and non-linear robust state feedback stabilizing controllers. For continuous and discrete-time unstable bilinear systems, a procedure to design a state feedback stabilizing control gain is proposed. The method is based on the alternate solution of two convex optimization problems described by linear matrix inequalities, providing an estimate of the domain of stability. Extensions to handle robust and linear parameter varying controllers are also presented. / Doutorado / Automação / Doutor em Engenharia Elétrica

Orientador: Marcia Aparecida Gomes Ruggiero / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-16T01:38:07Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Reis_DiegoDerivaldodos_M.pdf: 1640617 bytes, checksum: 7bb1fcda0049b1ac1e6645b7ce8789eb (MD5) Previous issue date: 2010 / Resumo: Uma das estratégias empregadas para resolver vim problema de programação não linear com restrições é usar métodos iterativos que geram uma seqüência de pontos viáveis. A razão é que frequentemente soluções viáveis são úteis em aplicações da engenharia, física ou química, ao contrário das aproximações não viáveis, até mesmo quando estas estão bem próximas do valor ótimo. Porém, quando lidamos com restrições não lineares não suaves, é difícil manter viabilidade e, simultaneamente, melhorar o valor da função objetivo. Uma alternativa é empregar métodos de Restauração Inexata. Em linhas gerais, nestes métodos, a cada iteração dois novos pontos são gerados, um que visa melhorar a viabilidade e outro que diminui o valor da função objetivo. Um terceiro ponto é obtido de modo a atingir um decréscimo mínimo de uma função de mérito composta pelos dois primeiros pontos e que busca o equilíbrio entre viabilidade e otimalidade. Ao processo de encontrar o ponto que melhora a viabilidade, damos o nome de restauração e o objetivo central deste trabalho é analisar esta fase. Analisamos problemas de otimização onde as restrições são não lineares acrescidas por restrições de canalização (limitantes inferior e superior para as variáveis). Para realizar a restauração usamos o método proposto por J. B. Francisco, N. Krejic e J. M. Martinez [11], no qual são considerados sistemas não lineares com restrições de canalização e que faz uso de uma estratégia de região dc confiança com escalamento. O método de Restauração Inexata que usamos é baseado no algoritmo proposto por M. A. Gomes Ruggiero, J. M. Martinez e S. A. Santos [13] que emprega a direção do gradiente espectral projetado [4] para resolver o problema, de hard-spheres. onde a restauração pode ser sempre feita de maneira exata. Neste trabalho resolvemos problemas nos quais a fase de restauração não é necessariamente feita de maneira exata. Os testes computacionais, realizados com problemas acadêmicos, atestam a eficiência do esquema proposto. Usando o algoritmo proposto em [11] para realizar a fase de restauração, implementamos no software MatLab 7.7 o algoritmo do método de Restauração Inexata, encontrado em [13], utilizando o mesmo conjunto de problemas teste usados em [11] além de outros encontrados em [14], obtendo bons resultados / Abstract: One of the strategies employed to solve a nonlinear programming problem with constraints is to use iterative methods that generate a sequence of points feasible. The reason is that viable solutions are often useful in applications engineering, physics or chemistry, unlike the approaches are not viable, even when they are very close to the optimum value. But when dealing with soft constraints nonlinear, it is difficult to maintain viability and, simultaneously, improve the value of the objective function. An alternative is to employ methods of Inexact Restoration. In general, these methods, each iteration two new points are generated, one that aims to improve the viability and another that decreases the value of the objective function. A third point is obtained in order to achieve a decrease of at least a merit function consisting of the first two points and that seeks a balance between feasibility and optimality. The process of finding the point that improves the viability, we give the name of restoration and purpose of this paper is to analyze this phase. We analyze optimization problems where the constraints are nonlinear constraints added by channeling (lower and upper bounds for variables). To accomplish the restoration we use the method proposed by Mr B. Francis, N. Kreji'c and J. M. Martinez [11], which are considered non-linear systems with restricted channel that uses a trust region strategy with scaling. The Inexact restoration method we use is based on the algorithm proposed by M. A. Gomes Ruggiero, J. M. Martinez and S. A. Santos [13] that employs the spectral projected gradient direction [4] to solve the problem of hard-spheres, where the restoration can be done in exactly. Present paper, problems in which phase of restoration is not necessarily done exactly. The computational tests carried out with academic problems, proving the efficiency of the proposed scheme. Using the algorithm proposed in [11] to accomplish the restoration phase, implemented in MatLab 7.7 the algorithm of the method of Inexact Restoration, found in [13], using the same set of test problems used in [11] and other found in [14], obtaining good results / Mestrado / Otimização / Mestre em Matemática Aplicada

A análise de estabilidade de sistemas não-lineares surge em vários campos da engenharia. Geralmente, esta análise consiste na determinação de conjuntos atratores estáveis e suas respectivas áreas de atração. Os métodos baseados no método de Lyapunov fornecem estimativas destes conjuntos. Entretanto, estes métodos envolvem uma busca não sistemática por funções auxiliares chamadas funções de Lyapunov. Este trabalho apresenta um procedimento sistemático, baseado no método de Lyapunov, para estimar conjuntos atratores e as respectivas áreas de atração para uma classe de sistemas não-lineares, aqui chamado de problema de Lure estendido. Este problema consiste de sistemas não-lineares que podem ser escritos na forma do problema de Lure, cuja função não-linear pode violar a condição de setor em torno da origem. O procedimento desenvolvido é baseado na extensão do princípio de invariância de LaSalle e usa as funções de Lyapunov genéricas do problema de Lure para estimar o conjunto atrator e sua respectiva área de atração. Os parâmetros das funções de Lyapunov são obtidos resolvendo um problema de otimização que pode ser colocado na forma de desigualdades matriciais lineares (LMIs). / The stability analysis of nonlinear systems is present in several engineering fields. Usually, the concern is the determination of stable attractor sets and their associated attraction areas. Methods based on the Lyapunov method provide estimates of these sets. However, these methods involve a nonsystematic search for auxiliary functions called Lyapunov functions. This work presents a systematic procedure, based on Lyapunov method, to estimate attractor sets and their associated attraction areas of a class of nonlinear systems, called in this work extended Lure problem. The extended Lure problem consists of nonlinear systems like those of Lure problem where the nonlinear functions can violate the sector conditions around the origin. The developed procedure is based on the extension of invariance LaSalle principle and uses the general Lyapunov functions of Lure problem to estimate the attractor set and their associated attraction area. The parameters of the Lyapunov functions are obtained solving an optimization problem write like a linear matrix inequality (LMI).

Estudos sobre o comportamento dinâmico de estruturas não lineares são até os dias de hoje motivo de extensas pesquisas em todo o mundo. Desde o início do desenvolvimento da teoria das oscilações não lineares buscou-se compreender os mecanismos básicos, como perturbações que provocassem respostas complexas nas estruturas flexíveis. Este trabalho apresenta um estudo teórico e experimental do comportamento dinâmico de uma semi-asa de um avião acoplada a uma turbina com a hélice desbalanceada, esse sistema é representado através de uma viga engastada excitada por uma fonte não ideal localizada na extremidade oposta ao engaste. Entende-se como sistema não ideal aquele que considera que a excitação é influenciada pela própria resposta do sistema. Para sistemas dinâmicos não ideais, deve-se adicionar uma equação que descreva como a fonte não ideal interage com o sistema. Considera-se na equação do sistema apenas o primeiro modo de vibrar. Os resultados de simulação numérica apresentados são obtidos utilizando o software Matlab® 8.0 e o parâmetro de controle a ser analisado é o torque do motor. Os resultados que mostram o comportamento dinâmico do sistema são o histórico no tempo, plano de fase, FFT e para identificar o comportamento caótico calculam-se os expoentes de Lyapunov. O gráfico que mostra a presença do efeito Sommerfeld (salto) no sistema também é apresentado. Na parte experimental, apresenta-se todo o procedimento experimental, assim como os resultados: Histórico no tempo, plano de fase reconstruído, FFT, expoentes de Lyapunov e as análises que ilustram a presença do efeito Sommerfeld no experimento. / Studies about the dynamic behaviour of nonlinear structures have been to this date subject of extensive research all around the world. Since the beginning of the development of the nonlinear oscillation theory one has tried to understand the basic mechanisms, like disruptions that would cause complex answers on flexible structures. This paper presents a theoretical and practical study of the dynamic behaviour of a semi-wing of an airplane installed on a turbine with unbalanced propellers; this system is represented through a cantilever beam excited by a non-ideal source located at the end opposite to the coupling. As a non-ideal system we mean the one that considers that the excitement is influenced by the system\'s response itself. For non-ideal dynamic systems, one must add an equation that describes how the non-ideal source interacts with the system. Only the first vibrating mode is considered in the system\'s equation. The numeric simulation results shown are obtained by using the Matlab® 8.0 software and the control parameter to be analyzed is the motor torque. The results that show the dynamic behaviour of the system are time history, phase plan, FFT and to identify the chaotic behaviour the Lyapunov\'s indexes are calculated. The graphic that shows the presence of the Sommerfeld effect (jump) in the system is also presented. In the experimental part, all the practical procedure is presented, as well as experimental results, like, for example: Time history, phase plan reconstruction, FFT, Lyapunov exponents and the analyses that illustrate the presence of the Sommerfeld effect on the experiment.