On étudie la limite thermodynamique pour un système de particules quantiques en interaction dans un milieu aléatoire dans le formalisme de l'ensemble microcanonique. L'existence de la limite est démontrée pour l'énergie interne ainsi que pour l'entropie sous des conditions assez générales sur le modèle à une particule. Ensuite, la limite thermodynamique est étudiée pour le modèle des pièces à une dimension dans le cas des fermions et pour une densité de particules faible. On donne une caractérisation de l'état fondamental en terme d'espaces fonctionnels, on démontre sa non dégénérescence presque sûre et on décrit sa fonction d'autocorrélation. Ces résultats permettent d'obtenir une estimée de l'énergie fondamentale par particule comme fonction de la densité de particules dans la limite thermodynamique.

Mémoire numérisé par la Direction des bibliothèques de l'Université de Montréal.

Nous nous intéressons dans un premier temps à l'étude des propriétés spectrale de localisation dynamique pour des opérateurs de Schrödinger ainsi qu'a leurs classifications. Nous introduirons trois classes de propriétés équivalentes en cherchant à établir le lien entre elles d'une façon optimale et illustrée par des contre-exemples. Certaines de ces propriétés s'avèrent jouer un rôle crucial dans l'étude mathématique de plusieurs phénomènes issus de la physique, notamment la quantifi cation de la conductance de Hall et l'apparition des plateaux dûs aux états localisés. Nous nous intéressons ainsi dans la seconde partie, aux conductances de Hall et de bord pour des modèles désordonnés continus et en présence d'un mur électrique aussi bien que magnétique. Nous expliquons comment les murs entrent en jeu pour pouvoir définir la conductance de bord, en tenant compte de la contribution des états localisés et la régularisation que les systèmes désordonnés requièrent. Nous établissons l'égalité de ces deux conductances directement et non par quantification séparée.

Une valeur propre est dite stable si sa multiplicité se maintient par petites perturbations. Cette hypothèse de stabilité dépend en particulier de la perturbation considérée. Nous verrons cela dans l'exemple de la sphère de dimension trois. Après avoir introduit la définition des opérateurs de Schrödinger avec champ magnétique sur une variété Riemannienne puis sur un graphe, nous montrerons que toute valeur propre de la sphère est stable pour les perturbations par champ électromagnétique et que la première valeur propre de la sphère avec champ magnétique constant est stable pour les potentiels. Nous prouverons que la multiplicité maximale de l'état fondamental d'un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur S² est indépendant de la topologie du fibré. Nous montrerons par la suite que la multiplicité maximale de la première valeur propre d'un opérateur de Schrödinger avec champ magnétique sur un graphe est indépendant de sa planarité.

Ce mémoire est composé de deux parties indépendantes. Si les deux sujets traités sont de nature différente, l'étude asymptotique du problème est à chaque fois au centre de la réflexion. Dans la première partie, nous nous intéressons au comportement d'un système composé de deux fluides non miscibles, soumis à la seule force de gravité. Un tel système est utilisé en océanographie, afin de modéliser une étendue d'eau de densité variable. On commence par écrire sous forme agréable les équations d'évolution gouvernant le système. Ensuite, on développe une panoplie de modèles asymptotiques, dans les régimes d'eau peu profonde - où l'on suppose que la profondeur des couches de fluide est petite devant la longueur d'onde caractéristique à l'interface - et d'ondes longues - où l'on ajoute une hypothèse de petitesse des déformations à la surface et à l'interface. Ces modèles sont rigoureusement justifiés, par des résultats de cohérence ou de convergence. Finalement, on s'intéresse particulièrement au phénomène d'eaux mortes, qui se manifeste par une forte résistance à l'avancement subie par un corps naviguant dans des eaux stratifiées. Cette résistance est une conséquence de l'énergie dépensée par le corps pour générer une onde à l'interface entre les deux couches de fluide. Là encore, des modèles asymptotiques sont construits, justifiés rigoureusement et simulés numériquement. Une telle étude nous permet de prédire dans quelles situations le phénomène d'eaux mortes se manifeste. La deuxième partie est dédiée à l'étude de la propagation des ondes dans un milieu non-homogène. La motivation de cette étude se situe dans les cristaux photoniques, dont les propriétés de structure se répercutent sur la propagation des rayons lumineux. Plus particulièrement, nous nous intéressons à l'influence de la présence de défauts dans le matériau, modélisés par des singularités et/ou des discontinuités dans la microstructure. On montre que ces interfaces ont un effet prédominant sur les propriétés asymptotiques du matériau - notamment le coefficient de transmission - lorsque la longueur caractéristique de la microstructure tend vers zéro.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Les contributions de cette thèse portent sur deux sujets.La première partie est dédiée à l'étude de modèles de champ moyen pour la structure électronique de matériaux avec des défauts.Dans le chapitre~ref{chap:ergodic_crystals}, nous introduisons et étudions le modèle de Hartree-Fock réduit (rHF) pour des cristaux désordonnés. Nous prouvons l'existence d'un état fondamental et établissons, pour les interactions de Yukawa (à courte portée), certaines propriétés de cet état. Dans le chapitre~ref{chap:défauts_étendus}, nous considérons des matériaux avec des défauts étendus. Dans le cas des interactions de Yukawa, nous prouvons l'existence d'un état fondamental, solution de l'équation auto-cohérente. Nous étudions également le cas de cristaux avec une faible concentration de défauts aléatoires. Dans le chapitre~ref{chap:numerical_simuation}, nous présentons des résultats de simulations numériques de systèmes aléatoires en dimension un.Dans la deuxième partie, nous étudions des modèles Monte-Carlo cinétique multi-échelles en temps. Nous prouvons, pour les trois modèles présentés au chapitre~ref{chap:kMC}, que les variables lentes convergent, dans la limite de la grande séparation des échelles de temps, vers une dynamique effective. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques.

Le but de cette thèse est de trouver des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs naturels agissant sur les fonctions d’une variété compacte (M; g). Nous étudions l’opérateur de Laplace–Beltrami et des opérateurs du type laplacien. Dans le cas du laplacien, deux aspects sont étudiés. Le premier aspect est d’étudier des relations entre la géométrie intrinsèque et les valeurs propres du laplacien. Nous obtenons des bornes supérieures ne dépendant que de la dimension et d’un invariant conforme qui s’appelle le volume conforme minimal. Asymptotiquement, ces bornes sont consistantes avec la loi de Weyl. Elles améliorent également les résultats de Korevaar et de Yang et Yau. La méthode employée est intéressante en soi. Le deuxième aspect est d’étudier la relation entre la géométrie extrinsèque et les valeurs propres du laplacien agissant sur des sous-variétés compactes de RN et de CPN. Nous étudions un invariant extrinsèque qui s’appele l’indice d’intersection. Pour des sous-variétés compactes de RN, nous généralisons les résultats de Colbois, Dryden et El Soufi et obtenons des bornes supérieures qui sont stables par des petites perturbations. Pour des sous-variétés de CPN, nous obtenons une borne supérieure ne dépendant que du degré des sous-variétés. Pour des opérateur du type laplacien, une modification de notre méthode donne des bornes supérieures pour les valeurs propres des opérateurs de Schrödinger en termes du volume conforme minimal et de l’intégrale du potentiel. Nous obtenons également les bornes supérieures pour les valeurs propres du laplacien de Bakry–Émery dépendant d’invariants conformes. / The purpose of this thesis is to find upper bounds for the eigenvalues of natural operators acting on functions on a compact Riemannian manifold (M; g) such as the Laplace–Beltrami operator and Laplace-type operators. In the case of the Laplace-Beltrami operator, two aspects are investigated: The first aspect is to study relationships between the intrinsic geometry and eigenvalues of the Laplacian operator. In this regard, we obtain upper bounds depending only on the dimension and a conformal invariant called min-conformal volume. Asymptotically, these bounds are consistent with the Weyl law. They improve previous results by Korevaar and Yang and Yau. The method which is introduced to obtain the results, is powerful and interesting in itself. The second aspect is to study the interplay of the extrinsic geometry and eigenvalues of the Laplace–Beltrami operator acting on compact submanifolds of RN and of CPN. We investigate an extrinsic invariant called the intersection index studied by Colbois, Dryden and El Soufi. For compact submanifolds of RN, we extend their results and obtain upper bounds which are stable under small perturbation. For compact submanifolds of CPN, we obtain an upper bound depending only on the degree of submanifolds. For Laplace type operators, a modification of our method lead to have upper bounds for the eigenvalues of Schrödinger operators in terms of the min-conformal volume and integral quantity of the potential. As another application of our method, we obtain upper bounds for the eigenvalues of the Bakry–Émery Laplace operator depending on conformal invariants.

Cette thèse est consacrée à deux types de problèmes.<br />Le premier et principal aspect de ce travail concerne l'analyse semi-classique de la plus petite valeur propre $\la_1(B,\A)$ de la réalisation de Neumann de l'opérateur de Schrödinger magnétique $(i\nabla+B\A)^2$ dans le cas où le champ magnétique $\bbeta=\nabla\times\A$ n'est pas uniforme. Plus précisément, en dimension 2, nous établissons un développement asymptotique à deux termes de $\la_1(B,\A)$ lorsque $B$ tend vers l'infini et démontrons simultanément des résultats de localisation pour les premières fonctions propres correspondantes ; pour ce qui est du problème en dimension 3, nous étudions d'une part des estimations uniformes pour une famille de champs magnétiques d'intensité constante (en vue de l'application à une famille spéciale apparaissant à l'occasion de la théorie des cristaux liquides) et d'autre part nous nous plaçons dans des hypothèses génériques sur le champ magnétique et prouvons une majoration qui laisse conjecturer l'expression des deuxième et troisième termes du développement asymptotique.<br />Le deuxième aspect de cette thèse est l'étude de la transition de phase en théorie des cristaux liquides. Nous mettons en évidence une température critique pour la fonctionnelle de Landau-de Gennes qui permet de déterminer, lorsque certains coefficients de la fonctionnelle appelés constantes d'élasticité explosent, la phase dans laquelle se trouve le cristal liquide (nématique ou smectique). Par ailleurs, nous sommes amenés à introduire une nouvelle fonctionnelle (en imposant une condition de Dirichlet non homogène) en vue d'obtenir des informations plus quantitatives.

Cette thèse introduit une nouvelle méthode d'analyse de signaux, appelée SCSA, basée sur une quantification semi-classique. L'idée principale de la SCSA consiste à interpréter un signal en forme d'impulsions comme un puits de potentiel pour une particule semi-classique et à le représenter par les niveaux d'énergie discrets associés donnés par le spectre discret d'un opérateur de Schrödinger. La SCSA est une première étape vers une approximation par solitons (potentiels sans réflexion), qui définit une représentation parcimonieuse du signal, intéressante pour des applications en traitement du signal, par exemple la compression de données. Ce travail propose aussi un algorithme numérique pour l'estimation de signaux par la SCSA et présente les résultats de l'analyse des signaux de pression artérielle par cette méthode. En plus de la reconstruction satisfaisante de ces signaux, la SCSA introduit de nouveaux indices qui semblent véhiculer des informations physiologiques importantes.