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Dans cette thèse on s'intéresse à deux problèmes faisant intervenir des formes normales de champs de vecteurs et des phénomènes exponentiellement petits. Dans le premier chapitre on démontre tout d'abord deux théorèmes de normalisation avec restes exponentiellement petits pour des champs de vecteurs analytiques au voisinage d'un point d'équilibre, dans le cas non autonome périodique. Le premier théorème de normalisation permet de construire une quasi-variété invariante à un exponentiellement petit près, tandis que le deuxième met le champ de vecteur sous la forme normale de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss à un exponentiellement petit près. Dans le deuxième chapitre on travaille près d'un point d'équilibre d'une famille de systèmes hamiltoniens au voisinage d'une résonance 0²iw. On démontre l'existence d'une famille d'orbites périodiques entourant l'équilibre puis l'existence d'orbites homoclines à plusieurs boucles à chacune de ces orbites périodiques, aussi proche de cet équilibre que l'on veut à l'exception de l'équilibre lui-même. La démonstration est basée sur la preuve d'un théorème de forme normale hamiltonien inspiré des formes normales de Elphick-Tirapegui-Brachet-Coullet-Iooss ainsi que sur une normalisation locale hamiltonienne s'appuyant sur un résultat de Moser. On obtient ensuite le résultat grâce à des arguments géométriques liés à la petite dimension et à un théorème KAM qui permet de confiner les boucles. Pour le même problème dans le cadre d'un champ de vecteurs réversible non hamiltonien, l'apparition d'exponentiellement petits lors de la perturbation de l'orbite homocline de la forme normale empêche la démonstration de l'existence d'orbites homoclines à des orbites périodiques de taille exponentiellement petite. Le même phénomène apparait ici mais l'obstacle est contourné grâce à des arguments géométriques spécifiques aux système Hamiltoniens.

Dans cette thèse, nous étudions trois thèmes qui nous sont apparus centraux dans la Géométrie cartésienne : le problème de Pappus, le problème des tangentes et des normales, et un problème de gnomonique connu sous le nom de Problema Astronomicum. Par " Géométrie cartésienne ", nous entendons le corpus formé non seulement par la Géométrie, publiée en 1637, mais également par la Correspondance cartésienne et les deux éditions latines placées sous la direction de Frans van Schooten, publiées respectivement en 1649 et 1659-1661. Nous étudions la genèse de la théorie des courbes géométriques définies par des équations algébriques en particulier à travers les controverses qui apparaissent dans la correspondance cartésienne : la controverse avec Roberval sur le problème de Pappus, la controverse avec Fermat sur les tangentes, et la controverse avec Stampioen sur le Problema astronomicum. Nous souhaitons ainsi montrer que la Géométrie de la Correspondance constitue un moyen terme entre la Géométrie de 1637 et les éditions latines de 1649 et 1659-1661, mettant en lumière les enjeux et les difficultés du processus de création de la courbe algébrique comme objet. D'autre part, nous examinons la méthode des tangentes de Fermat et la méthode des normales de Descartes, en les rapportant à une matrice commune formée par le traité des Coniques d'Apollonius, plus précisément, le Livre I et le Livre V consacré à une à théorie des droites minimales.

Dans cette thèse, nous étudions trois thèmes qui nous sont apparus centraux dans la Géométrie cartésienne : le problème de Pappus, le problème des tangentes et des normales, et un problème de gnomonique connu sous le nom de Problema Astronomicum. Par " Géométrie cartésienne ", nous entendons le corpus formé non seulement par la Géométrie, publiée en 1637, mais également par la Correspondance cartésienne et les deux éditions latines placées sous la direction de Frans van Schooten, publiées respectivement en 1649 et 1659-1661. Nous étudions la genèse de la théorie des courbes géométriques définies par des équations algébriques en particulier à travers les controverses qui apparaissent dans la correspondance cartésienne : la controverse avec Roberval sur le problème de Pappus, la controverse avec Fermat sur les tangentes, et la controverse avec Stampioen sur le Problema astronomicum. Nous souhaitons ainsi montrer que la Géométrie de la Correspondance constitue un moyen terme entre la Géométrie de 1637 et les éditions latines de 1649 et 1659-1661, mettant en lumière les enjeux et les difficultés du processus de création de la courbe algébrique comme objet. D'autre part, nous examinons la méthode des tangentes de Fermat et la méthode des normales de Descartes, en les rapportant à une matrice commune formée par le traité des Coniques d'Apollonius, plus précisément, le Livre I et le Livre V consacré à une à théorie des droites minimales.

La mesure et la modélisation des concentrations en $^{36}$Cl accumulé au sein d'un plan de faille normal permet d'estimer l'âge et le glissement des forts séismes passés ayant successivement exhumé ce plan de faille. Si cette méthode présente l'avantage de fournir des enregistrements paléo-sismologiques continus sur des périodes de temps relativement longues (10 000 à 20 000 ans), la modélisation de données repose jusqu’à présent sur un modèle direct qui permet difficilement d'attester de l'unicité du scenario proposé, et d'estimer précisément les incertitudes associées, et ne tient pas compte de l'histoire long-terme du plan de faille, avant son exhumation post-glaciaire (héritage). Nous avons développé dans un premier temps un nouveau modèle qui inclut l’histoire d'héritage, et mis en place une procédure d'inversion des données permettant de 1) déterminer l'ensemble des paramètres de l'histoire sismique d'exhumation, 2) d’attester de l'unicité du scénario proposé, et 3) de contraindre précisément ses incertitudes. Nous appliquons notre méthode d’inversion à 11 failles des Apennins Centraux et montrons une grande variabilité dans leur activité sismique au cours des derniers 10 000 à 45 000 ans, avec des accélérations représentant 2 à 20 fois la vitesse long-terme de la faille. Nos résultats suggèrent en particulier que l'activité sismique des failles des Apennins Centraux pourrait être contrôlée par les propriétés intrinsèques des failles (vitesse long-terme, longueur, segmentation, état de maturité structurale), ainsi que par des processus d'interactions visco-élastiques agissant entre les failles. / The use of $^{36}$Cl cosmogenic nuclide as a paleo-seismological tool to determine the seismic history of normal faults provide continuous records over the past 10 000 to 20 000 yrs. The modeling of the $^{36}$Cl concentrations measured at the surface of an exhumed fault-plane allows determining the age and the displacement of the past seismic events that successively exhumed the fault-plane. The available modeling approach is however unable to attest for the unicity of the inferred scenario, which makes the estimate of the associated uncertainties difficult. An other limitation concerns the long-term history of the fault-plane prior its post-glacial exhumation (inheritance), that is not fully accounted for in this model (Schlagenhauf et al., 2010). We have developed a reappraisal of this model that accounts for the inheritance history, and includes a procedure of data inversion to 1) determine all parameters of the exhumation history at once, 2) attest for the unicity of the proposed scenario, and 3) precisely determine the associated uncertainties. Applying our new modeling to 11 normal faults previously studied in Central Apennines, we observe a large variability of their seismic activity over the last 10 000 - 45 000 yrs, with slip-rate acceleration reaching 2-20 times their long-term slip-rate. In particular, our results suggest that the seismic activity of normal faults in Central Apennines could be controlled by intrinsic properties of the faults (such as their long-term slip-rate, fault-length, segmentation, state of structural maturity), and by visco-elastic stress transfers between faults.

Nous définissons des formes normales géodésiques pour les séries générales des groupes de réflexions complexes G(de,e,n). Ceci nécessite l'élaboration d'une technique combinatoire afin de déterminer des décompositions réduites et de calculer la longueur des éléments de G(de,e,n) sur un ensemble générateur donné. En utilisant ces formes normales géodésiques, nous construisons des intervalles dans G(e,e,n) qui permettent d'obtenir des groupes de Garside. Certains de ces groupes correspondent au groupe de tresses complexe B(e,e,n). Pour les autres groupes de Garside, nous étudions certaines de leurs propriétés et nous calculons leurs groupes d'homologie sur Z d'ordre 2. Inspirés par les formes normales géodésiques, nous définissons aussi de nouvelles présentations et de nouvelles bases pour les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes G(e,e,n) et G(d,1,n) ce qui permet d'obtenir une nouvelle preuve de la conjecture de liberté de BMR (Broué-Malle-Rouquier) pour ces deux cas. Ensuite, nous définissons des algèbres de BMW (Birman-Murakami-Wenzl) et de Brauer pour le type (e,e,n). Ceci nous permet de construire des représentations de Krammer explicites pour des cas particuliers des groupes de tresses complexes B(e,e,n). Nous conjecturons que ces représentations sont fidèles. Enfin, en se basant sur nos calculs heuristiques, nous proposons une conjecture sur la structure de l'algèbre de BMW. / We define geodesic normal forms for the general series of complex reflection groups G(de,e,n). This requires the elaboration of a combinatorial technique in order to determine minimal word representatives and to compute the length of the elements of G(de,e,n) over some generating set. Using these geodesic normal forms, we construct intervals in G(e,e,n) that give rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group B(e,e,n). For the other Garside groups that appear, we study some of their properties and compute their second integral homology groups. Inspired by the geodesic normal forms, we also define new presentations and new bases for the Hecke algebras associated to the complex reflection groups G(e,e,n) and G(d,1,n) which lead to a new proof of the BMR (Broué-Malle-Rouquier) freeness conjecture for these two cases. Next, we define a BMW (Birman-Murakami-Wenzl) and Brauer algebras for type (e,e,n). This enables us to construct explicit Krammer's representations for some cases of the complex braid groups B(e,e,n). We conjecture that these representations are faithful. Finally, based on our heuristic computations, we propose a conjecture about the structure of the BMW algebra.

La sédimentation marine récente dans les fosses de subduction est caractérisée par l'interstratification de sédiments hémipélagiques et de turbidites localement intercalées avec les coulées de débris, qui peuvent résulter de la destabilisation des pentes continentales par de tremblements de terre. La marge d’Equateur est constituée par une forte érosion tectonique qui contribue à la formation d'une fosse profonde remplie d'une suite complexe de faciès sédimentaires. La sédimentation par écoulements gravitaires est omniprésente le long de la marge et les faciès vont de dépôts de transport de masse d'épaisseur métriques latéralement continus à des turbidites d'épaisseur centimétriques isolées intercalées avec des couches d'hémipélagites, de volcanoclastiques et de téphras. Nous présentons l'interprétation de la bathymétrie, des profils sismiques à haute résolution et des données pétrophysiques des carottes sédimentaires. L'objectif de cette étude est de décrire la complexité morphologique à la frontière équatorienne de la plaque de Nazca où un ensemble d'aspérités marines profondes ont subducté à différentes échelles, et ses conséquences sur la distribution latérale des sédiments dans les différents sous-bassins. La marge équatorienne comprend trois segments géomorphologiques: Le segment nord, situé au nord de la crête Carnegie, est caractérisé par une large (5-10 km) et profonde fosse (3800-4000 m), une pente continentale ravinée et une plate-forme (10-40 km de large) avec subsidence active. Le segment central en face de la crête de Carnégie montre une fosse étroite (0-5 km de large) et peu profonde (3100-3700 m), la pente escarpée et ravinée, sans canyons, et plateau continental étroit de 15 à 40 km de large caractérisé par des zones d'affaissement et de soulèvement actifs. Enfin, le segment sud, situé au sud de la crête Carnegie, présente une large (5-10 km) et profonde fosse (4000-4700 m), une pente continentale pauvre en sédiments avec des systèmes de canyons bien définis et une large plate-forme de subsidence (20-50 km). La dynamique sédimentaire le long de la marge est évaluée par l'analyse de 15 carottes sédimentaires dont la description visuelle, les photographies à haute résolution, l'imagerie par rayons X, les données XRF et les propriétés pétrophysiques conduisent à l'identification de 11 faciès sédimentaires caractérisant 7 processus sédimentaires: dépôts de turbidite, hémipélagites, téphras, dépôts de coulées de débris, homogénites, des slumps et des dépôts de carbonate de ooze. Les âges des dépôts sont définis par la datation au radiocarbone des sédiments hémipélagites. Les âges vont de 500 à 48000 ans BP. Les profils sismiques à haute résolution permettent de définir 3 echo-faciès: transparent, stratifiés et chaotiques. Le facies transparent est principalement associé aux dépôts d'homogénites, le facies stratifié est associé aux dépôts interstratifiés turbiditique-hémipélagique et le facies chaotique est associé à des dépôts gravitaires grossiers. Le remplissage de la fosse représente un enregistrement lacunaire mais important de l'histoire de la marge de subduction. De grandes coulées de débris se déplaçant vers l'est dans les deux séquences inférieures du remplissage de la fosse sont initiées le long de la paroi extérieure de la fosse, le long de grandes failles normales dues à la flexion de la plaque océanique subductante. Les sédiments de la séquence supérieure du remplissage qui nappent la fosse sont plus largement fournis par la paroi interne de la fosse mais avec un fort contrôle de la ride de Carnegie. En conséquence, la profondeur, la fréquence, l'épaisseur, la composition et la disposition latérale des dépôts sédimentaires varient grandement entre le nord et le sud. Les grands méga-lits simples, les slumps, les coulées de débris et les homogénites sont situés dans les segments nord et sud. Ils sont déclenchés par de grands escarpements de failles régionales, dans le Nord / Recent deep marine sedimentation in subduction trenches is characterized by the inter-stratification of hemipelagic and turbidite sediments locally interbedded with debris flow, which can result from continental slope shaking triggered by earthquakes. The active margin of Ecuador comprises tectonic erosion that contributes to the formation of a deep trench filled by a complex suite of sedimentary facies. Gravity flow sedimentation is ubiquitous along the margin and facies range from laterally continuous m-thick mass transport deposits to isolated cm-thick turbidites intercalated with hemipelagite, volcanoclastics and tephra. In this study we show interpretation of swath bathymetry, high-resolution seismic profiles and petrophysical data from cores. The objective is to describe the morphologic complexity on the Ecuadorian border of the Nazca plate where a set of deep marine asperities is subducting at different scales, and their consequences on the distribution of sediments in the different sub-basins. Ecuadorian margin comprises three geomorphological segments: The northern segment, northward of the Carnegie Ridge, is characterized by a wide (5-10 km) and deep trench (3800 – 4000 m), a gentler gullied continental slope and a shelf (10-40 km wide) with active subsidence. The central segment facing the Carnegie Ridge, is strongly influenced by the subduction of the Carnegie ridge which induces a narrow (0–5 km wide) and shallow trench (3100 – 3700 m depth), a steep and gullied slope with no canyons and a 15–40 km wide shelf characterized by areas with active subsidence and uplift. Finally, the southern segment, southward of the Carnegie Ridge, presents a wide (5–10 km) and deep (4000–4700 m) trench, a starved continental slope with well-defined canyon systems and a wide subsiding shelf (20–50 km). The sedimentary dynamics along the margin is evaluated by the analysis of 15 cores. Visual description, high-resolution photographs, X-Ray imagery, XRF data and petrophysical properties led to the identification of 11 sedimentary facies that characterize seven sedimentary processes: turbidites, hemipelagites, tephras, debris flows, homogenites, slumps, and ooze carbonate deposits. Age of the deposits is defined by radiocarbon age dating of hemipelagic sediments. Ages range from 500 to 48,000 years BP. High-resolution seismic profiles allow definition of three echo-facies: transparent, layered and chaotic. Transparent echo-facies is mainly associated to homogenite deposits, layered echo-facies is associated to the turbiditic-hemipelagic interbedded deposits and chaotic echo-facies is associated to reworked gravity flow deposits. The trench fill represents a lacunar but important record of the subduction margin history. Large eastward debris flows in the lower two sequences of the trench fill are provided by the trench outer wall as a results of slope failures along normal faults due to the downward bending of the oceanic plate. The sediment of the upper sequence of the trench fill draping the trench floor, are largely provided by the inner trench wall strongly controlled by the Carnegie Ridge. As a result, depth, frequency, thickness, composition and lateral disposition of the deposits vary greatly from those at north and south. The large, simple mega-beds like slump, debris flows and homogenites are located at the northern and southern segments. They were triggered by large regional faults in the North and enhanced by the activity of sets of splay faults in the South overhanging the seafloor at the slope toe. Small-size, fluid rich events were triggered by subduction of isolated seamounts at the edges of the Carnegie Ridge due to frequent but small destabilizations of an inner trench wall preconditioned by the impacts of successive seamounts. Sets of partly volcanoclastic turbidites in central segment might have been triggered by the complex interaction of slope and continental shelf deformation by seamount subduction