Cette thèse traite des aspects géométriques et d'intégrabilité associés aux modèles de matrices aléatoires. Son but est de présenter diverses applications des modèles de matrices aléatoires allant de la géométrie algébrique aux équations aux dérivées partielles des systèmes intégrables. Ces différentes applications permettent en particulier de montrer en quoi les modèles de matrices possèdent une grande richesse d'un point de vue mathématique. Ainsi, cette thèse abordera d'abord l'étude de la jonction de deux intervalles du support de la densité des valeurs propres au voisinage d'un point singulier. On montrera plus précisément en quoi ce régime limite particulier aboutit aux équations universelles de la hiérarchie de Painlevé II des systèmes intégrables. Ensuite, l'approche des polynômes (bi)-orthogonaux, introduite par Mehta pour le calcul des fonctions de partition, permettra d'énoncer des problèmes de Riemann-Hilbert et d'isomonodromies associés aux modèles de matrices, faisant ainsi le lien avec la théorie de Jimbo-Miwa-Ueno. On montrera en particulier que le cas des modèles à deux matrices hermitiens se transpose à un cas dégénéré de la théorie isomonodromique de Jimbo-Miwa-Ueno qui sera alors généralisé. La méthode des équations de boucles avec ses notions centrales de courbe spectrale et de développement topologique permettra quant à elle de faire le lien avec les invariants symplectiques de géométrie algébrique introduits récemment par Eynard et Orantin. Ce dernier point fera également l'objet d'une généralisation aux modèles de matrices non-hermitien (beta quelconque) ouvrant ainsi la voie à la ``géométrie algébrique quantique'' et à la généralisation de ces invariants symplectiques pour des courbes ``quantiques''. Enfin, une dernière partie sera consacrée aux liens étroits entre les modèles de matrices et les problèmes de combinatoire. En particulier, l'accent sera mis sur les aspects géométriques de la théorie des cordes topologiques avec la construction explicite d'un modèle de matrices aléatoires donnant le dénombrement des invariants de Gromov-Witten pour les variétés de Calabi-Yau toriques de dimension complexe trois utilisées en théorie des cordes topologiques. L'étendue des domaines abordés étant très vaste, l'objectif de la thèse est de présenter de façon la plus simple possible chacun des domaines mentionnés précédemment et d'analyser en quoi les modèles de matrices peuvent apporter une aide précieuse dans leur résolution. Le fil conducteur étant les modèles matriciels, chaque partie a été conçue pour être abordable pour un spécialiste des modèles de matrices ne connaissant pas forcément tous les domaines d'application présentés ici. / This thesis deals with the geometric and integrable aspects associated with random matrix models. Its purpose is to provide various applications of random matrix theory, from algebraic geometry to partial differential equations of integrable systems. The variety of these applications shows why matrix models are important from a mathematical point of view. First, the thesis will focus on the study of the merging of two intervals of the eigenvalues density near a singular point. Specifically, we will show why this special limit gives universal equations from the Painlevé II hierarchy of integrable systems theory. Then, following the approach of (bi) orthogonal polynomials introduced by Mehta to compute partition functions, we will find Riemann-Hilbert and isomonodromic problems connected to matrix models, making the link with the theory of Jimbo, Miwa and Ueno. In particular, we will describe how the hermitian two-matrix models provide a degenerate case of Jimbo-Miwa-Ueno's theory that we will generalize in this context. Furthermore, the loop equations method, with its central notions of spectral curve and topological expansion, will lead to the symplectic invariants of algebraic geometry recently proposed by Eynard and Orantin. This last point will be generalized to the case of non-hermitian matrix models (arbitrary beta) paving the way to ``quantum algebraic geometry'' and to the generalization of symplectic invariants to ``quantum curves''. Finally, this set up will be applied to combinatorics in the context of topological string theory, with the explicit computation of an hermitian random matrix model enumerating the Gromov-Witten invariants of a toric Calabi-Yau threefold. Since the range of the applications encountered is large, we try to present every domain in a simple way and explain how random matrix models can bring new insights to those fields. The common element of the thesis being matrix models, each part has been written so that readers unfamiliar with the domains of application but familiar with matrix models should be able to understand it. / Travail réalisé en cotutelle avec l'université Paris-Diderot et le Commissariat à l'Energie Atomique sous la direction de John Harnad et Bertrand Eynard.

Made available in DSpace on 2014-06-11T19:26:56Z (GMT). No. of bitstreams: 0 Previous issue date: 2009-02-27Bitstream added on 2014-06-13T20:16:04Z : No. of bitstreams: 1 nunes_jb_me_sjrp.pdf: 1005590 bytes, checksum: 7da54a97a1f2ab452a315062071f2c4e (MD5) / Este trabalho trata do estudo da localização dos zeros dos polinômios gerados por uma determinada relação de recorrência de três termos. O objetivo principal é estudar limitantes, em termos dos coeficientes da relação de recorrência, para as regiões onde os zeros estão localizados. Os zeros são explorados atravé do problema de autovalor associado a uma matriz de Hessenberg. As aplicações são consideradas para polinômios de Szego fSng, alguns polinômios para- ortogonais ½Sn(z) + S¤n (z) 1 + Sn(0) ¾ e ½Sn(z) ¡ S¤n (z) 1 ¡ Sn+1(0) ¾, especialmente quando os coeficientes de reflexão são reais. Um outro caso especial considerado são os zeros do polinômio Pn(z) = n Xm=0 bmzm, onde os coeficientes bm; para m = 0; 1; : : : ; n, são complexos e diferentes de zeros. / In this work we studied the localization the zeros of polynomials generated by a certain three term recurrence relation. The main objective is to study bounds, in terms of the coe±cients of the recurrence relation, for the regions where the zeros are located. The zeros are explored through an eigenvalue representation associated with a Hessenberg matrix. Applications are considered to Szeg}o polynomials fSng, some para-orthogonal polyno- mials ½Sn(z) + S¤n (z) 1 + Sn(0) ¾and ½Sn(z) ¡ S¤n (z) 1 ¡ Sn+1(0) ¾, especially when the re°ection coe±cients are real. As another special case, the zeros of the polynomial Pn(z) = n Xm=0 bmzm, where the non-zero complex coe±cients bm for m = 0; 1; : : : ; n, were considered.

Uma questão interessante na política monetária é se os Bancos Centrais dão pesos iguais para desvios positivos e negativos da inflação e do hiato do produto das suas respectivas metas. Para responder à esta questão, estimou-se a função perda da autoridade monetária não parametricamente através do método de sieve estimator, expandindo-a através de uma base composta de polinômios ortogonais. A economia foi modelada com agentes foward-looking e com comprometimento por parte da autoridade monetária. O método foi aplicado para a os Estados Unidos desde 1960 e para o Brasil a partir de 1999. Para a economia norte-americana não foram encontradas evidências de assimetria nas preferências da autoridade monetária. Já no Brasil o Banco Central mostrou ter preferências assimétricas quanto à inflação, auferindo uma maior perda de desvios negativos do que positivos em relação à meta. / An interesting question in monetary policy is whether the Central Bank gives equal weights to positive and negative deviations of inflation and output gap from their targets. Trying answering this question, we estimated the monetary authority’s loss function nonparametrically, using the method of sieves, expanding it with orthogonal polynomials. The economy was model with forward-looking agents and with commitment of the monetary authority. We applied the method to U.S. monetary policy since 1960 and for Brazil since 1999. For the U.S. economy, it was not found evidence of asymmetry in the preferences of the monetary authority. In Brazil, the Central Bank proved to have asymmetric preferences about inflation, with a greater loss for negative deviations of inflation from the target rather for positive ones.

Orientador: Eliana Xavier Linhares de Andrade / Banca: Alagacone Sri Ranga / Banca: Andre Piranhe da Silva / Resumo: Este trabalho trata do estudo da localização dos zeros dos polinômios gerados por uma determinada relação de recorrência de três termos. O objetivo principal é estudar limitantes, em termos dos coeficientes da relação de recorrência, para as regiões onde os zeros estão localizados. Os zeros são explorados atravé do problema de autovalor associado a uma matriz de Hessenberg. As aplicações são consideradas para polinômios de Szeg"o fSng, alguns polinômios para- ortogonais ½Sn(z) + S¤n (z) 1 + Sn(0) ¾ e ½Sn(z) ¡ S¤n (z) 1 ¡ Sn+1(0) ¾, especialmente quando os coeficientes de reflexão são reais. Um outro caso especial considerado são os zeros do polinômio Pn(z) = n Xm=0 bmzm, onde os coeficientes bm; para m = 0; 1; : : : ; n, são complexos e diferentes de zeros. / Abstract: In this work we studied the localization the zeros of polynomials generated by a certain three term recurrence relation. The main objective is to study bounds, in terms of the coe±cients of the recurrence relation, for the regions where the zeros are located. The zeros are explored through an eigenvalue representation associated with a Hessenberg matrix. Applications are considered to Szeg}o polynomials fSng, some para-orthogonal polyno- mials ½Sn(z) + S¤n (z) 1 + Sn(0) ¾and ½Sn(z) ¡ S¤n (z) 1 ¡ Sn+1(0) ¾, especially when the re°ection coe±cients are real. As another special case, the zeros of the polynomial Pn(z) = n Xm=0 bmzm, where the non-zero complex coe±cients bm for m = 0; 1; : : : ; n, were considered. / Mestre

Uma questão interessante na política monetária é se os Bancos Centrais dão pesos iguais para desvios positivos e negativos da inflação e do hiato do produto das suas respectivas metas. Para responder à esta questão, estimou-se a função perda da autoridade monetária não parametricamente através do método de sieve estimator, expandindo-a através de uma base composta de polinômios ortogonais. A economia foi modelada com agentes foward-looking e com comprometimento por parte da autoridade monetária. O método foi aplicado para a os Estados Unidos desde 1960 e para o Brasil a partir de 1999. Para a economia norte-americana não foram encontradas evidências de assimetria nas preferências da autoridade monetária. Já no Brasil o Banco Central mostrou ter preferências assimétricas quanto à inflação, auferindo uma maior perda de desvios negativos do que positivos em relação à meta. / An interesting question in monetary policy is whether the Central Bank gives equal weights to positive and negative deviations of inflation and output gap from their targets. Trying answering this question, we estimated the monetary authority’s loss function nonparametrically, using the method of sieves, expanding it with orthogonal polynomials. The economy was model with forward-looking agents and with commitment of the monetary authority. We applied the method to U.S. monetary policy since 1960 and for Brazil since 1999. For the U.S. economy, it was not found evidence of asymmetry in the preferences of the monetary authority. In Brazil, the Central Bank proved to have asymmetric preferences about inflation, with a greater loss for negative deviations of inflation from the target rather for positive ones.

Uma questão interessante na política monetária é se os Bancos Centrais dão pesos iguais para desvios positivos e negativos da inflação e do hiato do produto das suas respectivas metas. Para responder à esta questão, estimou-se a função perda da autoridade monetária não parametricamente através do método de sieve estimator, expandindo-a através de uma base composta de polinômios ortogonais. A economia foi modelada com agentes foward-looking e com comprometimento por parte da autoridade monetária. O método foi aplicado para a os Estados Unidos desde 1960 e para o Brasil a partir de 1999. Para a economia norte-americana não foram encontradas evidências de assimetria nas preferências da autoridade monetária. Já no Brasil o Banco Central mostrou ter preferências assimétricas quanto à inflação, auferindo uma maior perda de desvios negativos do que positivos em relação à meta. / An interesting question in monetary policy is whether the Central Bank gives equal weights to positive and negative deviations of inflation and output gap from their targets. Trying answering this question, we estimated the monetary authority’s loss function nonparametrically, using the method of sieves, expanding it with orthogonal polynomials. The economy was model with forward-looking agents and with commitment of the monetary authority. We applied the method to U.S. monetary policy since 1960 and for Brazil since 1999. For the U.S. economy, it was not found evidence of asymmetry in the preferences of the monetary authority. In Brazil, the Central Bank proved to have asymmetric preferences about inflation, with a greater loss for negative deviations of inflation from the target rather for positive ones.

O principal objetivo deste trabalho 6 estudar o comportamento dos zeros de polinômios ortogonais e similares. Inicialmente, consideramos uma relação entre duas sequências ele polinômios ortogonais, onde as medidas associadas estão relacionadas entre si. Usamos esta relação para estudar as propriedades de monotonicidade dos zeros dos polinômios ortogonais relacionados a uma medida obtida através da generalização da medida associada a uma outra sequência de polinômios ortogonais. Apresentamos, como exemplos, os polinômios ortogonais obtidos a partir da generalização das medidas associadas aos polinômios de Jacobi, Laguerre e Charlier. Em urna segunda etapa, consideramos polinômios gerados por uma certa relação de recorrência de três termos com o objetivo de encontrar limitantes, em termos dos coeficientes da relação de recorrência, para as regiões onde os zeros estão localizados. Os zeros são estudados através do problema de autovalor associado a uma matriz de Hessenberg. Aplicações aos polinômios de Szegó, polinômios para-ortogonais e polinômios com coeficientes complexos não-nulos são consideradas. / The main purpose of this work is to study the behavior of the zeros of orthogonal and similar polynomials. Initially, we consider a relation between two sequences of orthogonal polynomials, where the associated measures are related to each other. We use this relation to study the monotonicity propertios of the zeros of orthogonal polynomials related with a measure obtained through a generalization of the measure associated with other sequence of orthogonal polynomials. As examples, we consider the orthogonal polynomials obtained in this way from the measures associated with the Jacobi, Laguerre and Charlier polynomials. We also consider the zeros of polynomials generated by a certain three term recurrence relation. Here, the main objective is to find bounds, in terms of the coefficients of the recurrence relation, for the regions where the zeros are located. The zeros are explored through an eigenvalue representation associated with a Hessenberg matrix. Applications to Szegõ polynomials, para-orthogonal polynomials anti polynomials with non-zero complex coefficients are considered.

A reconstrução de superfícies a partir de nuvens de pontos faz parte de um novo paradigma de modelagem em que modelos computacionais para objetos reais são reconstruídos a partir de dados amostrados sobre a superfície dos mesmos. O principal problema que surge nesse contexto é o fato de que não são conhecidas relações de conectividade entre os pontos que compõe a amostra. Os objetivos do presente trabalho são estudar métodos implícitos para a reconstrução de superfícies e propor algumas melhorias pouco exploradas por métodos já existentes. O uso de funções implícitas no contexto da reconstrução conduz a métodos mais robustos em relação a ruídos, no entanto, uma das principais desvantagens de tais métodos está na dificuldade de capturar detalhes finos e sharp features. Nesse sentido, o presente trabalho propõe o uso de abordagens adaptativas, tanto na poligonalização de superfícies quanto na aproximação de superfícies. Além disso, questões relativas à robustez das soluções locais e à qualidade da malha também são abordadas. Por fim, o método desenvolvido é acoplado aumsoftware traçador de raios afimde se obterumamaneira de modelar cenas tridimensionais utilizando nuvens de pontos, além dos objetos gráficos tradicionais. Os resultados apresentados mostram que muitas das soluções propostas oferecem um incremento à qualidade dos métodos de reconstrução anteriormente propostos / Surface reconstruction from point clouds is part of a new modeling paradigm in which computational models for real objects are reconstructed from data sampled from their surface. The main problem that arises in this context is the fact that there are no known connectivity relationships amongst the points that compose the sample. The objectives of the present work are to study implicit methods for surface reconstruction and to propose some improvements scarcely explored by previous work. The use of implicit functions in the context of surface reconstruction leads to less noise sensitive methods; however, one major drawback of such methods is the difficulty in capturing fine details and sharp features. Towards this, the present work proposes the use of adaptive approaches, not only in the polygonization but also in the surface approximation. Besides, robustness issues in local solutions and mesh quality are also tackled. Finally, the developed method is embedded in a ray tracer software in order to set a basis for modeling tridimensional scenes using point sets, in addition to traditional graphic objects. The presented results show that a great deal of the proposed solutions offer a quality increase to the reconstruction method previously proposed

[pt] Este trabalho tem por objetivo investigar a redução do custo computacional associado ao cálculo das principais estatísticas das saídas dos modelos de propagação de incertezas. Para tal, apresentamos uma implementação alternativa ao método tradicional de Monte Carlo, chamado Caos Polinomial; que é adequado a problemas onde o número de variáveis de incerteza não é muito alto. No método Caos Polinomial, o valor esperado e a variância das saídas do simulador são diretamente estimados, como funções de distribuições de probabilidade de variáveis de incerteza na entrada do simulador. A principal vantagem do método de Caos Polinomial é que o número de pontos necessários para uma boa estimativa das estatísticas da saída de um simulador, comparado com Monte Carlo, é menor. Aplicações de Caos Polinomial em reservatórios de petróleo serão apresentadas para a propagação de até quatro variáveis, apesar do método poder ser aplicado a problemas de dimensões maiores. Nossos principais resultados são aplicados a dois modelos de reservatórios de petróleo sintéticos. / [en] In this work we investigate the reduction of the computational cost of the calculus of statistical moments of simulator s output in uncertainties propagation s models. For do that, we present an alternative s implementation to the traditional Monte Carlo s Method, called Polynomial Chaos; that is adequate to problems where the number of uncertain variables is not so high. In the Polynomial Chaos method, the expectation and the variance of the simulator s output are directly estimated, as functions of the probability distribuition of the uncertain variables in simulator input. The great advantage of Polynomial Chaos is that number of points necessary for a good estimation of the output statistics have smaller magnitude, compared to the Monte Carlo Method. Applications of Polynomial Chaos on oil reservoir simulations will be presented. As it is just a preliminar implementation, we just treat propagation s problems with at most four uncertainties variables, despite of the method being applicable to problems with more dimensions. Our main results are applied to two models of synthetic oil reservoirs.

[pt] Estudamos as noções básicas da Teoria das Matrizes Aleatórias e em particular discutimos o Emsemble Unitário Gaussiano. A continuação descrevemos o gaz de Dyson em equilíbrio e fora do equilíbrio que permite interpretar a informação estatística dos autovalores das matrizes aleatórias. Além desso mostramos descrições alternativas dessa informação estatística. Em seguida discutimos aspectos diferentes dos polinômios ortogonais. Uma dessas caracterizações é dada pelos problemas de Riemann-Hilbert. As técnicas dos problemas de Riemann-Hilbert são uma ferramenta eficaz e potente na Teoria das Matrizes Aleatórias a qual discutimos com mais cuidado. Finalmente usamos o método de máxima gradiente na análise assintótico dos polinômios ortogonais. / [en] We review the basic notions of the Random Matrix Theory and in particular the Gaussian Unitary Ensemble. In what follows we describe the Dyson gas in equilibrium and nonequilibrium that allows one to interpret the statistical information of the eigenvalues of random matrices. Furthermore we show alternative descriptions of this statistical information. In the following we discuss different aspects of orthogonal polynomials. One of these caracterizations is given by a Riemann Hilbert problem. Riemann Hilbert problem techniques are an efficient and powerfull tool for Random Matrix Theory which we discuss in more detail. In the final part we use the steepest descent method in the asymptotic analysis of orthogonal polynomials.