Realizamos um estudo teórico dos processos de emissão e absorção de radiação de ciclotron em plasmas magnetizados. Apresentamos uma revisão geral da teoria, iniciando por seus aspectos mais básicos: estudamos a radiação emitida por um elétron exposto a um campo magnético no vácuo e as noções fundamentaisda teoria de transporte de energia em dielétricos. / The emission and absorption processes of cyclotron radiation in magnetized plasmas are theoretically studied. A general review of theory is presented, beginning at fundamental aspects: the radiation emitted by a electron in a vaccum magnetic field is discussed, and the fundamental notions ot theory of energy transport in dielectrics are exposed.

Neste trabalho, estudamos a interação de íons com um conjunto quase-monocromático de ondas eletrostáticas de frequência na faixa das frequências híbridas inferiores, propagando-se perpendicularmente a um campo magnético uniforme. Consideramos que as fases das ondas são aleatoriamente distribuídas (ondas incoerentes), tratando o caso de ondas de fases coerentes (ondas coerentes) como um caso particular. Derivamos o Hamiltoniano adequado a esse sistema, e deduzimos as equações de movimento, cujas soluções são analisadas numericamente, mostrando a ocorrência de difusão estocástica no espaçoo de fase ângulo-ação, para amplitudes de onda suficientemente grandes. Também fazemos estimativas sobre a amplitude mínima (threshold) para o aparecimento de ilhas de primeira ordem no espaço de fase. Estimamos, também, o limiar para as ilhas de segunda ordem e de ordens maiores, bem como o limiar de estocasticidade. A análise mostra que para o caso de várias ondas o comportamento estocástico ocorre antes do limiar de estocasticidade comparado com o caso de uma onda. No caso de ondas coerentes, observa-se que o limiar de estocasticidade diminui com o aumento do número de ondas que comp˜oem o conjunto de ondas, proporcionalmente ao inverso da raiz quadrada deste número, portanto, tendendo a ser nulo no limite em que o número de ondas no pacote tende a infinito. No caso de ondas incoerentes, observa-se também uma diminuição do limiar de estocasticidade com o aumento do número de ondas, mas nesse caso, saturando com valor até um terço do valor do limiar de estocasticidade para o caso de uma onda. Observa-se também que o limite superior da região de estocasticidade no espaço de fase aumenta com o aumento do número de ondas. No caso de ondas coerentes, esse aumento é proporcional à raiz cúbica do número de ondas que compõem o conjunto de ondas. No caso de ondas incoerentes o limite superior da região de estocasticidade têm um aumento de até o dobro em relação ao caso de uma onda. A análise também mostra que o mecanismo da estocasticidade para o caso de várias ondas é diferente do mecanismo atuante no caso de uma onda. No caso de uma onda, a estocasticidade ocorre por superposição de ilhas de ordens maiores do que um, com o aumento da intensidade da onda. No caso de várias ondas, a presençaa de ondas de frequências próximas à frequência de ressonância causa pequenas perturbações na trajetória principal das partículas, causada pela onda central, espalhando-a pelo espaço de fase de forma mais eficiente que o mecanismo de estocasticidade para o caso de uma onda.

Este trabalho relata a utilização de tópicos ligados à Astronomia, como motivação educacional, a fim de inserir o estudo das radiações eletromagnéticas com abordagem na Física Moderna e Contemporânea. Em geral, a bibliografia atual disponível trata deste assunto (sob o título “ondas eletromagnéticas”) no capítulo relacionado a “ondas”, dentro da Física Clássica, não abordando assim, conceitos da Física Moderna: dualidade onda partícula, quantização da energia, efeito fotoelétrico, Lei de Planck, etc. O tema foi abordado utilizando atividades práticas: observação do Sol, observação do céu com telescópio, simulação computacional através de applets disponíveis na Internet, atividades de laboratório, sempre partindo de aspectos relacionados à Astronomia. A proposta foi aplicada em uma turma de terceira série de Ensino Médio, do Instituto Estadual de Educação de Sapiranga, cidade do Vale do Rio dos Sinos. Este trabalho foi embasado pela Teoria de Aprendizagem Significativa de Ausubel e de Novak, e pela Teoria de mediação de Vygotsky. A partir dos dados colhidos através de testes comparativos, entrevistas e depoimentos dos alunos, foi possível detectar que eles estiveram motivados para a aprendizagem, sendo que alguns inclusive passaram a interessar-se mais pela disciplina de Física. Ao finalizar a aplicação desta proposta de trabalho, foi criado um CD com textos, simulações e sugestões para aplicações em sala de aula.

Tese (doutorado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro Tecnológico, Programa de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica, Florianópolis, 2011 / Made available in DSpace on 2012-10-26T07:26:45Z (GMT). No. of bitstreams: 1 297690.pdf: 6636038 bytes, checksum: d24dc90195cf96478a5f32b9f785ba7d (MD5) / A presente tese versa sobre a avaliação do ambiente eletromagnético em estabelecimentos assistenciais de saúde (EAS), no intuito de promover uma adequada gestão da compatibilidade eletromagnética (EMC) em áreas clínicas de grande inserção tecnológica (ex. hospitais). O trabalho foca em uma abordagem coordenada entre diferentes técnicas de investigação científica, dentre as quais se destacam as técnicas de medição, de simulação numérica e de otimização. Na parte de medição, são apresentados e discutidos em detalhes os métodos e protocolos utilizados para o levantamento e a caracterização completa da propagação de ondas em hospitais. Estas medições são voltadas para três objetivos diferentes, tais como diagnosticar o panorama eletromagnético estabelecido em ambientes clínicos, mensurar as emissões eletromagnéticas originadas individualmente para cada equipamento eletromédico em operação nestes ambientes e, por fim, caracterizar os parâmetros constitutivos das estruturas arquitetônicas que compõem estes ambientes. A partir destas informações elementares é desenvolvida uma modelagem numérica efetiva da propagação de ondas e dos acoplamentos eletromagnéticos estabelecidos no EAS. Na parte de simulação computacional, a ferramenta numérica empregada nesta pesquisa é baseada no método da modelagem por linhas de transmissão (TLM). Todos os processos de modelagem numérica para os equipamentos médicos, para as fontes eletromagnéticas externas, e para as estruturas arquitetônicas presentes no EAS, são sistematicamente apresentados e discutidos. Finalmente, os modelos desenvolvidos são inseridos em uma série de processos de otimização voltados à gestão da EMC em hospitais. O método da Krigagem é aplicado para desenvolver processos de otimização espacial, enquanto o método dos Algoritmos Genéticos é utilizado para desenvolver processos de otimização geométrica. Os resultados obtidos permitem obter a sinergia entre todos os métodos aplicados, de modo a potencializar as suas principais vantagens e suprimir as suas limitações. / The current thesis deals with the assessment of electromagnetic environments in health care facilities (HCF), in order to promote an adequate management program for electromagnetic compatibility (EMC) in clinical areas with a large number of technologies (e.g. hospitals). This work surveys a coordinated approach using different techniques of scientific investigation, such as measurement techniques, numerical simulation, and optimization process. Regarding measurement techniques, it is presented a deep overview about the methods and protocols employed to provide a complete evaluation of wave propagation in hospitals. As a rule, these measurements are related to three main goals, such as to diagnose the electromagnetic profile established in clinical environments, to measure electromagnetic emissions originated from each electrometrical equipment within this area, and also to characterize the constitutive parameters of architectural structures composing the building. Based on that information, it is developed an effective numerical modeling of wave propagation and electromagnetic couplings established in the HCF. As far as computational simulation is concerned, the numerical tool engaged in this research is based on the Transmission Line Modeling Method (TLM). The complete development of numerical modeling for medical equipment, external electromagnetic sources, and also the architectural structures in the EAS, are systematically presented and discussed. Finally, all numerical models developed in this work are employed in a number of optimization processes regarding EMC management in hospitals. The Kriging method is mainly applied to develop spatial optimization process, whereas the Genetic Algorithms method is used to develop geometric optimization assessments. The achieved results allow to obtain synergy between all methods applied, in order to explore the potential of most important advantages and suppress its limitations.

Dois dispositivos de comunicação sem fio populares são considerados nesta pesquisa. Em primeiro lugar, o fone de ouvido que utiliza tecnologia Bluetooth, sendo um dos acessórios móveis mais econômicos do mercado e os óculos para dispositivos de comunicação que são uma representação da nova visão futurista. A absorção de ondas eletromagnéticas na cabeça humana durante um certo período de tempo, pode conduzir a problemas de saúde. A Taxa de Absorção Específica (SAR) foi simulada em quatro modelos diferentes para duas abordagens que realizam variações nos parâmetros dielétricos dos tecidos da cabeça. Estes resultados foram comparados com as recomendações internacionais (IEC 62209-2, 2010; ICNIRP, 2009; IEEE C95.1,2005; WHO, 2006; IEEE, 2002). O primeiro modelo utilizado foi o Manequim Antropomórfico Específico (SAM phantom), bem como três modelos realistas de cabeça humana (ou seja, um adulto de 34 anos e duas crianças de 10 e 6 anos). As simulações foram executadas utilizando o método de diferenças finitas (FDTD) e a frequência usada para alimentar as antenas foi de 2,45 GHz. Além disso foram feitas medidas experimentais de potência transmitida pelo dispositivo Bluetooth. / Two popular wireless communication devices are considered in this research. Firstly, the handset Bluetooth which is one of the most economic mobile accessories and the eyewear Communicating Device which are a representation of the new futuristic vision. It is well known that the absorption of electromagnetic waves on the human head for a certain period of time may lead to health problems such as headaches. The Specific Absorption Rate (SAR) is simulated to four different head models for two approaches that perform variations in the dielectric parameters in the head tissues and compared with the available international recommendations (IEC 62209-2, 2010; ICNIRP, 2009; IEEE C95.1,2005; WHO, 2006; IEEE, 2002). The first model used is the Specific Anthropomorphic Mannequin (SAM phantom), as well as three realistic models of human head (i.e., a 34 years old adult and two children of 10 and 6 years old). The simulations were performed using the finite difference time domain (FDTD) method and the frequency used to feed the antennas was 2.45 GHz. Experimental measurements of transmission power in Bluetooth device are also described.

Investiga-se a absorção de ondas eletromagnéticas por plasmas imersos em campos magnéticos retilíneos e inomogêneos na direção perpendicular. O formalismo empregado está dentro do limite de validade do método WKB e se baseia no conceito de tensor dielétrico efetivo, o qual é definido através de correções realizadas em um tensor dielétrico derivado a partir de uma aproximação de ondas planas, de tal forma que a equação de conservação de energia para um plasma fracamente inomogêneo seja automaticamente satisfeita. O tensor dielétrico efetivo obtido por meio deste procedimento descreve corretamente os processos de transferência de energia entre ondas e partículas em um plasma inomogêneo, o que não acontece com o tensor dielétrico obtido diretamente da aproximação de ondas planas, sem incluir as correções. Para isolar o efeito do gradiente do campo, calcula-se o tensor dielétrico em uma situação particular onde a função distribuição de equilíbrio pode ser escrita em termos das mesmas constantes de movimento existentes para um plasma homogêneo. Mostrase que o tensor efetivo obedece às relações recíprocas de Onsager e que somente as partículas que estão em ressonância com as ondas eletromagnéticas contribuem para a sua parte antiHermiteana, ligada à absorção destas ondas. Comparando com outros trabalhos que surgiram na literatura recente, mostra-se que os resultados destes trabalhos podem ser reproduzidos a partir do tensor dielétrico não corrigido, cuja parte anti-Hermiteana possui a contribuição de partículas não-ressonantes. Conclui-se, portanto, que os processos de troca de energia entre as ondas e o plasma não são adequadamente descritos nestes trabalhos. Como aplicação numérica, o tensor dielétrico efetivo é empregado na solução da relação de dispersão de modo a se obter a absorção de ondas que se propagam nos modos ordinário e extraordinário em freqüências próximas à freqüência de cíclotron eletrônica. Em particular, calcula-se a absorção local e a profundidade óptica do modo ordinário para dois conjuntos de parâmetros físicos, correspondentes a tokamaks de grande e pequena razões de aspecto. Observa-se que uma região de absorção negativa surge em freqüências próximas à freqüência de cíclotron para valores suficientemente altos do gradiente do campo. / We investigate absorption of electromagnetic waves by plasmas in ambient magnetic fields with perpendicular gradients. The basic formalism is within the range of validity of the WKB method, and is based on the concept of effective dielectric tensor, defined by the corrections dane on a dielectric tensor derived from a plane wave approximation, in such a way that the energy conservation equation for an inhomogeneous plasma is automatically satisfied. The effective dielectric tensor derived from this procedure correctly describes the energy exchange processes between waves and particles in an inhomogeneous plasma. This is not the case for the dielectric tensor derived from the plane wave approximation, without including the corrections. In arder to isolate the effect of the field gradients, we calculate the dielectric tensor for a particular situation where the equilibrium distribution function depends only on the same constants of motion that appear in the homogeneous case. We show that the effective dielectric tensor obeys the Onsager reciprocity relations and that only the particles that resonate with the waves contribute to its anti-Hermitian part, which is related to the absorption of the waves. Comparing with other works in the recent literature, we show that the results of these works can be reproduced from the non-corrected dielectric tensor, whose anti-Hermitian part has contributions from non-resonant particles. We conclude therefore that the energy exchange processes between wave and plasma are not correctly described in these works. As a numerical example, we employ the effective dielectric tensor to solve the dispersion relation in arder to calculate the absorption of ordinary and extraordinary waves in frequencies dose to the electron cyclotron frequency. Particularly, we obtain the local absorption and the optical depth of the ordinary mode for physical parameters corresponding respectively to tokamaks with large and small aspect r a tio. We find ·that a region of nega tive absorption arises near the cyclotron frequency for sufficiently high magnetic field gradients.

Investigamos a possibilidade de amplificação de ondas eletromagnéticas no plasma situado nas proximidades dos pólos geomagnéticos a uma altitude de até cerca de cinco raios terrestres. Nesta região ocorre o fenômeno conhecido como "Radiação Quilométrica das Auroras", o qual é uma conseqüência da interação entre o vento solar e a magnetosfera. É feita inicialmente uma ampla revisão das características observacionais conhecidas do fenômeno. Em seguida, é discutido o maser de elétron-cíclotron como possível mecanismo gerador para o fenômeno. Neste sentido, é feita inicialmente uma revisão dos principais trabalhos teóricos, os quais utilizaram o mecanismo de maser na sua formulação de freqüência complexa. Por fim, principia-se um estudo da Radiação Quilométrica das Auroras fazendo uso do maser na formulação de vetor de onda complexo. Os parâmetros físicos necessários para os cálculos de amplificação foram obtidos a partir de um modelo especialmente criado, o qual reproduz de forma aproximada as condições existentes na região aurora!, supondo inclusive um particular gradiente de densidade na direção perpendicular ao campo geomagnético. Os elementos do tensor dielétrico são calculados na aproximação de plasma localmente homogêneo e a função de distribuição considerada consiste na soma de uma maxwelliana de baixa temperatura mais uma cone-de-perda do tipo Dory-Guest-Harris relativística. A relação de dispersão é resolvida exatamente, mantendo-se todos os harmônicos e ordens de raio de Larmor necessários para garantir a convergência da solução. Foram reali zados também cálculos de traçados de raios na aproximação da óptica geométrica através do método de Poeverlein. Constatou-se que quando a razão ent re as freqüências de pla.sma e de cíclotron elet rônicas é Wpe/De < O, 1, as ondas que se propagam no modo ('X t raordinário rápido são amplificadas em freqüências muito próximas à freqüência. de cíclo t ron eletrônica e em ângulos próximos à perpendicular ao campo geomagnético. No caso oposto, Wpe/De > O, 1, são necessários valores cada vez maiores da componente do vetor de onda paralela ao campo magnético para. ocorrer amplificação, a qual é progressivamente menor. Os cálculos ele traçados ele raios mostraram que a escala espacial de variação de parâmetros, perpendicularmente ao campo magnético, é um fator muito importante na amplificação, e que a distância. necessária para uma dada amplificação pode se reduzir substancialmente quando aumenta o gradiente de densidade. / We investigate the possibility of electromagnetic wave amplification in the plasma situated over the geomagnetic peles up to a height around five earth radii. In this region occurs the most intense wave emission phenomenon in the terrestrial magnetosphere, known as "Aurora! Kilometric Radiation", which is a consequence of the solar wind-magnetosphere interaction. Initially, we make a comprehensive review on the known observational characteristics of the phenomenon. Next, the electron-cyclotron maser is discussed as a possible generation mechanism for the phenomenon, anel a review is made on the most important theoretical works, which applied the maser in the complex frequency formulation. We then begin a study on the Auroral Kilometric Radiation applying the maser mechanism in its complex wave frequency formulation . The physical parameters needed for the calculations were obtained from a particular model, especially created to approximately reproduce the real conditions in the aurora! zone, taking into account even a particular density gradient, perpendicular to the geomagnetic field. The components of the dielectric tensor are calculated in the locally homogeneous plasma approximation and the electron distribution function is taken as the sum of a cold maxwellian plus a relativistic Dory-Guest-Harris distribuition. The dispersion relation is exactly solved with all harmonics and powers of Larmor radius needed for the convergency of the solutions. We have also clone ray-tracing studies in the geometrical opti cs approximation, using the Poeverlein's method. We have found Ll1at , wh en Lhe electronic plasma to cyclotron frequencies ratio is Wpe/De < 0.1, the waves t hat propagatc in the fast extraordinary mode are amplified at frequencies very near to Lhe c.\·c lot ron frequency anel in the quasi-perpendi cular direction of the geomagnetic field. On t.hc olhcr hand , c.v·PE/De > 0.1 , the component of the wave vector parallel to the magnet i c fi eld musL have larger values for the amplification to occur, progressively smaller in valu e. The ray-L racing st udies have shown that the spatial scale of the inhomogeneity, perp endi cular to the magnetic field , is a very important factor in the amplification, anel that the cli stance to obtain a given amplification can be substantially reduced when the clensity gra.client is increasecl.

Neste trabalho estudamos a dinâmica fracamente não linear de ondas eletromagnéti- cas localizadas em interações laser-plasma. Ao se propagarem, estas ondas perturbam a densidade de elétrons do plasma e eventualmente originam campos elétricos por efeitos de space-charge. Estes campos por sua vez afetam a dinâmica das ondas, ou seja, a dinâmica de ambos é acoplada. Modelamos a onda localizada através de uma equação para seu envelope e tratamos o plasma como um fluído eletrônico frio, com alta mobilidade, e um fundo iônico fixo neutralizador . Inicialmente investigamos a dinâmica longitudinal da propagação autoconsistente de pulsos laser em plasmas. Nesta configuração, os campos elétricos no plasma são exci- tados no rastro dos pulsos, sendo por isto denominados wakefields. Desenvolvemos um modelo composto por duas equações, uma para o envelope do pulso laser e outra para o wakefield, no qual as interações entre ambos são plenamente consideradas na análise da evolução temporal e da estabilidade do pulso. Aplicando técnicas de lagrangeano efetivo e o método variacional obtemos uma equação para a dinâmica aproximada da largura dos pulsos, utilizada para fazer estimativas analíticas sobre dois casos-limite: pulsos largos e pulsos estreitos. Enquanto pulsos largos podem ou não manter a sua forma localizada de- pendendo da sua potência, pulsos muito estreitos sempre tendem a se dispersar à medida que o tempo avança. Em seguida estudamos a propagação de feixes laser focalizados, incluindo a dinâmica transversal em um modelo desenvolvido sem o uso da aproximação paraxial. Este mo- delo, direcionado à análise de regimes estacionários quando observados no referencial do feixe, nos permite obter uma condição de equilíbrio para os perfis transversais do mesmo. Examinamos a dependência de tais perfis nos parâmetros de controle e a estabilidade de feixes levemente descasados dos perfis de equilíbrio. Embora os detalhes da dinâmica dos feixes dependam das condições iniciais, feixes descasados sempre evoluem para padrões espaço-temporais incoerentes, independente da precisão adotada em tais condições. Em ambos os sistemas abordados, os modelos podem ser aplicados para estudar pro- pagação de ondas em plasmas com densidades arbitrárias, uma vez que foram construídos sem aproximar a velocidade de propagação da onda eletromagnética pela velocidade da luz no vácuo (algo usual no estudo de plasmas com baixa densidade, do tipo underdense). / In the present analysis we study the weakly nonlinear dynamics of localized electro- magnetic waves in laser-plasma interactions. As these waves are injected into plasmas, they disturb its electronic density and eventually give rise to space-charge fields, which in turn affect back the waves. In other words, their dynamics is coupled. We model the localized wave using an equation for its envelope and we treat the plasma as consisting of a mobile cold electronic fluid and a neutralizing fixed ionic background. We first investigate the longitudinal self-consistent dynamics propagation of laser pul- ses in plasmas. Here the space-charge fields in the plasma are excited in the wake of the pulses, thus being called wakefields. We develop a model consisting of two equations, one for the pulse envelope, another for the wakefield, and the interactions between both are fully taken to account to analyze the pulse time dependent dynamics and stability. Ap- plying effective Lagrangian techniques and the variational approach we derive an equation for the approximated dynamics of a pulse width, which is used in order to obtain some analytical estimates about two limit-cases: wide and narrow pulses. While wide pulses may or may not retain the localized shape depending on their power, narrower pulses always tend to delocalize as time evolves. Next we study the propagation of focused laser beams, taking to account the trans- verse dynamics in a model derived avoiding any assumption on paraxial conditions. This model, directed to the analysis of stationary regimes when observed in the co-moving coordinate of the beam frame, allows us to obtain an equilibrium condition for the beam transverse profiles. We examine the dependence of equilibrium profiles on control para- meters and the stability of beams as one adds small mismatches to the ideally matched equilibrium. Details of beam evolution depend on initial conditions. However, indepen- dently of the precise form of initial conditions, mismatched beams evolve to incoherent space-time patterns. In both systems discussed, the models can be applied to study the wave propagation in plasmas with arbitrary densities, since they were constructed without approximating the group velocity of the wave by the speed of light in vacuum (something usual when studying underdense plasmas).

Realizamos um estudo teórico dos processos de emissão e absorção de radiação de ciclotron em plasmas magnetizados. Apresentamos uma revisão geral da teoria, iniciando por seus aspectos mais básicos: estudamos a radiação emitida por um elétron exposto a um campo magnético no vácuo e as noções fundamentaisda teoria de transporte de energia em dielétricos. / The emission and absorption processes of cyclotron radiation in magnetized plasmas are theoretically studied. A general review of theory is presented, beginning at fundamental aspects: the radiation emitted by a electron in a vaccum magnetic field is discussed, and the fundamental notions ot theory of energy transport in dielectrics are exposed.

Neste trabalho, estudamos a interação de íons com um conjunto quase-monocromático de ondas eletrostáticas de frequência na faixa das frequências híbridas inferiores, propagando-se perpendicularmente a um campo magnético uniforme. Consideramos que as fases das ondas são aleatoriamente distribuídas (ondas incoerentes), tratando o caso de ondas de fases coerentes (ondas coerentes) como um caso particular. Derivamos o Hamiltoniano adequado a esse sistema, e deduzimos as equações de movimento, cujas soluções são analisadas numericamente, mostrando a ocorrência de difusão estocástica no espaçoo de fase ângulo-ação, para amplitudes de onda suficientemente grandes. Também fazemos estimativas sobre a amplitude mínima (threshold) para o aparecimento de ilhas de primeira ordem no espaço de fase. Estimamos, também, o limiar para as ilhas de segunda ordem e de ordens maiores, bem como o limiar de estocasticidade. A análise mostra que para o caso de várias ondas o comportamento estocástico ocorre antes do limiar de estocasticidade comparado com o caso de uma onda. No caso de ondas coerentes, observa-se que o limiar de estocasticidade diminui com o aumento do número de ondas que comp˜oem o conjunto de ondas, proporcionalmente ao inverso da raiz quadrada deste número, portanto, tendendo a ser nulo no limite em que o número de ondas no pacote tende a infinito. No caso de ondas incoerentes, observa-se também uma diminuição do limiar de estocasticidade com o aumento do número de ondas, mas nesse caso, saturando com valor até um terço do valor do limiar de estocasticidade para o caso de uma onda. Observa-se também que o limite superior da região de estocasticidade no espaço de fase aumenta com o aumento do número de ondas. No caso de ondas coerentes, esse aumento é proporcional à raiz cúbica do número de ondas que compõem o conjunto de ondas. No caso de ondas incoerentes o limite superior da região de estocasticidade têm um aumento de até o dobro em relação ao caso de uma onda. A análise também mostra que o mecanismo da estocasticidade para o caso de várias ondas é diferente do mecanismo atuante no caso de uma onda. No caso de uma onda, a estocasticidade ocorre por superposição de ilhas de ordens maiores do que um, com o aumento da intensidade da onda. No caso de várias ondas, a presençaa de ondas de frequências próximas à frequência de ressonância causa pequenas perturbações na trajetória principal das partículas, causada pela onda central, espalhando-a pelo espaço de fase de forma mais eficiente que o mecanismo de estocasticidade para o caso de uma onda.