The article solves the riddle of the fine structure constants with the help of the Planck units, derives its physical meaning and shows the consequences.:Abstract Introduction What is the fine structure constant? Consequence from the existence of the fine structure constant.

This communication will demonstrate the existence of a thermodynamic molecular switch in the pairwise, sequence-specific hydrophobic interaction of Ile-Ile, Leu-Ile, Val-Leu, or Ala-Leu over the temperature range of 273-333 K reported by Nemethy and Scheraga in 1962. Based on Chun's development of the Planck-Benzinger methodology, the change in inherent chemical bond energy at 0 K, ΔH°(T0), is 3.0 kcal mol-1 for Ile-Ile, 2.4 for Leu-Ile, 1.8 for Val-Leu, and 1.2 kcal mol-1 for Ala-Leu. The value of ΔH°(T0) decreases as the length of the hydrophobics side chain decreases. It is clear that the strength and stability of the hydrophobic interaction is determined by the packing density of the side chains, with Ala-Leu being the most stable. At , the thermal agitation energy, ∫0T ΔCp°(T)dT, is about five times greater than ΔH°(T0) in each case. Additionally, the thermal agitation energy for the same series, evaluated at , decreases in the same order, that is, as the length of the side chain decreases. This pairwise, sequence-specific hydrophobic interaction is highly similar in its thermodynamic behavior to that of other biological systems, except that the negative Gibbs free energy change minimum at occurs at a considerably higher temperature, 355 K compared to about 300 K. The melting temperature, , is also high, 470K compared to 343 K in a biological system. The implication is that the negative Gibbs free energy minimum at a well-defined >Ts> has it origin in the hydrophobic interactions, which are highly dependent on details of molecular structure. In addition to the four specific dipeptide interactions described, we have shown in our unpublished work the existence of a thermodynamic molecular switch in the interactions of 32 dipeptides wherein a change of sign in ΔCp°(T)reaction leads to a true negative minimum in the Gibbs free energy of reaction, and hence, a maximum in the related Keq. Indeed, all interacting biological systems that we have thus far examined using the Planck-Benzinger approach point to the universality of thermodynamic molecular switches.

The goal of nuclear fusion research is to create a clean and virtually limitless energy source. In order to that, a plasma must be heated to hundreds of millions degrees Celsius. A commonly used heating mechanism is ion cyclotron resonance heating, where antennas emit radio waves into the plasma. The wave can resonate with the ions at their cyclotron frequency, which leads to wave absorption. In order to investigate and improve the heating, one can perform computer simulations. FEMIC is a finite element model for ICRH that calculates the wave field created by the antennas. However, this code does not take into account how the wave modifies the velocity distribution of the plasma. Therefore, a time-independent Fokker-Planck solver is implemented that computes the fast ion distribution due to the incident wave field calculated with FEMIC. The novelty of this code is to include Doppler shift, which influences where ions resonate and how they are heated. / Målet med fusionsforskningen är att skapa en ren energikälla som kan producera obegränsade mängder energi. För detta krävs att ett plasma värms till hundratals miljoner grader Celsius. En vanlig teknik för att värma plasmat är joncyklotronuppvärmning, där en antenn emitterar radiovågor som propagerar in i plasmat. Om vågen är i resonans med jonernas cyklotronrörelse leder detta till att vågen absorberas av jonerna. För att studera och utveckla denna uppvärmningsteknik kan man använda datorsimuleringar. FEMIC är en kod baserad på den finita elementmetoden som beräknar vågfälten som skapas av antennen. Med denna kod kan vi dock inte beräkna hur vågen påverkar jonernas fördelningsfunktioner. Därför har en Fokker-Planck-lösare implementerats som kan beräkna fördelningen av snabba joner som accelererats av vågfältet från FEMIC. Det nya i denna modell är att koden tar hänsyn till Dopplerskiftet, vilket påverkar var jonerna är i resonans med vågen och hur de värms upp.

We consider three different phenomena governing the fluid flow in the presence of charged particles: electroconvection in fluids, electroconvection in porous media, and electrodiffusion. Electroconvecton in fluids is mathematically represented by a nonlinear drift-diffusion partial differential equation describing the time evolution of a surface charge density in a two-dimensional incompressible fluid. The velocity of the fluid evolves according to Navier-Stokes equations forced nonlinearly by the electrical forces due to the presence of the charge density. The resulting model is reminiscent of the quasi-geostrophic equation, where the main difference resides in the dependence of the drift velocity on the charge density. When the fluid flows through a porous medium, the velocity and the electrical forces are related according to Darcy’s law, which yields a challenging doubly nonlinear and doubly nonlocal model describing electroconvection in porous media. A different type of particle-fluid interaction, called electrodiffusion, is also considered. This latter phenomenon is described by nonlinearly advected and nonlinearly forced continuity equations tracking the time evolution of the concentrations of many ionic species having different valences and diffusivities and interacting with an incompressible fluid. This work is based on [1, 2, 3] and addresses the global well-posedness, long-time dynamics, and other features associated with the aforementioned three models. REFERENCES:[1] E. Abdo, M. Ignatova, Long time dynamics of a model of electroconvection, Trans. Amer. Math. Soc. 374 (2021), 5849–5875. [2] E. Abdo, M. Ignatova, Long Time Finite Dimensionality in Charged Fluids, Nonlinearity 34 (9) (2021), 6173–6209. [3] E. Abdo, M. Ignatova, On Electroconvection in Porous Media, to appear in Indiana University Mathematics Journal (2023). / Mathematics

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In this thesis, a variety of Fokker--Planck (FP) optimal control problems are investigated. Main emphasis is put on a first-- and second--order analysis of different optimal control problems, characterizing optimal controls, establishing regularity results for optimal controls, and providing a numerical analysis for a Galerkin--based numerical scheme. The Fokker--Planck equation is a partial differential equation (PDE) of linear parabolic type deeply connected to the theory of stochastic processes and stochastic differential equations. In essence, it describes the evolution over time of the probability distribution of the state of an object or system of objects under the influence of both deterministic and stochastic forces. The FP equation is a cornerstone in understanding and modeling phenomena ranging from the diffusion and motion of molecules in a fluid to the fluctuations in financial markets. Two different types of optimal control problems are analyzed in this thesis. On the one hand, Fokker--Planck ensemble optimal control problems are considered that have a wide range of applications in controlling a system of multiple non--interacting objects. In this framework, the goal is to collectively drive each object into a desired state. On the other hand, tracking--type control problems are investigated, commonly used in parameter identification problems or stemming from the field of inverse problems. In this framework, the aim is to determine certain parameters or functions of the FP equation, such that the resulting probability distribution function takes a desired form, possibly observed by measurements. In both cases, we consider FP models where the control functions are part of the drift, arising only from the deterministic forces of the system. Therefore, the FP optimal control problem has a bilinear control structure. Box constraints on the controls may be present, and the focus is on time--space dependent controls for ensemble--type problems and on only time--dependent controls for tracking--type optimal control problems. In the first chapter of the thesis, a proof of the connection between the FP equation and stochastic differential equations is provided. Additionally, stochastic optimal control problems, aiming to minimize an expected cost value, are introduced, and the corresponding formulation within a deterministic FP control framework is established. For the analysis of this PDE--constrained optimal control problem, the existence, and regularity of solutions to the FP problem are investigated. New $L^\infty$--estimates for solutions are established for low space dimensions under mild assumptions on the drift. Furthermore, based on the theory of Bessel potential spaces, new smoothness properties are derived for solutions to the FP problem in the case of only time--dependent controls. Due to these properties, the control--to--state map, which associates the control functions with the corresponding solution of the FP problem, is well--defined, Fréchet differentiable and compact for suitable Lebesgue spaces or Sobolev spaces. The existence of optimal controls is proven under various assumptions on the space of admissible controls and objective functionals. First--order optimality conditions are derived using the adjoint system. The resulting characterization of optimal controls is exploited to achieve higher regularity of optimal controls, as well as their state and co--state functions. Since the FP optimal control problem is non--convex due to its bilinear structure, a first--order analysis should be complemented by a second--order analysis. Therefore, a second--order analysis for the ensemble--type control problem in the case of $H^1$--controls in time and space is performed, and sufficient second--order conditions are provided. Analogous results are obtained for the tracking--type problem for only time--dependent controls. The developed theory on the control problem and the first-- and second--order optimality conditions is applied to perform a numerical analysis for a Galerkin discretization of the FP optimal control problem. The main focus is on tracking-type problems with only time--dependent controls. The idea of the presented Galerkin scheme is to first approximate the PDE--constrained optimization problem by a system of ODE--constrained optimization problems. Then, conditions on the problem are presented such that the convergence of optimal controls from one problem to the other can be guaranteed. For this purpose, a class of bilinear ODE--constrained optimal control problems arising from the Galerkin discretization of the FP problem is analyzed. First-- and second--order optimality conditions are established, and a numerical analysis is performed. A discretization with linear finite elements for the state and co--state problem is investigated, while the control functions are approximated by piecewise constant or piecewise quadratic continuous polynomials. The latter choice is motivated by the bilinear structure of the optimal control problem, allowing to overcome the discrepancies between a discretize--then--optimize and optimize--then--discretize approach. Moreover, second--order accuracy results are shown using the space of continuous, piecewise quadratic polynomials as the discrete space of controls. Lastly, the theoretical results and the second--order convergence rates are numerically verified. / In dieser Dissertation werden verschiedene Fokker--Planck (FP) optimale Steuerungsprobleme untersucht. Die Schwerpunkte liegen auf einer Analyse von Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung, der Charakterisierung optimaler Steuerungen, dem Herleiten höhere Regularität von optimalen Kontrollen sowie einer theoretischen numerischen Analyse für ein numerisches Verfahren basierend auf einer Galerkin Approximation. Die Fokker--Planck Gleichung ist eine lineare, parabolische, partielle Differentialgleichung (PDE), die aus dem Gebiet stochastischer Differentialgleichungen und stochastischer Prozesse stammt. Im Wesentlichen beschreibt sie die zeitliche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Zustands eines Objekts bzw. eines Systems von Objekten unter dem Einfluss sowohl deterministischer als auch stochastischer Kräfte. Die Fokker--Planck Gleichung ist ein Eckpfeiler zum Verständnis und Modellieren von Phänomenen, die von der Diffusion und Bewegung von Molekülen in einer Flüssigkeit bis hin zu den Schwankungen in Finanzmärkten reichen. Zwei verschiedene Arten von optimalen Kontrollproblemen werden in dieser Arbeit umfassend analysiert. Einerseits werden Fokker--Planck Ensemble Steuerungsprobleme betrachtet, die in der Kontrolle von Systemen mit mehreren nicht wechselwirkenden Objekten vielfältige Anwendungen haben. In diesem Gebiet ist das Ziel, alle Objekte gemeinsam in einen gewünschten Zustand zu lenken. Andererseits werden Tracking Kontrollprobleme untersucht, die häufig bei Parameteridentifikationsproblemen auftreten oder aus dem Bereich inverser Probleme stammen. Hier besteht das Ziel darin, bestimmte Parameter oder Funktionen der Fokker--Planck Gleichung derart zu bestimmen, dass die resultierende Wahrscheinlichkeitsverteilung eine gewünschte Form annimmt, welche beispielsweise durch Messungen beobachtet wurde. In beiden Fällen betrachten wir FP Modelle, bei denen die Kontrollfunktion Teil des sogenannten Drifts ist, das heißt der Teil, der nur aus den deterministischen Kräften des Systems resultiert. Daher hat das FP Kontrollproblem eine bilineare Struktur. Untere und obere Schranken für die Kontrollfunktionen können vorhanden sein, und der Fokus liegt auf zeit-- und raumabhängigen Steuerungen für Ensemble Kontrollprobleme, sowie auf nur zeitlich abhängigen Steuerungen für Tracking Kontrollprobleme. Am Anfang der Dissertation wird ein Beweis für den Zusammenhang zwischen der FP Gleichung und stochastischen Differentialgleichungen dargelegt. Darüber hinaus werden stochastische optimale Steuerungsprobleme eingeführt, deren Ziel es ist, einen erwarteten Kostenwert zu minimieren. Zusätzlich wird das Problem als ein deterministisches FP Kontrollproblem formuliert. Für die Analyse dieses Kontrollproblems wird die Existenz und Regularität von Lösungen für die FP Differentialgleichung untersucht. Neue $L^\infty$--Abschätzungen für Lösungen werden für niedrige Raumdimensionen unter schwachen Annahmen an den Drift bewiesen. Zusätzlich werden, basierend auf der Theorie über Bessel Potentialräume, neue Glattheitseigenschaften für Lösungen des FP--Problems im Falle zeitabhängiger Steuerungen erarbeitet. Aufgrund dieser Eigenschaften ist die sogenannte control--to--state Abbildung, welche die Kontrollfunktion mit der entsprechenden Lösung des FP Problems verknüpft, wohldefiniert, Fréchet--differenzierbar und kompakt für geeignete Lebesgue--Räume oder Sobolev--Räume. Die Existenz optimaler Steuerungen wird unter verschiedenen Annahmen an den Funktionenraum der Kontrollen und des Kostenfunktionals bewiesen. Optimalitätsbedingungen erster Ordnung werden unter Verwendung des adjungierten Systems aufgestellt. Die daraus resultierende Charakterisierung optimaler Steuerungen wird genutzt, um eine höhere Regularität optimaler Steuerungen sowie ihrer Zustandsfunktion und des adjungierten Problems zu erhalten. Da das FP Kontrollproblem aufgrund der bilinearen Struktur nicht konvex ist, sollte eine Analyse von Optimalitätsbedingungen erster Ordnung durch eine Analyse von Optimalitätsbedingungen zweiter Ordnung ergänzt werden. Dies wird für das Ensemble Kontrollproblem im Fall von zeit-- und ortsabhängigen Steuerungen mit $H^1$--Regularität durchgeführt, und hinreichende Bedingungen für lokale Minimierer werden hergeleitet. Analoge Ergebnisse werden für das Tracking--Problem für nur zeitabhängige Steuerungen bewiesen. Die entwickelte Theorie zu diesem optimalen Steuerungsproblem und dessen Optimalitätsbedingungen wird angewendet, um eine numerische Analyse für eine Galerkin--Diskretisierung des FP Kontrollproblems durchzuführen. Der Schwerpunkt liegt auf Tracking--Problemen mit nur zeitabhängigen Steuerungen. Die Idee des vorgestellten Galerkin--Verfahrens besteht darin, das PDE--Optimierungsproblem zunächst durch ein System von Optimierungsproblemen mit gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODE) als Nebenbedingung zu approximieren. Dann werden Bedingungen an das Problem präsentiert, sodass die Konvergenz optimaler Steuerungen von einem Problem zum anderen garantiert werden kann. Zu diesem Zweck wird eine Klasse bilinearer ODE--Kontrollprobleme analysiert, welche sich aus der Galerkin--Diskretisierung des FP Problems ergeben. Optimalitätsbedingungen erster und zweiter Ordnung werden bewiesen, und eine numerische Analyse wird durchgeführt. Eine Diskretisierung mit linearen Finiten--Elementen der Zustands-- und Adjungiertengleichung wird untersucht, während die Kontrollfunktionen durch stückweise konstante oder stetige, stückweise quadratische Polynome approximiert werden. Diese Wahl wird durch die bilineare Struktur des optimalen Kontrollproblems begründet, da sie es ermöglicht, die Diskrepanzen zwischen einem Ansatz von ,,zuerst diskretisieren dann optimieren" und ,,zuerst optimieren, dann diskretisieren" zu überwinden. Durch die Verwendung stetiger, stückweise quadratischer Polynome als Diskretisierung der Steuerungen kann außerdem quadratische Konvergenzordnung gezeigt werden. Abschließend werden die theoretischen Ergebnisse und die Konvergenzraten zweiter Ordnung numerisch verifiziert.

Es besteht enormes Interesse den Stofftransport in nanoskaligen Systemen zu verstehen und selektiv zu steuern, um analytische und synthetische Anwendungen zu entwickeln, aber auch um die physiologischen Prozesse lebender Zellen zu entschlüsseln. Im Rahmen dieser Arbeit wurde der Einfluss der elektrochemischen Doppelschicht an ausgewählten nanoskaligen Elektrolytsystemen untersucht. Die Gleichrichtung von Ionenströmen (engl. Ionic Current Rectification ICR) in Nanoporen mit einer Oberflächenladung äußert sich in einer gekrümmten Strom-Spannungs-Kurve. Die Überlappung von innerem und äußerem Potential ist dabei hinsichtlich der Ionenverteilung und somit der Porenleitfähigkeit einander verstärkend oder gegenläufig. Auf Grundlage dieses Mechanismus wurde die Gleichrichtung bei einem sehr großen Verhältnis von Porenöffnung zu Debye-Länge erklärt. Ferner wurde mittels der eingeführten relativen Leitfähigkeit κ´ die verschiedenen Leitfähigkeitszustände in Abhängigkeit der Elektrolytkonzentration und Temperatur sichtbar gemacht und Implikationen für Sensoranwendungen wie z.B. dem resistiven Pulszähler zur Partikelanalyse abgeleitet. Es wurde ein numerisches Modell basierend auf dem Poisson-Nernst-Planck-Gleichungssystem entwickelt, um die Translokation eines Nanopartikels durch eine konische Nanopore bei einer geringen Leitsalzkonzentration zu beschreiben. Neben dem klassischen Volumenausschluss-Effekt tritt zusätzlich ein Gleichrichtungseffekt (ICR-Effekt) in der Pore auf. Eine Analyse zur Entflechtung von Partikelgröße und Partikelladung aus der Pulshöhe und Pulsform wurde erfolgreich durchgeführt. Wie der Stofftransport durch eine Oberflächenladung auf dem umgebenden Material einer Nanoelektrode beeinflusst wird, wurde anhand des voltammetrischen Verhaltens diskutiert. An sehr kleinen Elektroden (< 10 nm) ist demnach der Einfluss der elektrochemischen Doppelschicht auf die Strom-Spannungs-Kurve besonders groß und kann auch bei Vorliegen eines hohen Leitsalzüberschusses nicht vernachlässigt werden. In leitsalzfreien Elektrolyten sind die gefundenen Effekte so deutlich, dass sie auch an größeren Elektroden experimentell zweifelsfrei festgestellt worden sind. / There is an enormous interest in understanding and selectively controlling the material transport in nanoscale systems to develop analytical and synthetic applications, but also to decipher the physiological processes of living cells. Within this thesis, the influence of the electrochemical double layer on selected nanoscale electrolyte systems was studied. Ionic Current Rectification (ICR) in nanopores carrying a surface charge manifests itself in a non-linear current-voltage-curve. The overlap of interior and exterior potential is cumulative or opposing with regard to the ion distribution and therefore the pore conductivity. Based on this mechanism, ICR for very large ratios of pore size and Debye length was explained. Furthermore, the different conducting states as a function of electrolyte concentration and temperature were visualized by introducing the relative conductivity κ´ and hence implications for sensor applications such as the resistive pulse sensor have been deduced. A numerical model based on the Poisson-Nernst-Planck-equations was developed to describe the translocation of a nanoparticle through a conical nanopore at a low electrolyte concentration. An additional rectification effect (ICR effect) occurs in the pore beside the conventional volume exclusion effect. An analysis was successfully performed to deconstruct the particle size and particle charge from the pulse height and shape. The material transport is affected by a surface charge on the shrouding material of nanoelectrodes as it was discussed by means of the voltammetric behaviour. The influence of the electrochemical double layer on the current-voltage-curve is particularly large at very small electrodes (< 10 nm) and cannot be neglected even at a high excess of supporting electrolyte. The observed effects were pronounced in unsupported electrolytes, so that they could be clearly detected experimentally at even larger electrodes.