Value at Risk (VaR) and Expected Shortfall (ES) are methods often used to measure market risk. Inaccurate and unreliable Value at Risk and Expected Shortfall models can lead to underestimation of the market risk that a firm or financial institution is exposed to, and therefore may jeopardize the well-being or survival of the firm or financial institution during adverse markets. The objective of this study is therefore to examine various Value at Risk and Expected Shortfall models, including fatter tail models, in order to analyze the accuracy and reliability of these models. Thirteen VaR and ES models under three main approaches (Parametric, Non-Parametric and Semi-Parametric) are examined in this study. The results of this study show that the proposed model (ARMA(1,1)-GJR-GARCH(1,1)-SGED) gives the most balanced Value at Risk results. The semi-parametric model (Extreme Value Theory, EVT) is the most accurate Value at Risk model in this study for S&P 500. / October 2014

No description available.

To estimate the risk of a loss occurring for insurance takers is a difficult task in the insurance industry. It is an even more difficult task to price the risk for reinsurance companies which insures the primary insurers. Insurance that is bought by an insurance company, the cedent, from another insurance company, the reinsurer, is called treaty reinsurance. This type of reinsurance is the main focus in this thesis. A very common risk to insure, is the risk of fire in municipal and commercial properties which is the risk that is priced in this thesis. This thesis evaluates Länsförsäkringar AB's current pricing model which calculates the risk premium for Risk XL contracts. The goal of this thesis is to find areas of improvement for tail risk pricing. The risk premium can be calculated commonly by using one of three different types of pricing models, experience rating, exposure rating and frequency-severity rating. This thesis focuses on frequency-severity pricing, which is a model that assumes independence between the frequency and the severity of losses, and therefore splits the two into separate models. This is a very common model used when pricing Risk XL contracts. The risk premium is calculated with the help of loss data from two insurance companies, from a Norwegian and a Finnish insurance company. The main focus of this thesis is to price the risk with the help of extreme value theory, mainly with the method of moments method to model the frequency of losses, and peaks over threshold model to model the severity of the losses. In order to model the estimated frequency of losses by using the method of moments method, two distributions are compared, the Poisson and the negative binomial distribution. There are different distributions that can be used to model the severity of losses. In order to evaluate which distribution is optimal to use, two different Goodness of Fit tests are applied, the Kolmogorov-Smirnov and the Anderson-Darling test. The Peaks over threshold model is a model that can be used with the Pareto distribution. With the help of the Hill estimator we are able to calculate a threshold $u$, which regulates the tail of the Pareto curve. To estimate the rest of the ingoing parameters in the generalized Pareto distribution, the maximum likelihood and the least squares method are used. Lastly, the bootstrap method is used to estimate the uncertainty in the price which was calculated with the help of the estimated parameters. From this, empirical percentiles are calculated and set as guidelines to where the risk premium should lie between, in order for both the data sets to be considered fairly priced. / Att uppskatta risken för en skada ska inträffa för försäkringstagarna är svår uppgift i försäkringsbranschen. Det är en ännu svårare uppgift är att prissätta risken för återförsäkringsbolag som försäkrar direktförsäkrarna. Den försäkringen som köps av direkförsäkrarna, cedenten, från återförsäkrarna kallas treaty återförsäkring. Denna typ av återförsäkring är den som behandlas i denna avhandlig. En vanlig risk att prisätta är brandrisken för kommunala och industriella byggnader, vilket är risken som prissätts i denna avhandlnig. Denna avhandling utvärderar Länsförsäkringar AB's nuvarande prissättning som beräknar riskpremien för Risk XL kontrakt.Målet med denna avhandling är att hitta förbättringsområden för långsvansad affär. Riskpremien kan beräknas med hjälp av tre vanliga typer av prissättningsmodeller, experience rating, exposure rating och frequency-severity raring. Denna tes fokuserar endast på frequency-severity rating, vilket är en modell som antar att frekevensen av skador och storleken av de är oberoende, de delas därmed upp de i separata modeller. Detta är en väldigt vanlig modell som används vid prissättning av Risk XL kontrakt.Riskpremien beräknas med hjälp av skadedata från två försäkringsbolag, ett norskt och ett finskt försäkringsbolag.Det huvudsakliga fokuset i denna avhandling är att prissätta risken med hjälp av extremevärdesteori, huvudsakligen med hjälp av momentmetoden för att modellera frekvensen av skador och peaks over threshold metoden för att modellera storleken av de skadorna.För att kunna modellera den förväntade frekvensen av skador med hjälp av moment metoden så jämförs två fördelingar, Poissonfördelingen och den negativa binomialfördelningen. Det finns ett antal fördelningar som kan användas för att modellera storleken av skadorna. För att kunna avgöra vilken fördeling som är bäst att använda så har två olika Goodness of Fit test applicerats, Kolmogorov-Smirnov och Anderson-Darling testet.Peaks over threhsold modellen är en modell som kan användas med Paretofördelningen. Med hjälp av Hillestimatorn så beräknas en tröskel $u$ som regulerar paretokurvans uteseende. För att beräkna de resterande parametrarna i den generaliserade Paretofördelningen används maximum likliehood och minsta kvadratmetoden. Slutligen används bootstrap metoden för att skatta osäkerheten i risk premien som satts med hjälp av de skattade parametrarna. Utifrån den metoden så skapas percentiler som blir en riktlinje för vart risk premien bör ligga för de datasetten för att kunna anses vara rättvist prissatt.

This thesis investigates applying the semiparametric method Peaks-Over-Threshold on data generated from a Monte Carlo simulation when estimating the financial risk measures Value-at-Risk and Expected Shortfall. The goal is to achieve a faster convergence than a Monte Carlo simulation when assessing extreme events that symbolise the worst outcomes of a financial portfolio. Achieving a faster convergence will enable a reduction of iterations in the Monte Carlo simulation, thus enabling a more efficient way of estimating risk measures for the portfolio manager.  The financial portfolio consists of US life insurance policies offered on the secondary market, gathered by our partner RessCapital. The method is evaluated on three different portfolios with different defining characteristics.  In Part I an analysis of selecting an optimal threshold is made. The accuracy and precision of Peaks-Over-Threshold is compared to the Monte Carlo simulation with 10,000 iterations, using a simulation of 100,000 iterations as the reference value. Depending on the risk measure and the percentile of interest, different optimal thresholds are selected.  Part II presents the result with the optimal thresholds from Part I. One can conclude that Peaks-Over-Threshold performed significantly better than a Monte Carlo simulation for Value-at-Risk with 10,000 iterations. The results for Expected Shortfall did not achieve a clear improvement in terms of precision, but it did show improvement in terms of accuracy.  Value-at-Risk and Expected Shortfall at the 99.5th percentile achieved a greater error reduction than at the 99th. The result therefore aligned well with theory, as the more "rare" event considered, the better the Peaks-Over-Threshold method performed.  In conclusion, the method of applying Peaks-Over-Threshold can be proven useful when looking to reduce the number of iterations since it do increase the convergence of a Monte Carlo simulation. The result is however dependent on the rarity of the event of interest, and the level of precision/accuracy required. / Det här examensarbetet tillämpar metoden Peaks-Over-Threshold på data genererat från en Monte Carlo simulering för att estimera de finansiella riskmåtten Value-at-Risk och Expected Shortfall. Målet med arbetet är att uppnå en snabbare konvergens jämfört med en Monte Carlo simulering när intresset är s.k. extrema händelser som symboliserar de värsta utfallen för en finansiell portfölj. Uppnås en snabbare konvergens kan antalet iterationer i simuleringen minskas, vilket möjliggör ett mer effektivt sätt att estimera riskmåtten för portföljförvaltaren.  Den finansiella portföljen består av amerikanska livförsäkringskontrakt som har erbjudits på andrahandsmarknaden, insamlat av vår partner RessCapital. Metoden utvärderas på tre olika portföljer med olika karaktär.  I Del I så utförs en analys för att välja en optimal tröskel för Peaks-Over-Threshold. Noggrannheten och precisionen för Peaks-Over-Threshold jämförs med en Monte Carlo simulering med 10,000 iterationer, där en Monte Carlo simulering med 100,000 iterationer används som referensvärde. Beroende på riskmått samt vilken percentil som är av intresse så väljs olika trösklar.  I Del II presenteras resultaten med de "optimalt" valda trösklarna från Del I. Peaks-over-Threshold påvisade signifikant bättre resultat för Value-at-Risk jämfört med Monte Carlo simuleringen med 10,000 iterationer. Resultaten för Expected Shortfall påvisade inte en signifikant förbättring sett till precision, men visade förbättring sett till noggrannhet.  För både Value-at-Risk och Expected Shortfall uppnådde Peaks-Over-Threshold en större felminskning vid 99.5:e percentilen jämfört med den 99:e. Resultaten var därför i linje med de teoretiska förväntningarna då en högre percentil motsvarar ett extremare event.  Sammanfattningsvis så kan metoden Peaks-Over-Threshold vara användbar när det kommer till att minska antalet iterationer i en Monte Carlo simulering då resultatet visade att Peaks-Over-Threshold appliceringen accelererar Monte Carlon simuleringens konvergens. Resultatet är dock starkt beroende av det undersökta eventets sannolikhet, samt precision- och noggrannhetskravet.

The global financial crisis that took off in 2007 gave rise to several adjustments of the risk regulation for banks. An extensive adjustment, that is to be implemented in 2019, is the Fundamental Review of the Trading Book (FRTB). It proposes to use Expected Shortfall (ES) as risk measure instead of the currently used Value at Risk (VaR), as well as applying varying liquidity horizons based on the various risk levels of the assets involved. A major difficulty of implementing the FRTB lies within the backtesting of ES. Righi and Ceretta proposes a robust ES backtest based on Monte Carlo simulation. It is flexible since it does not assume any probability distribution and can be performed without waiting for an entire backtesting period. Implementing some commonly used VaR backtests as well as the ES backtest by Righi and Ceretta, yield a perception of which risk models that are the most accurate from both a VaR and an ES backtesting perspective. It can be concluded that a model that is satisfactory from a VaR backtesting perspective does not necessarily remain so from an ES backtesting perspective and vice versa. Overall, the models that are satisfactory from a VaR backtesting perspective turn out to be probably too conservative from an ES backtesting perspective. Considering the confidence levels proposed by the FRTB, from a VaR backtesting perspective, a risk measure model with a normal copula and a hybrid distribution with the generalized Pareto distribution in the tails and the empirical distribution in the center along with GARCH filtration is the most accurate one, as from an ES backtesting perspective a risk measure model with univariate Student’s t distribution with ⱱ ≈ 7 together with GARCH filtration is the most accurate one for implementation. Thus, when implementing the FRTB, the bank will need to compromise between obtaining a good VaR model, potentially resulting in conservative ES estimates, and obtaining a less satisfactory VaR model, possibly resulting in more accurate ES estimates. The thesis was performed at SAS Institute, an American IT company that develops software for risk management among others. Targeted customers are banks and other financial institutions. Investigating the FRTB acts a potential advantage for the company when approaching customers that are to implement the regulation framework in a near future. / Den globala finanskrisen som inleddes år 2007 ledde till flertalet ändringar vad gäller riskreglering för banker. En omfattande förändring som beräknas implementeras år 2019, utgörs av Fundamental Review of the Trading Book (FRTB). Denna föreslår bland annat användande av Expected Shortfall (ES) som riskmått istället för Value at Risk (VaR) som används idag, liksom tillämpandet av varierande likviditetshorisonter beroende på risknivåerna för tillgångarna i fråga. Den huvudsakliga svårigheten med att implementera FRTB ligger i backtestingen av ES. Righi och Ceretta föreslår ett robust ES backtest som baserar sig på Monte Carlo-simulering. Det är flexibelt i den mening att det inte antar någon specifik sannolikhetsfördelning samt att det går att implementera utan att man behöver vänta en hel backtestingperiod. Vid implementation av olika standardbacktest för VaR, liksom backtestet för ES av Righi och Ceretta, fås en uppfattning av vilka riskmåttsmodeller som ger de mest korrekta resultaten från både ett VaR- och ES-backtestingperspektiv. Sammanfattningsvis kan man konstatera att en modell som är acceptabel från ett VaR-backtestingperspektiv inte nödvändigtvis är det från ett ES-backtestingperspektiv och vice versa. I det hela taget har det visat sig att de modeller som är acceptabla ur ett VaR-backtestingperspektiv troligtvis är för konservativa från ett ESbacktestingperspektiv. Om man betraktar de konfidensnivåer som föreslagits i FRTB, kan man ur ett VaR-backtestingperspektiv konstatera att en riskmåttsmodell med normal-copula och en hybridfördelning med generaliserad Pareto-fördelning i svansarna och empirisk fördelning i centrum tillsammans med GARCH-filtrering är den bäst lämpade, medan det från ett ES-backtestingperspektiv är att föredra en riskmåttsmodell med univariat Student t-fördelning med ⱱ ≈ 7 tillsammans med GARCH-filtrering. Detta innebär att när banker ska implementera FRTB kommer de behöva kompromissa mellan att uppnå en bra VaR-modell som potentiellt resulterar i för konservativa ES-estimat och en modell som är mindre bra ur ett VaRperspektiv men som resulterar i rimligare ES-estimat. Examensarbetet genomfördes vid SAS Institute, ett amerikanskt IT-företag som bland annat utvecklar mjukvara för riskhantering. Tänkbara kunder är banker och andra finansinstitut. Denna studie av FRTB innebär en potentiell fördel för företaget vid kontakt med kunder som planerar implementera regelverket inom en snar framtid. / Riskhantering, finansiella tidsserier, Value at Risk, Expected Shortfall, Monte Carlo-simulering, GARCH-modellering, Copulas, hybrida distributioner, generaliserad Pareto-fördelning, extremvärdesteori, Backtesting, likviditetshorisonter, Basels regelverk

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal.

Le fonctionnement d'un système, de façon générale, peut être affecté par un incident imprévu. Lorsque cet incident a de lourdes conséquences tant sur l'intégrité du système que sur la qualité de ses produits, on dit alors qu'il se situe dans le cadre des événements dits extrêmes. Ainsi, de plus en plus les chercheurs portent un intérêt particulier à la modélisation des événements extrêmes pour diverses études telles que la fiabilité des systèmes et la prédiction des différents risques pouvant entraver le bon fonctionnement d'un système en général. C'est dans cette optique que s'inscrit la présente thèse. Nous utilisons la Théorie des Valeurs Extrêmes (TVE) et les statistiques d'ordre extrême comme outil d'aide à la décision dans la modélisation et la gestion des risques dans l'usinage et l'aviation. Plus précisément, nous modélisons la surface de rugosité de pièces usinées et la fiabilité de l'outil de coupe associé par les statistiques d'ordre extrême. Nous avons aussi fait une modélisation à l'aide de l'approche dite du "Peaks-Over Threshold, POT" permettant de faire des prédictions sur les éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine (AGA) à la suite d'accidents extrêmes. Par ailleurs, la modélisation des systèmes soumis à des facteurs d'environnement ou covariables passent le plus souvent par les modèles à risque proportionnel basés sur la fonction de risque. Dans les modèles à risque proportionnel, la fonction de risque de base est généralement de type Weibull, qui est une fonction monotone; l'analyse du fonctionnement de certains systèmes comme l'outil de coupe dans l'industrie a montré qu'un système peut avoir un mauvais fonctionnement sur une phase et s'améliorer sur la phase suivante. De ce fait, des modifications ont été apportées à la distribution de Weibull afin d'avoir des fonctions de risque de base non monotones, plus particulièrement les fonctions de risque croissantes puis décroissantes. En dépit de ces modifications, la prise en compte des conditions d'opérations extrêmes et la surestimation des risques s'avèrent problématiques. Nous avons donc, à partir de la loi standard de Gumbel, proposé une fonction de risque de base croissante puis décroissante permettant de prendre en compte les conditions extrêmes d'opérations, puis établi les preuves mathématiques y afférant. En outre, un exemple d'application dans le domaine de l'industrie a été proposé. Cette thèse est divisée en quatre chapitres auxquels s'ajoutent une introduction et une conclusion générales. Dans le premier chapitre, nous rappelons quelques notions de base sur la théorie des valeurs extrêmes. Le deuxième chapitre s'intéresse aux concepts de base de l'analyse de survie, particulièrement à ceux relatifs à l'analyse de fiabilité, en proposant une fonction de risque croissante-décroissante dans le modèle à risques proportionnels. En ce qui concerne le troisième chapitre, il porte sur l'utilisation des statistiques d'ordre extrême dans l'usinage, notamment dans la détection de pièces défectueuses par lots, la fiabilité de l'outil de coupe et la modélisation des meilleures surfaces de rugosité. Le dernier chapitre porte sur la prédiction d'éventuelles victimes dans l'Aviation Générale Américaine à partir des données historiques en utilisant l'approche "Peaks-Over Threshold" / The operation of a system in general may at any time be affected by an unforeseen incident. When this incident has major consequences on the system integrity and the quality of system products, then it is said to be in the context of extreme events. Thus, increasingly researchers have a particular interest in modeling such events with studies on the reliability of systems and the prediction of the different risks that can hinder the proper functioning of a system. This thesis takes place in this very perspective. We use Extreme Value Theory (EVT) and extreme order statistics as a decision support tool in modeling and risk management in industry and aviation. Specifically, we model the surface roughness of machined parts and the reliability of the associated cutting tool with the extreme order statistics. We also did a modeling using the "Peaks-Over Threshold, POT" approach to make predictions about the potential victims in the American General Aviation (AGA) following extreme accidents. In addition, the modeling of systems subjected to environmental factors or covariates is most often carried out by proportional hazard models based on the hazard function. In proportional hazard models, the baseline risk function is typically Weibull distribution, which is a monotonic function. The analysis of the operation of some systems like the cutting tool in the industry has shown that a system can deteriorated on one phase and improving on the next phase. Hence, some modifications have been made in the Weibull distribution in order to have non-monotonic basic risk functions, more specifically, the increasing-decreasing risk function. Despite these changes, taking into account extreme operating conditions and overestimating risks are problematics. We have therefore proposed from Gumbel's standard distribution, an increasingdecreasing risk function to take into account extreme conditions, and established mathematical proofs. Furthermore, an example of the application in the field of industry was proposed. This thesis is organized in four chapters and to this must be added a general introduction and a general conclusion. In the first chapter, we recall some basic notions about the Extreme Values Theory. The second chapter focuses on the basic concepts of survival analysis, particularly those relating to reliability analysis by proposing a function of increasing-decreasing hazard function in the proportional hazard model. Regarding the third chapter, it deals with the use of extreme order statistics in industry, particularly in the detection of defective parts, the reliability of the cutting tool and the modeling of the best roughness surfaces. The last chapter focuses on the prediction of potential victims in AGA from historical data using the Peaks-Over Threshold approach.

In the case of soil chemical analyses, frequency distributions for some elements show a dissymmetrical aspect, with a very marked spread to the right or to the left. A high frequency of extreme values is also observed and a possible mixture of several distributions, due to the presence of various soil types within a single geographical unit, is encountered. Then, for the outliers detection and the establishment of detection limits, an original outliers detection procedure has been developed; it allows estimating extreme quantiles above and under which observations are considered as outliers. The estimation of these detection limits is based on the right and the left of the distribution tails. A first estimation is realised for each elementary geographical unit to determine an appropriate truncation level. Then, a spatial classification allows creating adjoining homogeneous groups of geographical units to estimate robust limit values based on an optimal number of observations. / Dans le cas des analyses chimiques de sols, les distributions de fréquences des résultats présentent, pour certains éléments étudiés, un caractère très dissymétrique avec un étalement très marqué à droite ou à gauche. Une fréquence importante de valeurs extrêmes est également observée et un mélange éventuel de plusieurs distributions au sein dune même entité géographique, lié à la présence de divers types de sols, peut être rencontré. Dès lors, pour la détection des valeurs aberrantes et la fixation des limites de détection, une méthode originale, permettant destimer des quantiles extrêmes au-dessus et en dessous desquelles les observations sont considérées comme aberrantes, a été élaborée. Lestimation des limites de détection est établie de manière distincte à partir des queues des distributions droite et gauche. Une première estimation par entité géographique élémentaire est réalisée afin de déterminer un niveau de troncature adéquat. Une classification spatiale permet ensuite de créer des groupes dentités homogènes contiguës, de manière à estimer des valeurs limites robustes basées sur un nombre dobservations optimal.

Mémoire numérisé par la Division de la gestion de documents et des archives de l'Université de Montréal

This thesis is divided into three main parts. In the first, we discuss that, although permutation tests can provide exact control of false positives under the reasonable assumption of exchangeability, there are common examples in which global exchangeability does not hold, such as in experiments with repeated measurements or tests in which subjects are related to each other. To allow permutation inference in such cases, we propose an extension of the well known concept of exchangeability blocks, allowing these to be nested in a hierarchical, multi-level definition. This definition allows permutations that retain the original joint distribution unaltered, thus preserving exchangeability. The null hypothesis is tested using only a subset of all otherwise possible permutations. We do not need to explicitly model the degree of dependence between observations; rather the use of such permutation scheme leaves any dependence intact. The strategy is compatible with heteroscedasticity and can be used with permutations, sign flippings, or both combined. In the second part, we exploit properties of test statistics to obtain accelerations irrespective of generic software or hardware improvements. We compare six different approaches using synthetic and real data, assessing the methods in terms of their error rates, power, agreement with a reference result, and the risk of taking a different decision regarding the rejection of the null hypotheses (known as the resampling risk). In the third part, we investigate and compare the different methods for assessment of cortical volume and area from magnetic resonance images using surface-based methods. Using data from young adults born with very low birth weight and coetaneous controls, we show that instead of volume, the permutation-based non-parametric combination (NPC) of thickness and area is a more sensitive option for studying joint effects on these two quantities, giving equal weight to variation in both, and allowing a better characterisation of biological processes that can affect brain morphology.