Dans cette thèse, j'ai étudié le noyau et le semi-groupe de la chaleur ainsi que les inégalités fonctionnelles associées sur trois espaces modèles de la géométrie sous-elliptique. Cette étude a en fait pour principal objectif de développer et tester de nouvelles techniques et méthodes que l'on espère ensuite pouvoir étendre en géométrie sous-elliptique. Le but avoué est de comprendre en géométrie sous-elliptique une notion de courbure de Ricci minorée par une constante. Ici, les trois espaces modèles sont des groupes de Lie de dimension 3: le groupe de Heisenberg, le groupe SU(2) et le groupe SL(2,R), que l'on munit d'un sous-laplacien: un opérateur différentiel du second ordre invariant à gauche essentiellement auto-adjoint pour la mesure de Haar du groupe qui n'est pas elliptique mais hypoelliptique d'après des résultats de Hörmander. Mes résultats portent tout d'abord sur l'obtention de formules explicites pour les noyaux de la chaleur associés. J'ai ensuite introduit un critère de courbure-dimension de Bakry-Emery généralisé qui, sous certaines conditions d'antisymétrie vérifiées sur nos espaces modèles, permet l'obtention d'estimées du type de Li-Yau. Je me suis enfin intéressé à l'établissement et l'étude d'inégalités de sous-commutation entre le gradient et le semi-groupe de la chaleur. J'ai notamment donné deux nouvelles démonstrations de l'inégalité de H.Q.Li sur le groupe de Heisenberg.

Analyse de la forme 3D est un sujet de recherche extrêmement actif dans les deux l'infographie et vision par ordinateur. Dans la vision par ordinateur, l'acquisition de formes et de modélisation 3D sont généralement le résultat du traitement des données complexes et des méthodes d'analyse de données. Il existe de nombreuses situations concrètes où une forme visuelle est modélisé par un nuage de points observés avec une variété de capteurs 2D et 3D. Contrairement aux données graphiques, les données sensorielles ne sont pas, dans le cas général, uniformément répartie sur toute la surface des objets observés et ils sont souvent corrompus par le bruit du capteur, les valeurs aberrantes, les propriétés de surface (diffusion, spécularités, couleur, etc), l'auto occlusions, les conditions d'éclairage variables. Par ailleurs, le même objet que l'on observe par différents capteurs, à partir de points de vue légèrement différents, ou à des moments différents cas peuvent donner la répartition des points tout à fait différentes, des niveaux de bruit et, plus particulièrement, les différences topologiques, par exemple, la fusion des mains. Dans cette thèse, nous présentons une représentation de multi-échelle des formes articulés et concevoir de nouvelles méthodes d'analyse de forme, en gardant à l'esprit les défis posés par les données de forme visuelle. En particulier, nous analysons en détail le cadre de diffusion de chaleur pour représentation multi-échelle de formes 3D et proposer des solutions pour la segmentation et d'enregistrement en utilisant les méthodes spectrales graphique et divers algorithmes d'apprentissage automatique, à savoir, le modèle de mélange gaussien (GMM) et le Espérance-Maximisation (EM). Nous présentons d'abord l'arrière-plan mathématique sur la géométrie différentielle et l'isomorphisme graphique suivie par l'introduction de la représentation spectrale de formes 3D articulés. Ensuite, nous présentons une nouvelle méthode non supervisée pour la segmentation de la forme 3D par l'analyse des vecteurs propres Laplacien de graphe. Nous décrivons ensuite une solution semi-supervisé pour la segmentation de forme basée sur un nouveau paradigme d'apprendre, d'aligner et de transférer. Ensuite, nous étendre la représentation de forme 3D à une configuration multi-échelle en décrivant le noyau de la chaleur cadre. Enfin, nous présentons une méthode d'appariement dense grâce à la représentation multi-échelle de la chaleur du noyau qui peut gérer les changements topologiques dans des formes visuelles et de conclure par une discussion détaillée et l'orientation future des travaux.

Analyse de la forme 3D est un sujet de recherche extrêmement actif dans les deux l'infographie et vision par ordinateur. Dans la vision par ordinateur, l'acquisition de formes et de modélisation 3D sont généralement le résultat du traitement des données complexes et des méthodes d'analyse de données. Il existe de nombreuses situations concrètes où une forme visuelle est modélisé par un nuage de points observés avec une variété de capteurs 2D et 3D. Contrairement aux données graphiques, les données sensorielles ne sont pas, dans le cas général, uniformément répartie sur toute la surface des objets observés et ils sont souvent corrompus par le bruit du capteur, les valeurs aberrantes, les propriétés de surface (diffusion, spécularités, couleur, etc), l'auto occlusions, les conditions d'éclairage variables. Par ailleurs, le même objet que l'on observe par différents capteurs, à partir de points de vue légèrement différents, ou à des moments différents cas peuvent donner la répartition des points tout à fait différentes, des niveaux de bruit et, plus particulièrement, les différences topologiques, par exemple, la fusion des mains. Dans cette thèse, nous présentons une représentation de multi-échelle des formes articulés et concevoir de nouvelles méthodes d'analyse de forme, en gardant à l'esprit les défis posés par les données de forme visuelle. En particulier, nous analysons en détail le cadre de diffusion de chaleur pour représentation multi-échelle de formes 3D et proposer des solutions pour la segmentation et d'enregistrement en utilisant les méthodes spectrales graphique et divers algorithmes d'apprentissage automatique, à savoir, le modèle de mélange gaussien (GMM) et le Espérance-Maximisation (EM). Nous présentons d'abord l'arrière-plan mathématique sur la géométrie différentielle et l'isomorphisme graphique suivie par l'introduction de la représentation spectrale de formes 3D articulés. Ensuite, nous présentons une nouvelle méthode non supervisée pour la segmentation de la forme 3D par l'analyse des vecteurs propres Laplacien de graphe. Nous décrivons ensuite une solution semi-supervisé pour la segmentation de forme basée sur un nouveau paradigme d'apprendre, d'aligner et de transférer. Ensuite, nous étendre la représentation de forme 3D à une configuration multi-échelle en décrivant le noyau de la chaleur cadre. Enfin, nous présentons une méthode d'appariement dense grâce à la représentation multi-échelle de la chaleur du noyau qui peut gérer les changements topologiques dans des formes visuelles et de conclure par une discussion détaillée et l'orientation future des travaux. / 3D shape analysis is an extremely active research topic in both computer graphics and computer vision. In computer vision, 3D shape acquisition and modeling are generally the result of complex data processing and data analysis methods. There are many practical situations where a visual shape is modeled by a point cloud observed with a variety of 2D and 3D sensors. Unlike the graphical data, the sensory data are not, in the general case, uniformly distributed across the surfaces of the observed objects and they are often corrupted by sensor noise, outliers, surface properties (scattering, specularities, color, etc.), self occlusions, varying lighting conditions. Moreover, the same object that is observed by different sensors, from slightly different viewpoints, or at different time instances may yield completely different point distributions, noise levels and, most notably, topological differences, e.g., merging of hands. In this thesis we outline single and multi-scale representation of articulated 3D shapes and devise new shape analysis methods, keeping in mind the challenges posed by visual shape data. In particular, we discuss in detail the heat diffusion framework for multi-scale shape representation and propose solutions for shape segmentation and dense shape registration using the spectral graph methods and various other machine learning algorithms, namely, the Gaussian Mixture Model (GMM) and the Expectation Maximization (EM). We first introduce the mathematical background on differential geometry and graph isomorphism followed by the introduction of pose-invariant spectral embedding representation of 3D articulated shapes. Next we present a novel unsupervised method for visual shape segmentation by analyzing the Laplacian eigenvectors. We then outline a semi-supervised solution for shape segmentation based upon a new learn, align and transfer paradigm. Next we extend the shape representation to a multi-scale setup by outlining the heat-kernel framework. Finally, we present a topologically-robust dense shape matching method using the multi-scale heat kernel representation and conclude with a detailed discussion and future direction of work.

Un nombre croissant d’applications graphiques 3D ont un impact sur notre société. Ces applications sont utilisées dans plusieurs domaines allant des produits de divertissement numérique, la conception assistée par ordinateur, aux applications médicales. Dans ce contexte, un moteur de recherche d’objets 3D avec de bonnes performances en résultats et en temps d’exécution devient indispensable. Nous proposons une nouvelle méthode pour l’indexation de modèles 3D basée sur des courbes fermées. Nous proposons ensuite une amélioration de notre méthode pour l’indexation partielle de modèles 3D. Notre approche commence par la définition d’une nouvelle fonction d’application invariante. Notre fonction d’application possède des propriétés importantes : elle est invariante aux transformations rigides et non rigides, elle est insensible au bruit, elle est robuste à de petits changements topologiques et elle ne dépend pas de paramètres. Cependant, dans la littérature, une telle fonction qui respecte toutes ces propriétés n’existe pas. Pour respecter ces propriétés, nous définissons notre fonction basée sur la distance de diffusion et la distance de migration pendulaire. Pour prouver les propriétés de notre fonction, nous calculons le graphe de Reeb de modèles 3D. Pour décrire un modèle 3D complet, en utilisant notre fonction d’application, nous définissons des courbes de niveaux fermées à partir d’un point source détecté automatiquement au centre du modèle 3D. Chaque courbe décrit alors une région du modèle 3D. Ces courbes créent un descripteur invariant à différentes transformations. Pour montrer la robustesse de notre méthode sur différentes classes de modèles 3D dans différentes poses, nous utilisons des objets provenant de SHREC 2012. Nous comparons également notre approche aux méthodes de l’état de l’art à l’aide de la base SHREC 2010. Pour l’indexation partielle de modèles 3D, nous améliorons notre approche en utilisant la technique sacs de mots, construits à partir des courbes fermées extraites, et montrons leurs bonnes performances à l’aide de la base précédente / A growing number of 3D graphic applications have an impact on today’s society. These applications are being used in several domains ranging from digital entertainment, computer aided design, to medical applications. In this context, a 3D object search engine with a good performance in time consuming and results becomes mandatory. We propose a novel approach for 3D-model retrieval based on closed curves. Then we enhance our method to handle partial 3D-model retrieval. Our method starts by the definition of an invariant mapping function. The important properties of a mapping function are its invariance to rigid and non rigid transformations, the correct description of the 3D-model, its insensitivity to noise, its robustness to topology changes, and its independance on parameters. However, current state-of-the-art methods do not respect all these properties. To respect these properties, we define our mapping function based on the diffusion and the commute-time distances. To prove the properties of this function, we compute the Reeb graph of the 3D-models. To describe the whole 3D-model, using our mapping function, we generate indexed closed curves from a source point detected automatically at the center of a 3D-model. Each curve describes a small region of the 3D-model. These curves lead to create an invariant descriptor to different transformations. To show the robustness of our method on various classes of 3D-models with different poses, we use shapes from SHREC 2012. We also compare our approach to existing methods in the state-of-the-art with a dataset from SHREC 2010. For partial 3D-model retrieval, we enhance the proposed method using the Bag-Of-Features built with all the extracted closed curves, and show the accurate performances using the same dataset

Ce mémoire est consacré à des résultats d'analyse harmonique réelle dans des cadres géométriques discrets (graphes) ou continus (groupes de Lie).Soit $\Gamma$ un graphe (ensemble de sommets et d'arêtes) muni d'un laplacien discret $\Delta=I-P$, où $P$ est un opérateur de Markov.Sous des hypothèses géométriques convenables sur $\Gamma$, nous montrons la continuité $L^p$ de fonctionnelles de Littlewood-Paley fractionnaires. Nous introduisons des espaces de Hardy $H^1$ de fonctions et de $1$-formes différentielles sur $\Gamma$, dont nous donnons plusieurs caractérisations, en supposant seulement la propriété de doublement pour le volume des boules de $\Gamma$. Nous en déduisons la continuité de la transformée de Riesz sur $H^1$. En supposant de plus des estimations supérieures ponctuelles (gaussiennes ou sous-gaussiennes) sur les itérées du noyau de l'opérateur $P$, nous obtenons aussi la continuité de la transformée de Riesz sur $L^p$ pour $1<p<2$.Nous considérons également l'espace de Besov $B^{p,q}_\alpha(G)$ sur un groupe de Lie unimodulaire $G$ muni d'un sous-laplacien $\Delta$. En utilisant des estimations du noyau de la chaleur associé à $\Delta$, nous donnons plusieurs caractérisations des espaces de Besov, et montrons une propriété d'algèbre pour $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$, pour $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ et $1\leq q\leq +\infty$. Les résultats sont valables en croissance polynomiale ou exponentielle du volume des boules. / This thesis is devoted to results in real harmonic analysis in discrete (graphs) or continuous (Lie groups) geometric contexts.Let $\Gamma$ be a graph (a set of vertices and edges) equipped with a discrete laplacian $\Delta=I-P$, where $P$ is a Markov operator.Under suitable geometric assumptions on $\Gamma$, we show the $L^p$ boundedness of fractional Littlewood-Paley functionals. We introduce $H^1$ Hardy spaces of functions and of $1$-differential forms on $\Gamma$, giving several characterizations of these spaces, only assuming the doubling property for the volumes of balls in $\Gamma$. As a consequence, we derive the $H^1$ boundedness of the Riesz transform. Assuming furthermore pointwise upper bounds for the kernel (Gaussian of subgaussian upper bounds) on the iterates of the kernel of $P$, we also establish the $L^p$ boundedness of the Riesz transform for $1<p<2$.We also consider the Besov space $B^{p,q}_\alpha(G)$ on a unimodular Lie group $G$ equipped with a sublaplacian $\Delta$.Using estimates of the heat kernel associated with $\Delta$, we give several characterizations of Besov spaces, and show an algebra property for $B^{p,q}_\alpha(G) \cap L^\infty(G)$ for $\alpha>0$, $1\leq p\leq+\infty$ and $1\leq q\leq +\infty$.These results hold for polynomial as well as for exponential volume growth of balls.

Dans le cadre de cette thèse, on s'intéresse à la dynamique de quelques fluides complexes. D'une part on étudie la dynamique des cristaux liquides nématiques, en utilisant les modèles proposés par Ericksen et Leslie, Beris et Edwards, Qian et Sheng. D'autre part, on analyse un fluide complexe dont la dynamique dépend de la température et qui est modélisée par le système de Boussinesq. Les cristaux liquides sont des matériaux avec une phase de la matière intermédiaire entre les liquides et les solides qui sont des phases plus connues. Dans cette thèse, on s'intéresse à l'étude du problème de Cauchy associé à chaque système modélisant leurs hydrodynamiques. Tout d'abord on obtient des résultats d'existence et d'unicité de solutions faibles ou classiques, solutions qui sont globales en temps. Ensuite, on analyse la propagation de la régularité des données initiales pour ces solutions. Le cadre fonctionnel adopté pour les données initiales est celui des espaces de Besov homogènes, généralisant des classes d'espaces mieux connues : les espaces de Soboloev homogènes et les espaces de Hölder. Le système Ericksen-Leslie est considéré dans la version simplifiée proposée par F. Lin et C. Liu, version qui préserve les principales difficultés du système initial. On étudie ce problème en dimension supérieure ou égale à deux. On considère le système dans le cas inhomogène, c'est-à dire avec une densité variable. De plus, on s'intéresse au cas d'une densité de faible régularité qui est autorisée à présenter des discontinuités. Donc, le résultat que l'on démontre peut être mis en relation avec la dynamique des mélanges de nématiques non miscibles. On démontre l'existence globale en temps de solutions faibles de régularité invariante par changement d'échelle, en supposant une condition de petitesse sur les données initiales dans des espaces de Besov critiques. On démontre aussi l'unicité de ces solutions si de plus on suppose une condition supplémentaire de régularité pour les données initiales. Le système Beris-Edwards est analysé dans le cas bidimensionnel. On obtient l'existence et l'unicité de solutions faibles globales en temps, lorsque les données initiales sont dans des espaces de Sobolev spécifiques (sans condition de petitesse). Le niveau de régularité de ces espaces fonctionnels est adapté pour bien définir les solutions faibles. L'unicité est une question délicate et demande une estimation doublement logarithmique pour une norme sur la différence entre deux solutions dans un espace de Banach convenable. Le lemme d'Osgood permet alors de conclure à l'unicité de la solution. On obtient également un résultat de propagation de régularité d'indice positif. Afin de prendre en compte l'inertie des molécules, on considère aussi le modèle proposé par Qian et Sheng, et on étudie le cas de la dimension supérieure ou égale à deux. Ce système montre une caractéristique structurale spécifique, plus précisément la présence d'un terme inertiel, ce qui génère des difficultés significatives. On démontre l'existence d'une fonctionnelle de Lyapunov et l'existence et l'unicité de solutions classiques globales en temps, en considérant des données initiales petites. Enfin, on analyse le système de Boussinesq et on montre l'existence et l'unicité de solutions globales en temps. On considère la viscosité en fonction de la température en supposant simplement que la température initiale soit bornée, tandis que la vitesse initiale est dans des espaces de Besov avec indice de régularité critique. Les données initiales ont une composante verticale grande et satisfont à une condition de petitesse spécifique sur les composantes horizontales: elles doivent être exponentiellement petites par rapport à la composante verticale. / The present thesis is devoted to the dynamics of specific complex fluids. On the one hand we studythe dynamics of the so-called nematic liquid crystals, through the models proposed by Ericksen and Leslie, Beris and Edwards, Qian and Sheng.On the other hand we analyze the dynamics of a temperature-dependent complex fluid, whose dynamics is governed by the Boussinesq system.Nematic liquid crystals are materials exhibiting a state of matter between an ordinary fluid and a solid. In this thesis we are interested in studying the Cauchy problem associated to eachsystem modelling their hydrodynamics. At first, we establish some well-posedness results, such asexistence and uniqueness of global-in-time weak or classical solutions. Moreover we also analyzesome dynamical behaviours of these solutions, such as propagations of both higher and lowerregularities.The general framework for the initial data is that of Besov spaces, which extend the most widelyknown classes of Sobolev and Hölder spaces.The Ericksen-Leslie system is studied in a simplified form proposed by F. Lin and C. Liu,which retains the main difficulties of the original one. We consider both a two-dimensional and athree-dimensional space-domain. We assume the density to be no constant, i.e. the inhomogeneouscase, moreover we allow it to present discontinuities along an interface so that we can describe amixture of liquid crystal materials with different densities. We prove the existence of global-in-timeweak solutions under smallness conditions on the initial data in critical homogeneous Besov spaces.These solutions are invariant under the scaling behaviour of the system. We also show that theuniqueness holds under a tiny extra-regularity for the initial data.The Beris-Edwards system is analyzed in a two-dimensional space-domain. We achieve existenceand uniqueness of global-in-time weak solutions when the initial data belongs to specific Sobolevspaces (without any smallness condition). The regularity of these functional spaces is suitable inorder to well define a weak solution. We achieve the uniqueness result through a specific analysis,controlling the norm of the difference between to weak solutions and performing a delicate doublelogarithmicestimate. Then, the uniqueness holds thanks to the Osgood lemma. We also achieve aresult about regularity propagation.The Qian-Sheng model is analyzed in a space-domain with dimension greater or equal than two.In this case, we emphasize some important characteristics of the system, especially the presence ofan inertial term, which generates significant difficulties. We perform the existence of a Lyapunovfunctional and the existence and uniqueness of classical solutions under a smallness condition forthe initial data.Finally we deal with the well-posedness of the Boussinesq system. We prove the existence ofglobal-in-time weak solutions when the space-domain has a dimension greater or equal than two.We deal with the case of a viscosity dependent on the temperature. The initial temperature is justsupposed to be bounded, while the initial velocity belongs to some critical Besov Space. The initialdata have a large vertical component while the horizontal components fulfil a specific smallnessconditions: they are exponentially smaller than the vertical component.

Cette thése concerne l'existence et la régularité de solutions d'équations non-linéaires elliptiques, d'équations paraboliques et d'équations de Hesse avec mesures, et les critéres de l'existence de solutions grandes d'équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. \textbf{Liste de publications} \begin{description} \item[1.] Avec M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées,~{\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] Avec L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, soumis, arXiv:1308.2956. \item[4] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, á apparaître dans Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, á apparaître dans Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, soumis,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] Avec M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, soumis, arXiv:1407.2218. \end{description}\begin{description} \item[1.] Avec M. F. Bidaut-Véron, L. Véron; {\em Quasilinear Lane-Emden equations with absorption and measure data,} Journal des Mathématiques Pures et Appliquées,~{\bf 102}, 315-337 (2014). \item[2] Avec L. Véron; {\em Quasilinear and Hessian type equations with exponential reaction and measure data,} Archive for Rational Mechanics and Analysis, {\bf 214}, 235-267 (2014). \item[3] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of quasilinear elliptic equations with absorption,} 17 pages, soumis, arXiv:1308.2956. \item[4] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Stability properties for quasilinear parabolic equations with measure data,} 29 pages, á apparaître dans Journal of European Mathematical Society, arXiv:1409.1518. \item[5] Avec M. F. Bidaut-Véron; {\em Evolution equations of $p$-Laplace type with absorption or source terms and measure data}, 21 pages, á apparaître dans Communications in Contemporary Mathematics, arXiv:1409.1520. \item[6] {\em Potential estimates and quasilinear parabolic equations with measure data,} 118 pages, arXiv:1405.2587v1. \item[7] Avec L. Véron; {\em Wiener criteria for existence of large solutions of nonlinear parabolic equations with absorption in a non-cylindrical domain,} 29 pages, soumis,\\ arXiv:1406.3850. \item[8] Avec M. F. Bidaut-Véron; {Pointwise estimates and existence of solutions of porous medium and $p$-Laplace evolution equations with absorption and measure data,\em } 27 pages, soumis, arXiv:1407.2218. \end{description}

Cette thèse concerne l’existence et la régularité de solutions d’équations non-linéaires elliptiques, d’équations paraboliques et d’équations de Hesse avec mesures, et les critères de l’existence de solutions grandes d’équations elliptiques et paraboliques non-linéaires. / This thesis is concerned to the existence and regularity of solutions to nonlinear elliptic, parabolic and Hessian equations with measure, and criteria for the existence of large solutions to some nonlinear elliptic and parabolic equations.