Ce travail s'inscrit dans le cadre de la géométrie de la CAO. Il traite d'un point de vue algorithmique des coniques et de leurs faisceaux. Ces courbes rationnelles sont ici décrites par une liste de trois vecteurs massiques linéairement indépendants appelée forme (BR) de la conique. Un vecteur massique est soit un vecteur pur, soit un point pondéré de l'espace dans lequel sont plongées ces courbes rationnelles ainsi que l'ont défini Fiorot et Jeannin en 1986. Le chapitre 1 rappelle les principaux résultats concernant les courbes Bézier-de Casteljau et les courbes (BR). Le chapitre 2 établit toutes les formes d'une conique définie par un foyer, la directrice associée et l'excentricité. Les différentes formes (BR) d'une conique sont obtenues par des changements de paramètre homographique. Réciproquement, à partir de trois vec-teurs massiques linéairement indépendants et à l'aide de changements de paramètre homographique appropriés, une forme (BR) particulière de la conique est obtenue. Celle-ci donne directement les éléments géométriques remarquables de la conique. Les chapitres suivants traitent de la représentation (BR) des faisceaux de coniques. Chaque type de faisceau se caractérise par une liste de trois vecteurs massiques. Un de ces vecteurs sert à définir le paramètrage du faisceau. Le chapitre 3 donne deux formes (BR) du faisceau de coniques bitangentes. Le chapitre 4 donne une forme (BR) du faisceau des coniques passant par trois points et tangente en un des points à une droite donnée. La forme (BR) d'un faisceau de coniques passant par quatre points du plan est traitée dans le chapitre 5. Les chapitres 6 et 7 traitent respectivement des faisceaux (BR) de coniques osculatrices et surosculatrices. Notons enfin que, pour les coniques comme pour leurs faisceaux, les formes (BR) présentent dans la plupart des cas un ou deux vecteurs purs décrivant les points à l'infini de la conique et les rendant aisément exploitables dans le domaine de la CAO.

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Cette thèse traite une version de traitement des singularités en décomposition de domaine. En premier lieu, on a rappelé les principes des méthodes de décomposition de domaine, puis on a rappelé en quelques points la théorie de V.Kondratiev qui permet d'étudier la régularité des problèmes elliptiques dans des domaines à coins. On a introduit la transformée de Mellin qui permet de décrire la régularité H^{s} dans les domaines à coins, ainsi que les types asymptotiques qui interviennent dans la résolution des problèmes elliptiques dans des domaines à singularités conique. La transformée de Mellin est un outil fondamental qui permet de comprendre l'inadéquation entre les problèmes dans les sous domaines et le problème global: tout se joue au niveau des types asymptotiques. Nous avons c! onsidéré deux types de problème: le premier le cas où le domaine global est singulier et non convexe et le second le cas où le domaine global est régulier et dans ce cas on crée des singularités. Nous avons construit un opérateur d'interface d'ordre deux dans la dérivée tangente et nous avons proposer algorithme dont nous étudions la convergence en fonction de ses paramètres et nous avons traité numériquement le problème et on montre que la convergence avec les paramètres optimisés trouvés théoriquement conduit à un gain en vitesse de convergence par rapport à d'autres paramètres.

La propagation de fissures est le mécanisme fondamental responsable de la rupture catastrophique des matériaux fragiles. Celle-ci est décrite traditionnellement par la Mécanique Linéaire Elastique de la Rupture. Or, si ce cadre théorique apparait performant pour décrire des fissures lentes, il échoue largement à haute vitesse. En particulier, il ne permet pas de rendre compte des vitesses de rupture maximales observées expérimentalement, ni de la rugosité des faciès observée à haute vitesse. Pour explorer ces phénomènes, nous avons mis en place un dispositif expérimental qui permet d'étudier les mécanismes de rupture dans un matériau fragile modèle - nous avons opté pour le Plexiglas - sur une large gamme de vitesse, aux petites échelles d'espace et de temps. Ce dispositif nous a permis de mettre en évidence une nouvelle vitesse critique au delà de laquelle, la propagation de la fissure s'accompagne d'endommagements macroscopiques sous forme de nucléation et de croissance de microfissures en avant du front. Un scénario simple permet de prendre en compte cet endommagement pour quantifier la variation de l'énergie dite de fracture, i.e. l'énergie dissipée par le matériau lorsque la fissure se propage d'un incrément de surface, et expliquer la valeur anormalement basse de la vitesse limite de rupture observée dans les matériaux fragiles. Il explique aussi la nature grenue des faciès de rupture observés. Nous avons par ailleurs pu montrer qu'il était possible, à partir des faciès de rupture, de reconstruire de manière déterministe, à l'échelle du micromètre et de la microseconde la dynamique de propagation du front de fissure et le développement d'endommagement associé.

Le champ magnétique terrestre, dans des régions libres de sources magnétiques, peut être exprimé comme le gradient d'un potentiel scalaire, solution de l'équation de Laplace. Pour des régions dont la couverture en données est particulièrement dense, la modélisation régionale est susceptible d'offrir une meilleure résolution spatiale du champ magnétique que la modélisation globale par les harmoniques sphériques (SH). Avec la méthode régionale de décomposition en harmoniques sur calottes sphériques (SCHA), les difficultés apparaissent lors du traitement simultané de données enregistrées à des altitudes variées. De plus, ce formalisme ne peut pas être simplement relié au formalisme global SH, nous privant ainsi de précieuses informations a priori sur les coefficients du modèle. Dans le présent travail, nous montrons que ces problèmes sont surmontés si SCHA est formulée comme un problème de conditions aux limites dans un cône ; cône qui circonscrit la région d'étude et dont la hauteur est compatible avec l'altitude maximale contenue dans les données. Ceci nous permet d'obtenir pour la première fois des relations entre les coefficients de Gauss globaux et ceux des harmoniques locales. La reconstruction précise d'un champ globale dans le cône démontre la pertinence de ces relations. De manière à anticiper le problème inverse, nous proposons des relations basées sur le concept de spectre d'énergie, et nous définissons des normes pour le champ magnétique. Ces expressions sont des outils précieux de régularisation pour des problèmes inverses mal conditionnés. Nous traitons finalement le problème inverse. Dans un premier temps, nous considérons des données uniformément distribuées et nous concluons que le modèle obtenu est conforme aux propriétés d'un champ géomagnétique. Dans un second temps, nous simulons une inversion sur un cas réel en considérant les positions des données terrestres et celles du satellite CHAMP. Par une régularisation, nous parvenons à résoudre le problème inverse dans une situation particulièrement défavorable, et nous obtenons un modèle de champ magnétique stable dans tout le volume conique.

Ce mémoire est une synthèse des résultats que j'ai obtenus depuis une dizaine d'années; il est divisé en trois parties : 1. Géométrie classique 2. Fibrés vectoriels 3. Géométrie classique et Fibrés vectoriels. L'objectif de ce va et vient entre géométrie classique et fibrés vectoriels est de démontrer des résultats de géométrie élémentaire avec le langage moderne des fibrés vectoriels mais aussi de démontrer des résultats sur les fibrés en utilisant des théorèmes de géométrie élémentaire. En guise d'illustration nous associons par exemple : - Revêtement du plan et fibrés vectoriels, - Variétés de sécantes de courbes rationnelles et fibrés de Schwarzenberger, - Variétés de Poncelet et déterminant de sections globales d'un fibré donné, - Coniques Poncelet associées (polygones de Poncelet) et coniques de saut, - Arrangements d'hyperplans et fibrés logarithmiques, - Variétés discriminants et droites de saut des fibrés logarithmiques.

Un polyèdre fuchsien de l'espace hyperbolique est une surface polyédrale invariante sous l'action d'un groupe fuchsien d'isométries (c.a.d. un groupe d'isométries qui laissent globalement invariante une surface totalement géodésique et sur laquelle il agit de manière cocompacte). La métrique induite sur un polyèdre fuchsien convexe est isométrique à une métrique hyperbolique avec des singularités coniques de courbure singulière positive sur une surface compacte de genre $>1$. On démontre que ces métriques sont en fait réalisées par un unique polyèdre fuchsien convexe (modulo les isométries globales). Ce résultat étend un théorème célèbre de A.D. Alexandrov. <br />On montre aussi que chaque métrique à courbure constante avec des courbures singulières négatives sur une surface compacte de genre $>1$ peut-être réalisée par un unique polyèdre ``fuchsien'' convexe dans un espace modèle lorentzien.<br />Finalement on présente des extensions possibles de ces résultats, ce qui amène à des énoncés généraux sur la réalisation de métriques sur les surfaces.

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On étudie les surfaces plates à singularités coniques, leur géométrie, leur espaces des déformations et leur paramétrisation. La surface de base est la sphère à trois trous (pantalon). On trouve trois ensembles de paramètres pour le pantalon plat à un point singulier conique et on décrit son espace des déformations. On introduit un flot que l'on appelle flot de Fenchel-Nielsen sur un espace des déformations. On étudie l'injectivité de ce flot en examinant la variation des fonctions longueur de segments géodésiques ou de géodésiques simples fermées le long de ce flot. On étudie également la paramétrisation d'une surface plate à singularités coniques utilisant des longueurs des segments géodésiques joignant des points singuliers ou un point singulier à une composante du bord. A la fin du texte, trois annexes apportent des discussions supplémentaires.

Ce travail a pour objectif l’étude du tourbillon conique engendré à partir d’une maquette générique représentant un montant de baie de véhicule automobile. Cette structure tourbillonnaire est responsable de fortes fluctuations sur les vitres latérales et génère du bruit dans l’habitacle. Ces véhicules étant soumis à des vents turbulents, la sensibilité de la dynamique de cette structure tourbillonnaire à une turbulence amont a été étudiée, en plaçant une grille à l’entrée de la veine d’essais de la soufflerie.Les propriétés spatiales et temporelles des champs de vitesse et de pression pariétale ont été étudiées en associant simultanément la mesure de la vitesse par Stéréo-PIV haute fréquence à la mesure de pression pariétale fluctuante par capteurs déportés. Nous avons montré qu’un niveau modéré de turbulence amont (intensité : 6%) se traduit par une modification très importante de la dynamique du tourbillon et de la pression pariétale fluctuante associée. Notre conjecture est qu’en l’absence de turbulence externe, la contribution principale au Cp’ est liée à l’empreinte du coeur tourbillonnaire et du décollement secondaire induit. Au contraire, en présence de turbulence amont, la forte augmentation du Cp’ semble associée à une réponse globale de la structure tourbillonnaire.L’étude de la dynamique spatio-temporelle à partir des corrélations pression-vitesse a permis de mettre en évidence le couplage fort existant entre la dynamique de la nappe cisaillée et celle du coeur de la structure tourbillonnaire. Il existe ainsi une modulation de la fréquence de battement de la structure pilotée par la géométrie de la maquette et par les caractéristiques de la turbulence amont (intensité et échelle intégrale). / This work aims to study conical vortices generated from a generic model representing the A-pillar of an automotive vehicle. This vortex structure is responsible of strong fluctuations on the side window and generates noise in the cabin. As these vehicles are subjected to the turbulent wind, the sensitivity of vortex structure dynamics to an upstream turbulence was studied by adding a grid at the test section entrance of the wind tunnel.The spatial and temporal properties of the velocity fields and the wall pressure were studied by simultaneously combining High Speed Stereo-PIV and wall fluctuating pressure measurements with distant sensors. It is shown that a moderate level of upstream turbulence (6% of intensity) results in a very significant change of the vortex dynamics and the associated wall fluctuating pressure. Our assumption is that in the absence of external turbulence, the main Cp’ contributionis linked to the footprint of the vortex core and of the induced secondary separation. On the contrary, in the presence of upstream turbulence, the strong increase of Cp’ seems to be associated with a global response of the vortex structure. The study of the spatio-temporal dynamics withpressure-velocity correlations allowed highlighting the strong coupling between the dynamics ofthe shear layer and of the core of the vortex structure. Thus, there is a modulation of the flapping frequency of the vortex controlled by the geometry of the model and by the characteristics ofthe upstream turbulence (intensity and integral length scale).